Energie

PCSI 2
Energie
ENERGIE
I Petits mouvements autour d’une position d'équilibre.
Un point matériel M de masse m est solidaire d'une rigole circulaire de centre O et de rayon a sur laquelle il peut glisser sans
frottement. MBA est un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide Lo.
L0
O
B
A
θ
g
M (m)
1) Déterminer la position d'équilibre θe de M.
2) Donner la période des petits mouvements autour de cette position d'équilibre.
Réponse : tan θo = mg/ka; m a2 d2θ/dt2 = m g a cosθ - k a2 sinθ → pulsation
g
k 2a2
(1 + 2 2 )1/ 4 .
a
m g
II Un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'une tige OM de longueur a, de
€ passant par O.
masse négligeable, mobile sans frottement autour d'un axe horizontal
Soient OA et OB les positions d'équilibre stable et instable de OM.
1) La tige est abandonnée sans vitesse, M étant très légèrement à gauche de B.
Quelle est la vitesse vA de M à son passage en A en fonction de g (accélération de la
pesanteur) et a ?
2) Au passage en A, M se détache de la tige et se met à glisser sans frottement sur une
demi - sphère de centre 0 et de rayon a.
a) Etablir l'équation différentielle du mouvement de M sous la forme :
(dθ/dt)2 = 2 ω2 ( 1 + cos θ ) en précisant la valeur de ω2 en fonction de g et
a.
b) Résoudre cette équation différentielle pour obtenir la loi du mouvement de M sur
la sphère sous la forme ω t = f(θ) en précisant l'expression de la fonction f(θ).
On rappelle les formules suivantes :
dx
x π
= Ln tan( + ) .
cos 2 x = 2 cos 2x - 1
et
cos x
2 4
3) Calculer la réaction R de la sphère en M en fonction de θ.
Montrer qu'en un certain point C, M quitte la sphère. Calculer l'angle correspondant θC, la vitesse de M en C et exprimer
numériquement en fonction de To = 2π/ω la durée T qui sépare les passages en A et en C.
€
4) Décrire brièvement le mouvement ultérieur de M.
∫
Réponse : vA = 2 ga ; ω =
x π
g
; f(θ) = Ln tan( + ) ; R = m g ( 2 + 3 cos θ ); vC =
2 4
a
2ga
; T = 0,246 To.
3
III L'objet
€ de ce problème consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation (changement du
€
€
€ de la position d'équilibre stable, ...).
nombre de positions d'équilibre,
On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide lo
et de constante de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (figure 1). On repère la position de la
masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine O est située sur la même verticale que le
point d'attache R fixe du ressort.
2016 – 2017
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PCSI 2
Energie
La tige se trouve à une distance l du point R : OR = l.
k
On posera ωo =
.
m
y
€
R
g
Figure 1
M
O
x
m
A. Positions d'équilibre
1) Initialement le point matériel M se trouve en O et OR = lo. Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de
positions d'équilibre et la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point R (c'est-à-dire l < lo) ou qu'on éloigne la tige
du point R (l > lo).
2) On considère maintenant OR = l (quelconque). Déterminer l'énergie potentielle élastique Ep(x) en fonction de k, lo, l et x. On
prendra Ep(0) = 0.
3) Expliquer dans le cas général où l'énergie potentielle Ep d'un point matériel de masse m ne dépend que d'un seul paramètre (dans
ce problème, il s'agit de x), quelles sont les conditions sur Ep en un point d'équilibre stable. On dessinera l'allure de Ep(x) pour un
équilibre stable et un équilibre instable.
4) Déterminer en utilisant les questions 2 et 3, les positions d'équilibre xe de la masse m en distinguant les cas l > lo et l < lo. Dans
chaque cas, préciser si la position d'équilibre est stable ou non.
5) Tracer, sur un même graphe, xe en fonction de la distance OR = l. On précisera sur le graphe la nature de l'équilibre (stabilité ou
instabilité). Pouvez-vous justifier alors le nom donné à la bifurcation (existant en l = lo) : bifurcation fourche.
B. Pulsation autour d'une position d'équilibre stable
On cherche maintenant à déterminer les pulsations des oscillations autour des positions d'équilibre stable.
1) En écrivant le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel de masse m, montrer que la pulsation s'exprime
sous la forme générale :
2
1 d Ep
ω2 =
(
)(x=xe )
m dx 2
On pourra écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le cas général où la force dérive d'une énergie potentielle Ep en
développant celle-ci à l'ordre 2 en ε = x - xe au voisinage proche de la position x = xe d'équilibre.
2) Pour le système étudié, exprimer maintenant ω2€
en fonction de k, m, l et lo. On distinguera les cas l > lo et l < lo.
2
3) Tracer ω en fonction de l.
4) Montrer qu'au voisinage de l = lo, on peut écrire la pulsation sous la forme :
l > lo : ω = a ( l - lo )α
l < lo : ω = b (lo - l )α'
Déterminer les exposants, dits critiques, α et α' ainsi que les coefficients a et b.
5) On s'intéresse au cas limite où l = lo. On lâche la masse m sans vitesse initiale, écartée d'une distance x(0) = xo.
a) Montrer graphiquement que le mouvement est périodique.
b) Par une méthode énergétique, exprimer la vitesse de la masse en fonction de x, xo, k, m et lo.
1
c) Exprimer la période des oscillations en fonction de ωo, xo, lo et de l'intégrale I =
∫
0
du
1− u 4
dans l'hypothèse où xo est très
petit devant lo.
d) Peut-on dire que cet oscillateur est harmonique ?
C. Discussion
2016 – 2017
€
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1) Le point matériel M est également relié à un autre ressort identique au premier, fixé lui aussi sur l'axe Oy à une distance l de la
tige mais symétriquement à R par rapport à l'axe Ox. Qu'est-ce qui change par rapport à l'étude précédente ?
2) M n'est attaché qu'à un seul ressort, mais la tige Ox n'est pas tout à fait horizontale : elle est inclinée d'un petit angle θ. Y-a-t'il un
terme nouveau dans l'énergie potentielle ? Dessiner l'allure de Ep(x) pour l < lo dans ce cas. Quelle est la conséquence principale
sur les positions d'équilibre ?
1
k ( x2 - 2 lo x 2 + l 2 + 2 l lo ); xe = 0 existe toujours et stable si l > lo; xe = ±
2
k
l2
2
k
l
ω
ω2 =
et α' = 1/2;
(1− 0 ) si l > lo; ω2 = (1− ) si l < lo; a = 0 et α = 1/2; b = ωo
m
l0 2
lo
m
l
l0
€
€
8l0 I
k€
2
2
2
v=
[ ( (l0 + x 0 - lo )2 - ( (l0 + x 2 - lo )2 ]1/2; T =
.
ω0 x0
m
€
€
€
€
Réponse : Ep(x) =
€
(l0 2 − l 2 si l < lo et stable;
IV€Rupture du fil d’un€pendule
€
Un pendule simple – masse m, fil de longueur L, inextensible
et de masse négligeable – est suspendu en un point fixe O et lâché sans
vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu.
Lorsque le fil a balayé un angle α > π/2, un dispositif convenable le décroche.
Déterminer la distance verticale h entre le point O et le sommet de la trajectoire décrite ensuite par la masse m.
Réponse : h = L sin3α.
V Chute d’un flocon de neige
Le repère d’étude est galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et on prendra g = 10m. s−2 .
On s’intéresse à la chute dans l’air d’un flocon de neige, supposé sphérique, de rayon R = 0,5mm et de masse volumique µ , dans l’air.
La viscosité de l’air est η , sa masse volumique µ a . On suppose ces grandeurs constantes. Du fait de la viscosité de l’air, le flocon est
soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse v : 6π ηRv (formule de Stockes). On peut considérer, qu’une fois formé
€
dans le nuage, le flocon commence son mouvement de chute sans vitesse initiale.
€
€
1) Dresser €
le bilan des forces qui s’exercent sur le flocon. Exprimer la résultante des forces en fonction de η , µ , µ a , R , g et v .
€
dv
€ €différentielle suivante :
2) Montrer que la vitesse du flocon obéit à l’équation
+ α v = β . Expliciter les constantes α et β .
dt
−1
3) En déduire la vitesse limite, v∞ , acquise par ce flocon lors de sa chute. AN : µ = 100 g.L
€ € −1€et η = 20 µPl .
€ ,€ µ€
a = 1,3g.L
Calculer cette vitesse limite.
€ €
4) Montrer que la puissance développée par la force de Stockes est :€P = 6π ηRv 2 .
En supposant que le flocon
acquiert instantanément sa vitesse limite, exprimer l’énergie thermique, notée€Q , dissipée par les
€
€
€
frottements en fonction des données et de la durée de la chute τ . Calculer Q si τ = 1000 s .
5) Il faut approximativement 15 mJ pour liquéfier un flocon de cette taille. Comparer cette valeur à Q . Conclusion ?
€
€
⎛ µa ⎞
9η
€
€
€
Réponse : α =
;
;
.
v
=
β
/
α
β
=
1
−
g
⎜
⎟
∞
µ ⎠
2 µR 2 € ⎝
€
€
VI Navire à moteur
€ navire de €
Un
masse m = 10 000 tonnes file en ligne droite à la vitesse vo = 15 nœuds.
La force de résistance exercée par l’eau sur la coque du bateau est du type F = k v2 où k est une constante et v la vitesse du bateau.
Un nœud correspond à 1 mille nautique par heure et le nautique est égal à 1852 m.
On se place dans un référentiel lié au port qui sera supposé galiléen.
1) Calculer la constante k sachant que le moteur fournit une puissance de 5 MW à la vitesse vo.
2) Le navire stoppe ses machines à la distance X au large de la passe d’entrée d’un port.
Déterminer l’expression de la vitesse du navire en fonction du temps t. On posera τ = m/k.
3) En déduire la distance X parcourue par le navire en fonction de τ, vo et vP, la vitesse au niveau de la passe.
Calculer cette distance si on désire atteindre la passe à la vitesse de 2 nœuds.
4) Déterminer le temps θ mis pour atteindre la passe.
5) Déterminer la vitesse vQ à l’arrivée à quai, un demi mille au-delà de la passe d’entrée. On la calculera en nœuds puis en m.s-1.
6) Quelle est la solution d’urgence pour arrêter le bateau ?
2016 – 2017
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PCSI 2
Energie
Réponse : k = 10881 USI ; v(t) =
⎛ 1
1 ⎞ τ X /τ
v oτ
v
− ⎟=
e
−1 ; vQ = 0,73 nœud.
; X = τLn o ; θ = τ ⎜
τ + v ot
vP
⎝ vP vo ⎠ vo
(
)
VII Etude d’un lance-pierres
€
€ d’une force €
1) Définir l’énergie
potentielle
; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie
potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k.
2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des
ressorts de longueur à vide L0 et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer
un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on
allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L0, puis on lâche (voir figures cicontre : perspective et vue de dessus).
On précise que AB = L0 et on néglige l’épaisseur de P.
a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le
projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique.
b) Déterminer en fonction de k et L0 la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques
selon la description ; faire l’application numérique.
c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v0 ; son
projectile subit une force de frottement fluide : F = −α v .
Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse.
En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée.
Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m.
€
Réponse : v o = Lo
!
! ! !
!
!
! mg
2k
m
mv o
; F = 2kLo cos θ ; v = ( v o − v∞ )e−t / τ + v∞ avec τ =
et v∞ = τg =
; portée x∞ = τv o =
.
m
α
α
α
VIII Tunnel terrestre
€
€
€
€
€
1) Question préliminaire
On considère un point M de masse m situé à l’intérieur de la Terre, à la
distance r de son centre O.
On peut montrer que l’attraction terrestre se traduit par une force agissant
!
r !
sur ce point de valeur : F = −mg 0 u r .
R
g0 = 10 m.s-2 est l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre, R =
! OM OM
6,4.106 m est le rayon de la Terre, r = OM et u r =
est le
=
OM
r
€
vecteur unitaire radial.
mg 0 r 2
Montrer que cette force dérive de l’énergie potentielle E p (r) =
si
2R
€
l’on prend Ep(r = 0) = 0 au centre de la Terre.
€
M (m)
H
A
B
x
d
O
2) On considère un tunnel rectiligne AB, d’axe Ox, ne passant pas par O et
€ du tunnel au centre de la
traversant la Terre. On note d la distance OH
Terre.
Compte tenu de son faible diamètre devant le rayon terrestre, on néglige
l’influence de la masse de terre excavée sur le champ gravitationnel.
Un véhicule, assimilé à un point matériel M (masse m), glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du point A de la
surface terrestre, sans vitesse initiale.
Quelle est la vitesse maximale vm atteinte par le véhicule au cours de son mouvement ? Calculer vm avec d = 5,0.106 m.
Exprimer x = HM en fonction du temps par une méthode énergétique. Retrouver l’expression de vm.
3) Représenter et commenter le profil d’énergie potentielle, graphe de Ep(x). Décrire le mouvement du point M à partir de sa
position initiale en A.
€
⎛
d2 ⎞
g
Réponse : v m = g 0 ⎜ R −
⎟ ; ˙x˙ + 0 x = 0 .
R⎠
R
⎝
€ – 2017
2016
€
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PCSI 2
Energie
IX Etude d'un toboggan aquatique
Une personne de masse m considérée comme un point matériel M, se laisse glisser sans vitesse initiale sur un toboggan de forme
hélicoïdale d'axe vertical Oz, de rayon R et de pas p constant (valeur absolue de la variation d'altitude pour un tour). La personne glisse
sur le toboggan avant de tomber en chute libre dans un bassin.
Le départ A et l'arrivée B du toboggan se situent dans le même plan vertical passant par l'axe de l'hélice, respectivement à une hauteur
ho et h1 au-dessus de l'eau. Un filet d'eau parcourt le toboggan, ce qui permet de négliger dans une première approximation les forces
de frottement.
Données : R = 5,0 m; g = 9,8 m.s-2; m = 50,0 kg; h1 = 0,3 m.
1- Etude de la trajectoire sur le toboggan
On définit la trajectoire sur le toboggan en utilisant les coordonnées cylindriques d'axe Oz.
r = R et
1.1
z = - p.θ/2π
avec p pas de l'hélice
! ! !
1.1.1 Exprimer la vitesse de la personne en coordonnées cylindriques ( u r , uθ , u z ) en fonction de R, p et
1.1.2 En déduire la norme de la vitesse v en fonction de
1.2
.
et λ avec λ = p/2πR.
€
1.2.1 A l'aide d'une étude énergétique du mouvement, établir l'expression de
2016 – 2017
en fonction de g et λ :
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PCSI 2
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(Cette équation pourra être utilisée dans la suite même sans avoir été établie)
1.2.2 En déduire la loi du mouvement z(t).
1.3 En utilisant les expressions de v et
, déterminer l'angle α entre la direction du vecteur vitesse et le plan horizontal. Cet angle
correspond à l'inclinaison de l'hélice, angle entre la tangente à l'hélice et le plan horizontal.
1.4 On souhaite que le parcours sur le toboggan ait une durée t1 = 10 s.
1.4.1 Etablir l'expression de n, nombre de tours de toboggan, en fonction de g, t1, λ et R.
1.4.2 Montrer en étudiant la fonction n(λ) que n passe par une valeur maximale.
1.4.3 Calculer dans ce cas les valeurs des paramètres p et n.
1.4.4 Quelles sont alors les valeurs de la hauteur et de l'inclinaison α de l'hélice ?
1.5 La hauteur du toboggan déterminée à la question précédente est trop importante. On réalise un toboggan de hauteur h' = 10 m
constitué de 2,5 tours.
1.5.1 Calculer le temps de parcours t'1 du toboggan.
1.5.2 Calculer vB (norme de la vitesse en B).
1.5.3 Calculer α', l'inclinaison de cette hélice.
En réalité, malgré le filet d'eau, la personne subit des forces de frottement et sa vitesse à la sortie du toboggan est vB = 8 m.s-1. Cette
valeur sera adoptée pour la suite du problème. Le temps de parcours de l'hélice est alors t"1 = 14,5 s.
2- Mouvement de chute libre dans l'air.
Après son passage en B la personne a un mouvement de chute libre dans l'air pour lequel on négligera les frottements.
2.1 Etablir l'équation cartésienne de sa trajectoire dans l'air dans le repère (O'x'z').
En donner une représentation schématique en représentant le vecteur .
2.2
2.2.1 Déterminer les coordonnées du point C dans le repère (O'x'z'), correspondant au point de chute de la personne dans l'eau.
2.2.2 Calculer la durée t2 du parcours entre B et C.
2.3 Déterminer vC, norme de la vitesse en C, et l'angle θC, angle entre la
direction de la vitesse
et l'horizontale.
3- Mouvement dans l'eau
La personne entre dans l'eau en C et en ressort en D. On suppose qu'elle ne
nage pas; elle est soumise à une force de frottement visqueux exercée par
l'eau :
= - k , avec k = 250 kg.s-1.
3.1 Faire le bilan des forces exercées sur le nageur et donner l'expression
de chacune d'elles.
3.2
3.2.1 Etablir l'équation différentielle vectorielle de la vitesse
humain par rapport à l'eau.
3.2.2 Etablir par intégration l'expression de
.
En déduire l'existence d'une vitesse limite
Donner son expression vectorielle.
en utilisant les grandeurs g, k, m et dh, densité du corps
3.3
3.3.1 Etablir l'expression de x'(t). Montrer que x'(t) tend vers une valeur limite notée x'lim à déterminer.
Application numérique : calculer x'lim avec dh = 0,9.
3.3.2 Donner une allure schématique de la trajectoire, d'une part avec frottement et d'autre part sans frottement.
4- Caractéristiques de l'installation
2016 – 2017
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€
PCSI 2
Energie
4.1 En considérant cette valeur x'lim comme distance maximale à laquelle le plongeur ressortira, en déduire la longueur L du
bassin, sachant que pour des raisons de sécurité la personne doit sortir de l'eau à une distance S d'au moins 1 m du bord du bassin,
l'autre bord du bassin étant à la verticale de l'extrémité B du toboggan. On prendra pour L la valeur entière exprimée en mètres,
immédiatement supérieure à la valeur ainsi déterminée.
4.2 Une barrière est placée au départ du toboggan, elle s'ouvre à intervalles réguliers toutes les T secondes, permettant à chaque
ouverture le départ d'une personne. Evaluer la valeur de T sachant que pour des raisons de sécurité on impose un délai de Δt = 10 s
entre la sortie de l'eau d'une personne et le départ de la suivante. On admettra que la durée du parcours dans l'eau est t3 = 2,8 s.
!
!
−λ2
λgt12
2 πR !
2
gt
+
h
Réponse : v = −
; tan α = λ : n =
maximum pour λ = 1 ;
z˙uθ + z˙u z ; v = z˙ 1+1/ λ2 ; z(t) =
p
2 1+ λ2
4 πR 1+ λ2
(
)
(
)
−gx' 2
− tan α ' x' +h1 ;
p = 31,4 m ; n = 7,8 tours ; hauteur 245 m ; α = 45° ; t’1 = 11,3 s ; vB = 14 m.s-1 ; α’ = 7,26° ; z' = 2
2v B cos 2 α '
€
€
! k !
! ! m
!
m
-1
x'C = 1,31m ; t2 = 0,17 s ; VC = 8,36 m.s€
; θC = 18,3° ; v˙ + v = (1 − 1 / d h ) g€; v l = (1 − 1 / d h ) g ; x' lim = x'C + vC cos θ C = 2, 9m
m
k
k
;
€
L = 4 m ; T = 27,5 s.
€
€
€
X Rembobinage d'un fil sur un tambour
Un fil inextensible et sans masse de longueur L est raccordé tangentiellement à
une bobine circulaire plate de rayon R centrée en O ; à son extrémité libre est
accroché un point matériel M de masse m.
On tend le fil et on lance M dans le plan de la bobine, perpendiculairement au fil,
avec une vitesse de norme vo et dans le sens correspondant à l'enroulement. On
note Io le point d'attache du fil sur la bobine.
On négligera le champ de pesanteur dans tout le problème.
1) On note I, le point de contact du fil avec la bobine. I est repéré par l'angle θ = (Io O I).
Expliciter le vecteur position
dans la base polaire liée à I (voir figure).
On introduira l'angle α tel que L = Rα.
•
En déduire la vitesse : v(M ) = −R(α − θ ) θ er puis l'accélération du point M.
2) En utilisant la relation fondamentale de la dynamique, montrer que la vitesse de
M durant le mouvement, jusqu'à ce qu'il arrive au contact avec la bobine, reste de
norme constante, de valeur vo.
€
3) Retrouver ce résultat par application du théorème de l'énergie cinétique.
4) Déterminer la durée τ du rembobinage complet.
5) Exprimer la tension du fil à chaque instant en fonction de m, vo, L, la durée τ du
rembobinage complet et l'instant t considéré. Vérifier que la tension du fil ne
s'annule pas au cours du mouvement.
6) Etudier l'évolution de la vitesse angulaire du point M.
!
!
L2
!
!
!
mv 02
d ˙
Réponse : OM = Re r + R(α − θ )eθ ; γ = −R
; T=
;
θ (α − θ ) er − Rθ˙ 2 (α − θ )eθ ; τ =
2Rv 0
dt
L 1− t /τ
L
1
θ˙ =
→ ∞.
Rτ 1 − t /τ
€
€
€
€
[
]
XI Etude de quelques propriétés d’une corde de montagne
Lors d'une escalade, un grimpeur s'assure en passant sa corde dans des anneaux métalliques fixés au rocher. La corde peut coulisser
librement dans ces anneaux. Le facteur de chute f est défini comme le rapport de la hauteur de chute tant que la corde n'est pas tendue
sur la longueur L de corde utilisée. Si au moment de la chute la corde est tendue, ce facteur de chute vaut f = 2 l / L (figures 1 et 2) où l
est la distance du grimpeur au dernier anneau. Dans des conditions normales d'utilisation f est compris entre 0 et 2.
Pour les applications numériques, le poids P du grimpeur sera pris égal à 8,0.102 N.
2016 – 2017
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PCSI 2
Energie
Le maillon fragile dans la chaîne d'assurance d'un grimpeur n'est pas la corde (qui peut résister à des forces de plus de 18 kN), ni les
points où la corde est attachée au rocher (résistance de l'ordre de 20 kN) mais le grimpeur (une force de 12 kN exercée sur le bassin
provoque sa rupture) ! Les cordes utilisées en escalade, dites « cordes dynamiques », sont élastiques de façon à diminuer la force qui
s'exerce sur le grimpeur lors de sa chute.
Nous assimilerons une corde de montagne, dont la longueur utilisée est L, à un ressort de longueur à vide L et de raideur k =
α, élasticité de la corde, est une grandeur caractéristique du matériau la constituant.
1
.
αL
1) On définit l'axe vertical (Ox), orienté vers le bas, et l'on repère la position de la masse m par l'allongement x de la corde, à partir
€
de la position pour laquelle la corde commence à se tendre.
a) Donner sans justification l'expression de l'énergie potentielle élastique Ep(él) de la corde.
b) Etablir que le poids du grimpeur dérive d'une énergie potentielle de pesanteur d'expression Ep(pes) = -mgx.
2016 – 2017
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PCSI 2
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2) Soit un ressort vertical de raideur k et de longueur à vide L auquel est suspendue une masse m, de poids P = mg (g désignant le
module du champ de pesanteur). À l'instant t = 0, le ressort est non tendu, de longueur égale à sa longueur à vide, et la masse m a
une vitesse verticale, dirigée vers le bas, de module vo. En écrivant la conservation de l’énergie mécanique, déterminez l'élongation
maximale du ressort xmax (mesurée à partir de la longueur à vide) et la force maximale Fmax qu’il exerce sur la masse m.
3) Calculer la vitesse maximale atteinte par le grimpeur pour une chute d’une hauteur h, en fonction de l’accélération de la
pesanteur g et de la hauteur h.
⎛
⎞
k ⎜⎝
mg ⎟⎠
2
En utilisant le résultat de la question 2) soit x max = mg ⎜1+ 1+ kv o ⎟ , établissez l’expression de la force maximale
2
⎛
2 f ⎞ exercée par la corde lors d'une chute de facteur f en fonction des données de l'énoncé.
Fmax = P.⎜⎜1+ 1+
⎟
α .P ⎟⎠
⎝
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Que remarquez-vous ?
Cette force dépend-elle de la hauteur de chute ?
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4) Le corps humain peut résister à une force de l'ordre de 12 kN pendant un temps bref.
a) Une corde d'escalade est prévue pour que la force maximale exercée sur l'alpiniste soit de 9,0 kN dans les conditions les plus
défavorables (f = 2,0).
i) Calculez l'élasticité α de cette corde (préciser les unités de α).
ii) Calculez l'élongation maximale de cette corde et la force maximale pour L = 10 m, f = 1,0.
iii) Qu'en est-il pour la figure 3 où la hauteur de chute est de 5,0 m et la longueur de la longe (corde à laquelle est accroché
le grimpeur reliée à un anneau coulissant sur un câble fixé le long de l’échelle, situation rencontrée en via ferrata) est de 1,0
m?
b) L'étude précédente ne tient pas compte des phénomènes dissipatifs se produisant dans la corde et dans le système d’assurage
auquel elle est reliée. L'élongation de la corde est en fait inférieure à celle calculée avec le modèle choisi. La corde ne se
comporte pas comme un ressort fixe.
Lors d’une chute, la corde subit dans un premier temps un allongement xo l’amenant en tension à une valeur Fo donnée, puis le
second grimpeur assurant la sécurité de son premier de cordée laisse filer la corde sur une longueur ∆x dans un dispositif
mécanique permettant un freinage. Supposons que pendant toute la durée du freinage par ce dispositif, la corde reste allongée de
façon à maintenir à Fo la force qu'elle exerce sur le grimpeur.
On considère le cas d’un assurage souple, amenant une valeur de tension Fo = 3,0 kN. La longueur de corde mise en jeu est L =
10 m, la hauteur de chute étant h = 2 l = 3,0 m.
Quelle sera l’élongation xo ? En écrivant le théorème de l’énergie mécanique (ou le théorème de l’énergie cinétique), calculez la
distance de défilement ∆x.
c) On considère cette fois le cas d’une chute en via ferrata (figure 3) soit pour L = 1,0 m et f = 5,0. Dans ces conditions, le
grimpeur progresse seul, assuré par une longe de faible longueur L = 1,0 m, reliée à un dispositif absorbeur de choc limitant la
force de tension de la corde à F’o = 9,0 kN. Quelle devra être alors l’énergie ∆E absorbée par ce dispositif ?
d) Une corde utilisée en spéléologie est dite statique car son élasticité α est faible (environ 5,0.10-6 SI). En revenant au modèle
d'une corde parfaitement élastique, à partir de quel facteur de chute, y a-t-il danger de mort avec une telle corde ?
Réponse : a = 4,8.10-5 N-1 ; xmax = 3,2 m ; Fmax = 6,6 kN ; Fmax = 14 kN ; xo = 1,4 m ; Δx = 0,6 m ; ΔE = 2,4.103 J ; f = 0,39.
2016 – 2017
9/9