Energie

PCSI 2 Energie
2016 – 2017 1/9
ENERGIE
I Petits mouvements autour d’une position d'équilibre.
Un point matériel M de masse m est solidaire d'une rigole circulaire de centre O et de rayon a sur laquelle il peut glisser sans
frottement. MBA est un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide Lo.
1) Déterminer la position d'équilibre θe de M.
2) Donner la période des petits mouvements autour de cette position d'équilibre.
Réponse : tan θo = mg/ka; m a2 d2θ/dt2 = m g a cosθ - k a2 sinθ → pulsation
€
g
a(1 + k2a2
m2g2)1/ 4
.
II Un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'une tige OM de longueur a, de
masse négligeable, mobile sans frottement autour d'un axe horizontal passant par O.
Soient OA et OB les positions d'équilibre stable et instable de OM.
1) La tige est abandonnée sans vitesse, M étant très légèrement à gauche de B.
Quelle est la vitesse vA de M à son passage en A en fonction de g (accélération de la
pesanteur) et a ?
2) Au passage en A, M se détache de la tige et se met à glisser sans frottement sur une
demi - sphère de centre 0 et de rayon a.
a) Etablir l'équation différentielle du mouvement de M sous la forme :
(dθ/dt)2 = 2 ω2 ( 1 + cos θ ) en précisant la valeur de ω2 en fonction de g et
a.
b) Résoudre cette équation différentielle pour obtenir la loi du mouvement de M sur
la sphère sous la forme ω t = f(θ) en précisant l'expression de la fonction f(θ).
On rappelle les formules suivantes :
cos 2 x = 2 cos 2x - 1 et
€
dx
cos x
∫=Ln tan( x
2+
π
4)
.
3) Calculer la réaction R de la sphère en M en fonction de θ.
Montrer qu'en un certain point C, M quitte la sphère. Calculer l'angle correspondant θC, la vitesse de M en C et exprimer
numériquement en fonction de To = 2π/ω la durée T qui sépare les passages en A et en C.
4) Décrire brièvement le mouvement ultérieur de M.
Réponse : vA = 2
€
ga
; ω =
€
g
a
; f(θ) =
€
Ln tan( x
2+
π
4)
; R = m g ( 2 + 3 cos θ ); vC =
€
2ga
3
; T = 0,246 To.
III L'objet de ce problème consiste à étudier les oscillations d'un système mécanique au voisinage d'une bifurcation (changement du
nombre de positions d'équilibre, de la position d'équilibre stable, ...).
On s'intéresse au système mécanique suivant : un point matériel M de masse m est fixé à l'extrémité d'un ressort de longueur à vide lo
et de constante de raideur k. La masse peut coulisser sans frottement horizontalement sur une tige (figure 1). On repère la position de la
masse m sur cette tige par l'abscisse x dont l'axe est confondu avec la tige, et dont l'origine O est située sur la même verticale que le
point d'attache R fixe du ressort.
A
θ
g
M (m)
L0
O
B

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2016 – 2017 2/9
La tige se trouve à une distance l du point R : OR = l.
On posera ωo =
€
k
m
.
A. Positions d'équilibre
1) Initialement le point matériel M se trouve en O et OR = lo. Décrire qualitativement (aucun calcul n'est demandé) le nombre de
positions d'équilibre et la stabilité de celles-ci suivant qu'on rapproche la tige du point R (c'est-à-dire l < lo) ou qu'on éloigne la tige
du point R (l > lo).
2) On considère maintenant OR = l (quelconque). Déterminer l'énergie potentielle élastique Ep(x) en fonction de k, lo, l et x. On
prendra Ep(0) = 0.
3) Expliquer dans le cas général où l'énergie potentielle Ep d'un point matériel de masse m ne dépend que d'un seul paramètre (dans
ce problème, il s'agit de x), quelles sont les conditions sur Ep en un point d'équilibre stable. On dessinera l'allure de Ep(x) pour un
équilibre stable et un équilibre instable.
4) Déterminer en utilisant les questions 2 et 3, les positions d'équilibre xe de la masse m en distinguant les cas l > lo et l < lo. Dans
chaque cas, préciser si la position d'équilibre est stable ou non.
5) Tracer, sur un même graphe, xe en fonction de la distance OR = l. On précisera sur le graphe la nature de l'équilibre (stabilité ou
instabilité). Pouvez-vous justifier alors le nom donné à la bifurcation (existant en l = lo) : bifurcation fourche.
B. Pulsation autour d'une position d'équilibre stable
On cherche maintenant à déterminer les pulsations des oscillations autour des positions d'équilibre stable.
1) En écrivant le principe fondamental de la dynamique appliqué au point matériel de masse m, montrer que la pulsation s'exprime
sous la forme générale :
ω2 =
€
1
m(d2Ep
dx2)(x=xe)
On pourra écrire la relation fondamentale de la dynamique dans le cas général où la force dérive d'une énergie potentielle Ep en
développant celle-ci à l'ordre 2 en ε = x - xe au voisinage proche de la position x = xe d'équilibre.
2) Pour le système étudié, exprimer maintenant ω2 en fonction de k, m, l et lo. On distinguera les cas l > lo et l < lo.
3) Tracer ω2 en fonction de l.
4) Montrer qu'au voisinage de l = lo, on peut écrire la pulsation sous la forme :
l > lo : ω = a ( l - lo )α
l < lo : ω = b (lo - l )α'
Déterminer les exposants, dits critiques, α et α' ainsi que les coefficients a et b.
5) On s'intéresse au cas limite où l = lo. On lâche la masse m sans vitesse initiale, écartée d'une distance x(0) = xo.
a) Montrer graphiquement que le mouvement est périodique.
b) Par une méthode énergétique, exprimer la vitesse de la masse en fonction de x, xo, k, m et lo.
c) Exprimer la période des oscillations en fonction de ωo, xo, lo et de l'intégrale I =
€
du
1−u4
0
1
∫
dans l'hypothèse où xo est très
petit devant lo.
d) Peut-on dire que cet oscillateur est harmonique ?
C. Discussion
Figure 1
O
M
m
x
y
g
R

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1) Le point matériel M est également relié à un autre ressort identique au premier, fixé lui aussi sur l'axe Oy à une distance l de la
tige mais symétriquement à R par rapport à l'axe Ox. Qu'est-ce qui change par rapport à l'étude précédente ?
2) M n'est attaché qu'à un seul ressort, mais la tige Ox n'est pas tout à fait horizontale : elle est inclinée d'un petit angle θ. Y-a-t'il un
terme nouveau dans l'énergie potentielle ? Dessiner l'allure de Ep(x) pour l < lo dans ce cas. Quelle est la conséquence principale
sur les positions d'équilibre ?
Réponse : Ep(x) =
€
1
2
k ( x2 - 2 lo
€
x2+l2
+ 2 l lo ); xe = 0 existe toujours et stable si l > lo; xe = ±
€
(l0
2−l2
si l < lo et stable;
ω2 =
€
k
m(1−l0 l)
si l > lo; ω2 =
€
k
m(1−l2 l02
)
si l < lo; a =
€
ω
0
l0
et α = 1/2; b = ωo
€
2
lo
et α' = 1/2;
v =
€
k
m
[ (
€
(l0
2+x0 2
- lo )2 - (
€
(l0
2+x2
- lo )2 ]1/2; T =
€
8l0I
ω
0x0
.
IV Rupture du fil d’un pendule
Un pendule simple – masse m, fil de longueur L, inextensible et de masse négligeable – est suspendu en un point fixe O et lâché sans
vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu.
Lorsque le fil a balayé un angle α > π/2, un dispositif convenable le décroche.
Déterminer la distance verticale h entre le point O et le sommet de la trajectoire décrite ensuite par la masse m.
Réponse : h = L sin3α.
V Chute d’un flocon de neige
Le repère d’étude est galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est supposé uniforme et on prendra
€
g=10m.s−2
.
On s’intéresse à la chute dans l’air d’un flocon de neige, supposé sphérique, de rayon
€
R=0,5mm
et de masse volumique
€
µ
, dans l’air.
La viscosité de l’air est
€
η
, sa masse volumique
€
µ
a
. On suppose ces grandeurs constantes. Du fait de la viscosité de l’air, le flocon est
soumis à une force de frottement proportionnelle à sa vitesse
€
v
:
€
6 π η Rv
(formule de Stockes). On peut considérer, qu’une fois formé
dans le nuage, le flocon commence son mouvement de chute sans vitesse initiale.
1) Dresser le bilan des forces qui s’exercent sur le flocon. Exprimer la résultante des forces en fonction de
€
η
,
€
µ
,
€
µ
a
,
€
R
,
€
g
et
€
v
.
2) Montrer que la vitesse du flocon obéit à l’équation différentielle suivante :
€
dv
dt +
α v= β
. Expliciter les constantes
€
α
et
€
β
.
3) En déduire la vitesse limite,
€
v∞
, acquise par ce flocon lors de sa chute. AN :
€
µ =100 g.L−1
,
€
µ
a=1,3g.L−1
et
€
η =20 µ Pl
.
Calculer cette vitesse limite.
4) Montrer que la puissance développée par la force de Stockes est :
€
P=6 π η Rv 2
.
En supposant que le flocon acquiert instantanément sa vitesse limite, exprimer l’énergie thermique, notée
€
Q
, dissipée par les
frottements en fonction des données et de la durée de la chute
€
τ
. Calculer
€
Q
si
€
τ =1000 s
.
5) Il faut approximativement
€
15 mJ
pour liquéfier un flocon de cette taille. Comparer cette valeur à
€
Q
. Conclusion ?
Réponse :
€
α =9
η
2 µ R2
;
€
β =1−
µ
a
µ
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
g
;
€
v∞= β / α
.
VI Navire à moteur
Un navire de masse m = 10 000 tonnes file en ligne droite à la vitesse vo = 15 nœuds.
La force de résistance exercée par l’eau sur la coque du bateau est du type F = k v2 où k est une constante et v la vitesse du bateau.
Un nœud correspond à 1 mille nautique par heure et le nautique est égal à 1852 m.
On se place dans un référentiel lié au port qui sera supposé galiléen.
1) Calculer la constante k sachant que le moteur fournit une puissance de 5 MW à la vitesse vo.
2) Le navire stoppe ses machines à la distance X au large de la passe d’entrée d’un port.
Déterminer l’expression de la vitesse du navire en fonction du temps t. On posera τ = m/k.
3) En déduire la distance X parcourue par le navire en fonction de τ, vo et vP, la vitesse au niveau de la passe.
Calculer cette distance si on désire atteindre la passe à la vitesse de 2 nœuds.
4) Déterminer le temps θ mis pour atteindre la passe.
5) Déterminer la vitesse vQ à l’arrivée à quai, un demi mille au-delà de la passe d’entrée. On la calculera en nœuds puis en m.s-1.
6) Quelle est la solution d’urgence pour arrêter le bateau ?

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2016 – 2017 4/9
Réponse : k = 10881 USI ;
€
v(t)=vo
τ
τ +vot
;
€
X= τ Ln vo
vP
;
€
θ = τ
1
vP
−1
vo
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ =
τ
vo
eX/
τ
−1
( )
; vQ = 0,73 nœud.
VII Etude d’un lance-pierres
1) Définir l’énergie potentielle d’une force ; est-ce toujours possible ? Établir l’expression de l’énergie
potentielle correspondant à l’allongement (à définir) d’un ressort ou d’un élastique de raideur k.
2) On fabrique un lance-pierres avec deux élastiques identiques. Ceux-ci se comportent comme des
ressorts de longueur à vide L0 et de raideur k, à condition que leur allongement soit positif. Pour lancer
un projectile P de masse m, on le serre dans un petit morceau de cuir fixé entre les deux élastiques qu’on
allonge symétriquement jusqu’à ce qu’ils aient une longueur L = 2L0, puis on lâche (voir figures ci-
contre : perspective et vue de dessus).
On précise que AB = L0 et on néglige l’épaisseur de P.
a) On envisage un tir horizontal : quelle est la longueur des élastiques quand ils cessent de pousser le
projectile P ? En déduire la vitesse à laquelle celui-ci est lancé ; faire l’application numérique.
b) Déterminer en fonction de k et L0 la force (quasi horizontale) à exercer pour tendre les élastiques
selon la description ; faire l’application numérique.
c) Un individu tire horizontalement depuis le bord d’une falaise avec la vitesse initiale v0 ; son
projectile subit une force de frottement fluide :
€
F=− α v
.
Déterminer et interpréter la loi d’évolution du vecteur vitesse.
En déduire la distance horizontale atteinte en supposant la falaise suffisamment élevée.
Pour les applications numériques (A.N.), on prendra : L0 = 10 cm ; m = 10 g ; k = 200 N/m.
Réponse :
€
vo=Lo
2k
m
;
€
F=2kLocos θ
;
€
!
v =! v
o−!
v
∞
( )
e−t/
τ
+! v
∞
avec
€
τ =m
α
et
€
!
v
∞=
τ
!
g =m!
g
α
; portée
€
x∞= τ vo=mvo
α
.
VIII Tunnel terrestre
1) Question préliminaire
On considère un point M de masse m situé à l’intérieur de la Terre, à la
distance r de son centre O.
On peut montrer que l’attraction terrestre se traduit par une force agissant
sur ce point de valeur :
€
!
F =−mg0
r
R
!
u
r
.
g0 = 10 m.s-2 est l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre, R =
6,4.106 m est le rayon de la Terre, r = OM et
€
!
u
r=OM
OM =OM r
est le
vecteur unitaire radial.
Montrer que cette force dérive de l’énergie potentielle
€
Ep(r)=mg0r2
2R
si
l’on prend Ep(r = 0) = 0 au centre de la Terre.
2) On considère un tunnel rectiligne AB, d’axe Ox, ne passant pas par O et
traversant la Terre. On note d la distance OH du tunnel au centre de la
Terre.
Compte tenu de son faible diamètre devant le rayon terrestre, on néglige
l’influence de la masse de terre excavée sur le champ gravitationnel.
Un véhicule, assimilé à un point matériel M (masse m), glisse sans frottement dans le tunnel. Ce véhicule part du point A de la
surface terrestre, sans vitesse initiale.
Quelle est la vitesse maximale vm atteinte par le véhicule au cours de son mouvement ? Calculer vm avec d = 5,0.106 m.
Exprimer
€
x=HM
en fonction du temps par une méthode énergétique. Retrouver l’expression de vm.
3) Représenter et commenter le profil d’énergie potentielle, graphe de Ep(x). Décrire le mouvement du point M à partir de sa
position initiale en A.
Réponse :
€
vm=g0R−d2
R
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
;
€
˙ ˙
x +g0
Rx=0
.
H
M (m)
d
O
B
A
x

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2016 – 2017 5/9
IX Etude d'un toboggan aquatique
Une personne de masse m considérée comme un point matériel M, se laisse glisser sans vitesse initiale sur un toboggan de forme
hélicoïdale d'axe vertical Oz, de rayon R et de pas p constant (valeur absolue de la variation d'altitude pour un tour). La personne glisse
sur le toboggan avant de tomber en chute libre dans un bassin.
Le départ A et l'arrivée B du toboggan se situent dans le même plan vertical passant par l'axe de l'hélice, respectivement à une hauteur
ho et h1 au-dessus de l'eau. Un filet d'eau parcourt le toboggan, ce qui permet de négliger dans une première approximation les forces
de frottement.
Données : R = 5,0 m; g = 9,8 m.s-2; m = 50,0 kg; h1 = 0,3 m.
1- Etude de la trajectoire sur le toboggan
On définit la trajectoire sur le toboggan en utilisant les coordonnées cylindriques d'axe Oz.
r = R et z = - p.θ/2π avec p pas de l'hélice
1.1
1.1.1 Exprimer la vitesse de la personne en coordonnées cylindriques
€
!
u
r, !
u
θ
, ! u
z
( )
en fonction de R, p et .
1.1.2 En déduire la norme de la vitesse v en fonction de et λ avec λ = p/2πR.
1.2
1.2.1 A l'aide d'une étude énergétique du mouvement, établir l'expression de en fonction de g et λ :