1. Produit vectoriel de vecteurs algébriques On donne les vecteurs

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle | André Ross
Nom :
Groupe :
1. Produit vectoriel de vecteurs algébriques
Pour effectuer le produit vectoriel de deux vecteurs algébriques, on
calcul le déterminant dont les éléments de la première ligne sont les
r
r r
vecteurs orthonormés i , j et k . Dont les éléments de la deuxième
ligne sont les composantes du vecteur à gauche du symbole d’opération et dont les éléments de la troisième ligne sont les composantes
du vecteur à droite du symbole d’opération.

i

j

k
 
u × v = −2 1 3
2 −2 2



= i (2 − (−6 )) − j (−4 − 6 ) + k ( 4 − 2 )



= 8 i + 10 j + 2 k
Les composantes du vecteur algébrique obtenu sont (8 ; 10 ; 2).
z
3
4
2
–2
2
r
v
2
1
r
u
2
r
w
4
y
x
z
On donne les vecteurs algébriques :
r
r
r
r
u = (–2 ; 1 ; 3) et v = (2 ; –2 ; 2). Effectuer le produit u × v .
r
r
r
Le vecteur w = u × v est perpendiculaire au plan défini par les
r
r
vecteurs u et v .
3
4
2
2
–2
r
v
x
2
1
r
u
2
4
y
Chapitre 8 | feuille d’exercices
2. Aire du parallélogramme
r
r
Calculer l’aire du parallélogramme construit sur les vecteurs u et v .
z
3
4
2
–2
2
r
v
2
1
r
u
2
r
w
4
y
x
r
r
L’aire du parallélogramme
sur les vecteurs u et v est égale
r construit
r
au module du produit u × v .
3
Le module d’un vecteur de ° est égal à la racine carrée de la somme
des carrés des composantes.
 
u × v = 8 2 + 10 2 + 2 2 = 168 ≈ 12, 96
L’aire du parallélogramme à la racine carrée de 168 qui donne environ
12,96 unités de surface.
3. Hauteur du parallélogramme
r
Calculer la hauteur de ce parallélogramme abaissée sur le vecteur v
ou son prolongement.
L’aire d’un parallélogramme est le produit de sa base par sa hauteur.
En divisant l’aire par la longueur de la base, on obtient donc la haur
teur. Dans le cas présent, la base est le module du vecteur v , soit :

v = 2 2 + (−2 )2 + 2 2 = 12
En divisant l’aire par la longueur de la base, on obtient :
 
u×v
168
h=  =
= 14
v
12

On remarque que u = 14 et l’aire du parallélogramme est exactement le produit des modules des deux vecteurs. Cela signifie que les
r r
vecteurs u et v sont perpendiculaires comme le confirme leur produit
scalaire :
r r
u • v = (-2; 1; 3) • (2; –2; 2) = 0
Le parallélogramme est donc un rectangle.