Chapitre 1. Evènement aléatoire et Probabilité.

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Chapitre 1.
Evènement aléatoire et Probabilité.
1. Hasard et déterminisme. Evènement aléatoire.
On se demande souvent si le hasard existe ou non : peut-être pas si on se réfère
à l’exemple d’Alexandre Flemming.Tout phénomène de la nature est bien réglé
(déterministe) . S’il se produit, c’est forcément sous l’environnement, les
conditions ou facteurs (qui peuvent être très nombreux et qu’on ne peut pas tous
connaître) qui ont conduit à sa réalisation.
En revanche du point de vue de l’individu qui ne connaît pas cet environnement (les
conditions), le phénomène est inconnu. L’exemple le plus simple est le jet d’une
pièce de monnaie, dont le résultat (Pile ou Face ?) est (en apparence) hasardeux,
imprévisible, aléatoire. Nous disons « en apparence », car si nous avions un
ensemble de données physiques (résistance de l’air, force de lancer, inclinaison de la
trajectoire….), on pourrait peut-être trouver un modèle mathématique ou
expérimental qui permette de prédire le résultat. Ce n’est visiblement pas le cas, car
aucune expérience connue, ni aucune équation mathématique ne donne une méthode
pour trouver le résultat.
La littérature relate par contre, et de manière abondante des expériences qui tente
d’évaluer le nombre de chances pour Pile ou Face de sortir au cours d’un lancer. On
y observe une certaine « stabilité » de chaque issue , et que l’intuition suggère
effectivement : il y a pratiquement autant de chances pour « Pile » que pour
« Face ». Est-ce raisonnable ? La théorie des probabilités fournit le cadre formel qui
permet de justifier ces résultats expérimentaux.
Par événement aléatoire, on entendra donc un fait dont on ne sait pas a priori s’il
se réalisera ou non à l’issue d’une expérience aléatoire. Par exemple :
1 Tir sur une cible
2 Virus dans votre boîte e-mail ou sur un site Web http.www.site.dz .
3 Résultat du lancer d’une pièce de monnaie ou d’un dé
4 Temps de téléchargement d’une page Web

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5 Occurrence d’un défaut au cours du contrôle de qualité d’un lot d’articles
6 Existence d’un gisement pétrolifère dans une région du grand Sud.
7 Niveau de pénétration d’un produit innovant (NTIC, Mobile, Informatique …
8 Résistance d’un matériau à des contraintes
9 Occurrence d’un séisme (lieu, date,…
10 Niveau de qualité de l’air
11 Qualité d’une image transmise par satellite
12 Panne d’une machine
2. Fréquence et notion intuitive de la probabilité.
La définition classique (ou intuitive) de la probabilité est basée sur la notion
fréquentielle (ou statistique): c’est la fréquence d’occurrence d’un événement (Par
exemple Face) observée au cours d'un grand nombre d'expériences aléatoires (par
exemple des lancers de pièces de monnaie). Cette définition trouve l’une des ses
justifications dans la fameuse loi des grands nombres énoncée plus loin. Si on lance
notre pièce un grand nombre de fois, on peut s’attendre à obtenir autant de Pile que de
Face, soit une fréquence de ½ . Voici, à titre d’exemples relatés dans la littérature, les
fréquences de Face observées par des scientifiques du XVIIème siècle au cours de séries
de lancers réels de pièces de monnaie.
Expérience fréquence Erreur Nombre de lancers
Buffon 0.5069 0.0069 4040
Pearson (1
ère
expérience) 0.5016 0.0016 12000
Pearson (2
ère
expérience) 0.5005 0.0005 24000
Exemple 1: Le tableau ci-dessous résume des séries de jet d’une pièce de monnaie.
Chaque expérience est répétée 100 fois, et on observe le nombre de fois où l’événement
« Face » se réalise. On constate que la fréquence de réalisation est voisine de 0.5.
Nombre de faces dans des séries de n=100 expériences Nombre total de « face
»
dans une série de
1000 expériences
54 46 53 55 46 54 41 48 51 53 504
48 46 40 53 49 49 48 54 53 45 485
43 52 58 51 51 50 52 50 53 49 509

9
58 60 54 55 50 48 47 57 52 55 536
48 51 51 49 44 52 50 46 53 41 485
49 50 45 52 52 48 47 47 47 51 488
45 47 41 51 49 59 60 55 53 50 500
53 52 46 52 44 51 48 51 46 54 497
45 47 46 52 47 48 59 57 45 48 494
47 41 51 59 51 52 55 39 41 48 484
On peut émettre la conjecture que cette stabilité (« limite ») observée peut faire usage
de loi.
Pour formaliser cette intuition, on considère une série de
n
observations, où intervient
le hasard (appelées expériences aléatoires). On note pour chaque expérience si un
événement donné
A
se réalise ou non. Soit )(AN
n le nombre d’occurrences de
l’événement
A
au cours des n expériences. Par probabilité de l’événement
A
, on
comprend la « limite »
n
AN
AP
n
n
)(
lim)(
¥®
=
si elle existe. La quantité
n
AN
n
)(
, s’appelle fréquence relative de l’événement
A
: c’est
la proportion de fois où l’événement
A
s’est réalisé au cours des
n
expériences. Le
numérateur de cette expression )(AN
ns’appelle fréquence absolue de l’événement
A
.
La probabilité de
A
, est donc définie ici comme la limite de la fréquence de réalisation
de
A
dans une série d’expériences. On utilise alors l’approximation
n
AN
AP
n
)(
)( » ,
pour peu que
n
soit suffisamment grand. Cette définition correspond tout à fait à notre
intuition. Cependant, elle ne peut être vérifiée expérimentalement de manière
traditionnelle, car il est pratiquement impossible d’observer une série réelle infinie
d’expériences et vérifier si la limite existe.
Exemple 2: Aujourd’hui, la plupart des logiciels permettent de générer artificiellement
des suites de Face (ou Pile) (codées en binaires : 0 ou 1) avec des probabilités
équiprobables et de vérifier expérimentalement cette loi. Les graphiques ci-dessous

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illustrent ces expériences sur ordinateur, et montrent bien la tendance (convergence) de
la fréquence
n
AN
n
)(
à se « stabiliser » autour de la valeur ½ lorsque le nombre de
lancers n augmente. C’est cette valeur ½ qui sera prise en guise de valeur de la
probabilité d’occurrence de pile.
20 40 60 80100
n
0.4
0.5
0.6
0.7
N
n
•
n
2004006008001000
0.425
0.45
0.475
0.525
0.55
0.575
20 40 60 80 100 Nombre de lancers
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fré quence
Figure 1. Fréquence d’apparition de « Face » lors de
100
=
n
et 1000 lancers d’une
pièce parfaite
Exemple 3: La figure ci-dessous illustre une simulation de
100
=
n
tirs sur une cible
(
77
succès) et
000.1
=
n
(
792
succès).

11
On peut noter quelques propriétés de la fréquence relative :
(i) 1
)(
0££
n
AN
n ;
(ii) Si
A
est l’événement certain, il se réalisera dans toutes les n expériences et
dans ce cas, 1
)(
)( ===
n
n
n
AN
AP
n.
3. Axiomatique de Kolmogorov.
L’approche axiomatique de Kolmogorov, communément admise (même s’il en
existe d’autres) suppose que les phénomènes aléatoires étudiés peuvent être décrits à
l’aide d’un certain ensemble (non vide) d’évènements élémentaires
{
} w=W appelés
ensemble des éventualités, des issues, des épreuves (univers des issues possibles). Les
évènements élémentaires
w
sont interprétés comme des issues exhaustives du
phénomène aléatoire étudié. Tout événement A peut être décrit à l’aide d’évènements
élémentaires de
W
:
A
se réalise si l’un de ses évènements élémentaires se réalise.
Dans l’exemple du jeu de Pile ou Face, on peut prendre
{
} FacePile,=W ; dans
l’exemple du jet d’un dé, ce peut être
{
} 6,5,4,3,2,1=W … Cela dépend bien entendu du
type d’expérience menée : ici on s’intéresse au numéro sortant. Il est vrai que dans