P.Aimé. 18/07/07 Calcul di¤érentiel/Di¤érentielles/Exemples de di¤éomorphismes/demo7.pdf Enoncé Les applications suivantes, de R2 dans R2 sont-elles des di¤éomorphismes ? Si ce n’est pas le cas, préciser si l’on peut se restreindre à un ouvert convenable sur lequel on obtient un di¤éomorphisme de cet ouvert sur son image, et interpréter les arcs transformés des droites parallèles aux axes, dont on donne la représentation. 1. f1 (x; y) = (ex ey ; x + y) 2. f2 (x; y) = (x2 + y 2 ; 2xy) 3. f3 (x; y) = (x2 y 2 ; 2xy) Solution Dans tous les cas, on cherche un ouvert U R2 sur lequel les trois hypothèses du théorème d’inversion sont véri…ées : - f est C 1 sur U , on sait que pour cela, il su¢ t que les dérivées partielles soient continues, on écrit donc la matrice jacobienne en tout point de U . Rappelons que ses colonnes sont les vecteurs dérivées partielles. - f est injective sur U , donc bijective de U sur f (U ) (si possible, on détermine f (U ), selon le théorème d’inversion, c’est un ouvert de R2 ), - En tout point de U , la matrice jacobienne de f est inversible, en pratique son déterminant est non nul. ex ey , les d.p. sont continues sur R2 . 1 1 Soit (a; b) 2 R2 . S’il existe (x; y) tel que 1. (a) J(x;y) f1 = (ex ey ; x + y) = (ea eb ; a + b), alors y 2x e x e a e b e a+b e = a+b = 0. x Le changement de variable X = ex , et la résolution de l’équation du second degré en X montrent qu’il existe une soution unique (sachant que X > 0), f1 est donc injective. En…n det J(x;y) f1 = ex + ey 6= 0. En conclusion, f1 est un C 1 -di¤éomorphisme de R2 sur f1 R2 . On peut préciser que f1 R2 = R2 , sachant que pour tout ( ; ) 2 R2 , l’équation (ex ey ; x + y) = ( ; ) possède une solution (d’après le raisonnement qui conduit à l’injectivité). 1 (b) L’arc image d’une droite verticale x = a, paramétrée par y, est paramétré par (y) = (X; Y ) = (ea ey ; a + y) . Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne Y = a+ln (ea X). En se limitant à la famille des segments compris entre [A; B] et [C; D] sur la …gure ci-dessous, cela donne les courbes en rouge. (c) L’arc image d’une droite horizontale y = b, paramétrée par x, est paramétré par (x) = (X; Y ) = ex eb ; x + b . Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne Y = b + ln eb + X . En se limitant à la famille des segments compris entre [A; B] et [C; D] sur la …gure ci-dessous, cela donne les courbes en bleu. 2. Pour les exemples 2,3,4 la méthode est analogue, bien qu’il soit parfois intéressant de permuter l’ordre des véri…cations. (a) J(x;y) f2 = 2x 2y 2y 2x , les d.p. sont continues sur R2 . det J(x;y) f2 = 4 x2 y 2 . On se restreint donc à l’un des quatre quarts de plans ouverts bordés par les droites jxj = jyj. Par exemple U1 , dé…ni par x2 > y 2 et x > 0, les autres étant notés Ui , i = 2; 3; 4, 4 [ et = Ui . i=1 Traitons simultanément les questions d’injectivité et de surjectivité, c’est à dire le système (x2 + y 2 ; 2xy) = (u; v) . 2 où (u; v) 2 R2 est donné. - Si (u; v) = 0, la seule solution est (x; y) = (0; 0) 2 = . - Si u < 0, un point (u; v) n’a pas d’antécédent. p u), - Sipv = 0, u > 0, le point (u; v) possède quatre antécédents (0; u; 0) donc un seul dans chacun des ouverts Ui . ( - Si u2p> v 2 et u > 0, le point (u; v) possède quatre antécédents p v x= u u2 v 2 , y = 2x , qui appartiennent à (véri…er p que 2 2 x = y est exclu), répartis sur le cercle x2 + y 2 = u, de rayon u, , 2 , il y a donc les arguments sont de la forme , + , 2 un un seul dans chacun des ouverts Ui . - Si u2 < v 2 , un point (u; v) n’a pas d’antécédent. En conclusion, la restriction de f2 à chacun des ouverts Ui est un C 1 -di¤éomorphisme de Ui sur f2 (Ui ) = V , V étant le secteur ouvert dé…ni par u2 > v 2 , u > 0. (b) L’arc image d’un segment de droite vertical x = a > 0, y 2 < a2 , inclus dans U1 , paramétrée par y, est paramétré par (y) = (X; Y ) = a2 + y 2 ; 2ay . Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne Y2 est un segment de parabole inclus dans V , dont les X = a2 + 4a 2 , c’ extrémités sont les points 2a2 ; 2a2 . L’arc image d’une demi-droite horizontale y = b, x2 > b2 , inclus dans U1 , paramétrée par x, est paramétré par (y) = (X; Y ) = b2 + x2 ; 2bx . Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne Y2 X = b2 + 4b est une portion de parabole incluse dans V , dont 2 , c’ l’extrémité est le point 2b2 ; 2b2 . 3. La fonction f3 est la traduction dans R2 de l’application z 7 ! z 2 de C dans C. 2x 2y , les d.p. sont continues sur R2 . 2y 2x det J(x;y) f3 = 4 x2 + y 2 . On se place pour commencer sur le complémentaire de l’origine. Le système (x2 y 2 ; 2xy) = (a2 b2 ; 2ab), avec (a; b) 6= (0; 0) donne p 2 2 x2 = a a2 +b , et donc deux solutions symétriques par rapport à l’origine. Une résolution avec les coordonnées polaires (module/argument de 2 z) est plus directe encore, z 2 = jzj et arg z 2 = 2 arg z. Finalement, on restreint f3 à un demi-plan ouvert bordé par une droite passant par l’origine, par exemple U dé…ni par x > 0, et f3 (a) J(x;y) f3 = 3 est un C 1 di¤éomorphisme de U sur f3 (U ), complémentaire de la demi-droite v = 0, u 0. (b) L’arc image d’une droite verticale x = a > 0, y 2 R, est paramétré par (y) = (X; Y ) = a2 y 2 ; 2ay . Les points de appartiennent donc à la courbe d’équation cartésienne Y2 X = a2 4a est une parabole entièrement décrite, contenue dans 2 , c’ f3 (U ) (courbes en rouge sur la …gure de l’énoncé). De même, f3 transforme les demi-droites horizontales x > 0, y = b en demi-paraboles, et pour deux valeurs opposées de b, la réunion est une parabole (courbes en bleu sur la …gure de l’énoncé). 4