Sommes continues d`espaces de Hilbert, II

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
ROGER G ODEMENT
Sommes continues d’espaces de Hilbert, II
Séminaire N. Bourbaki, 1948-1951, exp. no 25, p. 169-176
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Séminaire BOURBAKI
(Mars 1950)
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE
par
1. Notions sur les
anneaux
HILBERT,
II
GODEMENT
Roger
d’opérateurs.
~
un espace de Hilbert arbitraire 3
Soit
l’ensemble R de tous les opérateurs
est une algèbre sur le corps complexe, munie d’une involucontinus définis
dans ~
A~ .
A -4
tion
Pour
R ,on note M’ l’ensemble des éléments de
éléments de M , et on pose M" = (M’)’ .Un anneau d’oqui possède les deux propriétés suivantes :
qui permutent à tous les
pérateurs est un ensemble M
R
a. M est autoadjoint (i.e.
b. M = M" .
est évident que tout
Il
Pour toute
Mtt aussi,
triviale),
partie
M
de
de
*) ;
invariant par
anneau
l’opérateur 1 ;
et contenant
M
partie
une
la
R ,
d’opérateurs est une sous-algèbre
réciproque est évidemment fausse.
stable
par
.
M’
est
de
un anneau
~,~ autoadjointe
d’opérateurs,
et
c’est même le
en
sorte
plus petit anneau contenant M (démonstration à peu près
qu’on peut parler de l’anneau "engendré" par un ensemble d’opé-
rateurs. Noter que, si
un anneau
aussi toutes les variétés
contient
spectrales
un
opérateur
hermitien
il contient
Hs
H .
de
Pour
caractériser, parmi les sous-algèbres autoadjointes de R ~ celles qui sont
des anneaux au sens précédente on introduit des topologies sur R ~ et en particulier les quatre suivantes (il en: existe deux autres, plus celles que l’on connait
pas) :
topologie faible :
a.
x EE
~~
opérateur
un
A
Ax
converge faiblement vers
b. topologie forte :t même définition
c.
topologie
suite
(x )
d.
topologie
tend
avec
des
superforte :
0 ;
remplaçant "faiblement"
en
converge
telle que
superfortement
le nombre
+
uniforme :t
A
vers
converge uniformément
vers
vers
0
0
pour tout
si,
par "fortement"
si, pour
03A3
~Axn~2
0
toute
tend
1
=
vers
0 ;
sup ~Ax~/~x~
0.
vers
Puisque
A
t
converge faiblement
les éléments d’un
opérateurs donnés,
topologies.
Il est
non
anneau
d’opérateurs
il est clair
moins clair
qu’un
sont
tel
assujettis uniquement à permuter
anneau
est fermé pour toutes
oes
qu’une algèbre autoadjointe peut être uniformément
169
R.GODEMENT
fermée sans être un
résultat suivant :
THÉORÈME
anneau
(exemple : opérateurs complètement continus).
on
a
le
(Von Neumann). - Pour qu’une algèbre autoadjointe contenant 1 soitun
anneau d’opérateurs, il faut et il suffit qu’elle soit superfortement fermée (en sorte
que, pour une telle algèbre, il y a équivalence entre les propriétés suivantes : être
un annoau ; être faiblement fermée ; être fortement fermée ; être superfortement
fermée).
1
La démonstration s’effectue
en
deux
on
directe d’une infinité dénombrable d’espaces
telles que
l’ensemble des suites (x ) d’éléments de
somme
X
produit scalaire
l’coassocié à tout opérateur
dans X par A(x )
(Ax ) , il
=
ve
en
la
topologie
toutes les relations
A
continu
algébriques,
~ ;
comme
fortement fermée est
un anneau
A
défini
topologie superforte
correspondance A --~ A conser-
transforme la
la
algèbre autoadjointe
(en
rem-
contenant 1 et
d’opérateurs. Soit alors M une telle algèbre ; l’andes opérateurs qui permutent aux hermitiens permutables
engendré est l’ensemble
M , donc qui conservent les
neau
autrement
eous-espace fermés invariants
dit, l’ensemble
soit adhérent à l’ensemble des
Ax
X l’opérateur
voit facilement que tout revient
on
à prouver ceci : toute
spectrale!),
défini dans
est clair qu’on
forte dans
plaçant par )
à
à
de deux telles suites étant donné par
si
dans
Te
l’espace X,
~ ; c’est donc
j) converge le
passe de
isomorphes à
D’abord
étapes.
des
M) ,
Tx
A
opérateurs
ce
qui
par M (décomposition
x~~~
tels que, pour tout
implique comme on le voit
facilement A E M .
On dit qu’un anneau d’opérateurs est un facteur si son centre est réduit aux scalaires. Il est bien connu que, dans un espace de dimension finie, un anneau autoadjoint se décompose en une somme directe de facteurs, lesquels se décomposent à leur
tour
en une somme
ralisées
directe d’anneaux
aux anneaux
d’opérateurs
irréductibles.
2.
Opérateurs décomposables
dans
propriétés ont été généséparables, la première
dans les espaces de Hilbert
par
NEUMANN, la seconde par MAUTNER.
moins simples que dans le cas classique.
von
Ces deux
Naturellement,
une somme
les choses sont
beaucoup
continue.
On reprend maintenant les notations de l’exposé 1 ; Z est un espace localement compact muni d’une mesure positive m, on a en chaque point Z un espace de
ainsi qu’une famille fondamentale A de champs de vecteurs
Hilbert "tangent"
~(t) ~
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE
HILBERT, II
continue.
relativement à m et à /B 3 on notera
continus ; on a défini la
L2 l’espace de Hilbert obtenu. On suppose réalisé l’axiome de dénombrabilité
ou tout autre axiome analogue . Rappelons qu’il existe alors des familles
en de
champs de vecteurs mesurables qui possèdent la propriété suivante ("familles mesuraZ où la dimension de l’espace tangent est n , les
bles") : pour
( n 4 )x~
tout 5 é
forment
une
ei (i n)
base orthonormale de
~G(’C) ~
et les suivants sont nuls.
dont la valeur
03B6 E Z est
A(
)
opérateur continn défini dans ~( ) ;
champs d’opérateurs forment evidemment
involution :
algèbre
A~( ) - A( )~ .
On
d’opérateurs
appelle champ
toute fonction
un
en
ces
une
Un
avec
continu (resp. mesurable ) si, pour
champ de vecteurs
(resp. mesurable) x( 5) , le champ de vecteurs
est continu (resp. mesurable) ; cette notion de continuité est apparentée à
champ d’opérateurs
A( ~ )
continu
forte décrite
est dit
h~ 1. Pour que
soit
gie
suffisant que, pour une famille mesurable donnée
cients" de A , i.e. les fonctions
~(~)
au
mesurable,
surables.
A(5 )x( "5)
la
topolo-
il est nécessaire et
(arbitraire )
( 03B6),
scalaires A(03B6)ep
tout
en( ~ ) ~ les "coeffi"
e q ( 5)) , soient
me-
qu’un opérateur continu A défini dans é est décomposable s’il lui correspond
champ d’opérateurs A(’~,) , nécessairement mesurable , tel que l’on ait
On dit
un
Ax( ) ~ A( )x( )
Pour
un
champ
pour tout
d’ opérateurs
clair que tout
A(
03B6) , posons ~A~ ~
=
vrai
max ~ A (
[
; il est
champ d’opérateurs mesurable et "essentiellement borné" définit un
dont les composantes sont précisément les
opérateur décomposable A dans
L~ ~
toute fonction scalaire
particulier,
f(03B6), mesurable et essentiellement bornée,
un opérateur décomposable
dont
les
-composante est
Tf
Tf forment dans L une algèbre autoadjointe commutative P ~ contenant 1~ et tout
opérateur décomposable est visiblement permutable à P .
en
définit
THEOREME
(ceci
f( ).1 ;
2. - Tout opérateur continu dans
prouvera que les
L
opérateurs décomposables
oui permute à p
forment
un
est
dédomposable
anneau)
DEMONSTRATION.
soit
A
soit E(K) l’opérateur
permutable à P ; pour un compact
qui
multiplier un champ de vecteurs par la fonction caractéristique de K ;
dans L c’est un projecteur sur un sous-espace fermé
et on.a E(K) 6.P ;
donc A conserve ce sous-espace, ce qui ramène à faire la démonstration dans le cas
a.
consiste à
L2(K),
R. GODEMENT
Z
où
est
compact.
b. soit alors
soit
T
~ P. ,
e
n( ~)
1©s vectours
03A3 T
de la forme
ments
e
pp
Considérons alors l’ensemble
les
rn
bornées
qui s’écrit
ce
pour
en
ces
sont
on
il existe
partout
On
a
Z
un
un
ensemble
ensemble de
de
on en
peuvent
permute
aux
plus
mesure
nulle
N
fois ;
comme
en
dehors du~
les
x(
S)
Tf’
ceci est
x
encore
vraiL ~
e
ce
si
est de la forme
qui démontre
2
en
maintenant étudier la façon dont les anneaux
se décomposer en anneaux définis dans les
s’en passer,
peut
analytiques par
x
Tt! (y ~ ~ )
le théorème. On notera
la relation
(von
que les
est
facile,
les
seuls opérateurs
P
est aussi
qui permu-
un anneau
d’opérateurs définis
Pour cela, on
‘~( ) .
théorie
opérateurs
(com-
dans
d
aura
be-
des ensembles analytiques ;
emploie la
de
toutes
quoique pas toujours ;
façons, remplacer les ensembles
soin du résultat suivant
on
nulle tel
mesure
tel que l’ on ait
peut compléter le théorème
va
de
déduit l’existence d’un champ
montrant, ce qui
T (f : fonction scalaire mesurable et bornée) sont
tent à tous les opérateurs décomposables3 par suite,
mutatif) d’opérateurs.
On
N(x)
à la
~(j( r) ~
denses dans
donc aussi par continuité pour tout
qu’on
me-
ait
dénombrable
d’opérateurs
A
f,
explicitant
N(x)
est
où
pour tcute fonction scalaire
relations sont vérifiées pour tous
(x E ~ )
puisque
complexes;
il existe donc dans
puisque f
des éléments de la forme
on a
chaque
qu’en dehors de
quel
dénombrable 9?
sont des nombres rationnels
surable et
Lz ;
famille
mesurable ; les e n sont dans
quel que
q) ; enfin, les éléTep et 8 g sont orthogonaux
somme
sont
denses
dans Lz .
(Tp E iMP ,
finie)
partout
une
les boréliens
NEUMANN
ne
constitue pas
un
progrès sensible).
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE
HILBERT, II
3. Théorème de Federer-Morse.
E
THÉORÈME 3. - Soient
cation continue de
est
f
lequel
sur
E
dans
=
à
trouver
en
Pour
f(y) .
cela,
~1 ;3 puis
compacts métrisables et f
E(x)
soit
relation
une
d’équivalence
par des boules fermées
E
B(i)
chaque
recouvrons
n)
j)
un
par
E(x)
section de la "fibre"
E =
UE
sections dénombrables
à la
pond
dans
par
un
par
S
des
y
tels que
et tout revient
E ~
nombre
fini,
de rayon
B(1 , j)
B(i ~ j ~ k) do
nombre fini de boules
de rayon
rayon
les boules de la forme
l’inter(x)rencontre,
suit : pour tout p ~ on note E
la première boule à p indices qui la
constate immédiatement que les
on
d’ouverts,
question (et
en
comme
avec
(x) ;
B(i)
nombre fini de boules
chaque p ~ ordonnons
la.procédé lexicographique.
On forme alors la section
et l’on pose
(compact)
l’ensemble
’section".
recouvrons
... ~
une a liensemble borélien S
un
f (S ) ^ f (E) .
que
et ainsi de suite. Pour
B(nl ’
E
alors il existe dans
E. E ,s
x
~~- ~ pu%chaque
~ ~-
deux espaces
B ;
On obtient ainsi
une
B
biunivoque et tel
DEMONSTRATION. - Pour
f(x)
et
vont
est donc aussi
E
sont des interp
et que leur intersection ré-
décroissante
en
d’ouverts).
intersection dénombrable
une
4. Théorèmes fondamentaux.
On suppose maintenant que
appliquer
l’cspace de base Z
des parties compactes
Federer-Morse à
Champs d~ anneaux d’opérateurs. Ceci
a.
anneau
s’il existe
soit,
,
pour
une
engendré
tout $ ,
consiste à associer à
champs d’opérateurs
suite de
par les
métrisable
de
façon à pouvoir
Z .
‘~( r).
défini dans
d’opérateurs
soit
de
chaque
un
On dira qu’un tel champ est mesurable
tels que
mesurables
A ( 5)
opérateurs
~.) .
~
THEOREME 4. - Si le
de même du
champ
champ d’anneaux
DÉMONSTRATION. - On
d’anneaux
d’opérateurs
M( )
d’opérateurs M(03B6)’ .
ramène
d’un
compact
diverses dimensions, au cas d’un compact sur lequel
pas. Soit en une famille mesurable ; soit
rables de
on peut évidemment supposer les
se
au cas
A (r)
M( ) ;
D’après LUSIN,
croissante de
K
est,
compacts
M
à
un
sur
ensemble de
lesquels
mesure
K
est
mesurable, il
C-z ; puis,
la dimension de
un
système
An( )
nulle
près,
de
en
en
est
séparant
les
‘~( )
générateurs
ne
varie
mesu-
uniformément bornés.
la réunion d’une suite
toutes les fonctions de la forme
R. GODEMENT
sont
un
continues ;3 il est clair qu’on peut
tel compact K’ .
Considérons alors l’ensemble
est un
tante
opérateur
sur
K’ ,
de
norme ~
soit
on
n ~
E
1
dimension
lige
n .
faible de
‘~( ~) . La
identifier
qui
opérateurs
passe dans
se
°~( ) K’x
étant
cons-
produit
d’un espace
topologie : produit de celle de K’
ainsi, comme il est facile de le voir,
T
et où
C K’
où
type
par la
de la
On obtient
R .
à l’ensemble
E
de tous les
E
On munit
ce
(T, 5) où §
est la boule unité de
R
borner à examiner
formé des couples
dimension de
dans
peut
se
un
de
topo-
espace
compact métrisable.
Considérons alors lo sous-ensemble
M(~ )~ ;
au
besoin
champs
(T ~ ~)
ces
en
sont
appliquant
une
de
formé des
E
fois de
et
plus Lusin,
peut
on
’C)
de
donc
E ;3
E’
tels que
T E
est
supposer que tous les
sont
A*n(03B6)ep(03B6)
de
membre
(fortement) continus ; il
(1) fonction continue du point
résulte de là que l’on peut supposer chaque
(T ,
(T ~’~ )
caractérisés par les relations
A(03B6)ep(03B6)
de vecteurs
E~1
fermée
donc
et métrisable.
compact
Maintenant, puisque l’ensomble ~ des opérateurs de norme. ~.1 est compact et
métrisable pour la topologie faible, il possède un système fondamental de voisinages
compacts pour cette topologie, soit (V ) . Désignons par E’ l’ensemble des pointa
(T , I.) E E’ pour lesquels T 6 V n3 c’est encore un compact métrisable, et E’
est la réunion des
E’ .
n
l’application
-.~3 ~
est
lui
et
Federer-Morse
applicable3 soit
tinue,
à tout K’ en prenant 0 en
prolongeons
dans
K’ .
en projetant
En
(T ~ ‘~ )
Considérons alors
Il est clair que le champ
Te K~ ~
les
la boule unité
donc les
T (5)
(oar,
T n(03B6)
b. Le théorème
d’opérateurs
Tn ( ~ )
de
E’
dans
une
dehors des
est
K’
construction,
engendrent
M(03B6)’ ,
précédent
étant
il existe
points 5
mesurable ;
Tn(’~)
un
et le théorème
prouvé,
von
elle est
et
pour
obtenus
chaque
1
M( ~)’
avec
dans
est démontré.
NEUMANN
con-
"section" de
sont faiblement denses dans l’intersection de
par
:
démontre,
soit
comme
SOMMES CONTINUES D’ESPACES DE HILBERT, II
Tout
M( r)
soit
un
L l’ensemble M
dans
rons
A(
d’abord,
~) C M(-r)
presque
procédés analogues,
soit par des
conséquence do celui-ci,
d’opérateurs mesurables ; considéopérateurs décomposables A pour lesquels on a
d’anneaux
champ
des
partout ;
THÉORÈME 5. - Pour qu’un
les résultats suivants.
écrit cette relation
on
anneau
d’opérateurs M
sous
défini dans
la forme
Lz
soit de la forme
précédente, il faut et il suffit qu’il contienne P (opérateurs à composantes
La décomposition (2) est unique à des enscalaires) et soit contenu dans
La relation (2) implique
sembles de mesure nulle
M’ .é M( 03B6)’ .
(3 )
Si
(Mn)
la même
est
une
propriété
Malgré
famille finie
a
ou
dénombrable d’anneaux décomposables :
lieu en remplaçant l’intersection par, l’anneau
le caractère "naturel" de
résultats,
ces
engendré.
il serait tout à fait naif de
conséquence suivante. ConsidéL une suite (A ) d’opérateurs décomposables, et cherchons à quelle
rons dans
condition les
cela,
A (T) engendrent, pour presque toutet ?6. Z , un facteurde ;lapour
forme
les
les
on désigne par
M, 1 panneau engendré par
opérateurs
T.,
A
dire que les M( ~) sont des facest engendré par les
alors
An ( ~) ;
M( ~)
teurs, c’est dire que leur centre (i.e. l’anneau M(~ ) n M( ~)’) est réduit aux
scalaires ; par conséquent, la condition cherchée est que le centre de l’anneau M
croire
qu’ils
sont triviaux. Ils ont par
soit formé uniquement
De
même,
avec
des
Tf.
mêmes notations, cherchons à quelle condition les
les
tout $ ,
ment,
pour presque
l’anneau de tous les
système irréductible,
un
opérateurs
l’anneau
de
réduise
opéérttuur,,qui
les
Tt
permutent
forment
aux
aux
c’est-à-dire engendrent
la condition est que, pour presque tout
)
;
scalaires ; donc il faut exprimer que, dans
aux
et
An
un sous-anneau
An
for-
°~ (
~ ~ les seuls opérateurs permutables
se
L ,
autrement dit :t
la
exemple
(théorème
de
aux
Tf
sont les
T f eux-mêmes
commutatif maximal de l’anneau des
Mautner).
3
R.GODEMENT
Pour
compléter
’l’avance
un
construire
les résultats
précédents,
espace de Hilbert
et
un anneau
décomposition
de
l’espace
une
il reste à montrer
comment, étant donné à
d’opérateurs dans cet espace, on peut
en somme
continue de telle sorte que l’an-
considéré se décompose en facteurs (par exemple). C’est ce
qu’on fera dans un
troisième exposé. On montrera en outre
est
fondamental pour les applicaceci, qui
tions de la théorie : si
un espace de Hilbert
une
neau
~ est
séparable, et M
autoadjointe séparable pour In topologie UNIFORME (ce qui n’est
on peut toujours réaliser la
décomposition de
(enfacteurs,
irréductibles) de telle sorte
d’opérateurs CONTINUS, et non
d’unemanière naturelle
positif
en
que tous les
éléments de
M
"somme continue" de fonctions
176
cela,
(décomposition d’une
élémentaires)
compacts séparables.
ou en
algèbre
anneaux)
représentations
cas
des
deviennent des champs
pas seulement mesurables. Grâce à
le théorème de Bochner
pas
le
on
peut étendre
type
fonction de
à tous les groupes localement