Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Équations différentielles
I Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels) 1
I.A Equation homogène ..................................... 1
I.B Structure de l’ensemble SEdes solutions de (E) ...................... 2
I.C Recherche d’une solution particulière t7→ xpart(t)..................... 2
I.D Conditions initiales ...................................... 2
II Systèmes linéaires d’ordre 1, homogènes, à coefficients constants 3
II.A Définitions et notations ................................... 3
II.B Structure de SHlorsque Aest diagonalisable ....................... 3
II.C Problème de Cauchy pour (H)lorsque Aest diagonalisable ............... 4
II.D Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux ........... 5
II.E Exemples de systèmes non homogènes ........................... 6
III Equation linéaire scalaire du second ordre, à coefficients constants 7
III.A Théorie de l’équation homogène (sans second membre) .................. 7
III.B Recherche d’une solution particulière de l’équation complète ............... 8
III.C Structure de l’ensemble des solutions ............................ 9
III.D Conditions initiales (problème de Cauchy) ......................... 10
III.E Cas réel ............................................ 10
IV Equation différentielle linéaire scalaire du second ordre 12
IV.A Ensemble des solutions de l’équation homogène ...................... 12
IV.B Ensemble des solutions de l’équation complète ....................... 12
IV.C Existence et unicité (problème de Cauchy) ......................... 13
IV.D Cas où on connaît une solution de l’équation homogène ne s’annulant pas sur I . . . . 13
V Notions sur les équations différentielles non linéaires 14
V.A Existence et unicité (problème de Cauchy) ......................... 14
V.B Exemple : équation différentielle à variables séparables .................. 14
V.C Equation autonome ...................................... 15
V.D Exemple d’équation autonome : dynamique d’une population .............. 16
VI Systèmes autonomes de deux équations différentielles du premier ordre 17
VIIMéthode d’Euler pour la résolution numérique 17
VII.ACas d’une équation scalaire du premier ordre ....................... 17
VII.BProies-prédateurs ....................................... 18
I Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels)
On étudie dans ce paragraphe l’équation différentielle :
x0=a(t)x+b(t) (E)
où aet bsont des fonctions continues, définies sur un intervalle Ide R, à valeurs dans K=Rou C,
et où xest une fonction inconnue de la variable t, de classe C1sur I, à valeurs dans K.
I.A Equation homogène
Il s’agit de l’équation :
x0=a(t)x(H)
Théorème 1.
Soit Aune primitive de asur I:
t7→ x(t)est solution de (H) ⇐⇒ ∃λ∈Ktel que : ∀t∈I, x(t) = λeA(t)
1

Démonstration. (⇐=) est clair.
(=⇒) : on cherche xsous la forme t7→ x(t)=eA(t)z(t), ce qui est possible car ∀t∈I,eA(t)6= 0. On trouve
immédiatement que t7→ z(t)est constante sur I.
Si on note SHl’ensemble des solutions de (H), on voit que SHest un espace vectoriel, plus précisément
un sous-espace vectoriel de dimension 1 de C1(I, K).
I.B Structure de l’ensemble SEdes solutions de (E)
Soit xpart :t7→ xpart(t)une solution particulière de (E) :
t7→ x(t)est solution de (E) ⇐⇒ t7→ x(t)−xpart(t)est solution de (H)
On a donc : SE=xpart +SH; il s’agit de la translatée d’une droite vectorielle, c’est-à-dire une droite
affine de C1(I, K). En résumé :
Théorème 2.
Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme :
t7→ xpart(t) + λeA(t)
où t7→ xpart(t)est une solution particulière de (E) et t7→ A(t)est une primitive de t7→ a(t)sur I.
I.C Recherche d’une solution particulière t7→ xpart(t)
Sauf solution évidente ou astuce, on la recherche sous la forme t7→ λ(t) eA(t)(variation de la
constante). On arrive à :
λ0(t) = b(t)e−A(t)
ce qui permet de déterminer une fonction t7→ λ(t)par une "simple" primitivation.
I.D Conditions initiales
Théorème 3.
On considère l’équation différentielle :
x0=a(t)x+b(t) (E)
où a, b ∈ C(I, K). Soit (t0, x0)∈I×K. Il existe une et une seule solution t7→ x(t)de E, définie sur
I, telle que : x(t0) = x0.
Démonstration. Soient t7→ xpart(t)une solution particulière de (E), et t7→ A(t)une primitive de t7→ a(t)sur I. On
sait que les solutions de (E) sont de la forme :
t7→ x(t) = xpart (t) + λeA(t)
où λest une constante. La condition initiale permet de déterminer λ:
λ=x0−xpart (t0)e−A(t0)
Remarque 1. La donnée d’une équation différentielle et de conditions initiales s’appelle Problème
de Cauchy.
Exercice 1
Trouver toutes les fonctions zde Rdans Ctelles que : z0= (2t+i)z+teit.[ed201]
Exercice 2
|x|y0+ (x−1)y=x3. Existe-t-il des solutions x7→ y(x)définies sur R?[ed202]
2

II Systèmes linéaires d’ordre 1, homogènes, à coefficients constants
II.A Définitions et notations
L’objet de ce paragraphe est la résolution des systèmes linéaires du type :
(H)
x0
1(t) = a11x1(t) + · · · +a1nxn(t)
· · ·
x0
n(t) = an1x1(t) + · · · +annxn(t)
où les aij sont des nombres fixés dans K=Rou C, et t7→ x1(t), . . . , t 7→ xn(t)des fonctions inconnues
de Rdans K.
L’écriture matricielle de la même équation est :
(H)X0(t) = AX(t)
où A∈ Mn(K)est une matrice fixée, et Xest une fonction inconnue de Rdans Kn.
Il est évident que l’ensemble SHdes solutions de (H)est un espace vectoriel, plus précisément un
sous-espace vectoriel de F(R,Kn)(espace vectoriel des fonctions de Rdans Kn).
Remarque 2. Nous allons faire la théorie complète du système homogène lorsque la matrice Aest
diagonalisable. Nous donnerons deux théorèmes : l’un sur la structure de l’ensemble des solutions,
l’autre sur l’existence et l’unicité de la solution sur Rdu problème de Cauchy. On admettra que ces
théorèmes restent valables quelle que soit la matrice A∈Mn(K).
II.B Structure de SHlorsque Aest diagonalisable
Le système différentiel linéaire à résoudre est :
(H)X0=AX
où Aest une matrice de Mn(K), diagonalisable. Il existe une matrice Pinversible et D=diag(λ1, . . . , λn)
telles que D=P−1AP . Posons Y=P−1X. La fonction Yvérifie le système :
Y0=DY
c’est-à-dire : 
y0
1(t)
.
.
.
y0
n(t)
=
λ1y1(t)
.
.
.
λnyn(t)
Ce système se résout ligne par ligne, et il existe nconstantes α1, . . . , αntelles que :
∀i∈1, . . . , n,∀t∈R, yi(t) = αieλit
On a alors : X=P Y , autrement dit :
∀t∈R,
x1(t)
.
.
.
xn(t)
=P
α1eλ1t
.
.
.
αneλnt
Notons ϕila fonction de Rdans Kndéfinie par :
∀t∈R, ϕi(t) = P
0
.
.
.
0
eλit
0
.
.
.
0
= eλitCi
où Ciest la ième colonne de P. On a donc établi :
3

X0=AX =⇒ ∃α1, . . . , αn∈Ktels que ∀t∈R, X(t) = α1ϕ1(t) + · · · +αnϕn(t)
Réciproquement, chaque ϕiest solution de (H); en effet :
∀t∈R, ϕi(t) = eλitCiet ϕ0
i(t) = λieλitCi=AeλitCi=Aϕi(t)
(λiCi=ACivient du fait que la ième colonne de Pest vecteur propre de A, associé à la valeur propre
λi). L’implication ci-dessus est donc une équivalence :
X0=AX ⇐⇒ ∃α1, . . . , αn∈Ktels que ∀t∈R, X(t) = α1ϕ1(t) + · · · +αnϕn(t)
De plus, les ϕisont linéairement indépendantes dans l’espace vectoriel F(R,Kn). En effet, si l’on
suppose β1ϕ1+· · · +βnϕn= 0, l’évaluation en 0permet de conclure β1=· · · =βn= 0 grâce à
l’indépendance linéaire des colonnes de P. La structure de SHest résumée par le théorème suivant :
Théorème 4.
Considérons l’équation :
(H)X0=AX
où Xest une fonction inconnue de Rdans Kn, et où Aest une matrice donnée de Mn(K), supposée
diagonalisable. Soient λ1, . . . , λnles valeurs propres de A, et Pune matrice dont chaque colonne Ci
est un vecteur propre de Aassocié à λi.
L’ensemble SHdes solutions de Hest un K-espace vectoriel de dimension n, dont une base est
constituée par les fonctions ϕi:t7→ eλitCi, pour i∈1, . . . , n.
II.C Problème de Cauchy pour (H)lorsque Aest diagonalisable
En général, en plus de l’équation différentielle vérifiée par X, sont données des conditions initiales,
c’est-à-dire la valeur de X(0). Le théorème suivant montre qu’il y a alors unicité de la solution.
Théorème 5.
Considérons l’équation :
(H)X0=AX
où Xest une fonction inconnue de Rdans Kn, et où Aest une matrice donnée de Mn(K), supposée
diagonalisable.
Soit K=
k1
.
.
.
kn
∈ Mn1(K)(Mn1(K)peut être identifié à Kn).
Il existe une et une seule solution t7→ X(t)de (H)telle que X(0) = K.
Démonstration. D’après la structure de SH, les solutions de (H)sont de la forme :
X:t7→ α1eλ1tC1+···+αneλntCn
où les Cisont les colonnes d’une matrice Ptelle que P−1AP est diagonale. La condition initiale X(0) = Ks’écrit
α1C1+···+αnCn=K, ce qui détermine α1,...,αncar les Ciforment une base de Kn. Plus précisément, on a :
α1
.
.
.
αn
=P−1K
Exercice 3
Résoudre le système : 
x0
1= 3x1−3x2−3x3x1(0) = 4
x0
2=−8x1+ 14x2+ 11x3x2(0) = −1
x0
3= 10x1−16x2−13x3x3(0) = 4
Indication : les valeurs propres sont 0,1et 3et on peut prendre P=
1 3 0
−1 1 1
2 1 −1
.[ed203]
4

Exercice 4
Résoudre le système : x0
1= 2x1−x2
x0
2= 5x1−2x2
où t7→ x1(t)
x2(t)est une fonction inconnue de Rdans R2, et avec les conditions initiales :
x1(0)
x2(0) =k1 k2∈R2.
Indication : la matrice du système est diagonalisable dans Cet pas dans R. On trouve donc une
solution générale qui fait intervenir des constantes complexes et des exponentielles complexes. Mais
le calcul des constantes à l’aide des conditions initiales fait bien apparaître une solution à valeurs
dans R2.[ed204]
II.D Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux
Les deux théorèmes que nous venons d’établir (structure de SHet unicité de la solution du
problème de Cauchy) restent valables que la matrice Asoit diagonalisable ou non. Nous admettrons
les deux théorèmes suivants :
Théorème 6 (structure de SH).
Considérons le système différentiel :
(H)X0(t) = AX(t)
où A∈ Mn(K)est une matrice fixée, et Xest une fonction inconnue de Rdans Kn. Les solutions de
Hforment un espace vectoriel sur K, de dimension n(sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des
fonctions de Rdans Kn).
Plus précisément : il existe nfonctions X1, . . . , Xn, linéairement indépendantes dans l’espace vectoriel
des fonctions de Rdans Kn, qui forment une base de SH. Les solutions de Hsont alors les fonctions
du type :
t7→ λ1X1(t) + · · · +λnXn(t)
où λ1, . . . , λnsont des constantes, éléments de K.
Théorème 7 (Problème de Cauchy).
Considérons l’équation :
(H)X0=AX
où Xest une fonction inconnue de Rdans Kn, et où Aest une matrice donnée de Mn(K).
Soit K=
k1
.
.
.
kn
∈ Mn1(K)(Mn1(K)peut être identifié à Kn). Il existe une et une seule solution
t7→ X(t)de (H)telle que X(0) = K.
Remarque 3. Si Aest diagonalisable dans C, il n’y a pas de problème : voir l’exercice 4ci-dessus. Si
Aest triangulaire, le système se résout de proche en proche. Et si Aest trigonalisable, on s’y ramène.
Exercice 5
5