Formalisation dans Lesp_vect_réels

Simon Kramer
Logique élémentaire
EPFL
Simon Kramer
Logique élémentaire
EPFL
Preuve formelle
Étude de cas 3◦
Formalisation dans Lesp_vect_réels
« Théorème de Pythagore »1
11 et 18 mai 2004
Preuve « mathématique »
Montrons que deux vecteurs !u et !v sont orthogonaux si et
seulement si &!u + !v &2 = &!u&2 + &!v &2 .
– Considérons le développement suivant
&!u + !v &2 = (!u + !v ) · (!u + !v )
= !u · (!u + !v ) + !v · (!u + !v )
= !u · !u + !u · !v + !v · !u + !v · !v
= &!u&2 + &!v &2 + 2!u · !v
– L’égalité &!u + !v &2 = &!u&2 + &!v &2 est donc respectée à
la seule condition que 2!u · !v = 0 ⇔ !u · !v = 0 ⇔ !u, !v
orthogonaux.
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1
preuve « mathématique » tirée du cours Algèbre linéaire, EPFL, 2003 et fournie par Philippe Suter
1
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)(x + y ∈ R)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R)(x + (y + z) = (x + y) + z)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)(x + y = y + x)
∀(x ∈ R)(x + 0 = x)
∀(x ∈ R)∃(−x ∈ R)(x + (−x) = 0)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)(x·y ∈ R)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R)(x·(y·z) = (x·y)·z)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)(x·y = y·x)
∀(x ∈ R)(x·1 = x)
∀(x ∈ R \ {0})∃(x−1 ∈ R \ {0})(x·x−1 = 1)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R)(x·(y + z) = x·y + x·z)
∀(n ∈ N)∀(!x ∈ Rn )∀(!y ∈ Rn )(!x + !y ∈ Rn )
∀(n ∈ N)∀(!u ∈ Rn )∀(!v ∈ Rn )(!u · !v = !v · !u )
∀(n ∈ N)∀(!u ∈ Rn )∀(!v ∈ Rn )∀(w
! ∈ Rn )(!u · (!v + w)
! = !u · !v + !u · w
!)
n
n
∀(n ∈ N)∀(!u ∈ R )∀(!v ∈ R )(!u, !v sont orth. ⇔ !u · !v = 0)
∀(n ∈ N)∀(!u ∈ Rn )(&!u&2 = !u · !u)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y))
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R)(x = y ⇔ z + x = z + y))
∀(x ∈ R)(x·0 = 0)
∀(x ∈ R)(2·x = x + x)
n ∈ N ∧ !u ∈ Rn ∧ !v ∈ Rn
!u, !v sont orth. ⇔ !u · !v = 0
!u, !v sont orth. ⇔ 2·(!u · !v ) = 2·0
!u, !v sont orth. ⇔ 2·(!u · !v ) = 0
!u, !v sont orth. ⇔ (&!u&2 + &!v &2 ) + 2·(!u · !v ) = (&!u&2 + &!v &2 ) + 0
!u, !v sont orth. ⇔ (&!u&2 + &!v &2 ) + 2·(!u · !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ (&!u&2 + &!v &2 ) + (!u · !v + !u · !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ (!u · !u + !v · !v ) + (!u · !v + !u · !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ (!u · !u + !v · !v ) + (!u · !v + !v · !u) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ (!u · !u + !u · !v ) + (!v · !u + !v · !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ !u · (!u + !v ) + !v · (!u + !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ (!u + !v ) · (!u + !v ) = &!u&2 + &!v &2
!u, !v sont orth. ⇔ &!u + !v &2 = &!u&2 + &!v &2
(n ∈ N ∧ !u ∈ Rn ∧ !v ∈ Rn ) ⇒ (!u, !v sont orth. ⇔ &!u + !v &2 = &!u&2 + &!v &2 )
∀(n ∈ N)∀(!u ∈ Rn )∀(!v ∈ Rn )(!u, !v sont orth. ⇔ &!u + !v &2 = &!u&2 + &!v &2 ))
2
ax 1
ax 2
ax 3
ax 4
ax 5
ax 6
ax 7
ax 8
ax 9
ax 10
ax 11
ax 12
ax 13
ax 14
ax déf
ax déf
lem 1
lem 2
lem 3
lem 4
hyp
21, 15
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4
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21, 16
21, 13
2, 3
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21, 16
21, 22
23
Simon Kramer
Logique élémentaire
EPFL
Simon Kramer
Logique élémentaire
Lemme (1)
Commentaires
– pour fixer les idées, la preuve porte sur des vecteurs réels
– Rn désigne l’espace vectoriel de nombres réels et de dimension n
– −x et x−1 sont considérés comme des symboles2 (variables individuelles)
et non pas comme des termes
– &!u&2 représente un abus de notation pour un (seul) symbole fonctionnel
– l’axiome 1 dit que les nombres réels sont clos sous l’opération d’addition
– l’axiome 2 dit que l’addition de nombres réels est associative
– l’axiome 3 dit que l’addition de nombres réels est commutative
– l’axiome 4 dit que 0 désigne un élément neutre à gauche
pour l’opération d’addition
– l’axiome 5 dit que pour tout nombre réel il existe un nombre inverse
pour l’opération d’addition
– les axiomes 1–5 disent que l’ensemble des nombres réels forme
un groupe commutatif pour l’opération d’addition
– l’axiome 6 dit que les nombres réels sont clos sous l’opération de multiplication
– l’axiome 7 dit que la multiplication de nombres réels est associative
– l’axiome 8 dit que la multiplication de nombres réels est commutative
– l’axiome 9 dit que 1 désigne un élément neutre à gauche
pour l’opération de multiplication
– l’axiome 10 dit que pour tout nombre réel différent de zéro
il existe un nombre inverse pour l’opération de multiplication
– les axiomes 6–10 disent que l’ensemble des nombres réels sans le nombre zéro
forme un groupe commutatif pour l’opération de multiplication
– l’axiome 11 dit que la multiplication de nombres réels est distributive
par rapport à l’addition de nombres réels
– les axiomes 1–4, 6–10 et 11 disent que l’ensemble des nombres réels forme
un corps pour l’opération d’addition et de multiplication
– l’axiome 12 dit que l’ensemble des vecteurs réels est clos sous l’opération d’addition
– l’axiome 13 dit que le produit scalaire est commutatif
– l’axiome 14 dit que le produit scalaire est distributif
par rapport à l’addition vectorielle
– le lemme 2 se montre de façon analogue au lemme 1
– le lemme 3 dit que la constante individuelle 0 désigne un anihilateur à gauche
pour l’opération de multiplication
– le lemme 4 se montre par induction3
2
3
16.1
16.2
16.3
16.4
16.5
16.6
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16.8
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16.10
16.11
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16.15
16.16
16.17
17
x∈R
y∈R
z ∈ R \ {0}
x=y
z·x = z·x
z·x = z·y
hyp
hyp
hyp
hyp
théor
16.4, 16.5
z·x = z·y
∃(z −1 ∈ R \ {0})(z·z −1 = 1)
z −1 ∈ R \ {0} ∧ z·z −1 = 1
x = x·1
x = x·(z·z −1 )
x = (x·z)·z −1
x = (z·x)·z −1
x = (z·y)·z −1
x = (y·z)·z −1
x = y·(z·z −1 )
x = y·1
x=y
x=y
x = y ⇔ z·x = z·y
z ∈ R \ {0} ⇒ x = y ⇔ z·x = z·y
∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y)
y ∈ R ⇒ ∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y)
∀(y ∈ R)∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y)
x ∈ R ⇒ ∀(y ∈ R)∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y)
∀(x ∈ R)∀(y ∈ R)∀(z ∈ R \ {0})(x = y ⇔ z·x = z·y)
au même titre qu’une variable primée x!
sujet pas abordé dans ce cours
3
EPFL
4
hyp
16.3, 10
hyp
9
16.9
7
8
16.7
8
7
16.9
9
Simon Kramer
Logique élémentaire
EPFL
Lemme (3)
18.1
18.2
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
19
x∈R
0+0=0
x·0 = x·(0 + 0)
x·0 = x·0 + x·0
x·0 + 0 = x·0
x·0 + 0 = x·0 + x·0
0 = x·0
x·0 = 0
∀(x ∈ R)(x·0 = 0)
5
hyp
4
18.2
11
4
18.3, 18.4
18.5, lem 2
18.6