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BAC BLANC 1 de Mathématiques Nom : Durée : 4 heures de Terminale S le 7 décembre 2011 La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les résultats seront encadrés. Le sujet est à remettre avec la copie. La gure de l'exercice 1 et celle de l'exercice 4 seront réalisées sur la feuille annexe. Les élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité traiteront l'exercice 4 d'arithmétique sur une feuille séparée. Chaque exercice sera commencé sur une nouvelle page. Exercice 1 5 points Commun à tous les élèves − − Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct (O; → u,→ v ) (voir feuille annexe). 1. Résoudre dans C l'équation z 2 − 2z + 2 = 0. 2. Soit A, B, C et D les points d'axes respectives : zA = 1 + i ; zB = zA ; zC = 2zB ; zD = 3. Construire une gure et la compléter tout au long de l'exercice. 3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon. z −3 4. Calculer C . En déduire la nature du triangle DAC. zA − 3 π 5. On note h l'homothétie de centre D et de rapport 2. On note r la rotation de centre D et d'angle . 2 On appelle C0 l'image de C par h et C00 l'image de C0 par r. Montrer que les droites (AC) et (C0 C00 ) sont perpendiculaires. Exercice 2 6 points Commun à tous les élèves On considère la fonction f dénie par f (x) = ex − 1 xex + 1 → − → − On désigne par C sa courbe représentative dans le repère (O; i , j ). Partie A : Étude de fonctions auxiliaires 1. Soit h la fonction dénie sur R par h(x) = xex + 1 Étudier le sens de variation de h et démontrer que pour tout x ∈ R, h(x) > 0. 2. Soit g la fonction dénie sur R par g(x) = x + 2 − ex (a) Déterminer les limites de g en −∞ et en +∞. (b) Étudier le sens de variation de g et dresser le tableau de variation de g . BAC BLANC 1 de Mathématiques Nom : de Terminale S Durée : 4 heures le 7 décembre 2011 (c) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet deux solutions dans R. On notera α et β ces solutions avec α > β . Prouver que 1, 14 < α < 1, 15. (d) En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. Partie B : Étude de la fonction f 1. Déterminer les limites de f en −∞ et en +∞. Interpréter graphiquement les résultats trouvés. 2. (a) Montrer que f est dérivable sur R et que pour tout réel x f 0 (x) = ex g(x) (xex + 1)2 (b) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. 3. Déterminer une équation de la tangente (T ) à la courbe (C) au point d'abscisse 0. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. (a) Établir que pour tout réel x, f (x) − x = (x + 1)ex (1 − x − e−x ) h(x) (b) On admet que pour tout réel u, eu ≥ 1 + u. Déterminer le signe de f (x) − x et en déduire la position de (C) par rapport à (T ). On a pour tout réel 0. u, eu ≥ 1 + u La fonction exponentielle est dite car Cexp est au-dessus de ses tangentes, notamment celle en convexe. Exercice 3 4 points Commun à tous les élèves Partie A : Restitution organisée de connaissances On utilisera le résultat suivant : les solutions de l'équation diérentielle y 0 = ay où a ∈ R sont les fonctions g dénies sur R par g(x) = K eax où K ∈ R. Le but de cette partie est de déterminer les solutions de l'équation diérentielle (E) y 0 = ay + b où a ∈ R∗ et b ∈ R. b a 1. Démontrer que la fonction u dénie sur R par u(x) = − est une solution de (E). 2. Soit f une fonction dénie et dérivable sur R. Démontrer l'équivalence suivante : f est solution de (E) ⇐⇒ f − u est solution de l'équation diérentielle y 0 = ay . 3. En déduire toutes les solutions de l'équation diérentielle (E). BAC BLANC 1 de Mathématiques Nom : de Terminale S Durée : 4 heures le 7 décembre 2011 Partie B Un cycliste roule sur une route descendante rectiligne et très longue. On note v(t) sa vitesse à l'instant t, où t est exprimé en secondes et v(t) en mètres par seconde. On suppose de plus que la fonction v ainsi dénie est dérivable sur l'intervalle [0 ; +∞[. Un modèle simple permet de considérer que la fonction v est solution de l'équation diérentielle : 10v 0 (t) + v(t) = 30. Enn, on suppose que, lorsque le cycliste s'élance, sa vitesse initiale est nulle, c'est-à-dire que v(0) = 0. t 1. Démontrer que v(t) = 30 1 − e 10 . − 2. (a) Déterminer le sens de variation de la fonction v sur l'intervalle [0 ; +∞[. (b) Déterminer la limite de la fonction v en +∞. 3. On considère, dans cette situation, que la vitesse du cycliste est stabilisée lorsque son accélération v 0 (t) est inférieure à 0,1 m.s−2 . Déterminer, à la seconde près, la plus petite valeur de t à partir de laquelle la vitesse du cycliste est stabilisée. Exercice 4 5 points Élèves ayant suivi l'enseignement de spécialité 1. (a) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11. (b) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 210 par 11. (c) Déterminer le reste dans la division euclidienne de 22009 + 2009 par 11. 2. On désigne par p un nombre entier naturel. On considère pour tout entier naturel non nul n le nombre An = 2n + p. On note dn le PGCD de An et An+1 . (a) Montrer que dn divise 2n . (b) Déterminer la parité de An en fonction de celle de p. Justier. (c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer la parité de dn en fonction de celle de p. En déduire le PGCD de 22009 + 2009 et 22010 + 2009. BAC BLANC 1 de Mathématiques Nom : de Terminale S Durée : 4 heures le 7 décembre 2011 Exercice 4 5 points Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans cet exercice, toutes les questions sont indépendantes. 1. Restitution organisée de connaissances Démontrer que pour tout réel x, ex > x et en déduire lim ex . x→+∞ 2. Déterminer la(es) solution(s) de l'équation diérentielle suivante : 2y 0 − y = 5 y(4) = 1 3. Soit la fonction f dénie sur [0 ; +∞[ par f (x) = e−x cos(4x) et Γ sa courbe représentative représentée ci-dessous. Conjecturer et déterminer la limite de f en +∞. Dans les deux questions suivantes, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct − − (O; → u,→ v ) (voir feuille annexe). 4. Soit D le point d'axe 2i. (a) Représenter l'ensemble (E) des points M d'axe z diérente de 2i tels que : arg(z − 2i) = π + k × 2π(k ∈ Z). 4 (b) Représenter l'ensemble (F) des points M d'axe z tels que z = 2i + 2eiθ , θ appartenant à R. 5. À tout point M d'axe z 6= −2, on associe le point M 0 d'axe z 0 telle que : z 0 = Déterminer l'ensemble des points M d'axe z diérente de −2 tels que |z 0 | = 1. z−1 . z+2 BAC BLANC 1 de Mathématiques Nom : de Terminale S FEUILLE ANNEXE Exercice 1 Exercice 4 Durée : 4 heures le 7 décembre 2011
