(3x + 1) = -x - 2 + log3 4

NOM :
Prénom :
Examen d’Admission
Numéro :
Algèbre
Juillet 2015 - Série 1
1. Soit p un paramètre réel. Discuter et résoudre, dans les nombres complexes, l’équation suivante
(où i désigne l’unité imaginaire) :
(z − i )4 + p(z2 + 1)2 = 0.
Donnez les solutions sous la forme a + bi (avec a et b réels). (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
2. On considère l’équation suivante, où a est un paramètre réel :
3x3 − 12x2 + 4x + a = 0.
Déterminez a et les racines de l’équation, sachant que ces racines sont trois nombres réels en progression arithmétique. (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
3. Trouvez toutes les valeurs réelles de x pour lesquelles l’égalité suivante est satisfaite :
log3 (3x + 1) = − x − 2 + log3 4
où log3 représente le logarithme en base 3. (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
4. Rosaria contemple l’huile qu’elle a obtenu en pressant les olives de la récolte de 2014. Avec
cette huile, elle pourrait remplir exactement 35 bouteilles et 24 bidons, mais comme elle n’a que
25 bouteilles et 20 bidons, il va lui rester 2 seaux pleins. « Mauvaise année », pense-t-elle, « l’an
passé j’ai eu le double d’huile, et j’ai pu remplir exactement 100 bouteilles et 30 bidons après avoir
donné 3 seaux pleins d’huile à mon voisin. » Déterminez combien de bouteilles on peut remplir
avec le contenu d’un seau. (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
NOM :
Prénom :
Examen d’Admission
Numéro :
Algèbre
Juillet 2015 - Série 2
1. Déterminez à quelle condition sur les nombres réels x, y le nombre complexe z = x + yi est tel
z+2
que
est un nombre imaginaire pur (ou nul). (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
z − 2i
2. Trouvez tous les nombres réels x > 0 pour lesquels l’équation suivante est satisfaite :
23x (8x + 4)2 = 8 82x + 1 + (32)3x .
(Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
3. Déterminez pour quelle(s) valeur(s) du paramètre réel a le système suivant n’admet pas de
solution :

ax + z = 1

2x + ay = 2

3x + y + z = 3.
(Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
4. Le magazine EPL news est vendu uniquement par abonnement. Le modèle économique prévoit
qu’il y ait 1800 nouveaux abonnés chaque année, et que d’une année à l’autre 15% des abonnés
ne se réabonnent pas. En 2014, il y avait 8000 abonnés. En quelle année le magazine dépassera-t-il
(d’après le modèle) la barre des 11000 abonnés ? (Expliquez soigneusement votre raisonnement.)
NOM :
Prénom :
Examen d’Admission
Numéro :
Algèbre
Septembre 2015
1. Déterminez pour quelles valeurs réelles de x on a
q
log2 ( x2 ) < log2 (8x ) − 7.
Expliquez soigneusement votre raisonnement.
2. Déterminez les nombres complexes z tels que
z6 + 2iz3 − 1 = 0
où i est l’unité imaginaire. Expliquez soigneusement votre raisonnement.
3. Trouvez toutes les paires { x1 , x2 } de nombres réels satisfaisant la condition suivante : il existe
des nombres réels non nuls a, b, c tels que x1 et x2 soient les deux racines de ax2 + bx + c et que − x1
et − x2 soient les deux racines de bx2 + cx + a. [On admet l’éventualité que x1 = x2 .] Expliquez
soigneusement votre raisonnement.
4. Jean-Pierre, Piotr et Laurent jouent à un jeu avec des jetons de casino rouges (valeur 5$) et
bleus (valeur 10$). D’après la règle, après chaque partie le perdant verse à chacun des deux autres
joueurs un montant égal à leur mise. S’il n’a pas assez de jetons pour le faire, il est éliminé et
le montant de sa mise est réparti également entre les deux autres. Les trois compères disposent
d’un paquet de jetons pour un total de 120$. Avant de commencer à jouer, Piotr dispose de la
plus grosse somme, et Jean-Pierre de la plus petite. À chaque partie, chacun mise tous ses jetons.
Au bout de trois parties, chacun des joueurs en a perdu une, mais aucun n’a été éliminé, et ils se
retrouvent tous avec la même valeur en main. Quelle était la mise de chacun au départ ? À partir
de là, déterminez la quantité minimale de jetons rouges dans le paquet. Expliquez soigneusement
votre raisonnement.