Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Équations différentielles
I
Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels)
I.A Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Structure de l’ensemble SE des solutions de (E) . . . . . . .
I.C Recherche d’une solution particulière t 7→ xpart (t) . . . . . .
I.D Conditions initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
1
2
2
2
II Systèmes linéaires d’ordre 1, homogènes, à coefficients constants
II.A Définitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.B Structure de SH lorsque A est diagonalisable . . . . . . . . . . . . .
II.C Problème de Cauchy pour (H) lorsque A est diagonalisable . . . . .
II.D Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux .
II.E Exemples de systèmes non homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3
3
3
4
5
6
III Equation linéaire scalaire du second ordre, à coefficients constants
III.A Théorie de l’équation homogène (sans second membre) . . . . . . . . .
III.B Recherche d’une solution particulière de l’équation complète . . . . . .
III.C Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
III.D Conditions initiales (problème de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . .
III.E Cas réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
8
9
10
10
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s’annulant pas sur I
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12
12
12
13
13
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14
14
14
15
16
IV Equation différentielle linéaire scalaire du second ordre
IV.A Ensemble des solutions de l’équation homogène . . . . . .
IV.B Ensemble des solutions de l’équation complète . . . . . . .
IV.C Existence et unicité (problème de Cauchy) . . . . . . . . .
IV.D Cas où on connaît une solution de l’équation homogène ne
.
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V Notions sur les équations différentielles non linéaires
V.A Existence et unicité (problème de Cauchy) . . . . . . . . . . .
V.B Exemple : équation différentielle à variables séparables . . . .
V.C Equation autonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V.D Exemple d’équation autonome : dynamique d’une population
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VI Systèmes autonomes de deux équations différentielles du premier ordre
17
VIIMéthode d’Euler pour la résolution numérique
17
VII.ACas d’une équation scalaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VII.BProies-prédateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I
Equations linéaires scalaires du premier ordre (rappels)
On étudie dans ce paragraphe l’équation différentielle :
x0 = a(t)x + b(t)
(E)
où a et b sont des fonctions continues, définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans K = R ou C,
et où x est une fonction inconnue de la variable t, de classe C 1 sur I, à valeurs dans K.
I.A
Equation homogène
Il s’agit de l’équation :
x0 = a(t)x
(H)
Théorème 1.
Soit A une primitive de a sur I :
t 7→ x(t) est solution de (H)
⇐⇒ ∃λ ∈ K tel que : ∀t ∈ I, x(t) = λ eA(t)
1
Démonstration. (⇐=) est clair.
(=⇒) : on cherche x sous la forme t 7→ x(t) = eA(t) z(t), ce qui est possible car ∀t ∈ I, eA(t) 6= 0. On trouve
immédiatement que t 7→ z(t) est constante sur I.
Si on note SH l’ensemble des solutions de (H), on voit que SH est un espace vectoriel, plus précisément
un sous-espace vectoriel de dimension 1 de C 1 (I, K).
I.B
Structure de l’ensemble SE des solutions de (E)
Soit xpart : t 7→ xpart (t) une solution particulière de (E) :
t 7→ x(t) est solution de (E) ⇐⇒ t 7→ x(t) − xpart (t) est solution de (H)
On a donc : SE = xpart + SH ; il s’agit de la translatée d’une droite vectorielle, c’est-à-dire une droite
affine de C 1 (I, K). En résumé :
Théorème 2.
Les solutions de (E) sont les fonctions de la forme :
t 7→ xpart (t) + λ eA(t)
où t 7→ xpart (t) est une solution particulière de (E) et t 7→ A(t) est une primitive de t 7→ a(t) sur I.
I.C
Recherche d’une solution particulière t 7→ xpart (t)
Sauf solution évidente ou astuce, on la recherche sous la forme t 7→ λ(t) eA(t) (variation de la
constante). On arrive à :
λ0 (t) = b(t)e−A(t)
ce qui permet de déterminer une fonction t 7→ λ(t) par une "simple" primitivation.
I.D
Conditions initiales
Théorème 3.
On considère l’équation différentielle :
x0 = a(t)x + b(t)
(E)
où a, b ∈ C(I, K). Soit (t0 , x0 ) ∈ I × K. Il existe une et une seule solution t 7→ x(t) de E, définie sur
I, telle que : x(t0 ) = x0 .
Démonstration. Soient t 7→ xpart (t) une solution particulière de (E), et t 7→ A(t) une primitive de t 7→ a(t) sur I. On
sait que les solutions de (E) sont de la forme :
t 7→ x(t) = xpart (t) + λ eA(t)
où λ est une constante. La condition initiale permet de déterminer λ :
λ = x0 − xpart (t0 ) e−A(t0 )
Remarque 1. La donnée d’une équation différentielle et de conditions initiales s’appelle Problème
de Cauchy.
Exercice 1
Trouver toutes les fonctions z de R dans C telles que : z 0 = (2t + i)z + teit .
[ed201]
Exercice 2
|x|y 0 + (x − 1)y = x3 . Existe-t-il des solutions x 7→ y(x) définies sur R ?
[ed202]
2
II
Systèmes linéaires d’ordre 1, homogènes, à coefficients constants
II.A
Définitions et notations
L’objet de ce paragraphe est la résolution des systèmes linéaires du type :
 0
x1 (t) = a11 x1 (t) + · · · + a1n xn (t)





···
(H)




 0
xn (t) = an1 x1 (t) + · · · + ann xn (t)
où les aij sont des nombres fixés dans K = R ou C, et t 7→ x1 (t), . . . , t 7→ xn (t) des fonctions inconnues
de R dans K.
L’écriture matricielle de la même équation est :
(H) X 0 (t) = AX(t)
où A ∈ Mn (K) est une matrice fixée, et X est une fonction inconnue de R dans Kn .
Il est évident que l’ensemble SH des solutions de (H) est un espace vectoriel, plus précisément un
sous-espace vectoriel de F(R, Kn ) (espace vectoriel des fonctions de R dans Kn ).
Remarque 2. Nous allons faire la théorie complète du système homogène lorsque la matrice A est
diagonalisable. Nous donnerons deux théorèmes : l’un sur la structure de l’ensemble des solutions,
l’autre sur l’existence et l’unicité de la solution sur R du problème de Cauchy. On admettra que ces
théorèmes restent valables quelle que soit la matrice A ∈ Mn (K).
II.B
Structure de SH lorsque A est diagonalisable
Le système différentiel linéaire à résoudre est :
(H)
X 0 = AX
où A est une matrice de Mn (K), diagonalisable. Il existe une matrice P inversible et D = diag(λ1 , . . . , λn )
telles que D = P −1 AP . Posons Y = P −1 X. La fonction Y vérifie le système :
Y 0 = DY
c’est-à-dire :
 

y10 (t)
λ1 y1 (t)
 ..  

..
 . =

.
yn0 (t)
λn yn (t)

Ce système se résout ligne par ligne, et il existe n constantes α1 , . . . , αn telles que :
∀i ∈ 1, . . . , n , ∀t ∈ R, yi (t) = αi eλi t
On a alors : X = P Y , autrement dit :



x1 (t)
α1 eλ1 t




..
∀t ∈ R,  ...  = P 

.
xn (t)
αn eλn t

Notons ϕi la fonction de R dans Kn définie par :

0
..
.



 0
 λt
i
∀t ∈ R, ϕi (t) = P 
 e
 0

 .
 ..
0
où Ci est la ième colonne de P . On a donc établi :
3






 = eλi t Ci





X 0 = AX =⇒ ∃α1 , . . . , αn ∈ K tels que ∀t ∈ R, X(t) = α1 ϕ1 (t) + · · · + αn ϕn (t)
Réciproquement, chaque ϕi est solution de (H) ; en effet :
∀t ∈ R, ϕi (t) = eλi t Ci et ϕ0i (t) = λi eλi t Ci = A eλi t Ci = Aϕi (t)
(λi Ci = ACi vient du fait que la ième colonne de P est vecteur propre de A, associé à la valeur propre
λi ). L’implication ci-dessus est donc une équivalence :
X 0 = AX ⇐⇒ ∃α1 , . . . , αn ∈ K tels que ∀t ∈ R, X(t) = α1 ϕ1 (t) + · · · + αn ϕn (t)
De plus, les ϕi sont linéairement indépendantes dans l’espace vectoriel F(R, Kn ). En effet, si l’on
suppose β1 ϕ1 + · · · + βn ϕn = 0, l’évaluation en 0 permet de conclure β1 = · · · = βn = 0 grâce à
l’indépendance linéaire des colonnes de P . La structure de SH est résumée par le théorème suivant :
Théorème 4.
Considérons l’équation :
(H) X 0 = AX
où X est une fonction inconnue de R dans Kn , et où A est une matrice donnée de Mn (K), supposée
diagonalisable. Soient λ1 , . . . , λn les valeurs propres de A, et P une matrice dont chaque colonne Ci
est un vecteur propre de A associé à λi .
L’ensemble SH des solutions de H est un K-espacevectoriel de dimension n, dont une base est
constituée par les fonctions ϕi : t 7→ eλi t Ci , pour i ∈ 1, . . . , n .
II.C
Problème de Cauchy pour (H) lorsque A est diagonalisable
En général, en plus de l’équation différentielle vérifiée par X, sont données des conditions initiales,
c’est-à-dire la valeur de X(0). Le théorème suivant montre qu’il y a alors unicité de la solution.
Théorème 5.
Considérons l’équation :
(H) X 0 = AX
où X est une fonction inconnue de R dans Kn , et où A est une matrice donnée de Mn (K), supposée
diagonalisable.


k1


Soit K =  ...  ∈ Mn1 (K) (Mn1 (K) peut être identifié à Kn ).
kn
Il existe une et une seule solution t 7→ X(t) de (H) telle que X(0) = K.
Démonstration. D’après la structure de SH , les solutions de (H) sont de la forme :
X : t 7→ α1 eλ1 t C1 + · · · + αn eλn t Cn
où les Ci sont les colonnes d’une matrice P telle que P −1 AP est diagonale. La condition initiale X(0) = K s’écrit
α1 C1 + · · · + αn Cn = K, ce qui détermine α1 , . . . , αn car les Ci forment une base de Kn . Plus précisément, on a :


α1
 . 
−1
 ..  = P K
αn
Exercice 3
 0
 x1
x0
Résoudre le système :
 20
x3
= 3x1 − 3x2 − 3x3
= −8x1 + 14x2 + 11x3
= 10x1 − 16x2 − 13x3
x1 (0) = 4
x2 (0) = −1
x3 (0) = 4

1
Indication : les valeurs propres sont 0, 1 et 3 et on peut prendre P =  −1
2
4
3
1
1

0
1 .
−1
[ed203]
Exercice 4
Résoudre le système :
où t 7→
x1 (t)
x2 (t)
x01
x02
=
=
2x1 − x2
5x1 − 2x2
est une fonction inconnue de R dans R2 , et avec les conditions initiales :
x1 (0)
x2 (0)
=
k1
k2
∈ R2 .
Indication : la matrice du système est diagonalisable dans C et pas dans R. On trouve donc une
solution générale qui fait intervenir des constantes complexes et des exponentielles complexes. Mais
le calcul des constantes à l’aide des conditions initiales fait bien apparaître une solution à valeurs
dans R2 .
[ed204]
II.D
Cas général du système homogène : les deux théorèmes principaux
Les deux théorèmes que nous venons d’établir (structure de SH et unicité de la solution du
problème de Cauchy) restent valables que la matrice A soit diagonalisable ou non. Nous admettrons
les deux théorèmes suivants :
Théorème 6 (structure de SH ).
Considérons le système différentiel :
(H) X 0 (t) = AX(t)
où A ∈ Mn (K) est une matrice fixée, et X est une fonction inconnue de R dans Kn . Les solutions de
H forment un espace vectoriel sur K, de dimension n (sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des
fonctions de R dans Kn ).
Plus précisément : il existe n fonctions X1 , . . . , Xn , linéairement indépendantes dans l’espace vectoriel
des fonctions de R dans Kn , qui forment une base de SH . Les solutions de H sont alors les fonctions
du type :
t 7→ λ1 X1 (t) + · · · + λn Xn (t)
où λ1 , . . . , λn sont des constantes, éléments de K.
Théorème 7 (Problème de Cauchy).
Considérons l’équation :
(H) X 0 = AX
où X est une fonction inconnue de R dans Kn , et où A est une matrice donnée de Mn (K).


k1


Soit K =  ...  ∈ Mn1 (K) (Mn1 (K) peut être identifié à Kn ). Il existe une et une seule solution
kn
t 7→ X(t) de (H) telle que X(0) = K.
Remarque 3. Si A est diagonalisable dans C, il n’y a pas de problème : voir l’exercice 4 ci-dessus. Si
A est triangulaire, le système se résout de proche en proche. Et si A est trigonalisable, on s’y ramène.
Exercice 5
5
x01 = ax1
x02 = bx1 + ax2
x1 (0)
k1
avec les conditions initiales :
=
∈ R2 .
x2 (0)
k2
Soient a, b ∈ R∗ ; résoudre le système :
[ed205]
Exercice 6
x01 = ax1 − bx2
x02 = bx1 + ax2
x1 (0)
k1
avec les conditions initiales :
=
∈ R2 .
x2 (0)
k2
Soient a, b ∈ R∗ ; résoudre le système :
Indication : A est ici une matrice de similitude directe (i.e. une homothétie composée avec une
rotation). On peut se ramener à une équation différentielle linéaire scalaire (complexe) en posant
z = x1 + ix2 . On trouve z(t) = (k1 + ik2 )eat (cos bt + i sin bt).
[ed206]
Exercice 7

2
On pose : A =  0
−1

−5 −2
−3 −2  .
11
6


2
Trouver la fonction X de R dans R3 qui vérifie : X 0 = AX, X(0) =  1 .
−3
II.E
[ed207]
Exemples de systèmes non homogènes
Ce paragraphe n’est plus au programme de TSI, mais il est quand même prudent de le lire et de
traiter les deux exercices. Considérons l’équation :
(E) X 0 (t) = AX(t) + B(t)
où A ∈ Mn (K) est une matrice fixée, B est une application continue, définie sur un intervalle I de R,
à valeurs dans Kn , et X est une fonction inconnue de I dans Kn . Le système homogène associé est :
(H) X 0 (t) = AX(t)
et il est évident que si t 7→ Xpart (t) est une solution particulière de (E) :
t 7→ X(t) est solution de (E) ⇐⇒ t 7→ X(t) − Xpart (t) est solution de (H)
En d’autres termes, l’ensemble SE des solutions de (E) est le sous-espace affine Xpart + SH .
Exercice 8
 0
 x1 (t) = 3x1 (t) − 3x2 (t) − 3x3 (t) − 3t + 1
x0 (t) = −8x1 (t) + 14x2 (t) + 11x3 (t) + 8t
1. Résoudre le système : (E)
 20
x3 (t) = 10x1 (t) − 16x2 (t) − 13x3 (t) − 10t
(utiliser l’exercice 3, et remarquer qu’il y a une solution particulière évidente).
2. Trouver l’unique solution de E qui vérifie : x1 (0) = 4, x2 (0) = −1, x3 (0) = 4.
[ed208]
Il se trouve que la recherche d’une solution particulière n’est pas toujours évidente. On peut
"bricoler" la matrice A en traitant en même temps B(t), ce qui peut ramener à un système plus
maniable :
(E) X 0 (t) = AX(t) + B(t)
6
devient, moyennant le choix d’une matrice inversible P convenable :
P −1 X 0 (t) = P −1 AP P −1 X(t) + P −1 B(t)
c’est-à-dire :
(E1 ) Y 0 (t) = A1 Y (t) + B1 (t)
Ce dernier système est du même type que (E), mais la matrice A1 est diagonale ou triangulaire
supérieure.
Exercice 9
0
x1 (t) = −5x1 (t) + 4x2 (t) + 2e2t + et
Résoudre le système :
et trouver la solution qui vérifie
x02 (t) = −9x1 (t) + 7x2 (t) + 3e2t + 2et
x1 (0) = 2, x2 (0) = 3.
[ed209]
III
Equation linéaire scalaire du second ordre, à coefficients
constants
On revisite ce qui a été vu en Sup, avec l’outil des systèmes différentiels linéaires.
III.A
Théorie de l’équation homogène (sans second membre)
On peut omettre la lecture de la théorie qui suit, mais le théorème qui termine ce paragraphe est
essentiel et doit être connu. On considère l’équation différentielle :
(H) y 00 + ay 0 + by = 0
où a et b sont deux éléments de K fixés, et x 7→ y(x) une fonction inconnue de R dans K (= R ou
C). On suppose pour commencer que K = C. On a tout de suite une forme équivalente de l’équation
(H) :
0 0
1
y
y
0
(H )
=
y 00
− b −a
y0
0
1
On regarde maintenant si la matrice A =
est diagonalisable, ce qui conduit à l’équation
− b −a
caractéristique :
λ2 + aλ + b = 0
– Si cette équation a deux racines distinctes λ1 et λ2 (i.e. si A a deux valeurs propres distinctes
λ1 et λ2 ), alors la matrice :
1
1
P =
λ1 λ2
diagonalise A, et l’étude
faite
en II.B montre :
y
est solution de (H0 ) ⇐⇒ ∃α1 , α2 ∈ C tels que
y0
y(x)
1
1
λ1 x
λ2 x
∀x ∈ R,
= α1 e
+ α2 e
y 0 (x)
λ1
λ2
Il revient évidemment au même d’écrire :
y est solution de (H) ⇐⇒ ∃α1 , α2 ∈ C tels que ∀x ∈ R, y(x) = α1 eλ1 x +α2 eλ2 x
– Supposons maintenant que l’équation caractéristique λ2 + aλ+ b = 0a une racine double
1 0
λ0 = − a2 (dans le cas où a2 − 4b = 0). La matrice P =
trigonalise A ; plus
λ0 1
précisément on a :
P
−1
AP =
1
− λ0
0
1
0
1
− b −a
7
1
λ0
0
1
=
λ0
0
1
λ0
Ecrivons alors le système (H0 ) sous la forme équivalente :
0 y
y
00
−1
−1
−1
(H ) P
= (P AP )P
y 00
y0
(H00 ) peut encore s’écrire :
y0
− λ0 y 0 + y 00
=
λ0
0
1
λ0
y
− λ0 y + y 0
Si on pose z = −λ0 y + y 0 , on obtient le système :
0
y = λ0 y + z
(H000 )
z 0 = λ0 z
et ce système est équivalent à l’équation (H) initiale. La deuxième équation se résout directement :
∃α2 ∈ C tel que ∀x ∈ R, z(x) = α2 eλ0 x
La première équation devient alors :
y 0 = λ0 y + α2 eλ0 x
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire scalaire du premier ordre. Sa résolution amène à :
∃α1 ∈ C tel que ∀x ∈ R, y(x) = α1 eλ0 x +α2 x eλ0 x
Et on peut résumer :
Théorème 8.
On considère l’équation différentielle linéaire du second ordre :
(H) y 00 + ay 0 + by = 0
où a et b sont deux éléments de C fixés, et x 7→ y(x) une fonction inconnue de R dans C. L’ensemble
SH des solutions de (H) est un C-espace vectoriel de dimension 2. Lorsque l’équation caractéristique :
λ2 + aλ + b = 0
a deux racines distinctes λ1 et λ2 , l’espace vectoriel SH est engendré par les fonctions :
ϕ1 : x 7→ eλ1 x et ϕ2 : x 7→ eλ2 x
autrement dit les solutions de (H) sont de la forme :
y(x) = α1 eλ1 x +α2 eλ2 x
où α1 et α2 sont deux constantes complexes. Lorsque l’équation caractéristique a une racine double
λ0 , alors l’espace vectoriel SH est engendré par les fonctions :
ϕ1 : x 7→ eλ0 x et ϕ2 : x 7→ x eλ0 x
autrement dit les solutions de (H) sont de la forme :
y(x) = (α1 + α2 x) eλ0 x
où α1 et α2 sont deux constantes complexes.
III.B
Recherche d’une solution particulière de l’équation complète
On considère ici l’équation (E), qu’on appelera équation complète, par opposition à l’équation
sans second membre, ou homogène, qu’on a notée (H) :
(E) y 00 (x) + ay 0 (x) + by(x) = f (x)
où a et b sont des nombres complexes fixés. Le seul cas envisagé en TSI est le suivant :
8
f est une somme de fonctions du type x 7→ eαx P (x), avec α ∈ C et P ∈ C[X].
Exercice 10
Montrer que si f (x) est un polynôme de degré n, on peut trouver une solution particulière x 7→ ypart (x)
sous la forme d’une fonction polynôme de degré n si b 6= 0, n + 1 si b = 0 et a 6= 0, n + 2 si a = b = 0.
[ed210]
Exercice 11
On suppose que f (x) est de la forme eαx P (x), avec α ∈ C et P ∈ C[X], de degré n. Montrer
qu’on peut trouver une solution particulière x 7→ ypart (x) sous la forme x 7→ eαx Q(x), où Q est un
polynôme de degré n, n + 1 ou n + 2 suivant que α n’est pas racine, est racine simple, ou est racine
double du polynôme caractéristique.
[ed211]
Exercice 12
Remarquer que si a, b, α ∈ R, et P ∈ R[X], alors la solution particulière ypart trouvée est à valeurs
réelles.
[ed212]
Exercice 13 Superposition des solutions
On suppose que x 7→ y1 (x) et x 7→ y2 (x) sont respectivement solutions des équations y 00 +ay 0 +by = f1
et y 00 + ay 0 + by = f2 .
Montrer que x 7→ y1 (x) + y2 (x) est solution de y 00 + ay 0 + by = f1 + f2 .
[ed213]
Remarque 4 (1). Il arrive qu’il y ait une solution particulière évidente (penser à une fonction
introduite préalablement dans un énoncé).
Remarque 5 (2). Si le second membre est de la forme eαx ϕ(x), il peut être astucieux de chercher
une solution particulière sous la forme eαx ψ(x).
Remarque 6 (3). Les méthodes proposées dans les exercices de ce paragraphe sont également
valables pour les équations différentielles linéaires du premier ordre, à coefficients constants.
Remarque 7 (4). Pour les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, s’il n’y a pas
de solution particulière évidente et si le second membre n’est pas du type "TSI", l’arme fatale est la
méthode de variation des constantes (hors programme). La voici, à toutes fins utiles . . .
On a trouvé la solution générale de (H) sous la forme x 7→ α1 ϕ1 (x)+α2 ϕ2 (x). On cherche une solution
particulière de (E) sous la forme x 7→ α1 (x)ϕ1 (x) + α2 (x)ϕ2 (x), avec la condition supplémentaire :
∀x, α1 (x)ϕ01 (x) + α2 (x)ϕ02 (x) = 0. Cela aboutit, après des calculs en général pénibles.
III.C
Structure de l’ensemble des solutions
Théorème 9.
Soit x 7→ ypart (x) une solution particulière de (E) :
x 7→ y(x) est solution de (E) ⇐⇒ x 7→ y(x) − ypart (x) est solution de (H)
En d’autres termes, l’ensemble SE des solutions de (E) est le plan affine ypart + SH .
Démonstration. C’est évident !
9
III.D
Conditions initiales (problème de Cauchy)
Théorème 10.
On considère l’équation différentielle :
(E) y 00 (x) + ay 0 (x) + by(x) = eαx P (x)
où a, b, α sont des nombres complexes fixés, et P ∈ C[X]. Soient x0 ∈ R et (y0 , y1 ) ∈ C2 .
Il existe une et une seule solution x 7→ y(x) de (E) qui vérifie y(x0 ) = y0 et y 0 (x0 ) = y1 .
Exercice 14
Démontrer ce théorème, en utilisant le fait que les solutions sont de la forme :
x 7→ ypart (x) + α1 ϕ1 (x) + α2 ϕ2 (x)
où ypart est une solution particulière, et où (ϕ1 , ϕ2 ) constitue la base de SH vue dans le théorème de
III.A.
[ed214]
III.E
Cas réel
Cette fois, dans l’équation différentielle (E), les nombres a, b, α sont réels, P est un polynôme
à coefficients réels, et x 7→ y(x) est une fonction inconnue de R dans R. On a vu qu’il existe une
solution particulière ypart de (E), à valeurs dans R. On donne aussi les conditions initiales y(0) = y0
et y 0 (0) = y1 , avec (y0 , y1 ) ∈ R2 .
Trois cas se présentent, et les deux premiers sont sans problème :
– L’équation caractéristique λ2 + aλ + b = 0 a deux racines réelles λ1 et λ2 . Alors les solutions
de (E) sont a priori de la forme x 7→ ypart (x) + α1 eλ1 x +α2 eλ2 x , avec α1 et α2 constantes
complexes ; et les conditions initiales donnent α1 et α2 réels.
– L’équation caractéristique a une racine double réelle λ. Alors les solutions de (E) sont de la
forme x 7→ ypart (x) + (α1 x + α2 ) eλx , et les conditions initiales donnent α1 et α2 réels.
– L’équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées p±iq (avec q 6= 0) : les solutions
de (E) sont de la forme y : x 7→ ypart (x)+α1 e(p+iq)x +α2 e(p−iq)x , où α1 et α2 sont des constantes
complexes. On écrit que y(0) et y 0 (0) sont réels. Cela donne :
α1 + α2 ∈ R et α1 (p + iq) + α2 (p − iq) ∈ R
ce qui se ramène à :
α1 + α2 ∈ R et i(α1 − α2 ) ∈ R
Il en résulte que α2 = α1 , et donc que :
y(x) = ypart (x) + α1 e(p+iq)x +α1 e(p−iq)x
et on voit qu’il s’agit d’une fonction à valeurs réelles. On peut aussi écrire y(x) sous la forme
ypart (x) + epx (β1 cos qx + β2 sin qx).
Exercice 15
Intégrer l’équation différentielle : y 00 + 4y = x + 4 avec y(0) = y 0 (0) = 0.
[ed215]
Exercice 16
Un ressort de masse négligeable est suspendu par son extrémité supérieure. A son extrémité inférieure
est fixé un corps M , assimilable à un point matériel, de masse m. Les mouvements de M sont
−
verticaux, et la position de M est repérée par son abscisse x par rapport à un axe vertical (O, →
u ),
→
−
où u est un vecteur unitaire dirigé vers le bas, et où l’origine O correspond à l’équilibre du ressort
lesté du corps M .
L’allongement du ressort est un nombre réel α, différence entre la longueur actuelle du ressort et
sa longueur à vide ; α peut éventuellement être négatif lorsqu’au cours d’un mouvement, le ressort
se comprime. On note a l’allongement du ressort lorsqu’il est lesté du corps M , et à l’équilibre. On
10
−
a donc α = a + x. Le ressort exerce sur M une force égale à −rα→
u , où r est une constante réelle
positive (la raideur du ressort).
−
−
En outre, un frottement fluide exerce sur M une force −f →
v , où →
v est la vitesse de M , et f est un
coefficient de frottement fluide positif.
On note g l’accélération de la pesanteur (g = 9, 81ms−2 ).
à vide
a
O
M
u
à l'équilibre
avec M
M
x (abscisse de M)
en mouvement
1. Montrer que mg = ra.
2. On lâche M depuis une abscisse x0 , avec une vitesse nulle. L’abscisse de M est alors donnée
par une fonction t 7→ x(t). Montrer que cette fonction est l’unique solution du problème de
Cauchy :

 mx00 + f x0 + rx = 0
x(0) = x0
 0
x (0) = 0
3. Etudier le programme Maple suivant :
4. Pour une masse m = 1 kg, on suppose que l’allongement à l’équilibre est 61,3 cm. Cela donne
r = 16. On suppose aussi qu’on n’a pas d’oscillation forcée, que l’abscisse initiale est 1, et que
la vitesse initiale est nulle. Exécuter le programme dans les cas suivants, et observer le nombre
d’oscillations et le temps de retour à l’équilibre :
– On suppose que l’amortissement est nul.
– On suppose l’amortissement faible : f = 2.
– Amortissement critique : f = 8.
– Amortissement fort : f = 4.
– Amortissement très fort : f = 10.
5. On suppose de nouveau l’amortissement nul, et on suppose qu’un dispositif soumet M à une
force supplémentaire (oscillation forcée) :
→
−
−
F = 0, 1 × cos 4t→
u
Former l’équation du mouvement (x0 = 1). Au bout de combien de temps a-t-on une amplitude
égale à 10x0 ?
[ed216]
11
IV
Equation différentielle linéaire scalaire du second ordre
L’équation qu’on étudie dans ce paragraphe est :
α(t)x00 + β(t)x0 + γ(t)x = δ(t)
(E)
où I est un intervalle de R, α, β, γ, δ sont des fonctions continues de I dans K = R ou C, et t 7→ x(t)
est une fonction inconnue de I dans K. On suppose de plus que la fonction α ne prend pas la valeur
0 sur I. En divisant par α(t), on prendra plutôt (E) sous la forme :
(E)
x00 + a(t)x0 + b(t)x = c(t)
où a, b, c ∈ C 0 (I, K). L’équation homogène associée est :
x00 + a(t)x0 + b(t)x = 0
(H)
IV.A
Ensemble des solutions de l’équation homogène
Théorème 11.
SH , ensemble des solutions de (H), est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de C 2 (I, K).
Ce théorème est admis.
Exercice 17
Soient ϕ1 , ϕ2 ∈ SH . On suppose qu’il existe t0 ∈ I tel que :
ϕ1 (t0 ) ϕ2 (t0 ) 0
ϕ1 (t0 ) ϕ02 (t0 ) 6= 0
Montrer que (ϕ1 , ϕ2 ) est une base de SH .
[ed217]
Exercice 18
Résoudre l’équation différentielle :
t2 x00 − 2tx0 + 2x = 0
où la fonction inconnue t 7→ x(t) est définie sur ]0, +∞[.
IV.B
[ed218]
Ensemble des solutions de l’équation complète
Théorème 12.
Soit xpart : t 7→ xpart (t) une solution particulière de (E). On a :
SE = xpart + SH
Il s’agit donc d’un sous-espace affine de dimension 2 de C 2 (I, K).
Ce résultat est clair. On peut donc dire que les solutions de (E) sont les fonctions de la forme
xpart + α1 ϕ1 + α2 ϕ2
où xpart est une solution particulière de (E), ϕ1 , ϕ2 sont deux fonctions qui constituent une base de
SH , et α1 , α2 sont deux constantes de K.
12
IV.C
Existence et unicité (problème de Cauchy)
Théorème
13. Soit t0 , (x0 , x1 ) ∈ I × K2 . Il existe une et une seule solution de (E) x : I → K telle que :
x(t0 ) = x0 et x0 (t0 ) = x1
Ce résultat est admis.
Exercice 19
Soient ϕ1 et ϕ2 deux solutions linéairement indépendantes de (H). Montrer que :
ϕ (t ) ϕ2 (t0 ) 6= 0
∀t0 ∈ I, 10 0
ϕ1 (t0 ) ϕ02 (t0 ) [ed219]
Exercice 20
Intégrer l’équation différentielle :
(1 − x)y 00 + xy 0 − y = 1
(essayer de deviner les fonctions ϕ1 , ϕ2 , ypart )
Discuter le nombre de solutions y vérifiant les conditions initiales y(x0 ) = y0 , y 0 (x0 ) = y1 , avec
x0 , y0 , y1 réels fixés. Remarquer le rôle du facteur 1 − x devant y 00 .
[ed220]
IV.D
Cas où on connaît une solution de l’équation homogène ne s’annulant pas sur I
Pour les équations différentielles linéaires du second ordre, la situation varie selon que les coefficients sont constants, ou non constants.
Si les coefficients sont constants, on a une technique pour trouver une base (ϕ1 , ϕ2 ) de l’espace SH
des solutions de l’équation homogène. La seule difficulté est de trouver une solution particulière xpart
de l’équation complète (E), ce qui se fait bien avec des seconds membres particuliers, et peut être
théoriquement résolu dans le cas général par la méthode de variation des constantes.
Si les coefficients ne sont pas constants, c’est-à-dire dans le cas des équations :
(E)
x00 + a(t)x0 + b(t)x = c(t)
(H)
x00 + a(t)x0 + b(t)x = 0
avec a, b, c ∈ C 0 (I, K), on n’a aucune méthode vraiment standard, sinon la suivante :
Théorème 14.
On suppose qu’on connaît un solution particulière t 7→ ϕ(t) de (H), qui ne prend pas la valeur 0 sur
I. Alors la recherche de x, solution de (E), sous la forme t 7→ ϕ(t) × z(t), conduit à une équation
différentielle linéaire du premier ordre en z 0 .
Exercice 21
Vérifier que cette équation est :
h
ϕ0 (t) i
c(t)
z 00 (t) + z 0 (t) a(t) + 2
=
ϕ(t)
ϕ(t)
[ed221]
Remarque 8. Cette technique peut également être utilisée pour résoudre complètement (H).
13
Exercice 22
On donne l’équation différentielle :
(E)
1
x00 − x0 − x = (t + 2) et
t
En remarquant que t 7→ t et est solution de l’équation homogène, trouver toutes les solutions de (E)
définies sur l’intervalle ]0, +∞[.
[ed222]
Exercice 23
On donne l’équation différentielle :
(E)
xy 00 + 2y 0 − xy = −1
et on pose I =]0, +∞[ ou ] − ∞, 0[.
1. Trouver une solution sur I de l’équation homogène associée à (E) sous la forme d’une série
entière.
2. Résoudre complètement (E).
3. Trouver des solutions de (E) définies sur R.
[ed223]
V
Notions sur les équations différentielles non linéaires
On s’intéresse dans ce paragraphe à l’équation différentielle :
(E)
x0 = f (t, x)
où f est une fonction de classe C 1 (i.e. les dérivées partielles de f sont continues) définie sur un ouvert
U de R2 , à valeurs dans R.
V.A
Existence et unicité (problème de Cauchy)
On appelle solution de (E) un couple (I, ϕ), où I est un intervalle de R, et ϕ : I → R une fonction
qui vérifie :
∀t ∈ I, (t, ϕ(t)) ∈ U et ϕ0 (t) = f (t, ϕ(t))
et on appelle courbe intégrale de (E) la courbe représentative d’une telle fonction. On admet le
théorème suivant :
Théorème 15.
Soit (t0 , x0 ) ∈ U . Il existe une et une seule solution maximale (I, ϕ) telle que ϕ(t0 ) = x0 .
(la solution est dite maximale en ce sens que l’intervalle I est le plus gros possible).
Remarque 9. Si on a deux solutions (I, ϕ) et (J, ψ) telles que ϕ(t0 ) = x0 et ψ(t0 ) = x0 , les fonctions
ϕ et ψ coïncident sur I ∩ J.
V.B
Exemple : équation différentielle à variables séparables
C’est une équation qui peut s’écrire :
x0 =
α(t)
β(x)
où α et β sont des fonctions de classe C 1 , définies respectivement sur des intervalles ouverts I et J,
et à valeurs réelles (β ne prend pas la valeur 0, bien sûr). Ici, l’ouvert U est I × J.
14
Remarque 10. L’équation peut s’écrire β(x)dx = α(t) dt, d’où le nom variables séparables.
Si t 7→ ϕ(t) est une solution sur I, on a :
∀t ∈ I, ϕ(t) ∈ J et β(ϕ(t))ϕ0 (t) = α(t).
d’où, si B est une primitive de β sur J et si A est une primitive de α sur I :
B(ϕ(t)) = A(t) + K
où K est une constante.
En d’autres termes, l’équation différentielle β(x)dx = α(t) dt s’intègre membre à membre, comme si
x et t étaient des variables indépendantes. Mais de la sorte, on n’obtient pas explicitement ϕ(t) en
fonction de t, mais on obtient une relation implicite entre ϕ(t) et t.
Exercice 24
On donne l’équation différentielle y 0 = 1−x
y , où y désigne une fonction inconnue de la variable x.
Trouver la courbe intégrale qui passe par le point (1, 1).
Indication : bien définir l’ouvert U de R2 sur lequel est définie la fonction (x, y) 7→
1−x
y .
[ed224]
Exercice 25
On donne l’équation différentielle y 0 = ex+y , où y désigne une fonction inconnue de la variable x.
1. Tracer quelques lignes intégrales.
2. Par quelle transformation géométrique passe-t-on d’une ligne intégrale à une autre ?
[ed225]
V.C
Equation autonome
Il s’agit d’une équation différentielle du type x0 = f (x). Elle est autonome en ce sens que la
dynamique du phénomène x (= la manière dont évolue x) ne dépend que de sa situation et non du
temps. Intuitivement, on voit que la même valeur de x, à des instants différents, donnera la même
évolution. C’est illustré par le calcul suivant :
Exercice 26
Soit (I, ϕ) une solution de l’équation autonome x0 = f (x). On pose J = I − k = t − k, t ∈ I et on
note ψ l’application de J dans R définie par ψ(t) = ϕ(t + k). Montrer que (J, ψ) est une solution de
l’équation différentielle.
[ed226]
Remarquons enfin qu’une équation autonome est en particulier une équation à variables séparables,
d’où sa résolution.
Exercice 27
On donne l’équation différentielle :
p
(E)
y0 = 1 − y2
où y est une fonction inconnue de la variable réelle x.
1. Préciser l’ouvert U de R2 sur lequel la fonction (x, y) 7→
p
1 − y 2 est de classe C 1 .
2. Trouver
les lignes intégrales maximales incluses dans U . Trouver celle qui passe par le point
π, 21 .
3. Vérifier que (E) a aussi des solutions constantes.
4. Le théorème d’existence et d’unicité est-il encore valable si on ne suppose pas la fonction du
second membre de classe C 1 ?
[ed227]
15
V.D
Exemple d’équation autonome : dynamique d’une population
Une hypothèse raisonnable consiste à dire qu’une population p dont les ressources sont infinies
connaît un accroissement proportionnel à elle-même :
p(t + 1) − p(t) = αp(t)
ou encore :
p(t + 1) = (1 + α)p(t)
La suite p(0), p(1), p(2), . . . est donc géométrique, et on a :
p(n) = (1 + α)n p(0) = p(0)en ln(1+α)
Si on pose β = ln(1 + α) :
p(n) = p(0) eβn
On passe maintenant du discret au continu :
p(t) = p(0) eβt
ce qui signifie que la fonction t 7→ p(t) est solution de l’équation différentielle :
p0 (t) = βp(t)
En première approximation, la dynamique d’une population est donc représentée par l’équation différentielle :
p0 = βp
Mais ce n’est pas conforme à la réalité : les ressources ne sont pas inépuisables et on peut penser que
le coefficient β va diminuer si p augmente trop. Il y a vraisemblablement une population limite b, et
le coefficient β est d’autant plus petit que p se rapproche de cette population limite. D’où l’idée de
remplacer β par un coefficient du type a(b − p) ou a, b > 0. L’équation différentielle qui représente la
dynamique de la population p est alors :
p0 = ap(b − p)
C’est une équation à variables séparables :
dp
= a dt
p(b − p)
Exercice 28
Intégrer cette équation (en calculant la constante d’intégration en fonction de p(0)).
[ed228]
Cependant, une étude qualitative est plus intéressante : la droite p = b sépare les zones où p0 > 0
et p0 < 0 ; et comme on a p00 = a(b − 2p)p0 , on délimite facilement les zones où p00 > 0 et p00 < 0.
p
p" >0
b
p" <0
b /2
p" >0
0
t
16
VI
Systèmes autonomes de deux équations différentielles du
premier ordre
Les systèmes qu’on envisage ici sont de la forme :


 ddxt = α(x, y)
(E)

 dy = β(x, y)
dt
où α et β sont des fonctions de classe C 1 (i.e. leurs dérivées partielles sont des fonctions continues)
sur un ouvert U de R2 , à valeurs dans R. On appelle solution de (E) tout couple (I, ϕ) où I est un
intervalle de R et :
(
ϕ : I →
U
x0 (t) = α(x(t), y(t))
x(t)
vérifie ∀t ∈ I,
t 7→
y 0 (t) = β(x(t), y(t))
y(t)
On appelle courbe intégrale de (E), ou trajectoire, la courbe représentative d’une solution. Il s’agit
donc d’un arc paramétré. Il faut remarquer que si une trajectoire passe par un point A du plan (plus
exactement de l’ouvert U ) de coordonnées
xA et
yA , la tangente en A est connue a priori : il s’agit
α(xA , yA )
de la droite dirigée par le vecteur
.
β(xA , yA )
Exercice 29
( 0
x (t) = − ab y(t)
Soient a et b deux réels strictement positifs. On donne le système : (S)
y 0 (t) = ab x(t)
1. Soit (Γ) une trajectoire. Montrer que son image par une homothétie de centre O est également
une trajectoire.
2. Trouver la trajectoire qui passe par le point (a, 0).
3. En déduire l’ensemble des trajectoires.
[ed229]
Les systèmes linéaires homogènes (voir II) sont des exemples de systèmes autonomes. On verra
un autre exemple avec le système proies-prédateurs en VII.B.
VII
VII.A
Méthode d’Euler pour la résolution numérique
Cas d’une équation scalaire du premier ordre
La plupart des équations différentielles, même scalaires du premier ordre (i.e. x0 (t) = f (t, x)) sont
difficiles, voire impossibles à résoudre : on ne parvient pas en général à expliciter x(t) en fonction de
t. D’où les méthodes numériques, la plus simple étant la méthode d’Euler. Le principe est le suivant :
1. On cherche à tracer la courbe intégrale t 7→ ϕ(t) de l’équation :
(E)
x0 = f (t, x)
répondant à la condition initiale ϕ(t0 ) = x0 (f est de classe C 1 sur un ouvert U de R2 ).
2. En t0 , la pente de la tangente est connue :
ϕ0 (t0 ) = f (t0 , x0 )
3. Si on considère un instant t1 très proche de t0 , on peut admettre que la tangente en (t0 , x0 )
est pratiquement confondue avec la courbe intégrale cherchée sur l’intervalle [t0 , t1 ]. Le point
d’abscisse t1 et d’ordonnée x1 = x0 + (t1 − t0 ) × f (t0 , x0 ) est donc approximativement sur la
courbe cherchée.
4. On a maintenant un nouveau point (t1 , x1 ), et on recommence . . . .
17
Passons maintenant à la mise en œuvre : on fixe d’abord un intervalle de temps [t0 , t0 +a]. On partage
cet intervalle en n intervalles de longueur na (n est bien sûr aussi grand que possible). Et on pose
alors, pour tout entier k compris entre 1 et n :
(
tk = t0 + k na
xk
=
xk−1 +
a
n
× f (tk−1 , xk−1 )
Enfin, on remplace la courbe intégrale sur [t0 , t0 + a] par la ligne polygônale constituée par les points
(tk , xk ), quand l’entier k est compris entre 0 et n. On démontre que quand n tend vers l’infini, cette
ligne polygônale tend vers la courbe intégrale cherchée. Exemple avec Maple :
(E)
x0 =
1
x, x(0) = 1
2
Bien sûr, on n’a pas besoin de la méthode d’Euler pour résoudre (E) ! La solution est x(t) = et/2 .
Mais on pourra ici contrôler la méthode.
On crée d’abord une procédure qui s’adapte à diverses données et qui donne comme résultat [x0 , x1 , . . . , xn ].
Puis on applique cette procédure, ici avec a = 5 et n = 4. La ligne polygonale est ici assez éloignée de
la courbe réelle (e5/2 est à peu près égal à 12, alors que la figure donne 7). Mais si on prend n = 50
par exemple, on obtient une bonne approximation.
VII.B
Proies-prédateurs
On imagine un environnement occupé uniquement par deux types d’espèces animales : des proies,
par exemple des lapins, dont le nombre en fonction du temps est noté x(t). Et des prédateurs, par
exemple des renards, dont le nombre est noté y(t). On suppose que les ressources en végétation sont
telles que la seule limitation à la croissance de la population des lapins est la présence des renards.
Et on suppose aussi que les renards se nourrissent uniquement de lapins. Une modélisation de cette
situation a été faite par Volterra et Lotka ; elle donne le système différentiel autonome suivant :
(
x0 (t) = ax(t) − bx(t)y(t)
y 0 (t) = −cy(t) + dx(t)y(t)
où a, b, c, d sont des constantes positives.
La première équation nous dit qu’en l’absence de prédation (b = 0), les lapins se reproduiraient à une
18
vitesse proportionnelle à leur nombre : on aurait x0 (t) = ax(t), et donc une croissance illimitée. Le
terme −bx(t)y(t) corrige cette croissance par un terme proportionnel au produit des deux populations :
on peut en effet supposer que le nombres de funestes rencontres lapin-renard est proportionnel au
produit des deux populations !
La deuxième équation s’interprète pareillement : en l’absence de nourriture (d = 0), la population
des renards diminuerait exponentiellement (y 0 (t) = −cy(t)), mais cette diminution est corrigée par
un terme proportionnel au nombre de rencontres (et donc de repas . . . ).
Evidemment, ce système se prête à des méthodes numériques. On trouve de nombreuses simulations
sur internet (Java, Maple). Le programme Maple qui suit est
basésur la méthode d’Euler (peu
x0
performante, en fait). On part à l’instant 0 d’une population
, et on regarde l’évolution de
y0
cette population sur l’intervalle de temps [0, T ]. Pour cela,
choisit un entier n (qui réalise un
on xk
compromis entre la précision et le temps de calcul), et si
désigne la population à l’instant
yk
k Tn , on utilise l’algorithme :

 xk = xk−1 + Tn x0 (k − 1) Tn

yk = yk−1 +
T 0
ny
(k − 1) Tn
où x0 (k − 1) Tn et y 0 (k − 1) Tn sont bien sûr donnés par le système.
On voit que la population de lapins augmente lorsqu’il y a peu de renards, et cette augmentation
du nombre de lapins crée, avec un peu de retard, un augmentation du nombre de renards, ce qui
entraîne une diminution du nombre des lapins, et par suite une diminution du nombre des renards,
ce qui fait que le nombre de lapins augmente etc. !
En principe, on observe une périodicité, mais ce n’est pas flagrant avec la méthode d’Euler. Maple
utilise par défaut la méthode de Runge-Kutta pour résoudre numériquement les systèmes différentiels.
Pour le système proies-prédateurs, le résultat est très convaincant ! Le programme qui suit est extrait
du livre "Le système Maple" par Daniel Krob et Stéphane Legros (Thomson Publishing 1996) :
19