Bases de mécanique

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Bases de mécanique
1°) On considère un point M. Faire un schéma pour définir le repère cylindrique. On fera apparaître sur le schéma
: l’origine et la base de projection du repère, ainsi que les coordonnées repérant la position du point M.
2°) Donner l’expression du vecteur position dans le repère cylindrique. Etablir l’expression des vecteurs vitesse et
accélération dans le repère cylindrique.
3°) On considère un point M en mouvement sur un support. De manière générale, que savez-vous de la force
exercée par le support sur le point M ? Que peut-on dire lorsque le point M quitte le support ?
4°) Enoncer les trois lois de Newton.
5°) On considère un point matériel M attaché à deux ressorts identiques verticaux, de constante de
raideur k et de longueur à vide l
0
. Les points O et O’ auxquels sont fixés les ressorts sont immobiles, et
distants d’une longueur L. L’axe (Oz) est dirigé vers le haut. Donner l’expression :
> de la force exercée par le ressort du haut sur M (en fonction de la longueur li du ressort)
> de la force exercée par le ressort du bas sur M (en fonction de la longueur l
2
du ressort)
> de chacune des forces en fonction de la coordonnée z, l’origine étant prise en 0
6°) Enoncer le théorème de la puissance cinétique. Donner la définition mathématique des différents
termes. A quoi sert ce théorème en exercice ?
7°) Donner les deux formules mathématiques permettant de calculer le travail d’une force :
> sur une durée Δt = t
2
— t
1
> sur un trajet entre deux points M
1
et M
2
Du point de vue énergétique, que représente le travail
d’une force ?
8°) Que peut-on dire du travail de la force de pesanteur, et du travail de la force de rappel élastique ? Est-ce une
propriété valable pour toute force ? Comment qualifie-t-on le poids et la force de rappel élastique ?
9°) Donner la relation générale entre l’énergie potentielle et la force associée.
10°) Donner (sans démonstration) les expressions des énergies potentielles associées respectivement au poids et à
la force d’un ressort. Préciser éventuellement les précautions à prendre pour pouvoir utiliser ces formules.
11°) Enoncer le théorème de l’énergie mécanique, sous forme instantanée. Donner la définition mathématique des
différents termes. A quoi sert ce théorème en exercice ?
12°) Qu’est-ce qu’un « point matériel en évolution conservative » ? Quelle propriété importante cela implique-t-il
?
13°) Equilibre d’un point matériel soumis à des forces conservatives :
> Définir (avec des mots) ce qu’est une position d’équilibre.
> Définir (avec des mots) ce qu’est une position d’équilibre stable.
14°) Connaissant l’expression mathématique de l’énergie potentielle :
> quel critère permet d’identifier une position d’équilibre ?
> quel critère permet d’identifier une position d’équilibre instable ?
Dans les questions suivantes (15 à 18), on note M le point matériel de masse m, et
F
la force totale qui lui est
appliquée. On note Δ un axe passant par O.
15°) Définir le moment de la force
F
par rapport à un point O puis par rapport à l'axe Δ. Donner l’interprétation
physique de ces grandeurs.
16°) Définir le moment cinétique du point matériel par rapport à un point O puis par rapport à l'axe Δ. Donner
l’interprétation physique de ces grandeurs.
17°) Enoncer le TMC par rapport à un point.

18°) Etablir l’équation différentielle du pendule simple à l’aide du TMC.
19°) Définir ce qu’est une force centrale conservative. Quelle est la relation entre le vecteur force
F
et l’énergie
potentielle E
p
associée ? On représentera sur un schéma les coordonnées et le repère choisi pour exprimer cette
relation.
20°) Quelles sont les grandeurs conservées dans ce type de mouvement ? Démontrer ces lois de conservation.
Citer deux conséquences d’une de ces lois.
21°) Discussion graphique du mouvement :
o Dessiner l’allure des courbes d’énergie potentielle effective E
p
(r), dans le cas d’un CFCC attractif, et dans
le cas d’un CFCC répulsif (sans justifier).
o De quelle composante de la trajectoire peut-on discuter avec ce type de diagramme ?
o Sur ces deux schémas, repérer sur l’axe des ordonnées les zones correspondant à un état lié, et celles
correspondant à un état libre, en donnant le critère permettant des les identifier
22°) Enoncer les trois lois de Kepler.
23°) On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre, orbite de rayon r
0
:
> Montrer que la vitesse angulaire est constante et établir la relation entre | | v \ | et r
0
> Etablir la relation entre E
m
et r
0
> Etablir la relation entre E
m
et E
p
> Etablir la 3
ème
loi de Kepler. Si le mouvement du satellite est parfaitement connu, que peut-on savoir à
propos de la Terre ?
24°) Par analogie avec le cas circulaire traité ci-dessus, toujours dans le cas d’un satellite :
> donner l’expression de E
m
en fonction du demi-grand axe a d’une orbite elliptique
25°) Décrire le mouvement d'un solide animé d'un mouvement de translation puis d'un mouvement de rotation
autour d'un axe fixe.
26°) Exprimer la quantité de mouvement d’un système de masse m et de centre d’inertie G en mouvement dans le
référentiel R.
27°) Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe, exprimer le moment cinétique scalaire
L
∆
du solide en
fonction de moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Δ
J
∆
et de la vitesse angulaire de rotation
ω
du solide
autour de l’axe Δ.
28°) Définir un couple de forces.
29°) Définir une liaison pivot et justifier le moment qu’elle peut produire.
30°) Ecrire la loi du moment cinétique par rapport à axe orienté fixe dans le cas d’un solide en rotation autour d’un
axe fixe.
31°) Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, relier son énergie cinétique
c
E
au moment d'inertie
du solide par rapport à l'axe Δ
J
∆
et de la vitesse angulaire de rotation
ω
du solide autour de l’axe Δ.
32°) Enoncer la loi de l’énergie cinétique dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ.