1-L`arithmétique modulaire

L’arithmétiquemodulaire
Définitiondumodulo
Danscettesection,oncherchepremièrementàdéterminersiunnombreestdivisibleparun
autre.Sic’estfaciledesavoirsilenombreestdivisiblepar2,c’estmoinsfaciledesavoirs’ilest
divisiblepar7.Parexemple,commentsavoirsi7965estdivisibleparlesnombrespremiers7,
11,13,17…
Bienqu’ilexistedestrucspourplusieurscas,nousallonsutiliseruneméthodeplusgénéralequi
fonctionneàtouscoups:l’arithmétiquemodulaire
Voiciàquoiressemblelanotation
25 1 mod3
Celasignifiequequandondivise25par3,lerestedeladivisionest1
Defaçongénérale
mod
A
Rm
SignifiequequandondiviseAparm,lerestedeladivisionestR.
Évidemment,siunnombremestundiviseurdeA,iln’yaurapasderesteetonaura
0mod
A
m
Ainsi,sionveutsavoirsi7estunfacteurde7965,oncherchelerestedeladivisionde7965par
7,c’est‐à‐direxdansl’équation
7965 mod7x
Six=0,celavoudradireque7estunfacteurde7965.

2L’arithmétiquemodulaire
Enfait,cettenotationestunpeuplusgénéralequecela.Parexemple,onpeutécrire
15 8 mod7
Puisque15et8ontlesmêmesrestesquandonlesdivisepar7.Onditalorsque15et8sont
congruentsenmodem.
Voicilespropriétésdumodule
1)
mod modaba m b m  
2)
mod modab a m b m
Si
modab m,alors
3)
modacbc m 
4)
modacbc m 
5)
modac bc m 
6)
mod
cc
ab m
Onretrouvelespreuvesdecespropriétésenannexe
Ladivisibilité
Aveclesdeuxpremièrespropriétés,onpeutsavoirassezfacilementsiunnombreestdivisible
parunautre.Commençonsparuncassimple.Est‐ceque600estdivisiblepar7

3L’arithmétiquemodulaire
600 600 mod7
61010 mod7
6 mod7 10 mod7 10 mod7 (propriété 2)
1 mod7 3 mod7 3 mod7
133(mod7)
9mod7
5mod7
600n’estdoncpasdivisiblepar7.
Exemple:Est‐ceque7965estunmultiplede7
7965 7 1000 9 100 6 10 5 (mod7)
7101010 91010 610 5(mod7)
0333 233 13 2(mod7)
01832(mod7)
13 mod7
6 mod7
Onsaitdoncque7n’estpasunfacteurde7965.
Exemple:Est‐ceque7956estunmultiplede13
7956 7 10 10 10 9 10 10 5 10 6 (mod13)
7333 433536(mod13)
727123 156(mod13)
7 1 1 3 2 6 (mod13)
7326mod13
0 mod13
Onsaitdoncque7956estdivisiblepar13.

4L’arithmétiquemodulaire
Quelquescritèresdedivisibilitécélèbres
Évidemment,ilestfacilededétermineraussisilenombreestdivisiblepar2et5.Maisilexiste
aussiquelquestrucspourd’autresnombres.
Divisibilitépar3
Onpeutprouverfacilementuncritèrededivisibilitépar3quiditquesilasommedeschiffres
d’unnombreestdivisiblepar3alorslenombreestdivisiblepar3.Prenonsparexempleun
nombrede5chiffres:abcde.Onaalors
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod3)
1111 111 11 1 (mod3)
(mod3)
abcde a b c d e
abcde
abcde
Exemple:Est‐ceque7965estdivisiblepar3
Puisque7+9+6+5=27estdivisiblepar3,celasignifieque7965estdivisiblepar3.
Divisibilitépar9
Onpeutprouverfacilementuncritèrededivisibilitépar9quiditquesilasommedeschiffres
d’unnombreestdivisiblepar9alorslenombreestdivisiblepar9.Prenonsparexempleun
nombrede5chiffres:abcde.Onaalors
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod9)
1111 111 11 1 (mod9)
(mod9)
abcde a b c d e
abcde
abcde
Exemple:Est‐ceque7965estdivisiblepar9
Puisque7+9+6+5=27estdivisiblepar9,celasignifieque7965estdivisiblepar9.

5L’arithmétiquemodulaire
Divisibilitépar11
Onpeutaussiprouverfacilementuncritèrededivisibilitépar11quiditquesilasommeavec
signealternédeschiffresd’unnombreestdivisiblepar11alorslenombreestdivisiblepar11.
Prenonsparexempleunnombrede5chiffres:abcde.Onaalors
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 (mod11)
1111 111 11 1 (mod11)
(mod11)
abcde a b c d e
abcde
abcde
Exemple:Est‐ceque7965estdivisiblepar11
Puisque‐7+9‐6+5=‐1n’estdivisiblepar11,celasignifieque7965n’estpasdivisiblepar
11.
EXERCICES
1.Déterminez,sanscalculatrice,si
a) 8748estdivisiblepar7
b) 108439estdivisiblepar9
c) 957estdivisiblepar11
d) 976497estdivisiblepar3
e) 2050545estdivisiblepar13
f) 89760estdivisiblepar17
g) 96257estdivisiblepar7
h) 78656estdivisiblepar19
i) 183489estdivisiblepar11
j) 32344estdivisiblepar13