potentiel magnétostatique

Universit´e Paris 7 Denis Diderot
LICENCE Physique et Applications L2
EM4 Electromagn´etisme et Propagation
Ann´ee 2007/2008
Travaux dirig´es 1.
POTENTIEL MAGN´ ETOSTATIQUE
Exercice 1.1 Prol´egom`enes (*)
1. Donner quelques ordres de grandeur de champs magn´etiques naturels ou en laboratoire.
2. Rappeler la relation entre le champ magn´etique ~ Bet le potentiel vecteur ~ A.
3. Rappeler la d´efinition de la jauge de Coulomb.
4. Rappeler les relations reliant le champ magn´etique ~ Bet le potentiel vecteur ~ Aaux distributions
de courant volumique, surfacique ou filiforme.
5. Quelles sont les dimensions et les unit´es usuelles de ~ B,~ A, et de la densit´e de courant ~ j?
6. Rappeler les propri´et´es de sym´etrie/antisym´etrie des vecteurs ~ Bet ~ Apar rapport `a celles de
la distribution de courant `a l’origine de ~ B. Appliquer ces propri´et´es pour retrouver les lignes
de champ d’une distribution de courant filiforme, cylindrique, d’une boucle circulaire, d’un
sol´eno¨ıde, d’un nappe de courant.
7. ´ Ecrire les ´equations de Maxwell de la magn´etostatique.
Exercice 1.2 Relations potentiel vecteur/champ/source (*)
Soit (~uR, ~uθ, ~uz) la base locale des vecteurs unitaires associ´ee aux coordonn´ees cylindriques (R, θ, z).
On donne les potentiels vecteurs magn´etostatiques suivants:
i) ~ A=A0~uR, ii) ~ A=A0~uθ, iii) ~ A=A0~uzet iv) ~ A=A0R0
R~uz,
o`u A0et R0sont des constantes.
1. Dans chaque cas:
(a) donnez la dimension des constantes A0et R0, et repr´esentez ~ A,
(b) pr´ecisez si ~ Asatisfait ou non la jauge de Coulomb,
(c) calculez le champ magn´etique ~ Bet discutez sa topologie,
(d) trouvez la distribution de courant volumique ~ Jassoci´ee,
1

2. Choisissez un des cas ci-dessus et v´erifiez:
(a) que le champ ~ Bainsi calcul´e correspond bien `a un champ magn´etique,
(b) que, pour un contour ferm´e quelconque Γ, le “th´eor`eme” de circulation de ~ Aest satisfait.
Exercice 1.3 Champ magn´etique uniforme
On consid`ere en un point M(→OM =~r) un champ ~ Buniforme et un potentiel vecteur magn´etostatique
~
Adonn´e par la relation
~
A=~
B×~r
2,(1.1)
1. Repr´esentez ~ A.
2. V´erifiez par deux m´ethodes diff´erentes que ~ B“d´erive” bien de ~ A.
3. Le potentiel satisfait-il la jauge de Coulomb ?
Exercice 1.4 Nappe de courant: relations de passage (*)
On consid`ere le plan (Ox, Oy) muni d’une base (~ux, ~uy) et, dans ce plan, un courant surfacique
(c’est-`a-dire une nappe de courant) de densit´e ~ λ=λ~uxo`u λest une constante.
1. Quelle est la dimension de λ?
2. Trouvez, par des arguments de sym´etrie et d’invariance, la direction du potentiel vecteur
magn´etostatique ~ Aet la seule coordonn´ee dont il d´epend.
3. Que dire du champ magn´etique ~ Ben tout point ext´erieur `a la nappe ? Et sur la nappe ?
4. Calculez ~ A. Que vaut-il sur la nappe ? Repr´esentez graphiquement ~ A.
5. En d´eduire les relations dites “de passage” pour le potentiel. Commentez.
6. Discutez du cas de deux nappes de courant parall`eles parcourues par des densit´es de courant
identiques ou oppos´ees.
y
x
z
λ
2

Exercice 1.5 Sol´eno¨ıde id´eal (*)
On ´etudie un sol´eno¨ıde id´eal (longueur infinie) de diam`etre int´erieur 2a, compos´e de nspires jointives
par unit´e de longueur et parcouru par un courant constant I. Soit (~uR, ~uθ, ~uz) la base locale des
vecteurs unitaires associ´ee aux coordonn´ees cylindriques.
z
u
uR
θ
u
a
z
1. Si l’on souhaite mod´eliser ce sol´eno¨ıde par une nappe de courant circulaire, ferm´ee, de densit´e
surfacique ~ λ=λ~uθ, quelle relation doit exister entre λ,net I?
2. Montrez, par des arguments de sym´etrie et d’invariance, que le potentiel vecteur magn´etostatique
dans tout l’espace est de la forme ~ A=A(R)~uθ.
3. Montrez, par des arguments de sym´etrie et d’invariance, que le champ magn´etique en tout
point de l’espace est de la forme ~ B=B(R)~uz.
4. Calculez ~ Ben fonction des param`etres du mod`ele.
5. En d´eduire ~ A.
6. Repr´esentez graphiquement ~ Bet ~ A.
Exercice 1.6 Conducteurs cylindriques (*)
´
Etablir une expression du potentiel vecteur magn´etostatique ~ Aassoci´e aux syst`emes suivants (~uz
d´esigne un vecteur unitaire dirig´e selon leur axe principal):
1. un fil rectiligne sans ´epaisseur et de longueur infinie, parcouru par un courant d’intensit´e I
constante,
2. un fil rectiligne ´epais de diam`etre 2a(section circulaire) et de longueur infinie, parcouru par
un courant de densit´e volumique ~ J=J~uz, o`u Jest une constante,
3. un fil rectiligne ´epais de diam`etre 2a(section circulaire) et de longueur infinie, parcouru par
un courant de surface, de densit´e ~ λ=λ~uz, o`u λest une constante,
Que doivent valoir Jet λpour que le courant dans tous ces conducteurs soit le mˆeme, c’est-`a-dire I?
3

Exercice 1.7 Conducteur cylindrique creux (*)
Un conducteur homog`ene ayant la forme d’un cylindre circulaire
infini de rayon Rest perc´e d’un conduit cylindrique de rayon a
d´esax´e d’une distance d(0 ≤(d+a)≤R) et dont l’orientation
est caract´eris´ee par le vecteur ~ d. Il est le si`ege d’une densit´e de
courant uniforme et constante ~ j, parall`ele `a son axe. Montrer que
le champ magn´etique ~ B(~r) pour tout point M (rep´er´e par le vecteur
~r o`u rrepr´esente la distance `a l’axe du cylindre plein) `a l’int´erieur
du conduit cylindrique est uniforme et donn´e par l’expression
~
B(~r) = µ0
2~
j∧~ d
On utilisera le th´eor`eme de superposition pour ´etablir le r´esultat
demand´e.
R
j
da
Exercice 1.8 Dipˆole magn´etique
Soit (~ex, ~ey, ~ez) le rep`ere cart´esien centr´e en O, cen-
tre de la boucle de rayon a, parcourue par un
courant d’intensit´e I constante. L’axe Oz est or-
thogonal au plan de la spire (plan xOy). La boucle
est orient´ee dans le sens trigonom´etrique. On veut
calculer le potentiel vecteur magn´etostatique ~ A(~r)
et le champ magn´etique ~ B(~r) en un point M de
l’espace tr`es ´eloign´e de la boucle. Compte-tenu
de la sym´etrie de r´evolution du syst`eme, on peut
choisir de calculer ces quantit´es en un point M du
plan x0z, ce qui simplifiera les calculs. Le vecteur
−−→
OM =~r fait un angle θavec l’axe Oz. On con-
sid`ere un point P de la boucle rep´er´e par l’angle
polaire αentre −→ OP et l’axe Ox.
θ
M
P
z
xa
r
OI
α
1. Exprimer la contribution de l’´el´ement infinit´esimal ~ dl de la boucle autour du point P au po-
tentiel vecteur ~ Aet au champ ~ B.
2. En d´eduire les expressions formelles exactes de ~ Aet de ~ Ben M. Les sens et directions de
ces vecteurs sont-ils conformes `a vos attentes? V´erifier que ces expressions redonnent bien les
expressions connues pour M situ´e au centre de la boucle et sur l’axe Oz.
3. On se place loin de la boucle (ra) (cas de “l’approximation dipolaire”). En effectuant les
d´eveloppements limit´es appropri´es, montrer que le module du potentiel vecteur est proportion-
nel `a 1/r2et celui du champ `a 1/r3.
4. On introduit alors le moment magn´etique dipolaire (vecteur) de la boucle : ~ M=I S ~n, o`u ~n
est la normale orient´ee `a la surface de la boucle, soit ici ~n =~ez.
4

Montrer alors que pour ra, on obtient les expressions suivantes:
~
A=µ0
4π
~
M ×~r
r3(1.2)
~
B=µ0
4π[−~
M
r3+ 3(~
M.~r)~r
r5] = −µ0 4π~
∇(~
M.~r
r3) (1.3)
5. Tracer les lignes de champ.
6. Comparer ces r´esultats `a ceux obtenus pour le dipˆole ´electrique.
Exercice 1.9 Boucle magn´etique rectangulaire
1. Rappeler les contributions au potentiel vecteur ~ Aet au champ magn´etique ~ Bd’un segment
lin´eaire de fil de longueur 2l.
2. On consid`ere une boucle rectangulaire parcourue par un courant I constant, orient´ee dans le
sens trigonom´etrique. La boucle est situ´ee dans le plan xOy et est centr´ee en O. Les segments
NP, QR sont parall`eles `a l’axe Ox et ont pour abscisses +a et -a respectivement, les segments
PQ, RN sont parall`eles `a l’axe Oy et ont pour ordonn´ees +b et -b respectivement. Donner les
expressions de ~ Aet de ~ Ben tout point de l’espace. V´erifier que le champ au centre a bien la
valeur attendue.
3. On se place loin de la boucle en un point M (−−→ OM =~r) tel que ra, b. En faisant les
d´eveloppements limit´es appropri´es, montrer que l’approximation dipolaire conduit au mˆeme
r´esultat que pour la boucle circulaire, le moment magn´etique ´etant d´efini comme pr´ec´edemment
par ~ M=I S ~ezavec S=ab, surface de la boucle.
Ainsi donc le potentiel vecteur et le champ magn´etique d’une boucle plane `a grande distance
ne d´ependent que de sa surface et non de sa forme.
Exercice 1.10 Un peu d’analyse dimensionnelle, de bon sens et de physique
Sans calcul, ´evaluer :
i) ~ ∇.~r , ii) ~ ∇.(~r
r) , iii) ~
∇(1
r) ,
iv) ~ ∇ ×~r , v) ~ ∇ × (~r
r) , vi) ~
∇ × (~a
r) ,
vii) ~ ∇ × (~a
|~r −~ b|) , viii) ~
∇(~
P .~r
4π0r3) , ix) ~
∇ × (~
M ×~r
r3)
5