Matrices - Alain Troesch

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Pour le 02/04/2015
MPSI 4 – Mathématiques
A. Troesch
DM no15 : Matrices
Le problème 2 utilise un résultat démontré dans le le problème 1 ; ce résultat est rappelé en début d’énoncé.
Problème 1 –Trigonalisation et quasi-trigonalisation
Soit n∈N∗. Nous montrons dans ce problème que toute matrice de Mn(C)est trigonalisable (ou triangularisable),
c’est-à-dire semblable à une matrice triangulaire supérieure. Nous montrons ensuite que dans Mn(R), toute matrice
est semblable à une matrice de Hessenberg, c’est-à-dire une matrice M= (mi,j )16i,j6ntelle que mi,j = 0 dès lors
que i > j + 1. Ainsi, une matrice Mest une matrice de Hessenberg si et seulement si tous ses coefficients situés
strictement sous sa diagonale sont nuls, à l’exception eventuelle des coefficients situés sur la première sous-diagonale.
Pour terminer nous étudions le cas particulier des matrices symétriques S: dans ce cas, la classe de similitude de S
contient au moins une matrice tridiagonale M= (mi,j )16i,j6n, c’est-à-dire telle que mi,j = 0 dès lors que |i−j|>1.
Question préliminaire
Soit K=Rou C. Justifier que toute matrice M∈ Mn(K)est équivalente à une matrice triangulaire supérieure.
Partie I – Autour du polynôme minimal
Soit K=Rou C. Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
1. Justifier l’existence d’un polynôme Qnon nul annulateur de u, c’est-à-dire tel que Q(u) = 0.
2. Justifier l’existence d’un unique polynôme unitaire Pdivisant tout polynôme annulateur de u. Ce polynôme P
est appelé polynôme minimal de u.
3. Soit Ple polynôme minimal de u.
(a) Justifier que si λ∈Kest racine de P, alors u−λId n’est pas un automorphisme.
(b) En déduire que λest racine de Psi et seulement s’il existe x∈Enon nul tel que u(x) = λx. On dit dans
ce cas que λest une valeur propre de u, et que xest un vecteur propre associé à la valeur propre λ.
4. On suppose ici K=R, et on considère P0un facteur irréductible de degré 2de P.
(a) Montrer que Ker(P0(u)) est non réduit à {0}, et est stable par u.
(b) En considérant la famille (x, u(x)), pour un vecteur xbien choisi, montrer qu’il existe un plan Pde E,
stable par u.
Partie II – Trigonalisation dans Mn(C)
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension n, et u∈ L(E).
1. (a) Montrer qu’il existe une base (b1,...,bn)de Erelativement à laquelle la matrice de un’a que des coefficients
nuls sur sa première colonne, à l’exception éventuelle du coefficient en position (1,1).
(b) En déduire que toute matrice de Mn(C)est trigonalisable dans Mn(C).
(c) Soit Bune base relativement à laquelle la matrice Mde usoit triangulaire. En étudiant le noyau de M−λIn,
montrer que les coefficients diagonaux de Msont des valeurs propres de u(notion définie en partie 1), donc
des racines du polynôme minimal.
2. On recherche maintenant une forme plus spécifique de matrice triangulaire représentant u.
1

(a) (Lemme des noyaux)
Soit Aet Bdeux polynômes premiers entre eux. Montrer que
Ker(A(u)◦B(u)) = Ker(A(u)) ⊕Ker(B(u)).
(b) En considérant une décomposition en facteurs irréductibles du polynôme minimal de u, en déduire qu’il
existe une décomposition
E=E1⊕E2⊕ ··· ⊕ Ek
de Een somme directe de ksous-espaces Ei,i∈[[1, k]], telle que :
(i) chaque Eiest stable par u
(ii) pour tout i∈[[1, k]], l’endomorphisme uide Eiinduit par uadmet une unique valeur propre λi(notion
définie en partie 1)
(iii) Les λi,i∈[[1, k]] sont deux à deux distincts.
3. En déduire que toute matrice de Mn(C)est semblable à une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant
une matrice triangulaire supérieure à diagonale constante, deux blocs différents ayant des coefficients diagonaux
différents.
4. On dit qu’une matrice Mest diagonalisable si et seulement si elle est semblable à une matrice diagonale.
Montrer qu’une matrice Mest diagonalisable dans Mn(C)si et seulement si son polynôme minimal est à racines
simples.
Partie III – Matrices de Hessenberg
On note Hnl’ensemble des matrices de Hessenberg de Mn(R), définies en début de problème.
1. (a) Montrer que Hnest un sous-espace de Mn(R). Quelle est sa dimension ? Est-ce une sous-algèbre ?
(b) Soit M∈ Hnet Tune matrice triangulaire supérieure. Montrer que M T et T M appartiennent à Hn.
2. (a) Soit Eun R-espace vectoriel de dimension finie n, et soit u∈ L(E). En adaptant la preuve de II-1, montrer
qu’il existe une base relativement à laquelle la matrice de uest triangulaire par blocs, les blocs diagonaux
étant des blocs carrés 1×1ou 2×2.
(b) En déduire que toute matrice réelle est sembable à une matrice de Hessenberg.
3. Dans cette question, on redémontre le même résultat par une méthode purement algorithmique. Cet algorithme
donne une façon effective de trouver une matrice de Hessenberg semblable à une matrice Mdonnée. Soit M∈
Mn(R).
(a) À l’aide d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, montrer qu’il existe P∈GLn(R)telle que
les coefficients de P MP −1en position (i, 1) pour i>3soient tous nuls.
(b) Conclure une nouvelle fois que toute matrice de Mn(R)est semblable à une matrice de Hessenberg.
(c) On suppose définies en Python les 4 fonctions suivantes :
•echange_lignes(A,i,j),
•echange_colonnes(A,i,j),
•combine_lignes(A,i,j,a),
•combine_colonnes(A,i,j,a)
retournant une matrice obtenue de A, respectivement par l’échange des lignes iet j, par l’échange des
colonnes iet j, par l’opération sur les lignes Li←Li+aLj, et par l’opération sur les colonnes Ci←Ci+aCj.
Écrire une fonction hessenberg(A) retournant une matrice de Hessenberg équivalente à la matrice A.
Partie IV – Méthode de Householder
Soit k∈[[1, n]].
1. Soit X∈ Mk,1(R)une matrice colonne non nulle.
2

(a) Montrer que t XX est un réel strictement positif.
La norme de Xest définie par kXk=√t
XX.
(b) Vérifier que la matrice SX=Ik−2
kXk2Xt
Xest une matrice de symétrie, ainsi que la matrice TXdéfinie
par blocs :
TX= In−k0n−k,k
0k,n−kSX!,
où 0i,j désigne la matrice nulle de Mi,j
2. Soit E1la première matrice de la base canonique de Mk,1(R),Y∈ Mk,1(R)non colinéaire à E1et X=
Y+kYkE1.
Montrer que la matrice SXYest colinéaire à E1.
3. Soit Mune matrice de Mn(R).
(a) Montrer que pour tout r∈[[1, n −1]], il existe une matrice Probtenue comme produit de matrices de
symétrie telle que PrM P −1
rsoit de la forme par blocs
HrAr
0n−r,r−1YBr
,
avec Hr∈ Hr,Ar∈ Mr,n−r(R),Br∈ Mn−r,n−r(R)et Y∈ Mn−r,1(R).
(b) Retrouver que toute matrice de Mn(R)est semblable à une matrice de Hessenberg.
4. Montrer que toute matrice symétrique de Mn(R)est semblable à une matrice tridiagonale.
Problème 2 –Réduction de Jordan
Soit uun endomorphisme d’un C-espace vectoriel de dimension finie n. On admet sans preuve le résultat suivant, vu
par ailleurs :
Soit P= (X−λ1)α1···(X−λk)αkle polynôme minimal de u, les λiétant deux à deux distincts. On a
alors :
E=M
i∈[[1,k]]
Ker((u−λiid)αi).
Le but du problème est de montrer qu’il existe une base Brelativement à laquelle la matrice de us’écrit par blocs :
MatB(u) = 
J10··· 0
0J2
....
.
.
.
.
.......0
0··· 0Jℓ
,où tout bloc Jℓest de la forme Jℓ=
λ1 0 ··· 0
0λ1....
.
.
0 0 ......0
.
.
.......1
0··· 0 0 λ
On notera au passage que la preuve permettrait de retrouver le théorème des noyaux itérés, indissociable de ce résultat.
Partie I – Réduction du problème
1. Soit, avec les notations de l’introduction, pour tout i∈[[1, k]],Ei= Ker((u−λiid)αi). Montrer que Eiest stable
par uet u−λiid.
2. Soit pour tout i∈[[1, k]],uil’endomorphisme de Eiinduit par usur Ei. Justifier que si pour tout i∈[[1, k]],Bi
est une base de Ei, et si Best la base de Eobtenue en juxtaposant dans cet ordre les bases, B1,B2,...,Bk, alors
3

on a la représentation par blocs :
MatB(u) =
MatB1(u1)0··· 0
0MatB2(u2)....
.
.
.
.
.......0
0··· 0MatBk(uk)
.
3. Soit vil’endomorphisme de Eiinduit par u−λiid sur Ei. Montrer que viest nilpotent.
4. Montrer que si tout endomorphisme nilpotent de tout C-ev de dimension finie admet une réduction de Jordan,
alors tout endomorphisme de tout C-ev de dimension finie admet une réduction de Jordan.
Partie II – Réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent
D’après la partie précédente, on peut donc se limiter à l’étude de la réduction de Jordan d’un endomorphisme nilpotent.
Soit donc u∈ L(E)un endomorphisme nilpotent.
1. Soit pl’indice de nilpotence de u, c’est-à-dire le plus petit entier positif tel que up= 0. En particulier,
up−16= 0. Soit Sun supplémentaire de Ker(up−1)dans E. Soit xnon nul dans S. Montrer que la famille
(up−1(x), up−2(x),...,u(x), x)est libre. On note Fle sous-espace engendré par cette famille.
2. Montrer que Fest stable par u.
3. Montrer que pour tout k∈[[1, p]], on a Ker(uk−1)⊕Vect(up−k(x)) ⊂Ker(uk)
4. Soit Spun supplémentaire de Ker(up−1)⊕Vect(x)dans Ker(up). Montrer qu’il existe un supplémentaire Sp−1
de Ker(up−2)⊕Vect(u(x)) dans Ker(up−1)contenant u(Sp).
5. Montrer plus généralement qu’on peut construire une suite (Sk)k∈[[1,p]],Skétant un supplémentaire de Ker(uk−1)⊕
Vect(up−k(x)) dans Ker(uk), et tel que u(Sk+1)⊂Sk, pour tout k∈[[1, p −1]]
6. Montrer que T=S1+···+Spest un supplémentaire de Fdans E, stable par u.
7. Terminer la preuve de l’existence d’une décomposition de Jordan, par récurrence.
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