Retour sur l`équation AM=MB

Retour sur l'équation AM=MB
par Patrick Teller∗
Résumé
Etant données deux matrices (A; B)2 Mn(K)2il est bien connu que l'équation AM=MB ne
possède de solution non nulle que si et seulement si Spec(A)TSpec(B) =/ ?et le théorème de
Cecioni-Frobenius ([1]) détermine exactement la dimension de l'espace vectoriel des solutions en
fonction des facteurs invariants des deux matrices A et B; nous allons retrouver ce résultat de
manière élémentaire au moyen de la forme de Jordan dans le cas où les polynômes caractéristi-
ques sont scindés et déterminer le rang maximal des solutions; nos résultats s'appliquent aussi
au cas où A2 Mm(K)et B2 Mn(K), avec (m,n) quelconques.
Dans la première partie nous allons réduire le problème de manière tout à fait classique au
cas de matrices qui sont des sommes de matrices (pas forcément de même taille) de Jordan asso-
ciées à une seule valeur propre en rappelant des résultats classiques; la démarche étant similaire
à celle de [2].
Dans la deuxième nous allons étudier le noyau de l'application linéaire Φ: M7¡! AM-MB où
A2 Mm(K)et B2 Mn(K)(on notera que Φ2 L(Mm;n(K)) au moyen du produit tensoriel de
matrices, ce qui donne plus de rapidité et de clarté que dans [2], puis nous appliquerons dans la
troisième partie la technique développée pour déterminer la dimension de l'espace vectoriel des
solutions de l'équation AM=MB et le rang maximal des solutions.
1 Réduction du problème, notations et résultats classiques
Remarque 1. Dans tout ce qui suit les matrices seront considérées comme possédant un poly-
nôme caractéristique scindé.
Proposition 2. Soient deux matrices (A; B)2 Mn(K)2et les matrices régulières (P ; Q)2
Gln(K)2l'espace vectoriel des solutions de l'équation AM=MB est isomorphe à l'espace vectoriel
des solutions de l'équation P ¡1APM=MQ¡1BQ.
Démonstration. Il s'agit d'un simple calcul. 
Proposition 3. Soient deux matrices (A,B)2Mn(K)2et une matrice M telle que AM=MB
alors, quels que soient le scalaire λet l'entier u, M(Ker(B¡λIn)u)⊂Ker(A¡λIn)u.
Démonstration. De l'égalité AM=MB on déduit que 8P2K[X]; P (A)M=MP(B)soit alors
X2Kn, tel que (B¡λIn)uX= 0 on en déduit que M(B¡λIn)uX= 0 , d'où (A¡λIn)uMX = 0
M(Ker(B¡λIn)u)⊂Ker(A¡λIm)u.
Proposition 4. Soient deux matrices (A,B)2Mm(K)× Mn(K)de polynômes caractéristiques
respectifs Qi=1
r(X¡λi)miet Qi=1 s(X¡µj)njet une matrice M telle que AM=MB alors
i) Km=Li=1
rKer(A-λiIm)miet Kn=Li=1 sKer(B-µjIn)nj
ii) Si µj2/Spec(A), M(Ker(B¡µjIn)nj=f0g
∗. Patrick Teller, Cpge Lycee Charlemagne, Paris 75004, France, ([e-mail])
1

iii) Si µj=λi02Spec(A), M(Ker(B¡µjIn)nj⊂Ker(A¡λi0Im)mi0.
Démonstration. i) découle immédiatement du théorème de Cayley-Hamilton.
ii) d'après la proposition précédente M(Ker(B¡µjIn)nj)⊂Ker(A¡µjIm)njet si µj2/Spec(A)
alors Ker(A¡µjIm)nj=f0g.
iii) Km=Li=1
rKer(A-λiIm)miet chacun de ces sous-espaces vectoriels est stable par A,
donc si y2Li=1
rKer(A-λiIm)mis'écrit y=Pi=1 ryi, où 8i2 f1; :::; rg; yi2Ker(A-λiIm)mialors
pour que (A¡λi0Im)ni0(y) = Pi=1
r(A¡λi0Im)ni0(yi)soit nul il est nécessaire que 8i2 f1; :::;
rg(A¡λi0Im)ni0(yi) = 0; or si i=/ i0(X¡λi0)ni0^(X¡λi)ni=1 et donc (A¡λi0Im)ni0(yi) =
0() yi= 0; donc Ker(A¡λi0Im)nij\Li=1
rKer(A-λiIm)mi⊂Ker(A¡λi0Im)mi0.
Proposition 5. Soit P2 Mn(K)et son polynôme caractéristique Qi=1
r(X¡λi)nialors P est
semblable à la matrice diagonale par blocs Li=1
rPi, où pour chaque i=1,..,r Pi¡λiI est une
somme de blocs de Jordan nilpotents.
Démonstration. Ceci est un résultat classique. 
Ceci nous permet de nous limiter à l' étude de l'espace vectoriel des solutions de l'équation
AX=XB lorsque A=Li=1
rAiet B=Lj=1 sBj, où pour chaque i=1,..,r Ai¡λiIet Bj¡µjI
sont des sommes de blocs de Jordan nilpotents.
Proposition 6. Soient deux matrices (A,B)2Mm(K)× Mn(K)comme au-dessus où A=
Li=1
rAiet B=Lj=1 sBj, où pour chaque i=1,..,r Ai¡λiIet Bj¡µjIsont des sommes de
blocs de Jordan nilpotents, A=0
B
B
B
B
@
A10::: ::: 0
0A2::: ::: :::
0 0 ::: ::: :::
::: ::: ::: ::: 0
0 0 ::: ::: Ar
1
C
C
C
C
A
et B=0
B
B
B
B
@
B10::: ::: 0
0B2::: ::: :::
0 0 ::: ::: :::
::: ::: ::: ::: 0
0 0 ::: ::: Bs
1
C
C
C
C
A
; nous supposerons
qu'il existe un indice δtel que 8i2 f1; :::; δg; λi=µiet fλi+1; :::; λrg \ Spec(B) = ?et fµi+1; :::;
µsg \ Spec(A) = ?.
Soit une matrice de Mm;n(K), écrite sous forme de blocs rectangulaires M=
(Mij)(i;j)2f1;:::;rg×f1;:;sg, qui vérifie la relation AM=MB.
Alors i) M est la matrice diagonale par blocs M=0
B
B
B
B
B
B
@
M11 0::: ::: 0 0
0M22 ::: ::: ::: :::
::: 0::: ::: ::: 0
::: ::: ::: Mδδ 0:::
0 0 ::: ::: 0 0
0 0 0 ::: ::: 0
1
C
C
C
C
C
C
A
ii) 8(i; j)2 f1; :::; δg2,AiMii =MiiBii:
Démonstration. i) Il suffit de remarquer que Mij représente la projection sur Ker(A-λiIm)mi
de la restriction à Ker(B-µjIn)njet d'appliquer le résultat de la proposition 4.
ii) Découle de la multiplication des matrices par blocs. 
Par suite et comme toute matrice commute avec les matrices scalaires, il suffira d'étudier le
cas de deux matrices nilpotentes A et B, sommes de blocs de Jordan: A= Lk=1
pJ(ik)et
B=Lt=1
qJ(jt).
2 Le résultat principal
Il est bien connu que la matrice (dans la base canonique de Mm;n(K)) de l'endomorphisme
M7! AM-MB est A⊗In¡Im⊗B
t, d'où l'intérêt de la proposition suivante:
2Section 2

Proposition 7. Soient deux matrices nilpotentes A= Lk=1
pJ(ik)2 Mm(K)et B, telle que B0=
Lt=1
qJ(jt)2 Mn(K)alors la dimension du noyau de A⊗In¡Im⊗B' est égale à
P(ik;jt)min (ik; jl).
Démonstration. Soient A=
0
B
B
B
@
0a10::: 0
0 0 a2::: :::
::: ::: ::: ::: am¡1
0 0 ::: ::: 0
1
C
C
C
A
et B0=0
B
B
B
@
0b10::: 0
0 0 b2::: :::
::: ::: ::: ::: bn¡1
0 0 ::: ::: 0
1
C
C
C
A
, où les complexes
aiet bjsont égaux à 0 ou 1 (suivant les tailles des blocs de Jordan).
Alors A⊗In¡Im⊗B0=¡
0
B
B
B
B
B
@
0na1In::: ::: :::
0 0na2In::: :::
0::: ::: ::: :::
::: ::: ::: ::: aam¡1In
0::: ::: 0 0n
1
C
C
C
C
C
A
+
0
B
B
B
B
B
@
B00 0 ::: 0
0B00::: :::
0 0 ::: ::: :::
::: ::: 0::: 0
0 0 ::: ::: B 0
1
C
C
C
C
C
A
=
0
B
B
B
B
B
@
B0¡a1In0n:::: 0n
0rB0¡a2In0n:::
::: 0r::: ::: 0r
::: ::: ::: ::: ¡am¡1In
0r::: ::: ::: B 0
1
C
C
C
C
C
A
;0
B
B
B
B
@
B0¡a1In0r:::: 0r
0rB0¡a2In0n:::
::: 0r::: ::: 0r
::: ::: ::: ::: ¡am¡1In
0r::: ::: ::: B 0
1
C
C
C
C
A
X= 0 ()
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
B0X1=a1X2
B0X2=a2X3
::::::
B0Xm¡1=am¡1Xm
B0Xm= 0
, where X=0
B
B
@
X1
X2
::::
Xm
1
C
C
A.(*)
Nous supposerons que A=Lk=1
pJ(ik), où i1>i2>::: >ip, et donc ai1=ai1+i2=::: =
ai1+:::+ip¡1= 0 et que 8i2 f1; ::::; m ¡1gfi1; i1+i2; :::; i1+:::ip¡1g; ai= 1 et de même suppo-
sons que B0=Lt=1
qJ(jt)où j1>j2>::: >jqque bj1=bj1+j2=::: =bj1+:::+jq=br= 0 et 8j2
f1; ::::; n ¡1gfj1; j1+j2; :::; jqg; bj= 1; alors (*) est équivalent à
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
8i2 f1; ::::; i1¡1g; Xi+1 =B0iX1
B0i1X1= 0
8i2 f0; :::; i2¡1g; Xi1+i+1 =B0iXi1+1
B0i2Xi1+1 = 0
::::::
8i2 f0; ip¡1g; Xi1+:::+ip¡1+i+1 =B0iXi1+:::+ip¡1+1
B0ipXi1+:::+ip¡1+1 = 0
. (**)
Comme B0=0
B
B
B
@
J(j1) 0 0 ::: 0
0J(j2) 0 ::: :::
::: ::: ::: ::: 0
0 0 ::: ::: J(jq)
1
C
C
C
A
alors B0u=0
B
B
B
@
J(j1)u0 0 ::: 0
0J(j2)u0::: :::
::: ::: ::: ::: 0
0 0 ::: ::: J(jq)u
1
C
C
C
A
, son noyau
est de dimension Pl=1
qmin (u; jl), et par suite le noyau de A⊗Ir¡Ir⊗B0a pour dimension
P(ik;jt)min (ik; jl); il est immédiat que les partitions I= (i1; :::; ip)et J= (j1; :::; jq)ont des
rôles symétriques, nous désignerons cet entier par µ(I ; J ).
Théorème 8. Soient deux matrices nilpotentes A= Lk=1
pJ(ik)et B= Lt=1 qJ(jt)comme au-
desssus, l'ensemble des matrices M telles que AM=MB est un espace vectoriel de dimension µ(I ;
J), où I= (i1; :::; ip)et J= (j1; :::; jq).
Démonstration. Comme la matrice dans la base canonique de Mm;n(K)de l'endomorphisme
M7! AM-MB est A⊗In¡Im⊗B
til suffit d'appliquer le résultat précédent à A et à B0=B t; les
vecteurs X1; :::; Xmreprésentent les lignes successives de M. 
Ce qui démontre (dans un cadre plus général quant aux tailles des matrices mais sous la
condition que les polynômes caractéristiques soient scindés) le théorème de Cecioni-Frobenius:
Le résultat principal 3

Théorème 9. Soient deux matrices (A,B)2Mm(K)× Mn(K)l'ensemble des matrices M telles
que AM=MB est un espace vectoriel de dimension Pi=1
δµ(Ii; Ji), où δdésigne, comme dans la
proposition 6. le nombre de valeurs propres communes , et pour chaque i2f1; :::; δ gIiet Jisont
les partitions associées respectivement pour A et pour B aux différentes valeurs propres com-
munes λi.
La formulation du théorème de Cecioni-Frobenius ([1]) est équivalente, les entiers min (ik; jl)
apparaissant comme degrés des pgcd de facteurs invariants de A et B.
Exemple 10. Soient A=J(3) ⊕J(2) = 0
B
B
B
B
@
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
et B=J(4) ⊕J(1) = 0
B
B
B
B
@
01000
00100
00010
00000
00000
1
C
C
C
C
A
,
l'ensemble des matrices M telle que AM=MB est un espace vectoriel de dimension 7.
B
t3=0
B
B
B
B
@
0 0000
0 0000
0 0000
1 0000
0 0000
1
C
C
C
C
A
et B
t2=0
B
B
B
B
@
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1
C
C
C
C
A
d'où M est de la forme
0
B
B
B
B
@
0a b c d
0 0 a b 0
0 0 0 a0
0 0 e f g
0 0 0 e0
1
C
C
C
C
A
; on
vérifie
bien que AM=MB.
Exemple 11. Appliquons notre démarche au cas du commutant d'une matrice nilpotente, c'est
à dire posons A=B= J(3) 0
0J(2) !, alors la dimension du commutant de A est égale à 9; B
t3= 0
et B
t2=
0
B
B
B
B
@
00100
00000
00000
00000
00000
1
C
C
C
C
A
d'où M est de la forme 0
B
B
B
B
@
a b c d e
0a b 0d
0 0 a0 0
fg0h i
0f g 0h
1
C
C
C
C
A
, on reconnait le résultat classique
([3]).
3 Le maximum des rangs des solutions de l'équation
AX=XB
Dans la suite nous considérerons un couple de matrices (A,B)2Mn(K)2dont les polynômes
caractéristiques sont scindés, de spectres respectifs fλ1; :::; λrget fµ1; :::; µsg, un indice δtel que
8i2 f1; :::; δg; λi=µiet fλi+1; :::; λrg \ Spec(B) = ?et fµi+1; :::; µsg \ Spec(A) = ?et pour
chaque i2f1; :::; δ gIiet Jiles partitions ordonnées (décroissantes) associées respectivement pour
A et pour B aux différentes valeurs propres λi=µi; l'objet de cette partie est de déterminer le
maximum des rangs des solutions de l'équation AX=XB.
Remarque 12. Si I=/ Jles matrices A et B ne sont pas semblables et il ne peut donc exister
de matrice inversible M telle que AM=MB, ce que l'on retrouve en remarquant que, soit il existe
k tel que 8t; ik> jtauquel cas l'une des lignes de M est nulle, soit il existe t tel que 8k; jt> iket
on applique le même raisonnement à l'équation B
tM t=M tA t.
Tandis que si I=Jles matrices A et B sont semblables et notre méthode fournit une famille
libre (X1; :; Xn), donc une matrice inversible P telle que AP=PB.
Théorème 13. Soient deux matrices nilpotentes A= Lk=1
pJ(ik)2 Mm(K)et B= Lt=1 qJ(jt)2
Mn(K), où on suppose que I= (i1; :::; ip)et J= (j1; :::; jq)sont décroissantes. Le maximum des
rangs des solutions de l'équation AM=MB est égal à Pu=1
δmin (iu; ju).
4Section 3

Démonstration. Nous allons décrire les matrices solutions en détaillant la résolution du sys-
tème (**) de la proposition 7. dans le cas où B' est une matrice blocs dont les blocs sont des
blocs de Jordan triangulaires inférieurs B0=0
B
B
B
@
J0(j1) 0 0 ::: 0
0J0(j2) 0 ::: :::
::: ::: ::: ::: 0
0 0 ::: ::: J 0(jq)
1
C
C
C
A
; la résolution des diffé-
rentes parties
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
8i2 f0; :::; it¡1g; Xi1+:::+it¡1+i+1 =B0iXi1+:::+it¡1+1
B0itXi1+:::+it¡1+1 = 0 permet de déterminer les
lignes i1+::: +it¡1+ 1 jusqu'à i1+::: +itde la matrice M; comme J0(jk)=
0
B
B
B
B
@
000::: 0
1 1 ::: ::: :::
0 0 ::: ::: :::
::: 0::: ::: 1
0 0 ::: ::: 0
1
C
C
C
C
A
alors J0(jk)it=
0
B
B
B
B
@
000::: 0
0 0 ::: ::: :::
1 0 ::: ::: :::
::: 1::: ::: 0
0 0 ::: 1 0
1
C
C
C
C
A
où les 1 sont au nombre de max (0; jk¡it), sur une parallèle à la
diagonale principale, par suite Xi1+:::+it¡1+1 =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0
0
:::
:::
∗
:::
∗
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
, les max (0; jk¡it)premières coordonnées
étant nécessairement nulles, ce qui décrit la ligne i1+::: +it¡1+ 1 de M; les vecteurs suivants
Xi1+:::+it¡1+i+1 pour i2 f1; :::; it¡1gs'en déduisent par multiplication par
J0(jk)=
0
B
B
B
B
@
000::: 0
1 0 ::: ::: :::
0 1 ::: ::: :::
::: 0::: ::: 0
0 0 ::: 1 0
1
C
C
C
C
A
, donc sont de la forme Xi1+:::+it¡1+i+1 =
0
B
B
B
B
B
B
B
B
@
0
0
:::
:::
∗
:::
∗
1
C
C
C
C
C
C
C
C
A
, les max (0; jk¡it)+i
premières coordonnées étant nécessairement nulles.
Donc le bloc formé par les lignes i1+::: +it¡1+ 1 jusqu'à i1+::: +itde la matrice M est de
la forme
¡Rt;1::: :::: Rt;k ::: Rt; q où chaque rectangle Rt;k est de la forme ¡0Tt;k si it6jkou
¡0Tt;k si jk6it, les termes arbitraires formant le triangle rectangle Tt;kdont l'hypothénuse
est parallèle à la diagonale principale de M et le côté vertical est de longueur min (jk; it); par
ailleurs la relation de récurrence sur les Xientraine la forme suivante pour Tt;k
0
B
B
B
B
B
B
@
a b c d :::: w x
a b c ::: ::: w
a b ::: ::: v
::: ::: ::: :::
::: ::: :::
a
1
C
C
C
C
C
C
A
, d'où on voit qu'un bon choix des éléments rend les lignes de Tt;klinéaire-
ment indépendantes.
On remarquera que pour tout k le support du triangle Tt;kest inclus dans celui du triangle
Tt¡1;kde même que dans celui de Tt;k¡1; ces matrices étant à lignes échelonnées on déduit au
moyen d'un raisonnement de type pivot que le rang de M est inférieur ou égal au maximum de
la somme des rangs des blocs diagonaux T11, ...,Tmin(p;q), c'est à dire Pk=1
min(p; q)min (ik; jk)et
que cette valeur est atteinte, donc le maximum des rangs des matrices M telles que AM=MB est
exactement Pk=1
min(p; q)min (ik; jk).
Notation 14. Si I= (i1; :::; ip)et J= (j1; :::; jq)sont deux suites d'entiers (strictement positifs)
décroissantes, !(I ; J)désignera Pk=1
min(p; q)min (ik; jk).
Dans le cas de l'exemple 10. on vérifie qu'une matrice de rang maximal sera 0
B
B
B
B
@
01100
00110
00010
00111
00010
1
C
C
C
C
A
.
Comme la condition AM=MB induit que la matrice M est diagonale par blocs, où les blocs
vérifient le résultat du Théorème 14, on en déduit le
Théorème 15. Soient deux matrices (A,B)2 Mm(K)× Mn(K),où δdésigne, comme dans le
Théorème 9., le nombre de valeurs propres communes , et pour chaque i 2f1; :::; δgIiet Jisont
les partitions associées respectivement pour A et pour B aux différentes valeurs propres com-
munes λi. Le maximum des rangs des matrices M telles que AM=MB est égal à Pi=1
δ!(Ii; Ji),
Le maximum des rangs des solutions de l'équation AX=XB 5