1. en P, le champ est perpendiculaire à la plaque (symétrie)

Fq = qE
Pour déterminer la force, il suffit de connaître le champ,
peu importe les charges qui créent le champ!
D'où l'importance de pouvoir calculer un champ !
Par exemple: calculer le champ en un point P à l'extérieur
d'une plaque plane infinie chargée de façon homogène.
Stratégie:
à ne pas
étudier!
1. en P, le champ est perpendiculaire à la plaque (symétrie)
2. plaque = {anneaux concentriques centrés sur projection de P}
3. anneau = {segments sur toute la circonférence}
4. calcul en P du champ dû à un segment d'un anneau
5. calcul de la composante du champ perpendiculaire à la plaque
6. intégrer sur toute la circonférence de l'anneau
7. intégrer sur toute la surface de la plaque
D'où 2 pages de calcul pour arriver au résultat: E = 2πk Q/A
Autre méthode: basée sur le théorème de Gauss
Vision hydrodynamique
Equation de continuité: flux constant
S1v1 = S2v2 (S ⊥ v)
source en P ⇒ flux identique au travers
des surfaces sphériques centrées en P
flux entrant par surface 1 = flux sortant par surface 2
S2
P
4πR12
4πR 2
2
S1
4πR12 v1 = 4πR 2
2 v2
v varie en 1/R2
Reste vrai pour des sections S1 et S2
définies par un angle solide (cône).
Le flux net dans la section de cône est donc nul:
"ce qui rentre par S1 = ce qui sort par S2"
Donc, à travers une surface 3D fermée ne contenant pas la source,
r
r r
le flux net total est nul: ∫v.dS = 0 (dS perpendiculaire à la surface
et dirigé vers l'extérieur: ce qui rentre compense ce qui sort)
Si la source de fluide est à l'intérieur de la surface 3D fermée:
r
dS
r
v
source
le flux du fluide à travers la surface vaut:
r r
∫v dS = source totale intérieure
Vision électrique
Une charge est une source de champ électrique qui varie en 1/R2
r
dS
Q+
E
Flux électrique à travers une surface sphérique
r r
centrée sur une charge Q:
E dS = source
E,
t
n
a
s
s
i
e:
a
c
n
r
n
u
Q 4π R 2 =
so
Co
a
l
s
k
on
l
u
c
l
ca
R2
Q
∫k R2 dS =
∫
due à Q
Théorème
de Gauss
Donc, source due à Q = 4π k Q
r r
D'où, pour un ensemble de charges
∫E dS = 4π k ∑Q intérieures
et quelle que soit la surface fermée:
Connaissant la source, on calcule E en choisissant judicieusement S!!!
Application:
Plaque plane infinie de densité de charge Q/A
Que vaut le champ en un point extérieur P?
Symétrie ⇒ le champ est perpendiculaire à la plaque
Esup
P Ssup
Choix judicieux d'une surface fermée!
Q+
(soit ⊥, soit // au champ)
Slat
Sinf
Surface cylindrique contenant P à sa surface:
Ssup = Sinf = S et Esup = Einf = E
Einf
Gauss: le flux à travers la surface fermée cylindrique = source du champ
r r
∫E dS = 4π k ∑Q intérieures à la surface fermée
Esup Ssup + Einf Sinf + 0 = 4π k Q S
A
2 E S = 4π k Q S
A
Q
Ce résultat avait déjà été obtenu,
d'où E = 2π k
A
mais après un calcul de 2 pages!
Pour s'exercer:
Fil rectiligne infini de densité de charge Q/L
Que vaut le champ en un point P situé à une distance R du fil?
P
R
Q+
- orientation du champ en P?
- choix judicieux d'une surface fermée
(passant par P et soit ⊥, soit // au champ)
- calculer les deux membres de la loi de Gauss
r r
∫E dS = 4π k ∑Q intérieures à la surface fermée
- en déduire la valeur du champ (fonction de R)