Formalisation dans Lesp_vect_réels

Simon Kramer Logique élémentaire EPFL
Étude de cas 3◦
Formalisation dans Lesp_vect_réels
« Théorème de Pythagore »1
11 et 18 mai 2004
Preuve « mathématique »
Montrons que deux vecteurs !uet !vsont orthogonaux si et
seulement si &!u+!v&2=&!u&2+&!v&2.
– Considérons le développement suivant
&!u+!v&2= (!u+!v)·(!u+!v)
=!u·(!u+!v) + !v·(!u+!v)
=!u·!u+!u·!v+!v·!u+!v·!v
=&!u&2+&!v&2+ 2!u·!v
– L’égalité &!u+!v&2=&!u&2+&!v&2est donc respectée à
la seule condition que 2!u·!v= 0 ⇔!u·!v= 0 ⇔!u, !v
orthogonaux.
1preuve « mathématique » tirée du cours Algèbre linéaire, EPFL, 2003 et fournie par Philippe Suter
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Simon Kramer Logique élémentaire EPFL
Preuve formelle
1∀(x∈R)∀(y∈R)(x+y∈R)ax 1
2∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R)(x+ (y+z) = (x+y) + z)ax 2
3∀(x∈R)∀(y∈R)(x+y=y+x)ax 3
4∀(x∈R)(x+ 0 = x)ax 4
5∀(x∈R)∃(−x∈R)(x+ (−x) = 0) ax 5
6∀(x∈R)∀(y∈R)(x·y∈R)ax 6
7∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R)(x·(y·z) = (x·y)·z)ax 7
8∀(x∈R)∀(y∈R)(x·y=y·x)ax 8
9∀(x∈R)(x·1 = x)ax 9
10 ∀(x∈R\ {0})∃(x−1∈R\ {0})(x·x−1= 1) ax 10
11 ∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R)(x·(y+z) = x·y+x·z)ax 11
12 ∀(n∈N)∀(!x∈Rn)∀(!y∈Rn)(!x+!y∈Rn)ax 12
13 ∀(n∈N)∀(!u∈Rn)∀(!v∈Rn)(!u·!v=!v·!u)ax 13
14 ∀(n∈N)∀(!u∈Rn)∀(!v∈Rn)∀(!w∈Rn)(!u·(!v+!w) = !u·!v+!u·!w)ax 14
15 ∀(n∈N)∀(!u∈Rn)∀(!v∈Rn)(!u, !vsont orth.⇔!u·!v= 0) ax déf
16 ∀(n∈N)∀(!u∈Rn)(&!u&2=!u·!u)ax déf
17 ∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)) lem 1
18 ∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R)(x=y⇔z+x=z+y)) lem 2
19 ∀(x∈R)(x·0 = 0) lem 3
20 ∀(x∈R)(2·x=x+x)lem 4
21 n∈N∧!u∈Rn∧!v∈Rnhyp
22 !u, !vsont orth.⇔!u·!v= 0 21, 15
!u, !vsont orth.⇔2·(!u·!v) = 2·017
!u, !vsont orth.⇔2·(!u·!v) = 0 19
!u, !vsont orth.⇔(&!u&2+&!v&2) + 2·(!u·!v) = (&!u&2+&!v&2) + 0 18
!u, !vsont orth.⇔(&!u&2+&!v&2) + 2·(!u·!v) = &!u&2+&!v&24
!u, !vsont orth.⇔(&!u&2+&!v&2) + (!u·!v+!u·!v) = &!u&2+&!v&220
!u, !vsont orth.⇔(!u·!u+!v·!v) + (!u·!v+!u·!v) = &!u&2+&!v&221, 16
!u, !vsont orth.⇔(!u·!u+!v·!v) + (!u·!v+!v·!u) = &!u&2+&!v&221, 13
!u, !vsont orth.⇔(!u·!u+!u·!v) + (!v·!u+!v·!v) = &!u&2+&!v&22, 3
!u, !vsont orth.⇔!u·(!u+!v) + !v·(!u+!v) = &!u&2+&!v&221, 14
!u, !vsont orth.⇔(!u+!v)·(!u+!v) = &!u&2+&!v&221, 14
!u, !vsont orth.⇔ &!u+!v&2=&!u&2+&!v&221, 16
23 (n∈N∧!u∈Rn∧!v∈Rn)⇒(!u, !vsont orth.⇔ &!u+!v&2=&!u&2+&!v&2)21, 22
24 ∀(n∈N)∀(!u∈Rn)∀(!v∈Rn)(!u, !vsont orth.⇔ &!u+!v&2=&!u&2+&!v&2)) 23
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Commentaires
– pour fixer les idées, la preuve porte sur des vecteurs réels
–Rndésigne l’espace vectoriel de nombres réels et de dimension n
–−xet x−1sont considérés comme des symboles2(variables individuelles)
et non pas comme des termes
–&!u&2représente un abus de notation pour un (seul) symbole fonctionnel
– l’axiome 1 dit que les nombres réels sont clos sous l’opération d’addition
– l’axiome 2 dit que l’addition de nombres réels est associative
– l’axiome 3 dit que l’addition de nombres réels est commutative
– l’axiome 4 dit que 0désigne un élément neutre à gauche
pour l’opération d’addition
– l’axiome 5 dit que pour tout nombre réel il existe un nombre inverse
pour l’opération d’addition
– les axiomes 1–5 disent que l’ensemble des nombres réels forme
un groupe commutatif pour l’opération d’addition
– l’axiome 6 dit que les nombres réels sont clos sous l’opération de multiplication
– l’axiome 7 dit que la multiplication de nombres réels est associative
– l’axiome 8 dit que la multiplication de nombres réels est commutative
– l’axiome 9 dit que 1désigne un élément neutre à gauche
pour l’opération de multiplication
– l’axiome 10 dit que pour tout nombre réel différent de zéro
il existe un nombre inverse pour l’opération de multiplication
– les axiomes 6–10 disent que l’ensemble des nombres réels sans le nombre zéro
forme un groupe commutatif pour l’opération de multiplication
– l’axiome 11 dit que la multiplication de nombres réels est distributive
par rapport à l’addition de nombres réels
– les axiomes 1–4, 6–10 et 11 disent que l’ensemble des nombres réels forme
un corps pour l’opération d’addition et de multiplication
– l’axiome 12 dit que l’ensemble des vecteurs réels est clos sous l’opération d’addition
– l’axiome 13 dit que le produit scalaire est commutatif
– l’axiome 14 dit que le produit scalaire est distributif
par rapport à l’addition vectorielle
– le lemme 2 se montre de façon analogue au lemme 1
– le lemme 3 dit que la constante individuelle 0désigne un anihilateur à gauche
pour l’opération de multiplication
– le lemme 4 se montre par induction3
2au même titre qu’une variable primée x!
3sujet pas abordé dans ce cours
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Lemme (1)
16.1 x∈Rhyp
16.2 y∈Rhyp
16.3 z∈R\ {0}hyp
16.4 x=yhyp
16.5 z·x=z·xthéor
16.6 z·x=z·y16.4, 16.5
16.7 z·x=z·yhyp
16.8 ∃(z−1∈R\ {0})(z·z−1= 1) 16.3, 10
16.9 z−1∈R\ {0}∧z·z−1= 1 hyp
16.10 x=x·19
x=x·(z·z−1)16.9
x= (x·z)·z−17
x= (z·x)·z−18
x= (z·y)·z−116.7
x= (y·z)·z−18
x=y·(z·z−1)7
x=y·116.9
x=y9
16.11 x=y
16.12 x=y⇔z·x=z·y
16.13 z∈R\ {0}⇒x=y⇔z·x=z·y
16.14 ∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)
16.15 y∈R⇒ ∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)
16.16 ∀(y∈R)∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)
16.17 x∈R⇒ ∀(y∈R)∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)
17 ∀(x∈R)∀(y∈R)∀(z∈R\ {0})(x=y⇔z·x=z·y)
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Lemme (3)
18.1 x∈Rhyp
18.2 0 + 0 = 0 4
18.3 x·0 = x·(0 + 0) 18.2
x·0=x·0 + x·011
18.4 x·0 + 0 = x·04
18.5 x·0 + 0 = x·0 + x·018.3, 18.4
18.6 0 = x·018.5, lem 2
18.7 x·0 = 0 18.6
19 ∀(x∈R)(x·0 = 0)
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