Bases de mécanique 1°) On considère un point M. Faire un schéma pour définir le repère cylindrique. On fera apparaître sur le schéma : l’origine et la base de projection du repère, ainsi que les coordonnées repérant la position du point M. 2°) Donner l’expression du vecteur position dans le repère cylindrique. Etablir l’expression des vecteurs vitesse et accélération dans le repère cylindrique. 3°) On considère un point M en mouvement sur un support. De manière générale, que savez-vous de la force exercée par le support sur le point M ? Que peut-on dire lorsque le point M quitte le support ? 4°) Enoncer les trois lois de Newton. 5°) On considère un point matériel M attaché à deux ressorts identiques verticaux, de constante de raideur k et de longueur à vide l0. Les points O et O’ auxquels sont fixés les ressorts sont immobiles, et distants d’une longueur L. L’axe (Oz) est dirigé vers le haut. Donner l’expression : > de la force exercée par le ressort du haut sur M (en fonction de la longueur li du ressort) > de la force exercée par le ressort du bas sur M (en fonction de la longueur l2 du ressort) > de chacune des forces en fonction de la coordonnée z, l’origine étant prise en 0 O 6°) Enoncer le théorème de la puissance cinétique. Donner la définition mathématique des différents termes. A quoi sert ce théorème en exercice ? 7°) Donner les deux formules mathématiques permettant de calculer le travail d’une force : > sur une durée Δt = t2 — t 1 > sur un trajet entre deux points M1 et M2 Du point de vue énergétique, que représente le travail d’une force ? 8°) Que peut-on dire du travail de la force de pesanteur, et du travail de la force de rappel élastique ? Est-ce une propriété valable pour toute force ? Comment qualifie-t-on le poids et la force de rappel élastique ? 9°) Donner la relation générale entre l’énergie potentielle et la force associée. 10°) Donner (sans démonstration) les expressions des énergies potentielles associées respectivement au poids et à la force d’un ressort. Préciser éventuellement les précautions à prendre pour pouvoir utiliser ces formules. 11°) Enoncer le théorème de l’énergie mécanique, sous forme instantanée. Donner la définition mathématique des différents termes. A quoi sert ce théorème en exercice ? 12°) Qu’est-ce qu’un « point matériel en évolution conservative » ? Quelle propriété importante cela implique-t-il ? 13°) Equilibre d’un point matériel soumis à des forces conservatives : > Définir (avec des mots) ce qu’est une position d’équilibre. > Définir (avec des mots) ce qu’est une position d’équilibre stable. 14°) Connaissant l’expression mathématique de l’énergie potentielle : > quel critère permet d’identifier une position d’équilibre ? > quel critère permet d’identifier une position d’équilibre instable ? Dans les questions suivantes (15 à 18), on note M le point matériel de masse m, et F la force totale qui lui est appliquée. On note Δ un axe passant par O. 15°) Définir le moment de la force F par rapport à un point O puis par rapport à l'axe Δ. Donner l’interprétation physique de ces grandeurs. 16°) Définir le moment cinétique du point matériel par rapport à un point O puis par rapport à l'axe Δ. Donner l’interprétation physique de ces grandeurs. 17°) Enoncer le TMC par rapport à un point. 18°) Etablir l’équation différentielle du pendule simple à l’aide du TMC. 19°) Définir ce qu’est une force centrale conservative. Quelle est la relation entre le vecteur force F et l’énergie potentielle Ep associée ? On représentera sur un schéma les coordonnées et le repère choisi pour exprimer cette relation. 20°) Quelles sont les grandeurs conservées dans ce type de mouvement ? Démontrer ces lois de conservation. Citer deux conséquences d’une de ces lois. 21°) Discussion graphique du mouvement : o Dessiner l’allure des courbes d’énergie potentielle effective Ep(r), dans le cas d’un CFCC attractif, et dans le cas d’un CFCC répulsif (sans justifier). o De quelle composante de la trajectoire peut-on discuter avec ce type de diagramme ? o Sur ces deux schémas, repérer sur l’axe des ordonnées les zones correspondant à un état lié, et celles correspondant à un état libre, en donnant le critère permettant des les identifier 22°) Enoncer les trois lois de Kepler. 23°) On considère un satellite en orbite circulaire autour de la Terre, orbite de rayon r0 : > Montrer que la vitesse angulaire est constante et établir la relation entre | | v \ | et r0 > Etablir la relation entre Em et r0 > Etablir la relation entre Em et Ep > Etablir la 3ème loi de Kepler. Si le mouvement du satellite est parfaitement connu, que peut-on savoir à propos de la Terre ? 24°) Par analogie avec le cas circulaire traité ci-dessus, toujours dans le cas d’un satellite : > donner l’expression de Em en fonction du demi-grand axe a d’une orbite elliptique 25°) Décrire le mouvement d'un solide animé d'un mouvement de translation puis d'un mouvement de rotation autour d'un axe fixe. 26°) Exprimer la quantité de mouvement d’un système de masse m et de centre d’inertie G en mouvement dans le référentiel R. 27°) Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe, exprimer le moment cinétique scalaire L∆ du solide en fonction de moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Δ J ∆ et de la vitesse angulaire de rotation ω du solide autour de l’axe Δ. 28°) Définir un couple de forces. 29°) Définir une liaison pivot et justifier le moment qu’elle peut produire. 30°) Ecrire la loi du moment cinétique par rapport à axe orienté fixe dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. 31°) Dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe, relier son énergie cinétique E c au moment d'inertie du solide par rapport à l'axe Δ J ∆ et de la vitesse angulaire de rotation ω du solide autour de l’axe Δ. 32°) Enoncer la loi de l’énergie cinétique dans le cas d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ.