Probabilités et Statistique

18 Probabilités et Statistique
Chapitre 2 :
Probabilités conditionnelles et événements
indépendants
Soit ℰ une expérience aléatoire modélisée par (Ω, ࣛ,
PI ).
Supposons que l’on dispose d’une information supplémentaire A ; on va étudier chacun des
événements B de l’expérience aléatoire relativement à l’information A, et en particulier on va regarder
les chances de réalisation des événements B qui sont influencés par A.
Si on note PI
A
(B) les chances de réalisation de B sachant A, on regarde si PI
A
(B) est ou non différent de
PI (B) (probabilité de B sans l’information A). On introduit la notion de probabilité conditionnelle
sachant A.
Exemple : On dispose d’une urne qui contient 3 boules notées de 1 à 3. On choisit successivement et
sans remise 2 boules dans l’urne.
Ω = {ω = (1 , 2), ω = (1 , 3), ω = (2 , 1), ω = (2 , 3), ω = (3 , 1), ω = (3 , 2)}
Chaque tirage de deux boules a autant de chances d’être obtenu qu’un autre. On est dans un cas
d’équiprobabilité et on munit Ω de PI la probabilité uniforme.
∀ ω ∈ Ω, PI (ω) = 1
Card{Ω} = 1 6
ω = {(e
1
, e
2
), e
i
≠ e
j
∀ i ≠ j, e
i
∈ {3 boules}}
NB : Card{Ω} =
2 3
A = 3!
(3 − 2)! = 3! 1! = 6
Soit A = "la première boule tirée est 2"
B = "la deuxième boule tirée est 2"
Sans information, PI (B) = Card{B}
Card{Ω} = 2 6 = 1 3 ; B = {ω = (1
, 2), ω = (3 , 2)}
Supposons A réalisé ; alors PI (B) = 0.
On voit que l’information A modifie les chances de réalisation de B.
I – Définition et propriétés
Soit
ℰ une expérience aléatoire modélisée par (Ω, ࣛ , PI ) et A un événement de probabilité non
nulle (c’est-à-dire non négligeable).
L’application notée PI
A
:
ࣛ → [0 ; 1]
B → PI
A
(B) avec
PI
A
(B) =
PI (A ∩ B)
PI (A) est une probabilité appelée
probabilité conditionnelle sachant A ou probabilité conditionnelle à l’événement A.
Remarque : Dans la notation PI
A
(B), A est fixe et indique simplement que A est réalisé et B est variable.

Chapitre 2 − Probabilités conditionnelles et événements indépendants 19
Propriétés
1)
PI
A
¯
(B) ≠ 1 − PI
A
(B)
2)
PI
A
( )
B
¯ = 1 −
PI
A
(B)
3)
PI
A
(∅) = 0
4)
PI
A
(B
1
∪ B
2
) = PI
A
(B
1
) + PI
A
(B
2
) − PI (B
1
∩ B
2
)
II – Utilisation de probabilités conditionnelles
A) Pour calculer IP(A ∩ B)
Théorème : Si PI (A) > 0 et PI (B) > 0, alors :
– PI (A ∩ B) = PI (A) × PI
A
(B) (1)
– PI (A ∩ B) = PI (B) × PI
B
(A) (2)
On utilise l’une de ces deux formules lorsque l’expérience aléatoire se déroule en deux étapes et qu’un
des deux événements apparaît avant l’autre au cours de l’expérience. Cela veut dire que, dans ℰ, A est
antérieur à B ou B est antérieur à A.
Si A est antérieur à B, on utilise (1).
Si B est antérieur à A, on utilise (2).
L’utilisation des formules peut être imposée par l’énoncé.
Exemple : On choisit successivement et sans remise 2 boules dans une urne U qui contient R + N
boules. U = {R boules rouges, N boules noires}
A = "obtenir une boule rouge au premier tirage" = R
1
B = "obtenir une boule rouge au deuxième tirage" = R
2
PI (A) = R
R + N et
PI
A
(B) = R − 1
R + N − 1
A est antérieur à B, donc il faut utiliser (1).
PI (A ∩ B) = R × (R − 1)
(R + N) (R + N − 1)
Théorème (généralisation) : Soit B
1
, …, B
n
.
PI (B
1
∩ B
2
∩ … ∩ B
n
) = PI ( ) B
1
× PI
B
1
( )
B
2
× … × PI
B
1
∩ B
2
∩ … ∩ B
n
( )
B
n
Exemple : On choisit successivement et sans remise trois boules de U.
A
1
= "boule rouge au premier tirage"
A
2
= "boule rouge au deuxième tirage"
A
3
= "boule noire au troisième tirage"
PI (A
1
∩ A
2
∩ A
3
) = PI ( ) A
1
× PI
A
1
( )
A
2
× PI
A
1
∩ A
2
( )
A
3
= R
R + N × R − 1 R + N − 1 × N R + N − 2

20 Probabilités et Statistique
B) Pour calculer IP(B)
On appelle partition de Ω une suite d’événements (A
i
)
i ∈ I
telle que ⋃ A
n
n ∈ NI
= Ω et
∀ i ≠ j, A
i
∩ A
j
= ∅ .
Théorème (Formule de probabilité totale) : Étant donnée une partition de Ω = (A
1
, …, A
n
), on a :
PI (B) = PI ( ) A
1
× PI
A
1
(B) + PI ( ) A
2
× PI
A
2
(B) + ... + PI ( ) A
n
× PI
A
n
(B)
Remarque : La partition la plus élémentaire est
( )
A , A
¯
.
A ∪ A
¯ = Ω et A ∩ A ¯ = ∅
Corollaire : PI (B) = PI (A) PI
A
(B) + PI
( )
A
¯
PI
A¯
(B)
Exemple : U = {R boules rouges, N boules noires}
On tire successivement et sans remise deux boules.
B = "obtenir une boule rouge au second tirage"
A = "obtenir une boule rouge au premier tirage"
A
¯ = "obtenir une boule noire au premier tirage"
PI (B) = PI (A ∩ B) + PI
( )
A
¯ ∩ B
= PI (A) PI
A
(B) + PI
( )
A
¯
PI
A
¯
(B)
PI (A) = R
R + N
PI
A
(B) = R − 1
R + N − 1
PI
( )
A ¯ = N
R + N
PI
A
¯
(B) = R
R + N − 1
D’où, PI (B) = R
(R − 1) + N R
(R + N) (R + N − 1) = R R + N
R + N − 1
R + N − 1 = R R + N
Exemple : U = {R boules rouges, N boules noires, V boules vertes}
On tire successivement et sans remise deux boules de U.
B = "obtenir une boule rouge au second tirage"
A
1
= "obtenir une boule rouge au premier tirage"
A
2
= "obtenir une boule noire au premier tirage"
A
3
= "obtenir une boule verte au premier tirage"
PI (B) = PI ( ) A
1
PI
A
1
(B) + PI ( ) A
2
PI
A
2
(B) + PI ( ) A
3
PI
A
3
(B)
=
R
R + N + V × R − 1 R + N + V − 1 +
N
R + N + V × R R + N + V − 1 +
V
R + N + V × R R + N + V − 1
= R
R + N + V
R − 1 + N + V
R + N + V − 1 = R R + N + V
C) Formule de Bayes
Théorème : Soit B un événement tel que PI (B) > 0.
Alors : PI
B
(A) =
PI (A) × PI
A
(B)
PI (B)
Démonstration : PI (A ∩ B) = PI (A) PI
A
(B)
= PI (B) PI
B
(A)
⇒
PI (A) PI
A
(B) = PI (B) PI
B
(A) ⇔
PI (A) PI
A
(B)
PI (B) =
PI
B
(A)

Chapitre 2 − Probabilités conditionnelles et événements indépendants 21
III – Indépendance
On dit que A et B sont
PI -indépendants ou indépendants relativement à la probabilité PI si et
seulement si :
PI (A ∩ B) = PI (A) × PI (B)
⇔ PI
A
(B) = PI (B) : la réalisation de B n’est pas influencée par celle de A
⇔ PI
B
(A) = PI (A) : la réalisation de A n’est pas influencée par celle de B
Remarque : Cette notion d’indépendance est relative à la probabilité considérée. A et B peuvent être
indépendants relativement à PI mais pas indépendants relativement à PI˜.
Exemple : Mme T et Mme D sont enceintes.
A = "Mme D a une fille"
B = "Mme T a une fille"
C = "les deux enfants se marient"
Ω = ? PI = ?
PI (A ∩ B) = PI (A) PI (B) ; les deux événements sont indépendants relativement à PI
PI
C
(A ∩ B) ≠ PI
C
(A) PI
C
(B) ; les deux événements sont non indépendants relativement à PI
C
On dit que A, B et C sont
PI -mutuellement indépendants ou PI -indépendants dans leur ensemble
si et seulement si :
1) A et B indépendants, A et C indépendants, B et C indépendants
⇔ PI (A ∩ B) = PI (A) PI (B)
PI (A ∩ C) = PI (A) PI (C)
PI (B ∩ C) = PI (B) PI (C)
2) PI (A ∩ B ∩ C) = PI (A) PI (B) PI (C)
!! Attention !! Ne pas confondre événements disjoints et indépendants.
A et B sont disjoints (A ∩ B = ∅) ⇒ A et B ne se produisent pas en même temps
⇒ [A réalisé ⇒ B ne l’est pas]
⇒ La réalisation de A influence celle de B
⇒ A et B ne sont pas indépendants
A ∩ B = ∅ ⇒ PI (A ∩ B) = 0 ≠ PI (A) PI (B) si PI (A) > 0 et PI (B) > 0