valide prédicats

Logique et théorie des modèles
Cours de P. Joray
Définition 0.1
Dans un langage L, une proposition est un énoncé qui possède l’une des deux valeurs de vérité suivante : vrai
ou faux.
Exemples :
– « 2 + 2 = 4 », « 2 + 3 < 6 », « 2 + 3 < 4 », « 2 est premier » sont des propositions.
– « 2 + 3 », « n + 1 = 23 » ne sont pas des propositions.
Définition 0.2
Un argument est la donnée d’un couple < Γ, c > avec Γ un ensemble de propositions (ici fini), on les appelle les
prémisses de < Γ, c >, et c une proposition (conclusion de < Γ, c >).
c est-elle une bonne conclusion face aux prémisses de l’argument ?
Définition 0.3
Un argument < Γ, c > est dit valide si et seulement si il est impossible que toutes les propositions de Γ soient
vraies et la conclusion c fausse.
Exemples :
– Arg1 :
12 est divisible par 6
Tout ce qui est divisible par 6 est pair
12 est pair
– Arg2 :
2+2=4
4 est pair
2 est premier
Dans Arg2, on ne voit pas pourquoi les axiomes garantissent la conclusion. D’où le principe des formes : Deux
arguments qui sont de même forme logique sont soit tous les deux valides, soit tous les deux non valides.
Exemple – Revenons sur Arg2. . .
Arg20 :
4+4=8
8 est pair
4 est premier
On a fait un contre-argument.
1
Exemple – Donnons un exemple de forme d’argument. Attention, ce n’est pas un argument.
n est divisible par m
tout ce qui est divisible par m est pair
n est pair
Si pour tous n et m c’est correct, tous les arguments de cette forme sont valides. Sinon, tous les arguments de
cette forme sont invalides.
Parlons maintenant de logique des propositions. . .
On dispose de constantes propositionnelles, appelées connecteurs propositionnels qui sont
– ET, noté ∧, appelé conjonction
– OU, noté ∨, appelé disjonction non exclusive
– NE. . .PAS, noté ∼ ou ¬
Exemple – « 3 est premier », « 3 est pair » sont des propositions simples (i.e. ne contiennent pas de connecteurs
propositionnels).
« 3 et premier ET 3 est pair », « 3 N’est PAS pair », « 3 est premier ET 3 N’est PAS pair » sont des propositions
composées ou complexes
Le langage que nous utilisons est donc
– les variables de propositions atomiques
– les connecteurs logiques propositionnels
– les parenthèses ( et )
Définition 0.4
La table de vérité de la conjonction ∧ est :
A
1
1
0
0
A∧B
1
0
0
0
B
1
0
1
0
La table de vérité de la négation ¬ est :
A ¬A
1
0
0
1
Exemple – Supposons V al(p) = 1 et V al(q) = 0. Que vaut V al(¬(p ∧ ¬q)) ?
p
1
1
0
0
q ¬q
1 0
0 1
1 0
0 1
p ∧ ¬q
0
1
0
0
¬(p ∧ ¬q)
1
0
1
1
La dernière colonne est la signature de l’expression. Traduisons en français :
– On a pas que p et pas q
– On a pas à la fois p et pas q
– On a pas p sans q
– Si on a p, on a q
2
– Si p, alors q
On appelle ceci par usage implication. Ici, on appellera ça le conditionnel
Définition 0.5
Le conditionnel, noté A ⊃ B est l’abréviation de ¬(A ∧ ¬B).
Sa table de vérité est
A
1
1
0
0
A⊃B
1
0
1
1
B
1
0
1
0
Définition 0.6
Le biconditionnel, noté A ≡ B, est l’abréviation de (A ⊃ B) ∧ (B ⊃ A).
Sa table de vérité est
A
1
1
0
0
Exemple – Considérons l’argument
A≡B
1
0
0
1
B
1
0
1
0
¬(p ∧ q)
p
¬q
Alors :
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
¬(p ∧ q) p
0
1
1
1
1
0
1
0
¬q
0
1
0
1
Alors sur toutes les lignes où tous les prémisses sont vraies (il n’y en a qu’une !), la conclusion est vraie.
L’argument est donc valide !
Exemple – Considérons maintenant l’argument
¬(p ∧ q)
¬p
q
Alors :
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
¬(p ∧ q) ¬p
0
0
1
0
1
1
1
1
q
1
0
1
0
Sur la dernière ligne, les deux prémisses sont vraies et la conclusion fausse : cette fois, l’argument n’est pas
valide.
Demandons-nous maintenant : Quelles sont les fonctions de vérité exprimables à l’aide de la base (¬, ∧) ?
3
Cela nous amène à :
Définition 0.7
Un ensemble de connecteurs à l’aide duquel toute fonction de vérité est exprimable est dit adéquat.
Proposition 0.8
{¬, ∧} est adéquat.
Démonstration. Il suffit de faire tous les cas possibles.
La réponse était donc : toutes.
Définition 0.9
Une proposition est une tautologie si et seulement si elle est vraie quelque soit les valeurs de ses constituantes
atomiques. On note une tautologie par |=.
Exemples :
– |= ¬(p ∧ ¬p) est le principe de contradiction
– |= p ⊃ (q ⊃ p) est la loi de monotonie
– |= (p ⊃ q) ⊃ (¬q ⊃ ¬p) est la loi de contraposition
Les propositions parfois vraies, parfois fausses sont dites contingentes.
Les propositions toujours fausses sont dites inconsistantes, contradictoires ou antilogies.
Exemple – Soit p : Rennes est en Bretagne. V al(p) = 1, c’est une vérité simple mais pas une vérité logique :
6|= p.
Soit q : Vitré est en Bretagne. V al(q) = 1, mais 6|= q.
– V al(p ⊃ q) = 1 mais 6|= p ⊃ q
– V al(¬p ⊃ q) = 1 mais 6|= ¬p ⊃ q
– V al((p ∧ q) ⊃ q) = 1, et |= (p ∧ q) ⊃ q
– V al(¬p ⊃ ¬(p ∧ q)) = 1 et |= ¬p ⊃ ¬(p ∧ q)
– V al(p ⊃ (q ⊃ p)) = 1, et |= p ⊃ (q ⊃ p)
Définition 0.10
On dit que α implique logiquement β si α ⊃ β est une tautologie, i.e
α → β ⇔ |= α ⊃ β
Exemples :
– p∧q →q
– ¬p → ¬(p ∧ q)
– p→q⊃p
4
Définition 0.11
α et β sont logiquement équivalents si |= α ≡ β. On note alors α ↔ β.
Exemples :
– p ⊃ q ↔ ¬q ⊃ ¬q (contraposition)
– p ↔ ¬¬p (loi de double négation)
– ¬(p ∧ q) ↔ ¬p ∨ ¬q et ¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q (lois de De Morgan)
Finalement, α ↔ β signifie que quelle que soit la situation, α et β one la même valeur de vérité : V al(α) = V al(β).
α → β signifie que quelle que soit la situation où V al(α) = 1, on a aussi V al(β) = 1.
Définition 0.12
Soit < Γ, c > un argument propositionnel. Soient p1 , . . . , pn les éléments de Γ. On dit que < Γ, c > est valide si
n
^
pi → c
i=1
1
Systèmes formels
Définition 1.1
Un système formel S est la donnée de quatre ensembles < A, F, P, R > où
– A est l’alphabet de S (au plus dénombrable, au moins deux éléments)
– F est l’ensemble des formules de S (c’est un sous-ensemble de suites finies d’éléments de A)
– P est l’ensemble des axiomes de S (c’est une partie de F )
– R est l’ensemble des règles de S (c’est un ensemble fini de relations formelles entre formules de S
(A, F ) est le langage formel de S et (P, R) est l’appareil déductif de S.
Exemple – Soit S1 =< A, F, P, R > où
– A = A1 ∪ A2 , avec A1 = {a, b, c} et A2 = {]}
– F est le plus petit ensemble tel que
– A1 ⊂ F
– Si α, β ∈ F , alors la chaîne ]αβ ∈ F
Par exemple, ]]]a]a]abba est une formule.
– P : Si α, β, γ ∈ F alors les chaînes suivantes
– (schéma d’axiome I) : ]α]βα
– (schéma d’axiome II) : ]]α]βγ]]αβ]αγ
sont des axiomes.
Par exemple, sont des axiomes
– ]a]ba avec le schéma d’axiome I, α = a et β = b.
– ]a]aa avec le schéma d’axiome I, α = β = a.
– ]]ab]b]ab avec le schéma d’axiome I, α = ]ab et β = b.
– R = {R1 } : si α, β ∈ F , alors {]αβ, α} est en relation R1 avec β (i.e si on a ]αβ et α alors on a β ).
Définition 1.2
5
Une preuve dans un système formel S est une suite finie ordonnée de formules de S α1 , . . . , αn telle que αi est
soit un axiome de S, soit est obtenu par application d’une règle de S à des formules qui précèdent.
Définition 1.3
Un théorème dans un système formel S est la dernière ligne d’une preuve. Si α est un théorème de S, on note
`S α.
Exemple –
1. ] ]a]]aaa ]]a]aa]aa (axiome II, α = a, β = ]aa, γ = a)
| {z } | {z }
2. ]a]]aaa (axiome I,α = a, β = ]aa)
3. ] ]a]aa ]aa (1,2,R1 )
| {z } |{z}
4. ]a]aa (axiome I,α = a, β = a)
5. ]aa (3,4,R1 )
C’est une preuve, et donc `S1 ]aa.
2
Le système formel L0
Essayons de décrire proprement le système formel L0 , i.e le calcul propositionel. On a vu que {¬, ⊃} était
adéquat.
2.1
L’alphabet
On a
– A1
– A2
– A3
2.2
A = A1 ∪ A2 ∪ A3 où
= {p1 , . . . , pr , . . .} l’ensemble des variables propositionnelles
= {¬, ⊃} l’ensemble des connecteurs
= {(, )} l’ensemble des parenthèses
Les formules
L’ensemble des formules F est le plus petit ensemble vérifiant
(i) A1 ⊂ F
(ii) Si α, β ∈ F alors (α ⊃ β) ∈ F .
(iii) Si α ∈ F alors ¬α ∈ F .
Par convention, on ôtera les parenthèses externes si ça ne pose pas de problèmes.
2.3
Les axiomes
L’ensemble P des axiomes est le plus petit ensemble vérifiant :
Si α, β, γ ∈ F alors les chaînes formées selon les 3 schémas suivants appartiennent à P
Ax 1 : (α ⊃ (β ⊃ α))
Ax 2 : ((α ⊃ (β ⊃ γ)) ⊃ ((α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ γ)))
Ax 3 : ((¬α ⊃ ¬β) ⊃ ((¬α ⊃ β) ⊃ α)) (raisonnement par l’absurde fort)
6
2.4
Les règles
L’ensemble R des règles d’inférence est R = {M P } où M P est le plus petit ensemble de couples ordonnés tel
que : Si α, β ∈ F alors le couple ({(α ⊃ β), α}, β) ∈ M P
2.5
Propriétés de L0
Commençons par un exemple.
1. (p1 ⊃ (p1 ⊃ p1 ) ⊃ p1 )) ⊃ ((p1 ⊃ (p1 ⊃ p1 )) ⊃ (p1 ⊃ p1 )) (Ax 2, α = p1 , β = p1 ⊃ p1 et γ = p1 )
2. p1 ⊃ ((p1 ⊃ p1 ) ⊃ p1 ) (Ax 1, α = p1 , β = p1 ⊃ p1 )
3. (p1 ⊃ (p1 ⊃ p1 )) ⊃ (p1 ⊃ p1 ) (1+2 – M P )
4. p1 ⊃ (p1 ⊃ p1 ) (Ax 1, α = p1 = β)
5. p1 ⊃ p1 (3+4 – M P )
Finalement, `L0 p1 ⊃ p1 .
On dit alors que `L0 α ⊃ α est un schéma de théorème.
Métathéorème 2.1
L0 est fondé, i.e quelque soit la formule α de L0 , si `L0 α alors |= α.
Définition 2.2
Un système formel S est consistant si il existe une formule α de S telle que 6`S α.
Métathéorème 2.3
L0 est un système formel consistant.
Démonstration. 6`L0 p1 car 6|= p1 et contraposée du métathéorème 2.1.
Définition 2.4
Un système formel S est dit contradictoire s’il existe dans S un symbole ] interprété comme une négation
propositionnelle ainsi qu’une formule α tels que à la fois `S α et `S ]α.
Métathéorème 2.5
L0 est non contradictoire.
Démonstration. Soit α tel que `L0 α. Par le métathéorème 2.1, |= α. Ainsi 6|= ¬α. Par métathéorème 2.1,
6`L0 ¬α.
Définition 2.6
Dans un système formel S, une déduction à partir d’un ensemble Γ de formules de S est une suite finie ordonnée
de formules de S (α1 , . . . , αn ) telle que chaque αi soit :
– soit un axiome de S.
– soit un élément (formule) de Γ (on l’appelle alors prémisse).
– soit est obtenue par application d’une règle de S à des formules précédentes.
7
Définition 2.7
Dans un système formel S, une formule α est une conclusion à partir d’une ensemble Γ de formules de S si il
existe une déduction à partir de Γ où α est la dernière ligne.
Notation – α est une conclusion à partir de Γ dans S : Γ `S α.
Exemples :
– ¬p1 ⊃ ¬p2 , p2 `L0 p1
– Γ, p1 ⊃ p2 `L0 p1
–
, `L0 p1 ⊃ p1 (on ne note pas ∅)
Démonstration. Pour le premier exemple :
1)(¬p1 ⊃ ¬p2 ) ⊃ ((¬p1 ⊃ p2 ) ⊃ p1 )
2)¬p1 ⊃ ¬p2
Ax 3
Prémisse
3)(¬p1 ⊃ p2 ) ⊃ p1
1, 2 + MP
4)p2 ⊃ (¬p1 ⊃ p2 )
Ax 1
5)p2
Prémisse
6)¬p1 ⊃ p2
4, 5 + MP
7)p1
3, 6 + MP
Définition 2.8
Un ensemble Γ de formules d’un système formel S est consistant dans S s’il existe au moins une formule de α
de S tel que Γ `S α.
Définition 2.9
Un ensemble Γ de formules d’un système formel S est contradictoire dans S s’il existe dans S un symbole ]
interprété comme une négation propositionnelle et une formule α telle que Γ `S α et Γ `S ]α.
Exemples :
– Γ1 = {¬(p1 ⊃ p2 ), p2 } est contradictoire dans L0 . En effet
∈ Γ1
1)p2
2)p2 ⊃ (p1 ⊃ p2 )
Ax 1
3)p1 ⊃ p2
1, 2 + MP
Finalement, Γ1 `L0 p1 ⊃ p2 et Γ1 `L0 ¬(p1 ⊃ p2 ).
– Γ2 = {¬(p1 ⊃ p2 ), p1 }. Γ2 est consistant dans L0 , mais comment montrer qu’une formule ne se déduit
pas ?
8
Remarque – ¬p1 ⊃ ¬p2 , p2 `L0 p1
¬p1 ⊃ ¬p2 `L0 p2 ⊃ p1
∅ `L0 (¬p1 ⊃ ¬p2 ) ⊃ (p2 ⊃ p1 )
Ces trois déductions semblent être pareilles. En effet, on a le métathéorème :
Métathéorème 2.10 : Détachement de l’antécédent
Dans L0 , soient Γ un ensemble de formules, α, β ∈ F . Alors s’il existe une déduction
Γ `L0 α ⊃ β,
alors
Γ, α `L0 β.
Démonstration. On suppose que de Γ on a une déduction (α1 , . . . , αn ) où αn = α ⊃ β). Alors
1) α1
2) α2
..
.
n) α ⊃ β
n + 1) α
∈ Γ ∪ {α}
n + 2) β
n, n + 1 + MP
Métathéorème 2.11 : de la déduction
Si on a Γ ⊂ F , et α, β ∈ F , alors :
si Γ, α `L0 β, alors Γ `L0 α ⊃ β.
Lemme 2.12
Soient Γ ⊂ F , et α, β ∈ F . On a : si Γ `L0 β alors Γ `L0 α ⊃ β.
Démonstration. Exercice 7, TD 2.
Lemme 2.13
Soient Γ ⊂ F , et α, β, γ ∈ F . On a : si Γ `L0 α ⊃ β et Γ `L0 α ⊃ (β ⊃ γ) alors Γ `L0 α ⊃ γ.
9
Démonstration.
..
.
n) α ⊃ β
..
.
n + m) α ⊃ (β ⊃ γ)
n + m + 1) α ⊃ (β ⊃ γ) ⊃ ((α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ γ))
n + m + 2) (α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ γ)
Ax 2
n + m, n + m + 1– MP
n + m + 3) α ⊃ γ
n, n + m + 2– MP
Démonstration. Métathéorème 2.11 de la déduction
On procède par récurrence sur le nombre de lignes de Γ, α `L0 β.
S’il n’y a qu’une seule ligne, 3 cas s’offrent à nous :
Cas 1 : β est un axiome.
On a alors `L0 β, d’où Γ `L0 β. Le lemme 2.12 nous dit Γ `L0 α ⊃ β.
Cas 2 : β ∈ Γ.
Alors Γ `L0 β et le lemme 2.12 nous dit Γ `L0 α ⊃ β.
Cas 3 : β = α.
On a montré que `L0 α ⊃ α, et donc Γ `L0 α ⊃ β
Supposons maintenant que si Γ, α `L0 β en au plus n lignes, alors Γ `L0 α ⊃ β. Montrons que Γ, α `L0 β en
n + 1 lignes nous donne Γ `L0 α ⊃ β.
Cas 1 : β est un axiome.
Ouais, ok.
Cas 2 : β ∈ Γ.
Ouais, ok.
Cas 3 : β = α.
Ouais, ok.
Cas 4 : β est obtenu à partir de deux lignes « i) γ ⊃ β » et « j) γ », i, j 6 n.
Alors Γ, α `L0 γ ⊃ β et par hypothèse de récurrence,
Γ `L0 α ⊃ (γ ⊃ β)
et Γ, α `L0 γ et par hypothèse de récurrence,
Γ `L0 α ⊃ γ
Ces deux déductions et le lemme 2.13 nous donnent
Γ `L0 α ⊃ β.
Exemples :
10
– Retournons à la remarque de tout à l’heure :
¬p1 ⊃ ¬p2 , p2 `L0 p1 .
Alors par métathéorème 2.11 de la déduction,
¬p1 ⊃ ¬p2 `L0 p2 ⊃ p1 .
En réappliquant le métathéorème, on obtient
`L0 (¬p1 ⊃ ¬p2 ) ⊃ (p2 ⊃ p1 ).
– Retournons à notre Γ2 = {¬(p1 ⊃ p2 ), p2 }.
Supposons Γ2 `L0 p2 , i.e¬(p1 ⊃ p2 ), p1 `L0 p2 .
En appliquant deux fois le métathéorème 2.11 de la déduction, on obtient
¬(p1 ⊃ p2 ) `L0 p1 ⊃ p2
puis
`L0 (¬(p1 ⊃ p2 )) ⊃ (p1 ⊃ p2 ).
Or 6|= (¬(p1 ⊃ p2 )) ⊃ (p1 ⊃ p2 ) et L0 est fondé. D’où une contradiction, et donc Γ2 6`L0 p2 , et finalement
Γ2 est consistant.
On considère maintenant un ensemble de valeur V = {0, 1}, où 1 représente le "vrai" et 0 le "faux".
On note Fat l’ensemble des formules atomiques {p1 , . . . , pn , . . .}. On remarque Fat ⊆ F .
Définition 2.14
Dans L0 , un modèle est la donnée d’un ensemble M ⊆ Fat .
On note P(Fat ) l’ensemble de tous les modèles.
Exemple – Fat est un modèle, ∅ aussi.
Définition 2.15
Soit M un modèle. L’évaluation relative à M est la donnée de l’application ValM définie comme suit :
1 si α ∈ M
(i) si α ∈ Fat , alors ValM (α) =
0 sinon
1 si ValM (β) = 0
(ii) si α est ¬β, alors ValM (α) =
0 si ValM (β) = 1
0 si ValM (γ) = 1 ou ValM (β) = 0
(iii) si α est β ⊃ γ, alors ValM (α) =
1 sinon
Exemples :
– On pose α = ¬(p1 ⊃ p3 ) et M1 = {p1 }. Alors
1. ValM1 (p1 ) = 1
2. ValM1 (p3 ) = 0
11
3. ValM1 (p1 ⊃ p3 ) = 0
4. ValM1 (¬(p1 ⊃ p3 )) = 1
– Maintenant, si M2 = {p1 , p3 }, on a
ValM2 (α) = 0.
– Si M3 = {p3 }, alors ValM3 (α) = 0
– Si M4 = ∅, alors ValM4 (α) = 0
Exemple – Soit α = p1 ⊃ (p2 ⊃ p1 ). Montrons que α est vraie pour tous les modèles. Supposons que non : il
existe un modèle M tel que ValM (α) = 0.
Alors nécessairement, ValM (p1 ) = 1 et ValM (p2 ⊃ p1 ) = 0. Donc, de même, ValM (p2 ) = 1 et ValM (p1 ) = 0,
d’où une contradiction.
Donc α est vraie dans tous les modèles.
Notation – Si ValM (α) = 1 pour tout modèle M , on note M |= α.
Définition 2.16
On donne les définitions suivantes :
– Une formule α est dite vérifiable s’il existe un modèle M tel que M |= α.
– Une formule α est dite falsifiable s’il existe un modèle M tel que M 6|= α.
– Une formule α est dite logiquement valide si elle est vraie dans tous les modèles. On notera |= α.
– Un ensemble Γ de formules est dit vérifiable s’il existe un modèle M tel que pour toute formule α de Γ, on
ait M |= α.
Métathéorème 2.17 : L0 est fondé sur la validité logique
Quelle que soit la formule α, on a :
Si `L0 α alors |= α.
Métathéorème 2.18
Quel que soit l’ensemble Γ de formules, on a :
Si Γ est vérifiable alors Γ est consistant.
Métathéorème 2.19
Quel que soit l’ensemble Γ de formules, on a :
Si Γ est consistant alors Γ est vérifiable.
Métathéorème 2.20 : L0 est sémantiquement complet
Quel que soit la formule α, on a :
Si |= α alors `L0 α.
Lemme 2.21 : de la transformée
On définit la transformation t comme suit :
12
Si α est une formule et M un modèle, alors :
tM (α) =
α
¬α
si ValM (α) = 1
si ValM (α) = 0
Alors quelles que soient α et M , il existe dans L0 une déduction tM (f1 ), . . . , tM (fk ) `L0 tM (α) où les fi sont
les atomes de α.
Démonstration. Métathéorème 2.20
Soit α tel que |= α, et soient f1 , . . . , fk ses atomes.
On a donc ValM (α) = 1 pour tout modèle M , et donc tM (α) = 1 pour tout modèle M .
Le lemme de la transformée appliqué à α et M0 = ∅ nous donne
¬f1 , . . . , ¬fk `L0 α.
Le lemme de la transformée appliqué à α et Mk = {fk } nous donne
¬f1 , . . . , ¬fk−1 , fk `L0 α.
Par métathéorème 2.11 de la déduction, on a donc
¬f1 , . . . , ¬fk−1 `L0 ¬fk ⊃ α
et
¬f1 , . . . , ¬fk−1 `L0 fk ⊃ α
En utilisant `L0 (α ⊃ β) ⊃ ((¬α ⊃ β) ⊃ β) et MP deux fois, on obtient :
¬f1 , . . . , ¬fk−1 `L0 α.
On réitère le procédé, et on obtient `L0 α.
3
Logique du premier ordre
Définition 3.1
Ln =< A , F Ln , P, R > est un système formel pour la logique du premier ordre où :
– A = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 ∪ A6 où :
– A1 = {x1 , x2 , . . .} ensemble des variables d’objets
– A2 = {c1 , c2 , . . .} ensemble des constantes d’objets
– A3 = {f11 , . . . , fn11 , f12 , . . . , fn22 , . . .} ensemble des foncteurs (l’exposant indique l’arité du foncteur)
– A4 = {p11 , . . . , p1n1 , p21 , . . . , p2n2 , . . .} ensemble des prédicats
– A5 = {⊃, ¬, ∀}
– A6 = {(, )}
– On définit F Ln en trois étapes :
1. Termes T Ln :
(i) si α ∈ A1 ∪ A2 alors α ∈ T Ln .
(ii) si fij ∈ A3 et β1 , . . . , βj ∈ T Ln alors fij β1 , . . . , βj ∈ T Ln
(iii) rien sinon n’appartient à T Ln
13
2. Formule atomiques F ALn :
(i) si pji ∈ A4 et t1 , . . . , tj ∈ T Ln alors pji t1 . . . tj ∈ F ALn
(ii) rien sinon n’appartient à F ALn
3. Formules F Ln :
(i) si α ∈ F ALn alors α ∈ F Ln
(ii) si α ∈ F Ln alors ¬α ∈ F Ln
(iii) si α, β ∈ F Ln alors (α ⊃ β) ∈ F Ln
(iv) si α ∈ F Ln et v ∈ A1 alors (∀v)α ∈ F Ln
(v) rien sinon n’appartient à F Ln
Définition 3.2
On définit les abbréviations suivantes :
– α ∧ β = ¬(α ⊃ ¬β)
– α ∨ β = ¬α ⊃ β
– α ≡ β = (α ⊃ β) ∧ (β ⊃ α)
– (∃v)α = ¬(∀v)¬α
(∀v)α est appelé qualificateur universel, et (∃v)α est appelé qualificateur existentiel. Dans les deux cas, le
qualificateur est au nom de la variable v, et α est la portée du qualificateur.
Définition 3.3
On distinue trois types de variables :
1. Les variables indiçaires (suivant le quantificateur)
2. Les variables liées (dans la portée d’un qualificateur en leur nom)
3. Les variables libres (ni liées, ni indiçaires)
Attention aux problèmes de confusion des variables !
On ne peut substituer que les variables libres. Si x3 est libre dans α, on note α(x3 ), et pour substituer x3 on
note α[x3 /f11 c2 ].
Définition 3.4
Un terme t est libre pour une variable v dans un formule α si et seulement si chacune des variables de t reste
en occurence libre lorsqu’on substitue t à toute les occurences libres de v dans α.
Passons maintenant aux axiomes.
Définition 3.5
L’ensemble P contient les axiomes suivants :
Ax1. (α ⊃ (β ⊃ α))
Ax2. ((α ⊃ (β ⊃ γ)) ⊃ ((α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ γ)))
Ax3. ((¬α ⊃ ¬β) ⊃ ((¬α ⊃ β) ⊃ α))
Ax4. ((∀v)α ⊃ α[v/t]) où t est libre pour v dans α.
Ax5. ((∀v)(α ⊃ β) ⊃ (α ⊃ (∀v)β)) où α est sans occurence libre de v.
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Les règles :
Définition 3.6– Le modus ponens MP : {(α ⊃ β), α} → β.
– La règle de généralisation GEN : α → (∀v)α.
– INST : (∀v)α → α[v/t] avec t libre pour v dans α.
– DIST : (∀v)(α ⊃ β) → α ⊃ (∀v)β avec α sans occurence libre de v.
Définition 3.7
Dans une déduction Γ, α `Ln β, une variable libre α est tenue constante si et seulement si la règle GEN ne lie
jamais cette variable par une application à α où à une formule inférée à partir de α.
Métathéorème 3.8 : de la déduction pour LN
Si Γ, α `Ln β est une déduction où toute les variables libres se α sont tenue constantes, alors on a
Γ `Ln α ⊃ β.
Ln est un système formel du premier ordre pur, i.e de pure logique.
Un système formel du premier ordre appliqué par rapport à Ln se construit en ajoutant des axiomes propres
(on ne peut pas rajouter de nouvelles règles d’inférence), et éventuellement en restreignant le langage.
Exemple – Système formel appliqué L∗ ou structure d’ordre partiel non strict.
L’alphabet est
– A∗1 = A1 (il y a des variables)
– A∗2 = ∅ (il n’y a pas de constantes)
– A∗3 = ∅ (il n’y a pas de foncteurs)
– A∗4 = {p21 , p22 } (il y a deux prédicats binaires)
Les axiomes propres qui viennent s’ajouter aux autres sont :
Ax1∗ p21 x1 x1 (reflexivité de p21 )
Ax2∗ (p21 x1 x2 ∧ p21 x2 x3 ) ⊃ p21 x1 x3 (transitivité de p21 )
Ax3∗ (p21 x1 x2 ∧ p21 x2 x1 ) ⊃ p22 x1 x2
Ax4∗ p22 x1 x2 ⊃ ((p21 x1 x3 ≡ p21 x2 x3 ) ∧ (p21 x3 x1 ≡ p21 x3 x2 ))
Exemple – On considère Ln= avec
– Réflexivité totale : (∀x1 )x1 = x1
– On voudrait un truc du genre (∀x1 )(∀x2 )(x1 = x2 ⊃ x1 et x2 sont indiscernables.
Définition 3.9
Une formule d’un système formel du premier ordre est logiquement valide si elle est vraie dans tout modèle. On
note |= α.
Définition 3.10
Une formule α d’un système formel du premier ordre est satisfiable s’il existe un modèle M et s ∈ S(ΩM ) tels
que α soit satisfaite par s dans M .
Métathéorème 3.11 : de cohérence
Ln est cohérent, i.e est fondé (donc non contradictoire et consistant) et sémantiquement complet.
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Métathéorème 3.12 : de Löwenhein-Skolem
Tout système formel du premier ordre qui possède un modèle possède un modèle dénombrable.
Définition 3.13
Un système formel S ∗ est une expension d’un système formel S si
– toute formule de S est une formule de S ∗
– tout axiome de S est un axiome de S ∗
Si S ∗ est obtenu par ajout d’un axiome α, on notera
S ∗ = S + α.
Métathéorème 3.14
Soit α un formule fermée d’un système formel S telle que 6`S α. Alors l’expension S ∗ = S + α est non contradictoire.
Métathéorème 3.15
Un système formel du premier ordre possède un modèle si et seulement si il est non contradictoire.
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