Quelques classes caractéristiques en théorie des nombres - IMJ-PRG

C. R. Acad. Sci. Paris, t. 330, S´ erie I, p. 000–000, 2000
Alg` ebre/ Algebra
(Th´ eorie des nombres/ Number Theory )
Quelques classes caract´ eristiques en th´ eorie des nombres
Max KAROUBI a, Thierry LAMBRE b,
aUFR de math´
ematiques, UMR 7586 du CNRS, Universit´ e Denis-Diderot, case 7012, 2, place Jussieu, 75251 Paris cedex 05,
France
Courriel : [e-mail]
bD´
epartement de math´ ematiques, UMR 7586 et 8628 du CNRS, Universit´ e Paris-Sud, 91405 Orsay cedex, France
Courriel : [e-mail]
(Re¸cu le 10 novembre 1999, accept´ eapr
`
es r´ evision le 10 mars 2000)
R´ esum´ e. Nous utilisons des id´ees provenant de l’homologie cyclique [3] et de la -th´eorie
pour d´efinir une sorte de caract`eredeChern pour le groupe des classes d’id´eaux
d’un corps de nombres. Pour un corps quadratique, ce caract`ere permet de d´etecter
des ´elements du groupe des classes. Dans le cas cyclotomique, ce caract`ere est reli´e
aux d´eriv´ees logarithmiques de Kummer. c2000 Acad´emie des sciences/´
Editions
scientifiques et m´edicales Elsevier SAS
Some characteristic classes in number theory
Abstract. We use ideas from cyclic homology [3] and -theory to define a kind of “Chern char-
acter” for the ideal class group of a number field. In the quadratic case, this character
gives nontrivial elements of the class group. In the cyclotomic case, this character is re-
lated to the Kummer logarithmic derivatives. c2000 Acad´emie des sciences/´
Editions
scientifiques et m´edicales Elsevier SAS
1. La trace de Dennis ` a coefficients
Soient un anneau unitaire et un entier. On d´esigne par la cat´egorie des -modules `a
droite, projectifs et de type fini. Pour dans , on pose (facteurs). L’ensemble
des triplets ,o`u et sont dans et o`u est un isomorphisme de -
modules, s’organise en une cat´egorie dont le groupe de Grothendieck est not´e .Soit le sous-
groupe de engendr´eparles´el´ements de la forme . Le groupe
quotient s’appelle le (premier) groupe de -th´eorie `a coefficients de . On note
la classe de . De la suite exacte de Bass ([1], p. 375), on
Note pr´ esent´ ee par Alain CONNES
PII here
c2000 Acad´emie des sciences/´
Editions scientifiques et m´edicales Elsevier SAS. Tous droits r´eserv´es. 1

M. Karoubi, T. Lambre
d´eduit l’extension
(1)
Par ailleurs, supposons que soit une alg`ebre sur un anneau commutatif . Notons le complexe
de Hochschild de . La multiplication par dans , not´ee est un
morphisme de complexes. L’homologie du cˆone de ce morphismeest not´ee .On
a la suite exacte tautologique
D´esignons par la multiplication de et posons . On sait que
est le sous-bimodule de engendr´e par les -formes diff´erentielles non commutatives
avec . La structure de -bimodule ´evidente sur peut s’exprimer par la relation
(cf. [3] et [4]).
Un syst`eme de coordonn´ees sur est une suite avec et
telle que pour tout de ,onait . Le rang de dans le syst`eme de coordonn´ees ,
not´e , est la trace de la matrice de l’identit´e exprim´ee dans le syst`eme de coordonn´ees . Ce rang
est un ´el´ement de .
La connexion de Levi-Civita sur est le morphisme de -modules d´efini
dans le syst`eme de coordonn´ees par
pour .Soit une application -lin´eaire. L’application -lin´eaire
est d´efinie par . Lorsque est un isomorphisme,on pose
.Apr`es le choix de syst`emes de coordonn´ees et sur et ,ond´esigne par et
les matrices respectives de et . Ces matrices sont `a coefficients dans . La matrice carr´ee
est `a coefficients dans , sa trace est not´ee .
Pour ,latrace de Dennis ` a coefficients est alors
d´efinie comme ´etant la classe d’homologie dans ,ducycle
. Cette classe d’homologie est ind´ependante des choix de et .
TH´ EOR` EME 1. – Soient une alg` ebre et . L’application est un morphisme de groupes
rendant commutatif le diagramme suivant (o` uet sont les traces de Dennis usuelles ([3], [4]).
Supposons commutative.Alors ,. Introduisonsle groupe
,o`u est le -bimoduledes formes diff´erentielles de K¨ahler–deRhamde . On sait que
et que pour ,ona . Notons le sous-groupede
engendr´e par les d´eriv´ees logarithmiques des unit´es .Ona .Le
th´eor`eme pr´ec´edent conduit au :
COROLLAIRE 2. – Soient un anneau commutatif unitaire, une -alg` ebre commutative et un
entier. On d´ esigne par le sous-groupe de engendr´ e par et . Alors la classe
2

Quelques classes caract´ eristiques en th´ eorie des nombres
caract´ eristique secondaire ,d
´
efinie pour par
est un morphisme de groupes ab´ eliens, non trivial en g´ en´ eral.
2. Le cas des anneaux d’entiers d’un corps de nombres
TH´ EOR` EME 3. – Soient l’anneau des entiers d’un corps de nombres , de groupe des classes .
Le groupe s’identifie au groupe
id´ eal fractionnaire de tel que
De plus, l’extension (1) vue plus haut se r´eduit `a la suite exacte bien connue :
(2)
o`u est le groupe des unit´es de ,lafl`eche consistant `aenvoyer sur l’id´eal .
Pour construire des ´el´ements explicites du groupe , on utilise le lemme
suivant.
LEMME 4. – Soit l’anneau des entiers d’un corps de nombres et soit un ´ el´ ement non nul de .
Pour que appartienne ` a , il suffit que la norme soit une puissance -i` eme
dans et que ,´ etant le coefficient de dans le polynˆ ome caract´ eristique de ,
consid´ er´ e comme endomorphisme du -espace vectoriel .
Voici un exemple d’application du lemme.
PROPOSITION 5. – Supposons quadratique de discriminant . Soit un nombre premier impair. On
suppose qu’il existe tel que avec et .Si
ou si et d’unit´ e fondamentale telle que ,ona
.
D
´
emonstration. – Le lemme 4 appliqu´e`a montre que appartient `a .
Le morphisme d’anneaux d´efini par induit un morphisme de
groupes
tel que .Si , ceci et (2) montrent .Si et si ,
alors appartient `a et de l’hypoth`ese , on tire , ce qui est en
contradiction avec , donc et .
Remarque 6. – L’´el´ement non trivial construit ici co¨ıncide avec celui d´ecouvert par Yamamoto [7]. ` A
partir de cet ´el´ement, cet auteur en d´eduit pour tout entier un nombre infini de corps quadratiques dont le
groupe des classes poss`ede un facteur .
Soit l’ensemble des diviseurs premiers du discriminant du corps .De
,ond´eduit si . Les classes caract´eristiques et ne peuvent donc
d´etecter d’´el´ements non triviaux de que si est ramifi´e dans . Donnons un exemple.
PROPOSITION 7. – Supposons quadratique et soit un diviseur impair du discriminant de .On
suppose qu’il existe tel que avec .Si ou si et
d’unit´ e fondamentale telle que ,alors poss` ede un ´ el´ ement d’ordre .
3

M. Karoubi, T. Lambre
D´ emonstration. – On a avec ou suivant que
est congru `a ou modulo . Le lemme 4 appliqu´e`a montre que appartient `a
. Un calcul conduit `a .Si , ceci montre que poss`ede
un ´el´ement d’ordre .Si ,de , on tire . La classe secondaire est donc
`a valeurs dans et d’o`uun´el´ement d’ordre dans .
Par exemple, soit avec .De ,ond´eduit un ´el´ement de
-torsion dans . Ou encore soit ,; l’unit´e fondamentale du
corps quadratique r´eel satisfait les conditions requises et de ,ond´eduit un
´el´ement d’ordre dans .
3. Application ` alacyclotomie
Soient un nombre premier impair et une racine primitive -i`eme de l’unit´e. Le corps cyclo-
tomique a pour groupe de Galois .Soit un g´en´erateur de op´erant dans par
avec . L’anneau des entiers de est . L’extension (2) se scinde en deux parties,
dont la partie antisym´etrique pour la conjugaison complexe s’´ecrit
On pose .
Introduisonsl’anneau de groupe . Le groupe de Galois op`ere dans par .
Le -espace vectoriel se scinde en ,o`u est de dimension .Ilexiste
une base de pour laquelle l’action de est donn´ee par , ,
, .
Rappelons que les entiers satisfont aux hypoth`eses du premier cas du dernier th´eor`eme de
Fermat (en abr´eg´eDTF1)si est un premier impair et avec . Notons
la classe de modulo . Sous l’hypoth`ese DTF1, les ´el´ements
et appartiennent respectivement `a et .
Notons et respectivement les sous-espaces vectoriels de et engendr´epar
l’orbite de (resp. ) sous l’action de .Onv´erifie facilement ,d’o`u
.Pour ´evaluer , on consid`ere la restriction de la trace
de Dennis `a . Un calcul conduit `a
avec . Compte tenu de l’action de sur sur les , on voit que le rang de est
celui de la matrice circulante suivante :
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Le calcul du rang de n´ecessite l’introduction des polynˆomes de Mirimanoff ,d´efinis
pour par . Pour , posons
Un calcul simple montre que les valeurs propres de sont les ,.
On en d´eduit que le rang de la matrice est . Posons encore
.
4

Quelques classes caract´ eristiques en th´ eorie des nombres
En conclusion, on a montr´e:
TH´ EOR` EME 8. – Supposons que soient des entiers v´ erifiant les hypoth` eses DTF1. Alors
Remarque 9. – ` A normalisation pr`es, les calculs ci-dessus correspondent `a ceux effectu´es par Br¨uckner
[2], o`u notre trace est `a comparer avec le morphisme de Br¨uckner ([2], 2.1). La quantit´e de ([2],
3.5) est telle que et la minoration correspond `a ([2],
5.1). ` A partir de cette minoration, Br¨uckner montre que le premier cas du dernier th´eor`emedeFermatest
vrai si ,o`u . On peut aussi proc´eder comme suit. Soit un
nombre premier. D’apr`es [5], [6], pour ,ona . La minoration ci-dessus montre que si
, alors le premier cas du th´eor`eme de Fermat est vrai pour .Num´eriquement, le calcul de
est tr`es rapide, ce qui n’est pas le cas pour ou .
Remerciement. Les auteurs remercient le rapporteur pour leur avoir signal´elar´ef´erence [2].
R´ ef´ erences bibliographiques
[1] Bass H., Algebraic -theory, Benjamin, New York, 1968.
[2] Br¨uckner H., Zum ersten Fall der Fermatschen Vermutung, J. Reine Ang. Math. 274-276 (1975) 21–26.
[3] Connes A., Non-commutative differential geometry, Publ. Math. Inst. Hautes ´ Etudes Sci. 62 (1985) 257–360.
[4] Karoubi M., Homologie cyclique et -th´eorie, Ast´erisque 149, Soc. Math. France, 1987.
[5] Lepist¨o T., On the growth of the first factor of the class number of the prime cyclotomic field, Ann. Sci. Fennicae,
S´erie A, I 577 (1974) Helsinki (21 p.)
[6] Mets¨ankyl¨a T., Class numbers and -invariants of cyclotomic fields, Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974) 299–300.
[7] Yamamoto Y., On unramified Galois extensions of quadratic number fields, Osaka J. Math. 7 (1970) 57–76.
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