valide prédicats

Logique et théorie des modèles
Cours de P. Joray
Définition 0.1
Dans un langage L, une proposition est un énoncé qui possède l’une des deux valeurs de vérité suivante : vrai
ou faux.
Exemples :
– « 2 + 2 = 4 », « 2+3<6», « 2+3<4», « 2 est premier » sont des propositions.
– « 2+3», « n+ 1 = 23 » ne sont pas des propositions.
Définition 0.2
Un argument est la donnée d’un couple <Γ, c > avec Γun ensemble de propositions (ici fini), on les appelle les
prémisses de <Γ, c >, et cune proposition (conclusion de <Γ, c >).
cest-elle une bonne conclusion face aux prémisses de l’argument ?
Définition 0.3
Un argument <Γ, c > est dit valide si et seulement si il est impossible que toutes les propositions de Γsoient
vraies et la conclusion cfausse.
Exemples :
–Arg1 :
12 est divisible par 6
Tout ce qui est divisible par 6 est pair
12 est pair
–Arg2 :
2 + 2 = 4
4 est pair
2 est premier
Dans Arg2, on ne voit pas pourquoi les axiomes garantissent la conclusion. D’où le principe des formes : Deux
arguments qui sont de même forme logique sont soit tous les deux valides, soit tous les deux non valides.
Exemple – Revenons sur Arg2. . .
Arg20:
4 + 4 = 8
8 est pair
4 est premier
On a fait un contre-argument.
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Exemple – Donnons un exemple de forme d’argument. Attention, ce n’est pas un argument.
nest divisible par m
tout ce qui est divisible par mest pair
nest pair
Si pour tous net mc’est correct, tous les arguments de cette forme sont valides. Sinon, tous les arguments de
cette forme sont invalides.
Parlons maintenant de logique des propositions. . .
On dispose de constantes propositionnelles, appelées connecteurs propositionnels qui sont
– ET, noté ∧, appelé conjonction
– OU, noté ∨, appelé disjonction non exclusive
– NE. . .PAS, noté ∼ou ¬
Exemple – « 3 est premier », « 3 est pair » sont des propositions simples (i.e. ne contiennent pas de connecteurs
propositionnels).
« 3 et premier ET 3 est pair », « 3 N’est PAS pair », « 3 est premier ET 3 N’est PAS pair » sont des propositions
composées ou complexes
Le langage que nous utilisons est donc
– les variables de propositions atomiques
– les connecteurs logiques propositionnels
– les parenthèses ( et )
Définition 0.4
La table de vérité de la conjonction ∧est :
A B A ∧B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
La table de vérité de la négation ¬est :
A¬A
1 0
0 1
Exemple – Supposons V al(p)=1et V al(q)=0. Que vaut V al(¬(p∧ ¬q)) ?
p q ¬q p ∧ ¬q¬(p∧ ¬q)
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
La dernière colonne est la signature de l’expression. Traduisons en français :
– On a pas que pet pas q
– On a pas à la fois pet pas q
– On a pas psans q
– Si on a p, on a q
2

– Si p, alors q
On appelle ceci par usage implication. Ici, on appellera ça le conditionnel
Définition 0.5
Le conditionnel, noté A⊃Best l’abréviation de ¬(A∧ ¬B).
Sa table de vérité est A B A ⊃B
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Définition 0.6
Le biconditionnel, noté A≡B, est l’abréviation de (A⊃B)∧(B⊃A).
Sa table de vérité est A B A ≡B
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Exemple – Considérons l’argument
¬(p∧q)
p
¬q
Alors : p q ¬(p∧q)p¬q
1 1 0 1 0
1 0 1 1 1
0 1 1 0 0
0 0 1 0 1
Alors sur toutes les lignes où tous les prémisses sont vraies (il n’y en a qu’une !), la conclusion est vraie.
L’argument est donc valide !
Exemple – Considérons maintenant l’argument
¬(p∧q)
¬p
q
Alors : p q ¬(p∧q)¬p q
1 1 0 0 1
1 0 1 0 0
0 1 1 1 1
0 0 1 1 0
Sur la dernière ligne, les deux prémisses sont vraies et la conclusion fausse : cette fois, l’argument n’est pas
valide.
Demandons-nous maintenant : Quelles sont les fonctions de vérité exprimables à l’aide de la base (¬,∧)?
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Cela nous amène à :
Définition 0.7
Un ensemble de connecteurs à l’aide duquel toute fonction de vérité est exprimable est dit adéquat.
Proposition 0.8
{¬,∧} est adéquat.
Démonstration. Il suffit de faire tous les cas possibles.
La réponse était donc : toutes.
Définition 0.9
Une proposition est une tautologie si et seulement si elle est vraie quelque soit les valeurs de ses constituantes
atomiques. On note une tautologie par |=.
Exemples :
–|=¬(p∧ ¬p)est le principe de contradiction
–|=p⊃(q⊃p)est la loi de monotonie
–|= (p⊃q)⊃(¬q⊃ ¬p)est la loi de contraposition
Les propositions parfois vraies, parfois fausses sont dites contingentes.
Les propositions toujours fausses sont dites inconsistantes,contradictoires ou antilogies.
Exemple – Soit p:Rennes est en Bretagne. V al(p)=1, c’est une vérité simple mais pas une vérité logique :
6|=p.
Soit q:Vitré est en Bretagne. V al(q)=1, mais 6|=q.
–V al(p⊃q)=1mais 6|=p⊃q
–V al(¬p⊃q)=1mais 6|=¬p⊃q
–V al((p∧q)⊃q)=1, et |= (p∧q)⊃q
–V al(¬p⊃ ¬(p∧q)) = 1 et |=¬p⊃ ¬(p∧q)
–V al(p⊃(q⊃p)) = 1, et |=p⊃(q⊃p)
Définition 0.10
On dit que αimplique logiquement βsi α⊃βest une tautologie, i.e
α→β⇔ |=α⊃β
Exemples :
–p∧q→q
–¬p→ ¬(p∧q)
–p→q⊃p
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Définition 0.11
αet βsont logiquement équivalents si |=α≡β. On note alors α↔β.
Exemples :
–p⊃q↔ ¬q⊃ ¬q(contraposition)
–p↔ ¬¬p(loi de double négation)
–¬(p∧q)↔ ¬p∨ ¬qet ¬(p∨q)↔ ¬p∧ ¬q(lois de De Morgan)
Finalement, α↔βsignifie que quelle que soit la situation, αet βone la même valeur de vérité : V al(α) = V al(β).
α→βsignifie que quelle que soit la situation où V al(α)=1, on a aussi V al(β)=1.
Définition 0.12
Soit <Γ, c > un argument propositionnel. Soient p1, . . . , pnles éléments de Γ. On dit que <Γ, c > est valide si
n
^
i=1
pi→c
1 Systèmes formels
Définition 1.1
Un système formel Sest la donnée de quatre ensembles < A, F, P, R > où
–Aest l’alphabet de S(au plus dénombrable, au moins deux éléments)
–Fest l’ensemble des formules de S(c’est un sous-ensemble de suites finies d’éléments de A)
–Pest l’ensemble des axiomes de S(c’est une partie de F)
–Rest l’ensemble des règles de S(c’est un ensemble fini de relations formelles entre formules de S
(A, F )est le langage formel de Set (P, R)est l’appareil déductif de S.
Exemple – Soit S1=< A, F, P, R > où
–A=A1∪A2, avec A1={a, b, c}et A2={]}
–Fest le plus petit ensemble tel que
–A1⊂F
– Si α, β ∈F, alors la chaîne ]αβ ∈F
Par exemple, ]]]a]a]abba est une formule.
–P: Si α, β, γ ∈Falors les chaînes suivantes
– (schéma d’axiome I) : ]α]βα
– (schéma d’axiome II) : ]]α]βγ]]αβ]αγ
sont des axiomes.
Par exemple, sont des axiomes
–]a]ba avec le schéma d’axiome I, α=aet β=b.
–]a]aa avec le schéma d’axiome I, α=β=a.
–]]ab]b]ab avec le schéma d’axiome I, α=]ab et β=b.
–R={R1}: si α, β ∈F, alors {]αβ, α}est en relation R1avec β(i.e si on a ]αβ et αalors on a β).
Définition 1.2
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