Exercice académique numéro 1 (à traiter par tous les candidats)
Le Tripl’One
Partie I : Etude de quelques exemples
1. Donner deux décompositions possibles pour obtenir le nombre N = 10.
par exemple 1 → 3 → 9 → 10 ou encore 1 → 2 → 3 → 9 → 10
2. Roméo a obtenu 31. Pourquoi peut-on affirmer que le nombre précédent était 30 ?
on passe d'un nombre au précédent soit en divisant par 3, soit en enlevant 1
Or ici 31 n'est pas divisible par 3... C'est donc 31-1=30
Qu'en serait-il si Roméo avait obtenu 63 ?
Là il y a deux possibilités... 63:3=21 ou 63-1=62
3. Roméo et Juliette cherchent à obtenir pour un nombre N donné, une décomposition donnant un
nombre minimal d’étapes.
a. Déterminer à l’aide d’un arbre tous les nombres atteignables en 3 étapes.
Nombre minimal d’étapes pour at
La réponse est 5, en effet :
Une fois arrivé à la 3ème étape (obligatoire car 90 n'est pas obtenu
avant), deux étapes supplémentaires suffisent car
(10 x 3) x 3 = 90
On ne peut pas faire moins car une seule étape supplémentaire donne
au maximum le nombre 27 x 3 = 81
c. En déduire le nombre minimal d’étapes pour obtenir 91 et 92.
Pour 91, ce sera 6 étapes... les 5 qui mènent à 90 et celle du « +1 ». En
effet, le nombre qui précède 91 est nécessairement 90 (car 91 n'est
pas divisible par 3) or 90 est atteint en un minimum de 5 étapes.
De même, le nombre qui précède 92 est forcément 91 et on trouve
donc 7 étapes au minimum.
d. Qu’en est-il pour 93 ? Pour105 ? Pour 108 ?
Montrer dans chaque cas les étapes conduisant à chacun de ces nombres.
On cherche à repérer les nombres précédents possibles, sachant que pour aller « au plus vite », il faut
diviser par 3 lorsque c'est possible... (on remonte ainsi la série des opérations).
93 ← 31 ← 30 ← 10 ← 9 ← 3 ← 1 (6 étapes)
105 ← 35 ← 34 ← 33 ← 11 ← 10 ← 9 ← 3 ← 1 (8 étapes)
108 ← 36 ← 12 ← 4 ← 3 ← 1 (5 étapes)
Partie II : Quelques types de nombres particuliers
On considère un nombre N atteint en un nombre minimal de p étapes (où p est donc un entier).
1. Supposons tout d'abord que N soit une puissance de 3.
a) Donner la valeur de p lorsque N = 3
8
Nécessairement, p=8 car 1x3x3x3x3x3x3x3x3 donne 3
8
b) Dans le cas général, déterminer en fonction de p, le nombre minimal d’étapes pour atteindre N+1,
puis N+3.
Notons que N=3
p
si bien que N+1=3
p
+1 . N+1 est atteint en p+1 étapes car N étant une puissance de 3,
il est divisible par 3 et par conséquent, N+1 n'est pas divisible par 3. Le nombre qui précède N+1 est
donc N et il faut donc 1 étape de plus que pour obtenir N.
En revanche, N+3 est un multiple de 3. Et comme N=3
p
, alors N+3=3
p
+3=3(3
p-1
+1) et donc le nombre
précédent est (3
p-1
+1) si l'on veut un nombre minimal d'étapes. Ce nombre s'obtient en (p-1)+1+1=p+1
étapes d'après ce qui a été vu juste auparavant.
2. Supposons maintenant que N soit un multiple de 3.
Déterminer en fonction de p, le nombre minimal d’étapes pour atteindre N+1.
Le raisonnement est le même que pour la précédente question : N+1 n'est pas divisible par 3 et donc
le nombre qui le précède est N. Il faut donc p+1 étapes.
Donner un nombre N, tel que N+3 est atteint en moins de p étapes.