Recalage de modèle par inférence bayésienne

Recalage de modèle par inférence bayésienne
Erliang ZHANG, Jérôme ANTONI, Pierre FEISSEL
Laboratoire Roberval de Mécanique
Université de Technologie de Compiègne
Porquerolles 05/2010
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Plan
Introduction
Inférence bayésienne
Recalage de modèle par inférence bayésienne
Applications numérique et expérimentale
Conclusions
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Introduction: modèle éléments finis
C’est quoi, modèle éléments finis?
M(θ), K(θ), C(θ)
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Introduction: modèle éléments finis
Utilisation vaste:
Modèle éléments finis
M(θ)
Question :
Quelles sont les bon paramètres et erreur de modèle associée?
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Introduction: recalage de modèle
Y(ω) = H(ω)F(ω)
Mesure expérimentale
Modèle numérique
M(θ), K(θ), C(θ)
modélisation
(Calcul éléments finis)
Fonctions de transfert
minimisation
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Introduction: Difficultés
Présence des erreurs
• mesures: : bruit, non-linéarité de mesures (Nm(ω))
• modèle: : modèle linéaire, erreur de modélisation (Ne(ω))
Non-unicité
mesures incomplètes
Problème direct
Fonction nonlinéaire et coûteux en temps:
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Introduction: Approche probabiliste
Solution de recalage:
Intervalle de confiance, ou distribution de probabilité
Problèmes :
• Comment prendre compte de ces erreurs au cours d’identification?
• Comment résoudre le problème de non-identifiabilité de solution ?
Approche probabliste:
Approche bayésienne, unique
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Inférence bayésienne
Règle de Bayes:
D: données expérimentales et informations a priori
: fonction de vraisemblance.
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Inférence bayésienne
Règle de Bayes:
Fusion d’information:
info a priori
p ( x)
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info expérimentale
×
l ( x)
info a posteriori
∝
p ( x D)
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Inférence bayésienne: démarche
Distribution d’erreurs
Distribution de probabilité marginale
Maximum a posteriori (MAP)
Espérance a posteriori (EAP)
Matrice de covariance a posteriori
Prédiction dans le cadre bayésien
avec
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: fonction de transfert à prédire.
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Problème direct
Problème directe:
Coûteux en temps
Méta-modèle
Chaos Polynomial:
une représentation des variables aléatoires générale,
une surface de réponse exacte pour une large incertitude.
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Méta-modèle par chaos polynomial
Représentation sur Chaos Polynomial d’Hermite
ξ: variables normales centrées réduites
avec
Estimation des coefficients
avec
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Distribution a priori
Inconnus:
x
• paramètres de modèle θ
• bruit de mesures
• non-linéarité de mesures
• erreur de modélisation
Paramètres de modèle:
Paramètres physiques aléatoires
θ = {propriétés matériaux et géométriques, conditions aux limites, etc.}
Champs physiques stochastiques
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Distribution a priori des paramètres de modèle
Construction de p(θ)
Avis d’expert, principe d’entropie maximale.
Représentation par variable chaos
fonction
exponentielle
ex: θ une variable lognormale
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Caractérisation a priori du bruit et de la nonlinéarité
Propriété stochastique du bruit en fréquence:
normale complexe circulaire centrée réduite
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Caractérisation a priori du bruit et de la nonlinéarité
Propriété stochastique du bruit en fréquence:
normale complexe circulaire centrée réduite
Propriété stochastique de
la nonlinéarité en fréquence:
Sous excitation gaussienne,
Hlin(ω)
Ylin(ω
ω)
+
Ys(ω
ω)
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Y0(ω
ω)
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Caractérisation a priori du bruit et de la nonlinéarité
Multi-sinus avec phase aléatoire
variance de bruit
(sur périodes)
avec
Protocole expérimentale
variance de la non-linéarité
(sur réalisations)
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Distribution a priori de l’erreur de modélisation
Erreur de modélisation Ne(ω)
Simplification de la réalité
Erreur systématique
Détermination de la distribution de probabilité p(Ne)
Hypothèse:
Ne ∼ Nc(0,σ[C])
avec [C] matrice de corrélation connue
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Fonction de vraisemblance
Ecart entre mesure-modèle
Erreur de mesure
Erreur de modèle
Fonction de vraisemblance
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Distribution de probabilité a posteriori
Distribution a posteriori par la règle de Bayes :
Distribution marginale a posteriori des paramètres
MAP
EAP
….
Problème:
une fonction très compliquée!
→ Besoin d’une méthode d’échantillonnage général.
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Monte Carlo par Chaînes de Markov (MCMC)
Idée:
Créer un processus de Markov dont
la distribution stationnaire limite
est
(exemple: chaîne de Markov)
Problème
MCMC classique :
Convergence lente,
Facilement bloqué autour d’un mode local.
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Monte Carlo par Chaînes de Markov évolutionnaire
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Monte Carlo par Chaînes de Markov évolutionnaire
Améliorations:
Une population de chaînes
Technique de Parallel tempering
Algorithme évolutionnaire
(Opération de Croisement )
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Exemple 1: modèle simple d’une poutre
histogramme par MCMC
distribution a priori
distribution a posteriori
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Exemple 2: Application complète
Structure « réelle »
Mesures simulées
Module d’Young
Masse volumique
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Modèle et Chaines de Markov
Erreur de modélisation:
Négligence de masse ponctuelle
Uniformisation de propriété matérielle
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Modèle et Chaines de Markov
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Fonctions de transfert recalées et loi marginale
mode 1
1200
mode 2
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Effet de l’insuffisance de la modélisation
Inférence dans une bande
fréquentielle plus large (0 2500] Hz
E4 ≈ 90 GPa
paramètres recalés non-acceptables!
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mauvaise prédiction en hautes fréquences!
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Prise en compte des erreurs de modélisation
structure linéaire
Variables aléatoires additionnelles
Paramètres modaux hybrides
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Stratégies d’inférence
Approche marginale (ε: paramètres de nuisance)
Approximation de Laplace:
: la valeur optimale.
→ Optimiser ε pour chaque état ξ de la chaîne de Markov
(Levenberg-Marquardt)
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Exemple pour prise en compte des erreurs de
modélisation
Ajout des variables :
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Approche marginale
Loi cible:
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Approche marginale
Prédiction des fonctions de transfert à 90%
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Validation expérimentale
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Mesures expérimentales
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Modélisation de la structure
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Distribution de probabilité marginale a posteriori
Valeurs moyennes:
E1 = 199
E2 = 212
E3 = 173
E4 = 174
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Résultats: Fonctions de transfert recalées
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Conclusions
Une solution complète basée sur l’inférence bayésienne dans
le domaine fréquentiel a été proposée :
Excitation multi-sinus (maîtrise des non-linéarités et du bruit de mesure)
Méta-modèle par Chaos polynomiale pour accélérer l’évaluation du
modèle directe et la propagation des incertitudes
Traitement des erreurs de modélisation par introduction de variables
stochastiques supplémentaires
Exploration de la distribution a posteriori par une méthode
d’échantillonnage puissante (MCMC évolutionnaire)
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Je vous remercie de votre attention!
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