Loustau

D´eveloppements d’alg`ebre pour l’agr´egation
Brice Loustau

Table des mati`eres
Correspondance le¸cons ↔d´eveloppements 4
1 Facteurs invariants d’une matrice 10
2 Sous-groupes compacts de GLn(R)13
3 Th´eor`eme abc pour les polynˆomes 15
4 Th´eor`eme de Lie-Kolchin 17
5 Ellipse de Steiner 19
6 Prolongement des identit´es alg´ebriques 21
7 Th´eor`eme de Gauss (polygones r´eguliers constructibles) 24
8 Enveloppe convexe du groupe orthogonal 27
9 Automorphismes de k(X)29
10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev 30
11 Comptage de racines et formes quadratiques 32
12 Entiers de Gauss et th´eor`eme des deux carr´es 34
13 Th´eor`eme de Chevalley-Warning 36
14 Matrices bistochastiques 38
15 Th´eor`eme de l’´el´ement primitif 40
16 D´enombrement des polynˆomes irr´eductibles sur un corps fini 42
17 Groupes finis de d´eplacements de l’espace 44
18 Th´eor`emes de Sylow 47
19 Th´eor`eme de Burnside 50
20 Th´eor`eme de Carlitz 52
21 D´ecomposition de Dunford effective 55
22 Action du groupe modulaire sur le demi-plan de Poincar´ e57
2

23 Groupes d’ordre 8 61
24 Pavage du plan 63
25 D´ecomposition de Bruhat 66
26 D´ecomposition polaire 69
27 D´enombrement des solutions d’une ´equation diophantienne 71
28 Th´eor`emes de Perron-Frobenius 73
R´ef´erences 77
3

Correspondance le¸cons ↔d´eveloppements
Le¸cons D´eveloppements
101 Groupe op´erant sur un ensemble. Exemples
et applications.
AL02 Sous-groupes compacts du groupe lin´eaire
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL17 Groupes finis de d´eplacements de l’espace
AL18 Th´eor`emes de Sylow
AL22 Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´ e
AL24 Pavage du plan
AL25 D´ecomposition de Bruhat
102 Sous-groupes discrets de Rn. R´eseaux.
Exemples.
(AL12 Entiers de Gauss et th´eor`eme des deux car-
r´es)
(AL22 Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´ e)
AL24 Pavage du plan
103 Exemples de sous-groupes distingu´es et de
groupes quotients. Applications.
AL04 Th´eor`eme de Lie-Kolchin
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL18 Th´eor`emes de Sylow
AL22 Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´ e
AL23 Groupes d’ordre 8
(AL24 Pavage du plan)
104 Groupes finis. Exemples et applications.
AL04 Th´eor`eme de Lie-Kolchin
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL17 Groupes finis de d´eplacements de l’espace
AL18 Th´eor`emes de Sylow
AL19 Th´eor`eme de Burnside
AL20 Th´eor`eme de Carlitz
AL22 Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´ e
AL23 Groupes d’ordre 8
105 Groupe des permutations d’un ensemble fini.
Applications.
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
(AL14 Matrices bistochastiques)
4

AL17 Groupes finis de d´eplacements de l’espace
AL18 Th´eor`emes de Sylow
AL25 D´ecomposition de Bruhat
106 Groupe lin´eaire d’un espace vectoriel de
dimension finie E, sous-groupes de GL(E).
Applications.
AL02 Sous-groupes compacts du groupe lin´eaire
AL04 Th´eor`eme de Lie-Kolchin
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL19 Th´eor`eme de Burnside
AL25 D´ecomposition de Bruhat
AN07 Th´eor`eme de Cartan-von Neumann
AL26 D´ecomposition polaire
107 Sous-groupes finis de O(2,R), de O(3,R).
Applications.
AL17 Groupes finis de d´eplacements de l’espace
AL24 Pavage du plan
108 Exemples de parties g´en´eratrices d’un groupe.
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL20 Th´eor`eme de Carlitz
AL22 Action du groupe modulaire sur le demi-
plan de Poincar´ e
(AL23 Groupes d’ordre 8)
AL24 Pavage du plan
109 Anneaux Z/nZ. Applications.
(AL01 Facteurs invariants)
(AL07 Th´eor`eme de Gauss (polygones r´eguliers
constructibles))
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
(AL13 Th´eor`eme de Chevalley-Warning)
110 Nombres premiers. Applications.
AL07 Th´eor`eme de Gauss (polygones r´eguliers
constructibles)
AL10 Th´eor`eme de Frobenius-Zolotarev
AL12 Entiers de Gauss et th´eor`eme des deux car-
r´es
(AL13 Th´eor`eme de Chevalley-Warning)
111 Exemples d’applications des id´eaux d’un
anneau commutatif unitaire.
AL01 Facteurs invariants
AL12 Entiers de Gauss et th´eor`eme des deux car-
r´es
AL20 Th´eor`eme de Carlitz
AL21 D´ecomposition de Dunford effective
146 Anneaux principaux.
AL01 Facteurs invariants
(AL12 Entiers de Gauss et th´eor`eme des deux car-
r´es)
5