1. en P, le champ est perpendiculaire à la plaque (symétrie)

F
q
= qE Pour déterminer la force, il suffit de connaître le champ,
peu importe les charges qui créent le champ!
D'où l'importance de pouvoir calculer un champ !
Par exemple: calculer le champ en un point P à l'extérieur
d'une plaque plane infinie chargée de façon homogène.
Stratégie:
à ne pas
étudier!
1. en P, le champ est perpendiculaire à la plaque (symétrie)
2. plaque = {anneaux concentriques centrés sur projection de P}
3. anneau = {segments sur toute la circonférence}
4. calcul en P du champ dû à un segment d'un anneau
5. calcul de la composante du champ perpendiculaire à la plaque
6. intégrer sur toute la circonférence de l'anneau
7. intégrer sur toute la surface de la plaque
D'où 2 pages de calcul pour arriver au résultat: E = 2πk Q/A
Autre méthode: basée sur le théorème de Gauss

Vision hydrodynamique Equation de continuité: flux constant
S
1
v
1
= S
2
v
2
(S ⊥v)
source en P ⇒flux identique au travers
des surfaces sphériques centrées en P
2
v
2
2
R4
1
v
2
1
R4 π=π
S
1
S
2
flux entrant par surface 1 = flux sortant par surface 2
Reste vrai pour des sections S
1
et S
2
définies par un angle solide (cône).
Le flux net dans la section de cône est donc nul:
"ce qui rentre par S
1
= ce qui sort par S
2
"
v varie en 1/R
2
P
2
2
R4π
2
1
R4π
Donc, à travers une surface 3D fermée ne contenant pas la source,
sort) qui ce compense rentre qui ce :extérieurl' versdirigéet
surface la à laireperpendicu S(d 0 S.dv :nulest net totalflux le
r
r
r
=
∫

Vision électrique
Une charge est une source de champ électrique qui varie en 1/R
2
Flux électrique à travers une surface sphérique
centrée sur une charge Q:
dS
2
R
Q
k=
∫
2
R 4
2
R
Q
k=π
D'où, pour un ensemble de charges
et quelle que soit la surface fermée:
intérieure totale
source Sd v
: vautsurface la traversà fluidedu flux le
=
∫r
r
Q à due
source Sd E =
∫
r
r
Qk 4
Q à due
source Donc, π
=
Sdr
v
r
Si la source de fluide est à l'intérieur de la surface 3D fermée:
source
Connaissant E,
calculons la source:
Théorème
de Gauss
Connaissant la source, on calcule E en choisissant judicieusement S!!!
∑
∫π= sintérieure
Qk 4 Sd E
r
r
Sdr
Q+
E

Application:
Plaque plane infinie de densité de charge Q/A
Que vaut le champ en un point extérieur P?
Q
+
Symétrie ⇒le champ est perpendiculaire à la plaque
Surface cylindrique contenant P à sa surface: E
inf
S
sup
S
inf
S
lat
P
Choix judicieux d'une surface fermée!
E
sup
(soit ⊥, soit // au champ)
S
sup
= S
inf
= S et E
sup
= E
inf
= E
Gauss: le flux à travers la surface fermée cylindrique = source du champ
∑
∫π= fermée surface la à sintérieure
Qk 4 Sd E r
r
S
A
Q
k 4 0
inf
S
inf
E
sup
S
sup
Eπ=++
S
A
Q
k 4 S E 2 π=
A
Q
k 2 E où'd π= Ce résultat avait déjà été obtenu,
mais après un calcul de 2 pages!

Pour s'exercer:
Fil rectiligne infini de densité de charge Q/L
Que vaut le champ en un point P situé à une distance R du fil?
Q
+
P
R
- orientation du champ en P?
- choix judicieux d'une surface fermée
(passant par P et soit ⊥, soit // au champ)
∑
∫π= fermée surface la à sintérieure
Qk 4 Sd E r
r
- calculer les deux membres de la loi de Gauss
- en déduire la valeur du champ (fonction de R)