potentiel magnétostatique

Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 1.
POTENTIEL MAGNÉTOSTATIQUE
Exercice 1.1
Prolégomènes (*)
1. Donner quelques ordres de grandeur de champs magnétiques naturels ou en laboratoire.
~ et le potentiel vecteur A.
~
2. Rappeler la relation entre le champ magnétique B
3. Rappeler la définition de la jauge de Coulomb.
~ et le potentiel vecteur A
~ aux distributions
4. Rappeler les relations reliant le champ magnétique B
de courant volumique, surfacique ou filiforme.
~ A,
~ et de la densité de courant ~j ?
5. Quelles sont les dimensions et les unités usuelles de B,
~ et A
~ par rapport à celles de
6. Rappeler les propriétés de symétrie/antisymétrie des vecteurs B
~ Appliquer ces propriétés pour retrouver les lignes
la distribution de courant à l’origine de B.
de champ d’une distribution de courant filiforme, cylindrique, d’une boucle circulaire, d’un
solénoı̈de, d’un nappe de courant.
7. Écrire les équations de Maxwell de la magnétostatique.
Exercice 1.2
Relations potentiel vecteur/champ/source (*)
Soit (~uR , ~uθ , ~uz ) la base locale des vecteurs unitaires associée aux coordonnées cylindriques (R, θ, z).
On donne les potentiels vecteurs magnétostatiques suivants:
~ = A0~uR ,
i) A
~ = A0~uθ ,
ii) A
~ = A0~uz
iii) A
~ = A0 R0 ~uz ,
et iv) A
R
où A0 et R0 sont des constantes.
1. Dans chaque cas:
~
(a) donnez la dimension des constantes A0 et R0 , et représentez A,
~ satisfait ou non la jauge de Coulomb,
(b) précisez si A
~ et discutez sa topologie,
(c) calculez le champ magnétique B
(d) trouvez la distribution de courant volumique J~ associée,
1
2. Choisissez un des cas ci-dessus et vérifiez:
~ ainsi calculé correspond bien à un champ magnétique,
(a) que le champ B
~ est satisfait.
(b) que, pour un contour fermé quelconque Γ, le “théorème” de circulation de A
Exercice 1.3
Champ magnétique uniforme
~ uniforme et un potentiel vecteur magnétostatique
On considère en un point M (→ OM = ~r) un champ B
~ donné par la relation
A
~
~ = B × ~r ,
(1.1)
A
2
~
1. Représentez A.
~ “dérive” bien de A.
~
2. Vérifiez par deux méthodes différentes que B
3. Le potentiel satisfait-il la jauge de Coulomb ?
Exercice 1.4
Nappe de courant: relations de passage (*)
On considère le plan (Ox, Oy) muni d’une base (~ux , ~uy ) et, dans ce plan, un courant surfacique
(c’est-à-dire une nappe de courant) de densité ~λ = λ~ux où λ est une constante.
1. Quelle est la dimension de λ ?
2. Trouvez, par des arguments de symétrie et d’invariance, la direction du potentiel vecteur
~ et la seule coordonnée dont il dépend.
magnétostatique A
~ en tout point extérieur à la nappe ? Et sur la nappe ?
3. Que dire du champ magnétique B
~ Que vaut-il sur la nappe ? Représentez graphiquement A.
~
4. Calculez A.
5. En déduire les relations dites “de passage” pour le potentiel. Commentez.
6. Discutez du cas de deux nappes de courant parallèles parcourues par des densités de courant
identiques ou opposées.
z
y
λ
x
2
Exercice 1.5
Solénoı̈de idéal (*)
On étudie un solénoı̈de idéal (longueur infinie) de diamètre intérieur 2a, composé de n spires jointives
par unité de longueur et parcouru par un courant constant I. Soit (~uR , ~uθ , ~uz ) la base locale des
vecteurs unitaires associée aux coordonnées cylindriques.
a
uθ
uR
z
uz
1. Si l’on souhaite modéliser ce solénoı̈de par une nappe de courant circulaire, fermée, de densité
surfacique ~λ = λ~uθ , quelle relation doit exister entre λ, n et I ?
2. Montrez, par des arguments de symétrie et d’invariance, que le potentiel vecteur magnétostatique
~ = A(R)~uθ .
dans tout l’espace est de la forme A
3. Montrez, par des arguments de symétrie et d’invariance, que le champ magnétique en tout
~ = B(R)~uz .
point de l’espace est de la forme B
~ en fonction des paramètres du modèle.
4. Calculez B
~
5. En déduire A.
~ et A.
~
6. Représentez graphiquement B
Exercice 1.6
Conducteurs cylindriques (*)
~ associé aux systèmes suivants (~uz
Établir une expression du potentiel vecteur magnétostatique A
désigne un vecteur unitaire dirigé selon leur axe principal):
1. un fil rectiligne sans épaisseur et de longueur infinie, parcouru par un courant d’intensité I
constante,
2. un fil rectiligne épais de diamètre 2a (section circulaire) et de longueur infinie, parcouru par
un courant de densité volumique J~ = J~uz , où J est une constante,
3. un fil rectiligne épais de diamètre 2a (section circulaire) et de longueur infinie, parcouru par
un courant de surface, de densité ~λ = λ~uz , où λ est une constante,
Que doivent valoir J et λ pour que le courant dans tous ces conducteurs soit le même, c’est-à-dire I?
3
Exercice 1.7
Conducteur cylindrique creux (*)
j
Un conducteur homogène ayant la forme d’un cylindre circulaire
infini de rayon R est percé d’un conduit cylindrique de rayon a
désaxé d’une distance d (0 ≤ (d + a) ≤ R) et dont l’orientation
~ Il est le siège d’une densité de
est caractérisée par le vecteur d.
courant uniforme et constante ~j, parallèle à son axe. Montrer que
~ r) pour tout point M (repéré par le vecteur
le champ magnétique B(~
~r où r représente la distance à l’axe du cylindre plein) à l’intérieur
du conduit cylindrique est uniforme et donné par l’expression
d
R
a
~ r) = µ0 ~j∧d~
B(~
2
On utilisera le théorème de superposition pour établir le résultat
demandé.
Exercice 1.8
Dipôle magnétique
Soit (~ex , ~ey , ~ez ) le repère cartésien centré en O, centre de la boucle de rayon a, parcourue par un
courant d’intensité I constante. L’axe Oz est orthogonal au plan de la spire (plan xOy). La boucle
est orientée dans le sens trigonométrique. On veut
~ r)
calculer le potentiel vecteur magnétostatique A(~
~ r) en un point M de
et le champ magnétique B(~
l’espace très éloigné de la boucle. Compte-tenu
de la symétrie de révolution du système, on peut
choisir de calculer ces quantités en un point M du
plan x0z, ce qui simplifiera les calculs. Le vecteur
−−→
OM = ~r fait un angle θ avec l’axe Oz. On considère un point P de la boucle repéré par l’angle
−→
polaire α entre OP et l’axe Ox.
z
M
r
θ
a
x
O
α
I
P
~ de la boucle autour du point P au po1. Exprimer la contribution de l’élément infinitésimal dl
~ et au champ B.
~
tentiel vecteur A
~ et de B
~ en M. Les sens et directions de
2. En déduire les expressions formelles exactes de A
ces vecteurs sont-ils conformes à vos attentes? Vérifier que ces expressions redonnent bien les
expressions connues pour M situé au centre de la boucle et sur l’axe Oz.
3. On se place loin de la boucle (r a) (cas de “l’approximation dipolaire”). En effectuant les
développements limités appropriés, montrer que le module du potentiel vecteur est proportionnel à 1/r2 et celui du champ à 1/r3 .
~ = I S ~n, où ~n
4. On introduit alors le moment magnétique dipolaire (vecteur) de la boucle : M
est la normale orientée à la surface de la boucle, soit ici ~n = e~z .
4
Montrer alors que pour r a, on obtient les expressions suivantes:
~
~ = µ0 M × ~r
A
4π r3
(1.2)
~
~
~
~ = µ0 [ − M + 3 (M.~r)~r ] = − µ0 ∇
~ ( M.~r )
B
4π
r3
r5
4π
r3
(1.3)
5. Tracer les lignes de champ.
6. Comparer ces résultats à ceux obtenus pour le dipôle électrique.
Exercice 1.9
Boucle magnétique rectangulaire
~ et au champ magnétique B
~ d’un segment
1. Rappeler les contributions au potentiel vecteur A
linéaire de fil de longueur 2l.
2. On considère une boucle rectangulaire parcourue par un courant I constant, orientée dans le
sens trigonométrique. La boucle est située dans le plan xOy et est centrée en O. Les segments
NP, QR sont parallèles à l’axe Ox et ont pour abscisses +a et -a respectivement, les segments
PQ, RN sont parallèles à l’axe Oy et ont pour ordonnées +b et -b respectivement. Donner les
~ et de B
~ en tout point de l’espace. Vérifier que le champ au centre a bien la
expressions de A
valeur attendue.
−−→
3. On se place loin de la boucle en un point M (OM = ~r) tel que r a, b. En faisant les
développements limités appropriés, montrer que l’approximation dipolaire conduit au même
résultat que pour la boucle circulaire, le moment magnétique étant défini comme précédemment
~ = I S e~z avec S = ab, surface de la boucle.
par M
Ainsi donc le potentiel vecteur et le champ magnétique d’une boucle plane à grande distance
ne dépendent que de sa surface et non de sa forme.
Exercice 1.10
Un peu d’analyse dimensionnelle, de bon sens et de physique
Sans calcul, évaluer :
~ r,
i) ∇.~
~ × ~r ,
iv) ∇
~ ×(
vii) ∇
~a
|~r − ~b|
),
~ ~r ) ,
ii) ∇.(
r
~ 1) ,
iii) ∇(
r
~ × ( ~r ) ,
v) ∇
r
~
~ P .~r ) ,
viii) ∇(
4π0 r3
5
~ × (~a ) ,
vi) ∇
r
~
~ × ( M × ~r )
ix) ∇
r3
.
6
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 2.
PHÉNOMÈNES D’INDUCTION.
FORCES DE LAPLACE.
Exercice 2.1
Prologue
1. Rappeler quelques expériences simples mettant en évidence le phénomène d’induction magnétique.
Quels sont les deux grands modes de “production”?
2. Énoncer la loi de Lenz.
3. Quelles sont les grandeurs physiques induites, leurs dimensions et unités?
4. Quelle est l’équation de Maxwell relative aux phénomènes d’induction? Donner l’expression
intégrale de cette équation.
5. Définir la notion de champ électromoteur.
Exercice 2.2
Courant induit dans une boucle (*)
Soit (~uR , ~uθ , ~uz ) la base locale des vecteurs unitaires associées aux coordonnées cylindriques. On
étudie un solénoı̈de de diamètre intérieur 2a et de longueur L a, composé de n spires jointives par
unité de longueur. Le solénoı̈de est parcouru par un courant dépendant du temps d’intensité I(t).
On rappelle que le champ magnétique crée par un tel système est constant en bonne approximation:
il vaut Bint ≈ µ0 nI à l’intérieur, et Bext Bint ≈ 0 à l’extérieur. Une boucle filiforme circulaire
de rayon b > a, conductrice (ne contenant pas de générateur) et fermée, ceinture le solénoı̈de. On
considère dans un premier temps que la boucle et le solénoı̈de ont même axe, comme indiqué sur le
schéma ci-dessous.
b
a
z
1
1. Quel phénomène particulier est mis en évidence ici ?
2. Rappelez la définition de la force électromotrice Eem . Calculez celle qui apparaı̂t dans la boucle.
3. Décrivez le mouvement des porteurs de charge. Quelle est la force responsable de ce mouvement?
4. Donnez l’intensité I 0 (t) du courant induit dans la boucle et son sens (on notera R0 la résistance
de la boucle).
~ associé au courant solénoı̈dal. Vérifiez l’expression de
5. Calculez le potentiel magnétostatique A
la force électromotrice obtenue plus haut.
6. Que se passe-t-il si:
(a) l’axe de la boucle et celui du solénoı̈de, restant parallèles, ne coı̈ncident plus ?
(b) l’axe de la boucle est incliné d’un angle α par rapport à l’axe du solénoı̈de ?
(c) la boucle n’entoure pas le solénoı̈de ?
7. Reprenez les questions précédentes dans le cas où b < a.
Exercice 2.3
Couplage électromécanique en translation (*)
On considère un fil métallique fixe, ouvert, en forme de “U”, sur lequel on place une tige elle aussi
conductrice capable de rouler sans glisser de sorte que l’on constitue un circuit fermé, comme indiqué
sur le schéma ci-dessous. On négligera les frottements. On supposera que la résistance du rail est
négligeable devant celle de la tige, notée R0 . On travaillera en coordonnées cartésiennes.
champ magnétique uniforme
B
uy
ux
fil conducteur
V
L
tige conductrice mobile
x
0
2
1. Le système est disposé horizontalement, par exemple dans un plan (Ox, Oy). On le plonge
~ ext vertical. On déplace la tige à
complètement dans un champ magnétique extérieur intense B
la vitesse V~ (constante en module) perpendiculairement aux rails.
(a) Rappelez la loi de Lenz. En déduire le sens du courant induit dans le circuit.
(b) Décrivez le mouvement des porteurs de charge en termes de force(s) magnétique et/ou
électrique.
(c) Calculez la force électromotrice Eem qui apparaı̂t dans le circuit fermé par deux méthodes
différentes. En déduire l’intensité I du courant induit. Tracez I(t).
(d) Calculez la puissance dissipée dans le circuit par effet Joule. D’où vient cette énergie ?
Faire un bilan détaillé des échanges d’énergie.
2. Que se passerait-il si le champ magnétique extérieur ne couvrait pas tout mais une partie
seulement du système ?
3. On incline maintenant le système par rapport à l’horizontale, d’un angle α, sans changer le
champ magnétique extérieur.
(a) Montrez que le mouvement de la barre est régie par une équation différentielle. Résolvez
cette équation.
(b) Montrez qu’il existe un régime où le mouvement de la tige est uniforme. Que vaut alors
le courant induit ? Comment s’écrit le bilan d’énergie ?
4. Reprenez la question 1, mais pour une tige animée d’une vitesse V~ = V (t) u~x avec:
i) V (t) = at,
ii) V (t) = V0 sin ωt,
iii) V (t) = V0 (1 − e−t/τ ),
et
où a, V0 , ω et τ sont des constantes.
5. Reprenez la question 1, mais pour les deux configurations données ci-dessous (on pourra envisager un mouvement de la tige dans les deux sens).
l sin k(x−x0 )
etc.
L/2
Exercice 2.4
L
Couplage électromécanique en rotation
Un cadre rectangulaire conducteur de dimensions L × l est libre de tourner sans frottement autour
d’un axe ∆ passant par les milieux de deux de ses côtés opposés. Il est placé dans un champ
~ ext , perpendiculaire à l’axe de rotation comme indiqué sur le schéma ci-après.
magnétique extérieur B
On repère la position du cadre par l’angle θ que fait le champ magnétique et une normale ~n au cadre.
1. Le champ magnétique extérieur est uniforme.
3
~ des forces qui s’exerce sur le cadre s’il est parcouru par un courant
(a) Calculez le couple C
I fixé par un générateur. La forme du cadre est-elle importante ? Son périmètre ? Sa
surface ?
(b) Caractérisez le ou les équilibre(s) possible(s) (position, stabilité), s’il y en a.
(c) Établissez l’équation qui gouverne le mouvement du cadre en fonction de son moment
d’inertie I∆ par rapport à l’axe de rotation.
2. A l’aide d’un moteur, on impose au cadre un mouvement de rotation à la vitesse angulaire
~ m le couple
ω constante. Le générateur précédent n’est plus connecté au cadre. On note C
développé par le moteur et R la résistance du cadre.
(a) Réécrivez l’équation qui gouverne le mouvement du cadre en tenant compte du moteur.
~ m.
En déduire C
(b) Que vaut le courant induit I qui circule dans le cadre ?
~ ext une rotation à la même fréquence que le cadre, de sorte
3. On impose au champ magnétique B
que θ est maintenant constant, mais pas nécessairement nul.
(a) Décrivez les phénomènes électriques dans le cadre.
~ m ? Quelle est la
(b) Que devient l’équation qui régit le mouvement du cadre ? Que vaut C
différence majeure avec le cas précédent ?
B ext
champ magnétique
uniforme
∆
l
L
B ext
n
cadre conducteur
4
θ
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 3.
INDUCTION MUTUELLE. AUTO-INDUCTION
Exercice 3.1
Préambule (*)
1. Exprimer pour un circuit (1) parcouru par un courant I1 le flux propre et le flux induit par
un deuxième circuit (2) parcouru par un courant I2 , en ’interaction’ avec le circuit (1). Définir
les coefficients d’auto-induction (ou inductance propre ou encore self) de chaque circuit, le
coefficient d’induction mutuelle et le coefficient de couplage. Écrire la f.e.m. induite aux
bornes de chacun des circuits.
2. Quelles sont les dimensions et les unités d’une inductance (propre ou mutuelle)?
3. Écrire l’expression du coefficient d’induction mutuelle entre deux circuits filiformes (relation de
Neumann). En déduire des propriétés de symétrie et de signe pour ce coefficient.
4. Quelle est l’énergie magnétique d’un système de deux circuits filiformes en interaction mutuelle?
5. Écrire “l’équation électrocinétique” d’un circuit parcouru par un courant I(t) comportant, en
série, un générateur, une résistance, une self et une capacité. Comment est modifiée cette
équation lorsque ce circuit est en interaction mutuelle avec un autre circuit parcouru par un
courant I2 (t)?
Exercice 3.2
Deux boucles identiques accolées (*)
On accole l’une à l’autre deux boucles conductrices identiques dont le coefficient d’auto-induction est
L. Calculer le coefficient d’induction mutuelle, avec son signe, d’une boucle sur l’autre après les avoir
orientées. Montrer que le signe ne dépend que du choix relatif d’orientation de l’une par rapport à
l’autre.
Exercice 3.3
Bobines en série (*)
Pour réaliser une bobine, on enroule un fil conducteur autour d’un cylindre isolant d’axe Oz. Il y a
deux sens d’enroulement possibles (deux hélicités): tire-bouchon +~uz ou −~uz . Dans cet exercice, on
considère deux bobines d’inductances propres respectives L1 et L2 enroulées sur le même support.
On relie en série ces deux bobines, il y a deux possibilités:
1
1. les bobinages sont enroulés dans le même sens autour de +~uz ,
2. la bobine (B1 ) est enroulée autour de ~uz et (B2 ) autour de −~uz .
Calculer l’inductance propre de (B1 ) + (B2 ) dans les deux cas ci-dessus en fonction de L1 et L2 en
tenant compte des effets d’inductance mutuelle de coefficients M12 et M21 .
Rq: Essayez d’enrouler un fil unique autour d’un support cylindrique creux: vous commencez à
enrouler la première moitié du fil (disons (B1 )) dans un sens autour du support, puis faites une pause,
respirez... maintenant enroulez la seconde partie du fil, vous avez deux choix: garder ou inverser le
sens d’enroulement.
Exercice 3.4
Deux boucles en interaction (extrait de l’examen de Sept. 2004)
Dans ce problème, on étudie les interactions magnétiques entre deux boucles circulaires d’axe commun Ox, la boucle S1 de rayon A1 et la boucle S2 de rayon A2 , avec A2 A1 . La boucle S1 est fixe
et située à l’origine; on repère la position de la boucle S2 par son abscisse x2 . On précisera clairement
les conventions d’orientation choisies sur les boucles.
1. La boucle S1 est parcourue par le courant I1 , orienté de façon à ce que le champ B~1 qu’elle crée
sur l’axe soit orienté dans le sens des x > 0.
a) Quels arguments de symétrie peut-on employer pour montrer que le champ en tout point de
l’axe est dirigé selon celui-ci?
b) Par la méthode de votre choix, calculez la valeur de B~1 en tout point P de l’axe Ox, d’abscisse
x, et exprimez ce résultat en fonction de A1 , x et I1 .
2. Donner l’expression du flux magnétique que la boucle S1 envoie dans la boucle S2 , en fonction
de l’abscisse x2 de celle-ci. En déduire l’expression du coefficient d’induction mutuelle M(x2 )
dM (x2 )
et tracer l’allure de la courbe M(x2 ).
entre les deux boucles. Calculer
dx2
3. La boucle S1 est immobile et parcourue par un courant I1 maintenu constant. La boucle S2 ,
parcourue par un courant constant I2 , est déplacée à vitesse constante v le long de l’axe. Donner en fonction du temps, l’expression de la f.e.m. induite dans la boucle S1 par ce déplacement
(on fixe l’origine des temps à l’instant où la boucle S2 traverse la boucle S1 ).
4. Les deux boucles étant fixes et distantes de d, on impose dans la boucle S2 un courant sinusoı̈dal
i2 (t) = i2o cos(ωt), le circuit de la boucle S1 ne comportant plus de générateur.
a) En tenant compte de la résistance ohmique R1 et de la self L1 de la boucle S1 , donner
l’expression du courant induit I1 .
b) Si on néglige la résistance de la boucle S2 , donner l’expression de la puissance instantanée
et de la puissance moyenne que doit fournir le générateur pour maintenir le courant i2 (t) en
régime permanent. Sous quelle forme et à quel endroit cette énergie est-elle dissipée?
2
Exercice 3.5
Principe du transformateur (*)
On considère deux solénoı̈des (S1 ) et (S2 ) de même axe Oz, imbriqués l’un dans l’autre, de même
rayon a et très longs (L >> a). Ils ont respectivement n1 et n2 spires jointives par unité de longueur,
des résistances R1 et R2 et sont parcourus par des courants d’intensités i1 et i2 comptées positivement dans le sens d’enroulement autour de ~uz . Dans cet exercice (et en pratique dans un
transformateur), les deux circuits (S1 ) et (S2 ) n’ont pas de contact électrique entre eux.
~ 1 et B
~ 2 produits par chacun des solénoı̈des.
1. Rappeler les champs magnétiques B
2. Calculer le flux magnétique reçu par (S2 ) de la part de (S1 ). En déduire le coefficient d’induction
mutuelle M12 de (S1 ) dans (S2 ). Quel est son signe? Ce signe est-il lié aux conventions
d’orientation choisies au début de l’énoncé?
3. Calculer le flux magnétique envoyé par (S1 ) à travers lui-même. En déduire le coefficient
d’induction propre ou d’auto-induction L1 du solénoı̈de (S1 ). Mêmes questions qu’en 1. pour
le signe de L1 .
4. On suppose que le premier solénoı̈de est connecté à un générateur de tension alternative u1 (t) =
U1 cosωt avec lequel il constitue un circuit fermé. En revanche, le solénoı̈de (S2 ) est en circuit
ouvert. Calculer la tension aux bornes du solénoı̈de (S2 ). Que se passe-t-il si on ferme le circuit
(S2 )?
5. Comment sont modifiés les coefficients d’induction propre et d’induction mutuelle lorsqu’on
place à l’intérieur des deux solénoı̈des un milieu ferromagnétique de perméabilité µ?
Exercice 3.6
Pince ampèremétrique (*)
On fabrique une bobine en enroulant régulièrement un fil conducteur en N spires jointives autour
d’un tore de rayon interne R, à section rectangulaire de hauteur h et de largeur a.
1. On fait passer un fil rectiligne (modélisé comme infiniment fin) selon l’axe Oz de symétrie de
révolution du tore (figure de gauche). Déterminer le coefficient d’inductance mutuelle du fil sur
le tore.
2. Déterminer le coefficient d’inductance mutuelle du tore sur le fil. A.N.: N=500, R=3cm,
h=a=1cm (à comparer à la valeur de l’inductance propre du tore).
3. Maintenant le tore entoure un fil non rectiligne placé dans une position quelconque par rapport
au tore (figure de droite). Déterminer le coefficient d’inductance mutuelle du fil sur le tore.
Expliquer comment avec le tore, on peut fabriquer un appareil permettant de mesurer le courant
électrique circulant dans un circuit sans modifier celui-ci (pince ampèremétrique).
3
4
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 4.
ÉQUATIONS DE MAXWELL DANS LE VIDE
Les champs électromagnétiques sont créés dans des zones contenant des charges en mouvement (courants)
(par ex. l’antenne de la station de radio, celle du téléphone, le Soleil, etc.). Ces champs se propagent
dans la matière et également dans le vide. Le but de ce TD est d’étudier cette propagation dans le vide à
travers la recherche de quelques solutions simples des équations de Maxwell.
Exercice 4.1
Prélude
1. Écrire les équations de Maxwell dans le vide et rappeler la signification physique des équations
intégrales correspondantes.
2. Définir la fréquence, la pulsation, la longueur d’onde, le vecteur d’onde, la phase, la vitesse de
propagation et la polarisation d’une onde plane progressive sinusoı̈dale et donner les relations
qui relient certaines d’entre elles.
3. Que vaut la vitesse de propagation de la lumière dans le vide? Comment définit-on le mètre?
4. Que vaut la densité volumique d’énergie d’une onde électromagnétique?
Exercice 4.2
Onde plane progressive
1. Rappeler les équations générales de Maxwell pour un milieu de densité volumique de charge ρ
~ Commentez brièvement la signification ou l’origine de
et de densité volumique de courant J.
chaque terme.
~ et
2. En déduire les équations aux dérivées partielles (indépendantes) vérifiées par les champs E
~ dans un domaine vide de charges et de courants.
B
3. On se restreint ici aux ondes électromagnétiques planes. On appelle ainsi les champs électromagnétiques qui, quel que soit le point de l’espace, se propagent dans une direction donnée.
Ici, on prendra comme axe de propagation l’axe z 0 Oz. On désigne par X(z, t) une composante
quelconque parmi Ex ,Ey ,Ez ,Bx ,By ,Bz .
(a) Résoudre l’équation vérifiée par X(z, t) en introduisant les variables: u = z−ct et v = z+ct
√
où c = 1/ µo o .
(b) Interpréter la solution précédente en termes d’ondes planes progressives et donner la signification physique de c.
1
Exercice 4.3
Onde plane progressive sinusoı̈dale
On considère une famille particulière de solutions des équations de Maxwell dans le vide: les ondes
~ est une fonction sinusoı̈dale
planes harmoniques à une dimension pour lesquelles le champ électrique E
de la phase spatio-temporelle kz − ωt, soit
~ t) = E
~ 0 cos(kz − ωt)
E(z,
(4.1)
~ 0 est un vecteur constant, k et ω sont des constantes ici, t désigne le temps et z la distance à
où E
l’origine.
1. Donner la relation entre k et ω. Quelle est la dimension de ces quantités ?
2. Exprimer les périodes spatiale λ et temporelle T d’une telle onde en fonction de ω et k.
3. Déterminer numériquement la longueur d’onde associée à chacune des fréquences suivantes: 105
Hz, 108 Hz, 1011 Hz, 1014 Hz, 1018 Hz et 1023 Hz. à quel domaine du spectre électromagnétique
(radio, infrarouge, optique, UV, rayons X, rayons gamma) appartiennent-elles ?
~ En déduire le plan de polarisation du champ électrique.
4. Calculer div E.
~ 0 = E0~ux .
5. On considère maintenant le cas E
(a) En utilisant la représentation réelle, calculer le champ magnétique associé à cette onde.
~ son plan de polarisation, sa direction de propagation (qui est,
Préciser la direction de B,
~ et B
~ ? Mêmes questions
bien sûr, celle de l’onde). Quelle est la relation de phase entre E
en utilisant la représentation complexe.
(b) Le vecteur de Poynting instantané est défini par
~ ~
~ = E ∧ B.
Π
µ0
Il représente le flux d’énergie transporté par l’onde électromagnétique par unité de surface.
~
~ moy (z) sur une période temporelle de
Calculer Π(z,
t). En déduire sa valeur moyenne Π
→
−
l’onde. On appelle intensité de l’onde le module du vecteur de Poynting moyen I = | Π moy |.
Pourquoi un tel choix à votre avis? (indication: calculer en ordre de grandeur la période
T d’une onde lumineuse dans le visible). Donner la dimension de I.
(c) Calculer la densité volumique d’énergie u(z, t) contenue dans le champ électromagnétique.
Calculer aussi la moyenne temporelle umoy (z) de u(z, t).
(d) Lévitation laser: un laser émet un faisceau cylindrique de section s = 1 mm2 dans la
direction verticale des z croissants. La lumière de ce laser éclaire une plaque parfaitement
réfléchissante située en z = 0. Sachant que la pression de radiation exercée par une onde
progressive monochromatique plane en incidence normale sur une plaque est P = 2I/c,
quelle est l’intensité minimale du laser nécessaire pour soulever la plaque de masse m =
1g? Donner les ordres de grandeur des champs électrique et magnétique associés.
Exercice 4.4
Polarisations linéaire et circulaire
On considère une onde électromagnétique se propageant dans le vide et dont le vecteur champ
électrique est donné par l’expression
~ r, t) = E0x cos(ωt − kz)~ux + E0y cos(ωt − kz + ϕ)~uy
E(~
1.
2.
3.
4.
Quelle est la relation entre ω et k ?
Que vaut le champ magnétique associé ?
Comment s’écrivent les champs électrique et magnétique en notation complexe?
À quelle(s) condition(s) l’onde est-elle polarisée linéairement ? circulairement ?
2
(4.2)
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 5.
RÉFLEXIONS SUR UN CONDUCTEUR PARFAIT
Exercice 5.1
Réflexion sur un conducteur parfait (incidence normale)
111111
000000
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
000000
111111
z
Une onde électromagnétique plane, progressive et monochromatique se propage dans l’air (assimilable au vide) dans la direction
des x croissants. Cette onde a pour nombre d’onde k, pour pulsation ω et elle est polarisée selon ~uz . On place en x = 0 un miroir
métallique parfait, c’est à dire de conductivité quasi-infinie. L’air
occupe le demi-espace x < 0 (milieu 1) et le métal occupe les x > 0
(milieu 2). Le miroir est infiniment étendu selon Oy et Oz.
Ei
milieu 1
uy
x
milieu 2
~ i.
1. Écrire l’expression du champ électrique de l’onde incidente E
~ r de l’onde réfléchie à la surface.
2. Écrire l’expression du champ électrique E
~ 2 dans le conducteur parfait x > 0 ? Justifiez votre réponse en
3. Que vaut le champ électrique E
écrivant la loi d’Ohm locale par exemple.
4. Exprimer la continuité du champ électrique à l’interface x = 0. En déduire la valeur de r,
coefficient complexe de réflexion en amplitude.
~1 = E
~i + E
~ r pour x < 0? Comment décrire cette onde:
5. Que vaut le champ électrique total E
est-elle plane? harmonique? progressive? polarisée? Représenter cette onde en dessinant,
sur une même figure, la courbe de E1z (x, t) en fonction de x pour différentes valeurs de t =
0, T /4, T /2, ...
~ i et B
~ r associés respectivement à l’onde incidente et à l’onde
6. Calculer les champs magnétiques B
~ 1 (x, t) pour x < 0. Quelle est la relation de
réfléchie. En déduire le champ magnétique total B
~ 1 (x, t) et magnétique B
~ 1 (x, t) dans la région x < 0?
phase entre les champs électrique E
~ 1 (x = 0− , t) et B
~ 2 (x = 0+ , t). En déduire l’expression de
7. Inspecter la relation de passage entre B
possibles courants superficiels s’écoulant à la surface du miroir. Donnez-en une interprétation
physique: leur origine, leur rôle dans l’apparition de votre double de l’autre côté du miroir.
→
−
→
−
→
−
8. Calculer les vecteurs de Poynting instantanés Π i (x, t), Π r (x, t) et Π t (x, t) des ondes incidente,
réfléchie et transmise. Donner les trois valeurs moyennes correspondantes sur une période
→
−
temporelle de l’onde. Calculer le vecteur de Poynting instantané Π 1 (x, t) dans le milieu 1 et
sa valeur moyenne sur une période temporelle. Sachant que votre salle de bain est équipée
d’une ampoule de 60 W située à 1 m du miroir, donnez un ordre de grandeur approximatif des
champs électrique et magnétique, ainsi que des courants surfaciques.
1
9. Définir et calculer les coefficients de réflexion R et de transmission T en intensité.
Exercice 5.2
Réflexion en incidence oblique sur un métal parfait
On complique légèrement la situation de l’exercice précédent en inclinant la direction de propagation de
l’onde incidente d’un angle θ par rapport à la normale au miroir. On considère un champ électrique incident
polarisé rectilignement selon le vecteur unitaire quelconque ~uz parallèle au miroir:
~ i (~r, t) = Eo cos(ωt − ~ki .~r)~uz
E
(5.1)
avec ~ki = ki (cosθ ~ux − sinθ ~uy )
(5.2)
1. Écrire la relation entre ki et la pulsation ω.
~ i associé à l’onde incidente. Représenter sur un schéma les vecteurs
2. Calculer le champ magnétique B
~ki , E
~ i et B
~i .
3. L’onde se réfléchit selon les lois de Snell-Descartes (vous pouvez le prouver!). Que vaut le vecteur
d’onde ~kr ?
4. Exprimer les conditions de passage des champs électrique et magnétique en x = 0. En déduire le
champ électromagnétique total en x < 0 .
5. Calculer les densités de courants surfaciques sur le métal en x = 0 .
→
−
→
−
→
−
6. Calculer les vecteurs de Poynting instantanés Π i (x, t), Π r (x, t) et Π t (x, t) des ondes incidente, réfléchie
et transmise. Donner leurs valeurs moyennes sur une période temporelle.
7. Définir et calculer les coefficients de réflexion R et de transmission T en intensité.
8. On revient au problème de départ: une onde plane incidente progressive monochromatique de polari~ i est parallèle à l’interface.
sation rectiligne. Reprendre l’exercice dans le cas où B
Exercice 5.3
Guide d’onde
Le guide d’onde est constitué de deux miroirs métalliques parfaits
situés en y = 0 et y = a, infinis selon Ox et Oz. On cherche à savoir
si des ondes électromagnétiques peuvent se propager entre les deux
plaques métalliques.
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
y
a
O
uz
x
1. Comparer à la situation du miroir seul. Quel va être l’effet du second miroir ?
2. On cherche une solution de la forme:
~
E(x,
y, z, t) = f (y)e(−iωt+ikz) ~ux
(5.3)
Justifier ce choix. Trouver l’équation différentielle pour f (y). Quelles sont les conditions aux limites
en y = 0 et en y = a ? Trouver f (y). Comment qualifier l’onde obtenue: progressive, stationnaire, ...?
Écrire la relation de dispersion.
3. Calculer le champ magnétique et les courants surfaciques sur les plaques.
4. Montrez que la solution obtenue entre les plaques s’écrit comme la superposition de 2 ondes planes
progressives dont vous écrirez les vecteurs d’onde.
2
5. Calculer les vecteurs de Poynting instantané et moyen.
6. Comment modifier ce qui précède pour une solution se propageant selon Ox, puis selon une direction
arbitraire du plan xy?
7. En TP, vous utiliserez un guide d’onde constitué d’un tube métallique creux à section rectangulaire.
Quelle est la différence par rapport au guide que nous venons d’étudier? Sachant que la section du
tube est de quelques centimètres carrés, quels types d’onde peuvent se propager dans un tel guide?
Pourquoi utilise-t-on des guides d’onde?
3
.
4
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 6.
MAGNÉTOSTATIQUE DES MILIEUX
PARA-, DIA- ET FERROMAGNÉTIQUES
Exercice 6.1
Préliminaires
~ et l’excitation magnétique H
~ ? Comment sont-ils reliés au
1. Qu’appelle-t-on l’aimantation M
~
champ magnétique B? Définir la susceptibilité et la perméabilité magnétiques. Préciser les
dimensions et unités de chacune de ces grandeurs.
2. Comment sont caractérisés les milieux paramagnétiques, diamagnétiques et ferromagnétiques?
Donner, pour chacun de ces trois milieux, les ordres de grandeur de la susceptibilité magnétique.
3. Définir les densités volumique et surfacique de courant d’aimantation.
4. Quelles sont les équations de Maxwell de la magnétostatique dans un milieu magnétique quelconque, puis dans un milieu magnétique linéaire, homogène, isotrope (LHI)?
Exercice 6.2
Tube aimanté (*)
1. Un long tube plein est aimanté uniformément parallèlement à son axe. Quels sont les courants
~ et de H
~ en tout point à l’intérieur du tube.
ampériens associés? En déduire la valeur de B
2. Mêmes questions pour un tube creusé symétriquement par rapport à l’axe, d’épaisseur e.
Exercice 6.3
Champ magnétique produit par un fil rectiligne (*)
On considère un fil rectiligne parcouru par un courant d’intensité I. Calculer le vecteur champ
~ dans chacune des situations suivantes:
magnétique B
1. le fil est seul dans l’espace vide (souvenez-vous, c’était votre premier calcul de magnétostatique
dans le vide !),
2. le fil est noyé dans un matériau, de perméabilité magnétique relative µr supposé remplir tout
~ en considérant que le seul courant dit ”libre” est celui
l’espace. Commencer par déterminer H
porté par le fil.
3. Le champ magnétique est-il réduit, augmenté, inchangé en présence du matériau par rapport
au champ dans le vide? Distinguer les cas paramagnétique et diamagnétique.
1
4. Calculer les courants ampériens.
Exercice 6.4
Modèle simple d’un aimant cylindrique
On considère un barreau de longueur L, de rayon R, fait d’un matériau ferromagnétique de perméabilité
~ = M u~z soit uniforme et colinéaire
magnétique µr et aimanté de sorte que le champ d’aimantation M
à l’axe du barreau.
1. Calculer les densités de courants ampériens (volumiques et surfaciques).
2. A quel système, que vous connaissez déjà, est équivalent cet aimant du point de vue du champ
~ engendré? Préciser sa valeur sur l’axe à l’intérieur et à l’extérieur de l’aimant.
magnétique B
~ en tout point de l’axe en précisant son sens.
3. Déterminer la valeur de l’excitation magnétique H
~ et H
~ aux extrémités du barreau (intérieur et extérieur)?
4. Que se passe-t-il pour B
~ donné, comment choisir le barreau pour que B soit le plus grand possible aux extrémités?
5. Pour M
Montrer qu’on ne peut pas conserver un aimant court.
Exercice 6.5
Solénoı̈de contenant un milieu magnétique (*)
On considère un√solénoı̈de, parcouru par un courant d’intensité I, de section S, de longueur l très
grande devant S et comportant n spires jointives par unité de longueur. On néglige les effets de
bord.
~ dans tout l’espace.
1. Calculer le champ magnétique B
2. On remplit tout l’espace intérieur du solénoı̈de par un milieu magnétique de susceptibilité
magnétique χm . Quand dit-on que le matériau est paramagnétique, diamagnétique ?
~ dans tout l’espace.
3. Calculer le champ H
~ dans tout l’espace.
4. En déduire le champ magnétique B
~ . En déduire les courants ampériens volumiques et sur5. Donner le champ d’aimantation M
faciques. Le champ magnétique créé par ces courants ampériens vient-il renforcer ou diminuer
le champ magnétique créé par le courant libre porté par le bobinage? De quoi dépend la
réponse?
Exercice 6.6
Tore avec entrefer (*)
Sur un tore de rayon moyen R, de section carrée de coté a (a R) fait avec un matériau ferromagnétique de perméabilité relative µr supposée constante dans les conditions d’utilisation, on bobine
sur la totalité du tore, N tours de fil parcouru par un courant I. On néglige les “fuites magnétiques”.
2
~ et le champ
1. Déterminer l’excitation magnétique H
~ en tout point de l’espace. Calculer le
magnétique B
~
champ B0 que l’on obtiendrait avec un bobinage identique dans le vide (µr =1).
2. On pratique dans le tore un entrefer vu du centre sous un
~ 0 en tout
petit angle α. Déterminer le nouveau champ B
point de l’espace (on utilisera les relations de continuité
à la sortie du tore dans l’entrefer). Comparer B 0 à B.
3. Calculer numériquement B 0 /B et B 0 /B0 pour µr =1000
et α = π/30. Calculer B0 , B et B 0 pour N=200, I=1A
et l = 2πR = 0.5m. Que doit-on faire pour obtenir un
champ intense dans l’entrefer?
Exercice 6.7
Cycle d’hystérésis
On considère un matériau ferromagnétique dont on peut schématiser en première approximation le
cycle d’hystérésis par la figure ci-contre.
1. Rappeler le montage utilisé en TP pour visualiser un cycle d’hystérésis à l’oscilloscope.
2. Quelle est la valeur maximale de l’excitation
magnétique H?
3. Exprimer B en fonction du temps et tracer le
graphe B(t).
4. Donner la méthode graphique permettant de
déterminer H(t) et le courant i(t) associé.
5. Quelle est l’énergie dissipée par période dans la
bobine du fait de l’hystérésis?
6. Donner la valeur numérique de la puissance correspondante lorsque la fréquence du courant est
de 50 Hz.
7. Quelles sont les formes de cycles d’hystérésis les
mieux adaptés à :
• des appareils à courant alternatif?
• des électroaimants?
• des aimants permanents?
Exercice 6.8
Circuit magnétique avec dérivation
Le circuit en fer doux représenté sur la figure ci-contre est supposé fonctionner dans un régime correspondant à une relation linéaire entre B et H avec µr =2500.
3
1. Il porte une bobine de N=500 spires sur sa
branche centrale. Déterminer le courant dans la
bobine connaissant le flux Φ3 =0.15 mWb dans
la branche 3.
2. On remplace la bobine précédente par deux
bobines de N spires placées sur chacune des
branches 2 et 3 et parcourues par des courants
I de même intensité et de même sens. Calculer I connaissant le flux Φ3 =0.15 mWb dans
la branche 3.
3. Mêmes questions pour des courants de sens opposés.
4
AD = AB = AF = 3.5 cm a = b = 1 cm
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 7.
CONDUCTION DANS UN MÉTAL “RÉEL”
Un métal est formé d’atomes ionisés fixes et d’électrons libres, de densité n (nombre d’électrons par
unité de volume). Ce sont les électrons libres qui assurent la conduction électrique. Un modèle
microscopique simple de cette conduction est proposé (ex. 1), dans lequel on suppose qu’en plus
des forces électromagnétiques, chaque électron de masse m et de charge q = −e est soumis à une
force de type frottement visqueux −m~v /τ qui rend compte des chocs de cet électron sur les ions
du réseau. On en déduit la réponse des électrons de conduction d’un métal à un champ électrique,
c’est-à-dire comment le courant ~j est relié au champ électrique, dans le cas d’un champ constant
(ex.1) ou variable (ex.2). La propagation d’une onde EM dans le métal de conductivité finie est
étudiée dans l’exercice 3.
Exercice 7.1
Conduction dans un métal réel : le régime continu
Le conducteur est initialement à l’équilibre électrostatique: les électrons sont au repos. A t = 0, un
~ = Eo~uz .
générateur extérieur impose un champ électrique uniforme et constant E
1. Écrire l’équation du mouvement d’un électron. Intégrer cette équation et représenter les variations de la vitesse en fonction du temps. Quelle est la signification physique du temps τ ?
2. Montrer qu’en régime permanent (synonyme: stationnaire) la vitesse de l’électron tend vers
~ Exprimer la conductivité σo en
une vitesse limite. En déduire la loi d’Ohm locale ~j = σo E.
fonction de n, e, m, τ .
3. Application numérique: à partir de la conductivité du cuivre σo = 5, 8.107 Ω−1 m−1 , évaluer
l’ordre de grandeur du temps τ (on évaluera tout d’abord la densité n).
4. Le conducteur est un cylindre (un fil) de longueur L et de section S. Déduire de la loi d’Ohm
locale donnée ci-dessus, la loi d’Ohm écrite sous sa forme bien connue U = RI. Que vaut R en
fonction de la conductivité et des paramètres géométriques?
Exercice 7.2
Conduction dans un métal réel : le régime variable
~ =
Le générateur extérieur impose un champ électrique sinusoı̈dal de pulsation ω et uniforme E
−iωt
Eo e
~uz .
1. Déterminer en régime sinusoı̈dal forcé, la vitesse ~v d’un électron.
1
~ Exprimer σ en fonction de
2. Montrer que la loi d’Ohm locale s’écrit toujours ~j = σ(ω)E.
σo , ω, τ . Inspecter la conductivité obtenue dans les limites basse et haute fréquence (par
rapport à quelle fréquence caractéristique du problème?). Dans chacune des limites ci-dessus,
quelle est la relation de phase entre le courant et le champ alternatifs?
3. D’après ce qui précède et les résultats de l’exercice 1, dans quelle gamme de fréquence est-il
justifié d’utiliser la relation u = Ri en régime sinusoı̈dal?
4. On se place dans cette gamme de fréquence. Comparer le courant libre j = σE avec le courant
dit de déplacement qui apparaı̂t dans l’équation de Maxwell-Ampère. Lequel pouvez-vous
négliger?
Exercice 7.3
Propagation dans un conducteur réel : effet de peau
Une onde progressive plane monochromatique de fréquence ν (pulsation ω), de vecteur d’onde ~k, se
propage le long de l’axe Oz dans un conducteur parcouru par un courant de densité ~j = j(z, t)u~y .
On supposera que pour la fréquence ν de l’onde, la conductivité finie σ ∼ σ0 = 5 107 Ω−1 m−1 .
1. Pour quelle valeur ν0 de la fréquence, la densité de courant de déplacement est égale au 1/100
de la densité de courant de conduction? Dans quel domaine du spectre EM, cette fréquence
est-elle située? On suppose par la suite que ν < ν0 .
~ et la densité de courant ~j.
2. Établir les équations locales satisfaites par le champ électrique E
3. Déduire de l’équation pour ~j une solution de la forme :
~j = j(z, t) u~y
avec j(z, t) = j0 exp[i(ωt − kz)].
Exprimer k.
4. Calculer la longueur δ sur laquelle j est divisé par e (δ est appelé épaisseur de peau du métal
à la fréquence ν).
A.N. : pour ν = 50 Hz, 1 MHz, 104 MHz.
5. Exprimer la puissance dP moyenne dissipée par unité de surface du conducteur (plan perpendiculaire à Oz) dans une pellicule d’épaisseur dz située à la distance z de la surface du
conducteur. En déduire la puissance totale moyenne dissipée dans le conducteur.
A.N. : pour j(z = 0) = 2A m−2 et ν = 50 Hz.
~
~ et
6. Établir l’expression du champ magnétique B(z).
Quelle est la différence de phase entre E
~ Calculer le vecteur de Poynting à une distance z de la surface et sa valeur moyenne dans
B?
le temps. Comparer aux résultats du 5).
2
Université Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagnétisme et Propagation
Année 2007/2008
Travaux dirigés 8.
PROPAGATION DANS UN DIÉLECTRIQUE
Vous savez déjà comment se propage le champ électromagnétique dans le vide et dans un métal. Ce
TD est consacré à la propagation dans des milieux isolants (diélectriques) transparents. Tous les
diélectriques seront supposés linéaires, homogènes et isotropes (LHI).
Exercice 8.1
Équation de propagation dans un diélectrique
On considère un milieu diélectrique infini de permittivité diélectrique relative r .
1. Écrire les équations de Maxwell en l’absence de charges libres et de courants libres. Dans
cette question, on exprimera les charges et les courants de polarisation en fonction du vecteur
polarisation du milieu P~ (M, t).
2. En utilisant la relation constitutive du milieu diélectrique de permittivité relative r , éliminer
la polarisation P~ (M, t) des équations précédentes. Quelles sont alors les équations satisfaites
~
~
par les champs E(M,
t) et B(M,
t) ?
3. Quelle est la relation de dispersion ? Calculer la vitesse de phase. Que vaut l’indice optique
du milieu ?
4. En statique, la permittivité diélectrique relative de l’eau est r = 81. Par ailleurs, l’indice
optique de l’eau est n = 1.33. A la lumière de ces deux valeurs, est-ce que l’indice dépend de
la fréquence ? L’eau est-elle un milieu dispersif ou non dispersif ?
Exercice 8.2
Transmission et réflexion à l’interface de deux isolants transparents
Un isolant d’indice n1 occupe le demi-espace x < 0. Un second isolant d’indice n2 occupe le demiespace restant x > 0. Un champ électromagnétique éclaire en incidence normale le plan de l’interface
Oyz. En représentation complexe, le champ électrique de l’onde incidente s’écrit:
~ i = Eo ei(−ωt+k1 x)~uz
E
(8.1)
avec k1 > 0. Les indices n1 et n2 correspondent à la pulsation ω et sont supposés réels .
1. Donner les vecteurs d’onde incident, réfléchi et transmis en fonction de ω, n1 et n2 .
2. Écrire les expressions générales des champs électriques réfléchi et transmis en introduisant les
coefficients r et t.
3. Écrire les expressions des champs magnétiques incident, réfléchi et transmis.
~ et B.
~
4. Exprimer en x = 0 les relations de passage sur les champs E
1
5. Donner les expressions de r et de t en fonction de n1 et n2 . Quel est le déphasage introduit à
la réflexion d’une onde entre deux diélectriques? Comparer au cas du métal.
6. Définir puis calculer les coefficients de réflexion R et de transmission T en énergie. Vérifier la
conservation de l’énergie.
Exercice 8.3
Modèle de l’électron élastiquement lié
Nous allons faire un petit modèle microscopique qui permet de calculer r (ω). Il s’agit de décrire
l’interaction d’une onde électromagnétique avec une vapeur atomique.
• L’onde est une onde plane progressive monochromatique de pulsation ω et polarisée rectilignement suivant ~ux . En représentation complexe, son champ électrique s’écrit:
→
−
E = Eo ei(kz−ωt)~ux
(8.2)
• Chaque atome de la vapeur est décrit par le modèle suivant: un électron de masse m et de
charge −e est lié au noyau supposé fixe. Si ~r représente l’écart de position de l’électron par
rapport à une situation sans champ, la force de rappel exercée par le noyau (et éventuellement
par les autres électrons dits de ”coeur”) sur cet électron est −mωo2~r, ωo étant une pulsation
caractéristique de l’atome. L’électron est par ailleurs soumis à une force de type ”frottement
fluide” −m~v /τ traduisant sa perte d’énergie par rayonnement. Il y a N atomes par unité de
volume.
1. La vitesse des électrons au sein des atomes est généralement petite par rapport à c. Montrer
que l’on peut négliger la partie magnétique de la force de Lorentz exercée par l’onde sur chaque
électron par rapport à la force électrique.
2. Écrire l’équation du mouvement pour l’électron et en déduire ~r en régime forcé à la pulsation
ω.
3. Rappeler la définition du moment dipolaire induit p~ sur un atome par l’onde électromagnétique.
En déduire la polarisation P~ au sein de la vapeur atomique. Exprimer la susceptibilité diélectrique
complexe χ(ω) en fonction de ω, ωo , 1/τ, et Ω2 = N e2 /o m.
4. Le milieu ne possède ni charges libres ni courants libres. A l’aide des équations de Maxwell,
établir une équation de la forme:
~−
∆E
~
1 ∂ 2E
= S(P~ )
2
c ∂t2
(8.3)
où S(P~ ) est une expression contenant la polarisation.
5. Déterminer la relation de dispersion complexe k 2 (ω). En déduire l’indice complexe au carré
n2 (ω).
6. Pour un milieu très peu susceptible, trouver les expressions approchées de l’indice complexe
n(ω) = n0 (ω) + in00 (ω). Tracer n0 (ω) et n00 (ω). Quel phénomène se traduit mathématiquement
par une partie imaginaire non nulle de l’indice ? Pour quelle(s) valeur(s) de la fréquence ω de
l’onde, ce phénomène est-il le plus prononcé ? A quel phénomène est liée la partie réelle de
l’indice?
7. Donner l’expression de la moyenne temporelle du vecteur de Poynting. En déduire une longueur
d’absorption typique δ en fonction de l’indice de la vapeur.
2