PHY235_Examen_Session2_2014-2015

UE#PHY#235##2014-2015# # # # # # ###########Université#J.#Fourier#
EXAMEN&DE&DEUXIEME&SESSION&D’&ELECTROMAGNETISME&&
Durée&:&3h.&Documents&non&autorisés,&calculatrice&autorisée,&portable&non&autorisé.#
Les$quatre$exercices$sont$indépendants.#
#
#
Premier&exercice&:&charges&ponctuelles&(3&pts&environ)&
&
&
Deuxième&exercice:&&distribution&de&charges&(5&pts&environ):&
&
&
&
Troisième&exercice:&(5&pts&environ):#
#
Exercices d’entraînement
1. Au sommet d’un carré ABCD de coté a,sontplacéesleschargessuivantes:
A=2e;B=8e;C=2e;D=4e
Calculer le champ électrique , le potentiel et la force électrostatique en O,centreducarréainsiqu’enE,
milieu de AB
2. Une particule ↵(un noyau d’Hélium) passe rapidement à travers le centre d’une molécule d’hydrogène H2
en se déplaçant le long d’une droite perpendiculaire à l’axe internucléaire (la droite passant par les deux
noyaux d’hydrogène de la molécule). On notera bla distance entre les noyaux. A quel point de son trajet
la particule ↵subit la plus grande force ? On considèrera que les noyaux s’hydrogène ne bougent pas
durant le passage de la particule ↵(Cette hypothèse est valide car la vitesse de la particule ↵est grande
devant celle des noyaux d’hydrogène). On négligera ici le champ électrique produit par les électrons dans
la molécule (ce qui n’est pas une très bonne aproximation : pour H2la concentration des charges négatives
au centre de la molécule est significative)
3. Trois particules identiques, de même charge q<0sont placées aux points de coordonnées :
A1(0,a); A2(0,a); A3(ap3,0)
3.1. Montrer que le long de l’axe y=0,lechampélectriqueestdelaforme:E=E(x)~ux.
3.2. En posant ⇠=x/a,E0=q/4⇡✏0a2et e=E/E0représenter les variations de la fonction e(⇠)en
mettant notamment en évidences deux zéros ⇠1et ⇠2dont on précisera les valeurs numériques.
3.3. A l’aide des résultats précédents ainsi que d’arguments qualitatifs relatifs aux régions éloignées des
charges ou proches de l’une d’entre elles, tracer l’allure des lignes de champs et des équipotentielles
de la distribution étudiée.
4
!
3.1. Calculer le champ électrique ! E(z)résultant en tout point z>0de son axe z0Oz.
3.2. Traitez de même le cas z<0.Discutezlecomportementde! E(z)lorsqu’on traverse le disque chargé.
3.3. Que devient ! E(z)lorsque R!1?
4. Soit un cylindre infini de rayon Runiformément chargé en volume. Après une analyse des symétries du
système, calculez le champ et le potentiel électrostatique dans tout l’espace. On donne en coordonnées
cylindriques
div! E=1
⇢
@(⇢E⇢)
@⇢ +1 ⇢
@(E✓sin ✓)
@✓ +@Ez @z
.
5. Une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme ⇢,estrépartieentredeuxsphères
concentriques de centre Oet de rayons R1et R2,avecR1<R
2.
!
5.1. Etudiez les symétries de la distribution de charges et déduisez-en les propriétés du champ électro-
statique.
5.2. Calculer le champ et le potentiel électriques en tout point, à l’aide du théorème de Gauss.
5.3. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs en fonction de la distance à O .
5.4. Calculez le champ à partir de la forme locale du théorème de Gauss.
9
!
3.1. Calculer le champ électrique ! E(z)résultant en tout point z>0de son axe z0Oz.
3.2. Traitez de même le cas z<0.Discutezlecomportementde! E(z)lorsqu’on traverse le disque chargé.
3.3. Que devient ! E(z)lorsque R!1?
4. Soit un cylindre infini de rayon Runiformément chargé en volume. Après une analyse des symétries du
système, calculez le champ et le potentiel électrostatique dans tout l’espace. On donne en coordonnées
cylindriques
div! E=1
⇢
@(⇢E⇢)
@⇢ +1 ⇢
@(E✓sin ✓)
@✓ +@Ez @z
.
5. Une distribution de charges électriques de densité volumique uniforme ⇢,estrépartieentredeuxsphères
concentriques de centre Oet de rayons R1et R2,avecR1<R
2.
!
5.1. Etudiez les symétries de la distribution de charges et déduisez-en les propriétés du champ électro-
statique.
5.2. Calculer le champ et le potentiel électriques en tout point, à l’aide du théorème de Gauss.
5.3. Représenter graphiquement les variations de ces deux grandeurs en fonction de la distance à O .
5.4. Calculez le champ à partir de la forme locale du théorème de Gauss.
9
ii. Quelle est la vitesse des particules à la fin de la centième traversée ? A.N. :V=2.105V;v0=
2,46.107ms1;mp=1,67.1027kg.
2. On considère un fil infini parcouru par un courant I1.
2.1. Calculez le champ magnétique créé par ce fil à une distance rde son axe.
2.2. On place un deuxième fil infini parcouru par un courant I2parallèlement au premier fil. Les deux
fils sont séparés par une distance d.EnnégligeantlaforcedeLaplacedechaquefilsurlui-même,
calculez la force de Laplace par unité de longueur s’exerçant sur les fils. Discutez le résultat en
fonction des sens relatifs de I1et I2.NB : Cette expérience a longtemps été utilisée afin de définir
l’Ampère, comme l’intensité I1=I2=Ipermettant de générer une force de 2.107Npour une
distance entre fils de 1m. Vérifiez que votre résultat permet de retrouver cette définition.
2.3. On remplace maintenant le deuxième fil par un circuit rectangulaire MNPQ parcouru par un courant
I2dont le plan contient le fil et dont les côtés MN et PQ lui sont parallèles. Les dimensions du
circuit sont MN =bet MQ =2a,ladroitepassantparlemilieudeMQ et NP se trouvant à une
distance edu fil.
de ce cadre qui, lui, est parcouru par un courant d’intensité I
2
, sont
bMN
=
et
aMQ 2
=
, la droite
passant par les milieux de MQ et NP se trouvant à la distance e du fil.
3.1. Calculer la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le cadre.
3.2. Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil ?
I
1
I
2
M
Q
N
P
a
a
b
e
i. En vous appuyant sur la question précédente, calculez la force de Laplace totale s’appliquant
sur les branches MN et PQ du circuit.
ii. Montrez que les forces de Laplace qui s’exercent sur les branches NP et QM sont égales et
opposées.
iii. Déduisez des deux questions précédentes la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le
cadre.
iv. Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil ?
v. Question bonus : si on voulait établir l’équation du mouvement du cadre, serait-il correct de
considérer I2comme constant ?
Exercices d’entraînement
1. Dans un repère cartésien (Oxyz)attaché à un référentiel galiléen, une particule ponctuelle de charge q
et de masse mest soumise à un champ électrostatique ~ Euniforme, de même direction et sens que Oy ,
et à un champ magnétique ~ B,égalementuniforme,demêmedirectionetsensqueOz.
1.1. La particule étant abandonnée sans vitesse initiale au point O,étudiersonmouvementennégligeant
l’action de la pesanteur.
1.2. Préciser sa trajectoire selon le signe de q.
1.3. Déterminer la vitesse maximum de cette particule.
2. Spectromètre de masse
Les spectromètres de masse sont des appareils permettant de déterminer la nature d’espèces chimiques, en
mesurant leur rapport charge/masse. Ces appareils extrémement sensibles sont capables de détecter des
espèces chimiques à l’état de traces (quelques picogrammes). Actuellement, la spectrométrie de masse est
utilisée dans des domaines aussi variés que la médecine, la biologie, la pharmacologie, l’industrie chimique,
l’industrie agroalimentaire, la pétrochimie, l’archéologie, la géologie, le nucléaire, l’électronique, la science
des matériaux et des surfaces, l’environnement, l’exploration spatiale. . .On se propose ici d’étudier un
modèle simplifié de spectromètre de masse.
Une source radioactive ponctuelle émet, suivant un axe (Ox),unfaisceaudeparticulespassantentreles
plaques horizontales d’un condensateur plan. L’action de la pesanteur est négligeable devant celle de la
force de Lorentz. En l’absence de tout champ, les particules frappent en Oun écran situé à la distance
ade la sortie du condensateur. On soumet alors le faisceau à un champ électrique uniforme et vertical
~
E,crééparlecondensateur,etàunchampmagnétique ~ B,uniforme,horizontal,perpendiculaireàl’axe
(Ox)et dirigé d’avant en arrière.
24

#
#
&
Quatrième&exercice:&(7&pts&environ):&
&
Pour&vous&guider&dans&cet&exercice&:&calculez&d’abord&le&champ&magnétique&créé&par&le&fil&
considéré&comme&infini,&puis&le&flux&du&champ&magnétique&à&travers&la&bobine,&et&déduisezA
en&la&force&électromotrice&associée&en&utilisant&la&loi&de&Faraday.&&
ii. Quelle est la vitesse des particules à la fin de la centième traversée ? A.N. :V=2.105V;v0=
2,46.107ms1;mp=1,67.1027kg.
2. On considère un fil infini parcouru par un courant I1.
2.1. Calculez le champ magnétique créé par ce fil à une distance rde son axe.
2.2. On place un deuxième fil infini parcouru par un courant I2parallèlement au premier fil. Les deux
fils sont séparés par une distance d.EnnégligeantlaforcedeLaplacedechaquefilsurlui-même,
calculez la force de Laplace par unité de longueur s’exerçant sur les fils. Discutez le résultat en
fonction des sens relatifs de I1et I2.NB : Cette expérience a longtemps été utilisée afin de définir
l’Ampère, comme l’intensité I1=I2=Ipermettant de générer une force de 2.107Npour une
distance entre fils de 1m. Vérifiez que votre résultat permet de retrouver cette définition.
2.3. On remplace maintenant le deuxième fil par un circuit rectangulaire MNPQ parcouru par un courant
I2dont le plan contient le fil et dont les côtés MN et PQ lui sont parallèles. Les dimensions du
circuit sont MN =bet MQ =2a,ladroitepassantparlemilieudeMQ et NP se trouvant à une
distance edu fil.
de ce cadre qui, lui, est parcouru par un courant d’intensité I
2
, sont
bMN
=
et
aMQ 2
=
, la droite
passant par les milieux de MQ et NP se trouvant à la distance e du fil.
3.1. Calculer la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le cadre.
3.2. Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil ?
I
1
I
2
M
Q
N
P
a
a
b
e
i. En vous appuyant sur la question précédente, calculez la force de Laplace totale s’appliquant
sur les branches MN et PQ du circuit.
ii. Montrez que les forces de Laplace qui s’exercent sur les branches NP et QM sont égales et
opposées.
iii. Déduisez des deux questions précédentes la résultante des forces de Laplace qui agissent sur le
cadre.
iv. Que se passe-t-il si ce cadre est constitué de N enroulements de fil ?
v. Question bonus : si on voulait établir l’équation du mouvement du cadre, serait-il correct de
considérer I2comme constant ?
Exercices d’entraînement
1. Dans un repère cartésien (Oxyz)attaché à un référentiel galiléen, une particule ponctuelle de charge q
et de masse mest soumise à un champ électrostatique ~ Euniforme, de même direction et sens que Oy ,
et à un champ magnétique ~ B,égalementuniforme,demêmedirectionetsensqueOz.
1.1. La particule étant abandonnée sans vitesse initiale au point O,étudiersonmouvementennégligeant
l’action de la pesanteur.
1.2. Préciser sa trajectoire selon le signe de q.
1.3. Déterminer la vitesse maximum de cette particule.
2. Spectromètre de masse
Les spectromètres de masse sont des appareils permettant de déterminer la nature d’espèces chimiques, en
mesurant leur rapport charge/masse. Ces appareils extrémement sensibles sont capables de détecter des
espèces chimiques à l’état de traces (quelques picogrammes). Actuellement, la spectrométrie de masse est
utilisée dans des domaines aussi variés que la médecine, la biologie, la pharmacologie, l’industrie chimique,
l’industrie agroalimentaire, la pétrochimie, l’archéologie, la géologie, le nucléaire, l’électronique, la science
des matériaux et des surfaces, l’environnement, l’exploration spatiale. . .On se propose ici d’étudier un
modèle simplifié de spectromètre de masse.
Une source radioactive ponctuelle émet, suivant un axe (Ox),unfaisceaudeparticulespassantentreles
plaques horizontales d’un condensateur plan. L’action de la pesanteur est négligeable devant celle de la
force de Lorentz. En l’absence de tout champ, les particules frappent en Oun écran situé à la distance
ade la sortie du condensateur. On soumet alors le faisceau à un champ électrique uniforme et vertical
~
E,crééparlecondensateur,etàunchampmagnétique ~ B,uniforme,horizontal,perpendiculaireàl’axe
(Ox)et dirigé d’avant en arrière.
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2. Une tige métallique de masse m et longueur l est suspendue horizontalement par ses extrémités à
deux ressorts verticaux identiques dont l’allongement est d. Cette tige est placée dans un champ
magnétique uniforme
B
r
, horizontal et perpendiculaire à l’axe de la tige. Lorsqu’un courant
d’intensité I circule dans la tige, elle s’élève d’une hauteur x. Déterminer le champ
B
r
.
A.N. : m = 10 g ; l = 8 cm ; d = 4 cm ; I = 20 A ; x = 1 cm.
Exercices d’entraînement
1. Dans un repère cartésien
(
)
Oxyz
attaché à un référentiel galiléen, une particule ponctuelle de
charge q et de masse m est soumise à un champ électrostatique
E
r
uniforme, de même direction et
sens que Oy , et à un champ magnétique
B
r
, également uniforme, de même direction et sens que
Oz .
1.1. La particule étant abandonnée sans vitesse au point O, étudier son mouvement en négligeant
l’action de la pesanteur.
1.2. Préciser sa trajectoire selon le signe de q.
1.3. Déterminer la vitesse maximum de cette particule.
2. Spectromètre de masse
Une source radioactive ponctuelle émet, suivant un axe (Ox), un faisceau de particules passant
entre les plaques horizontales d’un condensateur plan. L’action de la pesanteur est négligeable
devant celle de la force de Lorentz. En l’absence de tout champ, les particules frappent en O un
écran situé à la distance a de la sortie du condensateur. On soumet alors le faisceau à un champ
électrique uniforme et vertical
E
r
, créé par le condensateur, et à un champ magnétique
B
r
,
uniforme, horizontal, perpendiculaire à l’axe (Ox) et dirigé d’avant en arrière.
2.1. Les particules entrent en A dans le condensateur avec une vitesse parallèle à (Ox).
i. Quelle doit être la valeur du champ
E
r
pour que les particules ne soient pas déviées ?
ii. Que se passe-t-il si q change de signe ?
2.2. Le faisceau horizontal et monocinétique sortant en A’ du condensateur est ensuite soumis à la
seule action du champ magnétique
B
r
et vient frapper l’écran au point M tel que OM = d.
i. Montrer que les particules de même rapport q/m décrivent des trajectoires circulaires
uniformes de même rayon R. Calculer R. Quel effet a le signe de q sur la déviation ?
ii. Montrer que R = (d
2
+ a
2
) / 2d . En déduire la valeur de q/m .
2.3. A.N. : on détecte des particules pour la valeur suivante des champs et de la déviation d :
B = 0.32 T ; E = 6.4 10
6
V m
-1
; a = 50 cm ; d = 10 cm vers le haut. Identifier ces particules
sachant que e = 1.6 10
-19
C ; m
e
= 9.1 10
-31
kg pour l’électron, et m
p
≈ m
n
≈ 1830 m
e
pour le
proton et le neutron.
3. Soit un fil rectiligne de longueur infinie parcouru par un courant permanent d’intensité I
1
selon la
direction indiquée par la figure. On place à proximité de ce fil un circuit électrique rectangulaire
MNPQ dont le plan contient le fil et dont les côtés MN et PQ lui sont parallèles. Les dimensions
B
E
vAA'
x
M (d)
a
y
O
2.1. Les particules entrent en Adans le condensateur avec une vitesse parallèle à (Ox).
i. Quelle doit être la valeur du champ ~ Epour que les particules ne soient pas déviées ?
ii. Que se passe-t-il si qchange de signe ?
2.2. Le faisceau horizontal et monocinétique sortant en A0du condensateur est ensuite soumis à la seule
action du champ magnétique ~ Bet vient frapper l’écran au point Mtel que OM =d.
i. Montrer que les particules de même rapport q/m décrivent des trajectoires circulaires uniformes
de même rayon R.DéterminerR.Queleffet a le signe de qsur la déviation ?
ii. Montrer que R=(d2+a2)/2d.Endéduirelavaleurdeq/m.
2.3. A.N. : on détecte des particules pour la valeur suivante des champs et de la déviation d:B=
0,32T;E=6,4.106Vm
1;a= 50cm ;d= 10cm vers le haut.Identifier ces particules sachant que
e=1,61019C;me=9,11031kg pour l’électron, et mp⇡mn⇡1830mepour le proton et le
neutron.
25
Université Joseph Fourier Année 2014-2015
UE PHY 235 Semestre S3- L2
Test n°4
Durée : 30 min + 30 min facultatives sur volontariat
Exercice 1(30 minutes)
Induction près d’une ligne électrique ou comment éclairer à bon marché ! (d’après HPrépa élec-
tromagnétisme PC 1998)
Une ligne haute tension (considérée comme un fil infini)
transporte un courant sinusoïdal de fréquence 50 Hz et de
valeur efficace I = 1000 A : I(t)=Icos(2⇡ft).Onapproche
une bobine plate de N spires carrées de côté a = 30 cm à
une distance faible (d = 2 cm) comme indiqué sur la figure.
La bobine a une inductance et une résistance négligeable.
Ses deux bornes sont reliées à une ampoule qui s’éclaire si la
tension efficace à ses bornes est supérieure à 2V. Déterminer
le nombre de spires nécessaires.
Mots-clés pour vous guider dans la démarche scientifique :
théorème d’Ampère, fil infini, flux magnétique, loi de Fara-
day.
6
A l’instant t = 0, les deux barres étant initialement immobiles, la barre PQ est entrainée à la vitesse 
constante et
parallèle aux rails (un opérateur extérieur maintiendra la vitesse de PQ constante).
2.1. En utilisant la loi de Lenz, justifier que la barre MN va se mettre en mouvement et préciser suivant quelle direction
et quel sens).
2.2. Quelle force va permettre la mise en mouvement de la barre MN ?
2.3. La loi de Lenz permet de déterminer le sens de la force a priori. Préciser le sens de la force et en déduire le sens du
courant induit.
2.4. Équation électrique :
a) Déterminer le flux du champ magnétique à travers le circuit MPQN (on précisera l’orientation prise pour le
vecteur surface) en fonction des abscisses  et  des deux barres.
b) En déduire la force électromotrice e.
c) Faire un schéma équivalent électrique du circuit (en précisant les orientations de e et de i induits).
d) En déduire la valeur de l’intensité i du courant.
2.5. Équation mécanique :
a) Faire un bilan de toutes les forces s’exerçant sur la barre MN.
b) Écrire l’équation différentielle du mouvement de la barre MN.
c) En déduire l’évolution  de la vitesse de la barre MN et tracer le graphe .
Remarque : version condensée de l’exercice :
On pose souvent cet exercice en remplaçant l’ensemble des questions par la seule question «Déterminer l’évolution 
de la vitesse de la barre MN. »
Vous devez être capable de résoudre cet exercice sous cette forme condensée en appliquant la démarche rappelée dans les
objectifs pédagogiques et illustrée par l’ensemble des questions intermédiaires ci-dessus.
3. Induction près d’une ligne électrique ou comment éclairer à bon marché !
(d’après HPrépa électromagnétisme PC 1998)
Une ligne haute tension transporte un courant sinusoïdal de fréquence
50 Hz et de valeur efficace I = 1000 A.
On approche une bobine plate de N spires carrées de côté a = 30 cm à
une distance faible (d = 2 cm) comme indiqué sur la figure.
La bobine a une inductance et une résistance négligeable. Ses deux
bornes sont reliées à une ampoule qui s’éclaire si la tension efficace à
ses bornes est supérieure à 2V.
Déterminer le nombre de spires nécessaires.
4. Étincelle de rupture
Présentation : l’énergie magnétique n’est pas une énergie irréversiblement dissipée comme celle de l’effet Joule. Elle est restituée au
circuit si le courant diminue. Ainsi, lorsqu’on ouvre l’interrupteur d’un circuit électrique comportant un élément inductif, un « arc
électrique » (une étincelle peut se former au moment de la rupture entre les contacts de l’interrupteur.
En pratique, à l’ouverture de l’interrupteur, le courant dans le circuit tend brutalement vers 0 et la tension aux bornes de l’inductance
(
) augmente très brutalement. Il en résulte une surtension très forte entre les deux bornes de l’interrupteur. Cette surtension
provoque l’ionisation des molécules d’air entre les deux bornes, ce qui assure le passage d’un courant et se traduit par un « arc
électrique » souvent visible.
L’exercice suivant propose une modélisation simple du phénomène.
Les rupteurs des moteurs d’automobile à allumage commandé fonctionnent sur ce même principe. Un courant est appliqué dans un
circuit comportant une bobine d'allumage et est brutalement coupé par le rupteur, actionné par une came, afin de produire une forte
tension entre les électrodes de la bougie et provoquer un arc électrique (étincelle), entraînant la combustion du mélange.
Exercice :
Dans le circuit ci-contre, la résistance , très grande devant R, représente
la résistance de l’air situé entre les contacts de l’interrupteur juste après
l’ouverture de celui-ci. Le courant ayant été établi depuis très longtemps,
l’interrupteur est ouvert à l’instant t = 0.
 désigne la tension aux bornes du générateur.
Déterminer l’évolution de la tension  aux bornes de l’interrupteur et
préciser la valeur atteinte par  à l’ouverture de l’interrupteur.
source : HPrépa électromagnétisme PC 1998
i
a
a
d
Exercice 2(facultatif, 30 minutes)
1. Un condensateur diédrique est constitué de deux armatures planes A1et A2de longueur aet de largeur b,
situées à égale distance cd’un point Oet faisant chacune un angle ↵par rapport à la verticale. L’armature
A1est portée au potentiel V0tandis que l’autre est mise à la masse.
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Pour les calculs on ne s’intéressera qu’à des points situés entre les armatures et loin des bords. On
mènera donc les calculs comme si les plaques étaient de dimensions infinies. On utilisera les coordonnées
cylindriques.
1.1. De quelle unique variable le potentiel entre les armatures dépend-il ? En déduire la direction du
champ électrique ~ Eentre les armatures.
1.2. En utilisant la forme locale du théorème de Gauss, montrer que le champ électrique entre les arma-
tures ne dépend que de r.
1.3. En exploitant la relation entre le champ et le potentiel, déterminez ~ Eentre les armatures en fonction
de V0,↵et r.
1.4. Déterminez alors le potentiel Ven tout point entre les armatures.
1.5. Représentez sur un schéma les lignes de champ et les équipotentielles entre les armatures.
1.6. Déterminez les densités surfaciques de charge portées par l’une et l’autre des armatures A1et A2
ainsi que la charge totale portée par chaque armature.
1.7. En déduire la capacité du condensateur diédrique.
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