Jessica Lévesque mémoire présenté au Département de

ALGÈBRES INCLINÉES DE TYPE
4
Jessica Lévesque
mémoire présenté au Département de mathématiques et d'informatique en vue
de l'obtention du grade de maître ès sciences (M-Sc.)
FACULTÉ DES SCIENCES
UNIVERSITE DE SHERBROOKE
Sherbrooke, Québec, Canada, mai 1999
1*1
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SOMMAIRE
Les algèbres inclinées jouent un rôle important dans la théorie des représentations des
algèbres associatives. Il est donc utile d'avoir des résultats de classification de ce type
d'algèbres. La classification des algèbres inclinées de type jÉh est un des résultats de la
thèse de doctorat de O. R o l d h [19].
La preuve originale de ce théorème, qui n'a jamais été publiée, a été donnée a u début
des années 80. De nouveaux résultats publiés depuis, tels que la classification des algèbres
pré-inclinées de type
&
de Assem et Skowrodski [5] et la caractérisation des algèbres
inclinées de type euclidien de représentation infinie de Ringel [18],ainsi qu'une nouvelle
technique de F. Huard [15]nous permettent de donner une nouvelle preuve concise et
conceptuelle de cette cktssification.
Même si la plupart des notions importantes sont rappelées, le lecteur doit avoir des
connaissances de base dans la théorie des représentations des algèbres associatives et
de bonnes connaissances en algèbre. Un rappel de toutes les notions nécessaires aurait
trop alourdi le texte et en aurait dilué le contenu. Nous nous en sommes donc tenus aux
notions essentielles en admettant certains faits secondaires.
REMERCIEMENTS
Je tiens tout d'abord à remercier mon directeur, le professeur Ibrahim Assem, pour
son soutien, sa compréhension et s o n aide tout au long de ma maîtrise. J e tiens également
à remercier mon codirecteur, le professeur Shiping Liu, et le professeur François Huard
pour des discussions qui m'ont g r a d e m e n t aidée à mener à bien ce travail. Je remercie
mon comité de maîtrise composé d e mon directeur, de mon codirecteur et des professeurs
Jacques Dubois et Bernard Colin pour leur présence et leur intérêt à chacune des étapes
de ma maîtrise. Et je ne peux oublier de remercier toute l'équipe d'algèbre de l'université
de Sherbrooke pour leur présence e t pour toutes ces réunions qui ont si bien agrémenté
mon cheminement, ainsi que Diane Castonguay et M a q s e Turcotte pour leur complicité
toute féminine. Finalement, merci à mon conjoint David et ma fille Séréna pour leur
soutien, leur compréhension et leur présence si précieuse tout au long de ce dur labeur.
Table des matières
REIMBRCR3IMENTS
iii
INTRODUCTION
1
Chapitre 1 - Rappels et notations
3
.. . ......... .- .
3
Idéaux admissibles et quotients d'une algèbre de chemins. . . . . . . . . .
7
- Algèbres inclinées
Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . . . . . .
Algèbres quasi-inclinées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . - . . . . . . . .
10
1.1 Carquois et algèbres de chemins . . . . . . 1.2
,
Chapitre 2
2.1
2.2
Chapitre 3 - Algèbres aimables
.. .................
Définitions et exemples . . . . . - . . .
3.2
Classification des algèbres pré-inclinées de type 4 e t
;$,
.. . . . . . . .
Chapitre 4 - Théorème de R o l d b
4.2
.... .. . ....... . ... ... ....... .
Théorème de Ringel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Double-zéro . . . .
13
15
3.1
4.1
11
15
19
26
.
27
.
32
. . . . . - . . . 36
4.3
Démonstration pour une algèbre A de représentation finie
4.4
Démonstration pour une algèbre A de représentation infinie . . . . . . . .
CONCLUSION
40
45
INTRODUCTION
Une des branches importantes de la théorie des représentations des algèbres associatives est la théorie de l'inclinaison qui est en fait une généralisation de la théorie de
Morita. Étant donné une algèbre A et un A-module
Ta,dit inclinant, on étudie l'algèbre
d'endomorphismes B de TA.Il appert que les propriétés de la catégorie des B-modules
sont alors semblables à celles de la catégorie des A-modules. Les algèbres inclinées sont
nées de cette théorie.
Les algèbres inclinées se sont avérées utiles dans plusieurs domaines de la théorie des
représentations. Si on voit les algèbres comme des structures graphiques (carquois liés),
il est utile de trouver des critères combinatoires pour vérifier si une algèbre est inclinée
ou non. C'est pourquoi certains types d'algèbres inclinées ont été classifiées en fonction
de leurs carquois liés. Parmi celles-ci, on retrouve les algèbres inclinées de type
&, gui
ont été classifiées par Roldiin [19].Nous donnons dans ce mémoire une nouvelle version
de l'énoncé de ce résultat qui en simplifie le critère combinatoire pour vérifier si une
algèbre est inclinée de type &, ainsi qu'une nouvelle preuve courte et simple de ce même
résultat.
Le premier chapitre en est un de rappels et de notations. Toutes les notions ne sont
pas rappelées, seulement les plus importantes. Le second chapitre est consacré aux al-
gèbres inclinées et quasi-inclinées. Au chapitre trois, nous étudions les algèbres aimables.
En particulier, on y étudie deux sous-classes d'algèbres aimables, soit les algèbres préinclinées de type & et
&. Finalement, on retrouve dans le quatrième chapitre le nouvel
énoncé ainsi que la démonstration du théorème principal de ce mémoire.
Chapitre 1
Rappels et notations
Nous rappelons dans ce chapitre la relation existant entre une algèbre de dimension
finie sur un corps algébriquement clos et une structure combinatoire appelée carquois.
On verra en effet que chaque carquois Iié par ce qu'on appellera un ensemble de relations
définit une algèbre. Inversement, on peut associer à chaque algèbre un carquois lié, et ce
si l'algèbre satisfait à certaines conditions que l'on peut supposer sans perte de généralité. Pour plus de détails, nous référons le lecteur à [6]. Finalement, ce premier chapitre
contient les notations qui seront utilisées tout au long de ce mémoire.
1.1
Carquois et algèbres de chemins
Les carquois fournissent à eux seuls bon nombre d'exemples d'algèbres. Cette section
contient la terminologie et les définitions relatives à la notion de carquois. On verra aussi
comment construire une algèbre (dite de chemins) à partir d'un carquois.
Définition 1.1.1 Un caquois Q = (Qo,Q1, s, b) est un quadruplet formé d'un ensemble
Qo de points, d'un ensemble QI de flèches, et de de:
applications s, b : Q1+ Qo qui
associent à chaque flèche a E Q1sa source s(a)E Qo et son but b ( a ) E Qom
Une flèche a de source i = s(a) et de but j = b ( o ) est notée rr
:i
+j
ou encore
j. Un carquois Q = (Qo,Q17s, b) est souvent noté Q = (Qo,QI) ou plus simplement
i
QUn carquois est donc un graphe orienté sans aucune restriction particulière. En voici
quelques exemples :
Exemples 1.1.2
0-0-0
o
r
0
0
-
0
'
0
-
0
Un point a d'un carquois Q est une source si aucune flèche de Q n'admet a pour
but, et est un puits si aucune flèche de Q n'admet a pour source.
Un sous-carquoisd'un carquois Q = (Qo,Q1,s, b) est un carquois Q' = (Qa, Q; ,sr,b')
tel que
Qb C Qo,Q;
C Q1 e t les applications s', b' sont les restrictions
bIQi de s et
b à Qi. Un tel sous-carquois est plein si Q; est l'ensemble de toutes les flèches dans Q1
dont la source et le but appaxtiennent à Qb, c'est-à-dire :
Par exemple, étant donné le carquois Q suivant :
5
4
alors
sont des sous-carquois de Q, le premier étant plein, mais pas le second (en effet, il ne
contient pas la flèche entre les points 2 et 1).
Un carquois
jacent
Q d'un
Q
est dit fini si Qo et Ql sont des ensembles f i s - Le graphe sous-
carquois Q est obtenu à partir de Q en oubliant l'orientation des flèches,
et Q est dit connexe si le graphe
Q est connexe.
Soient maintenant Q = (Qo, QI, s, 6 ) un carquois et a, c E Qo. Un chemin de lon-
gueur 1
avec
2 1 de source a et de but c (ou de a vers c) est u n e suite
CYI; E
< k 5 1, et où s(crl) = a, b(cul) = c et b ( a k ) = s ( c u ~ + pour
~)
Q1 pour tout 1
tout 1 5 k < 1. Un tel chemin est brièvement noté a ~ o a...al et est représenté comme
suit dans Q :
De plus, on associe à chaque point a E Qo un chemin de longueur 0, appelé chemin
stationnaire en a, et noté
A
chaque flèche a : z
E,.
-t
y, on associe un inverse formel a-' de source y et de but
x. Une marche dans Q est une composition formelle w = cl
+
c, où ci est une flèche
ou I'inverse d'une flèche et ~ ( y +=~ b)( y ) pour 1 4 i < n. On pose s(w) = s(cl) et
b ( w ) = b ( k ) et on dit que w est une marche de s(w) vers b(w). La marche triviale
au sommet a est le chemin stationnaire
E.
avec s(E.) = b ( ~ , ) . Une marche w est dite
réduite si w est triviale ou si w = ci . c, et ci+l # ci-' pour tout 1 5 i < n.
Voyons maintenant comment construire l'algèbre de chemins d'un carquois. À partir
de maintenant et jusqu'a la fin de ce mémoire, k désigne un corps algébriquement clos.
Définition 1.1.3 Soit Q u n carquozs. L'algèbre de chemins kQ de Q est la k-algèbre
dont le k-espace vectoriel sous-jacent a comme base l'ensemble de tous les chemins dans
Q, et telle que le produit de deux éléments de la base soit défini par:
où
abcest le delta de Kronecker.
En d'autres termes, le produit de deux chemins cq . ..cul et
Pl...
est nul si b ( w ) #
, et est égal au chemin composé al. . .arPi. ..,Bksi b(cq) = s(,&). Le produit de
deux éléments arbitraires de kQ est alors obtenu par distributivité.
s(pl)
Exemple 1.1.4 Soit Q le carquois suivant :
La base de k Q est alors {
E ~ a,
, act
= O?, ai3,...)-On voit facilement que
à k [ x ] ,l'algèbre des polynômes en x
.
k Q est isomorphe
1.2
Idéaux admissibles et quotients d'une algèbre de
chemins.
Nous verrons dans cette section que sous certaines conditions, toute algèbre A est
isomorphe au quotient d'une algèbre de chemins par un idéal dit admissible. Dans ce qui
suit, nous notons R l'idéal bilatère de k Q engendré par l'ensemble des flèches de Q. Ainsi
R, en tant que k-espace vectoriel, admet pour base l'ensemble des chemins de longueur
au moins un.
Définition 1.2.1 Soit Q tm carquois fini. U n idéal bilatère 1 de k Q est admissible s'il
existe rn 2 2 tel que Rm C 1 C RZ.S i I est u n idéal admissible de kQ , la paire (Q,1)est
appelée un carquois lié. L'algèbre quotient k Q / I est l'algèbre du carquois lié (Q, 1).
Exemples 1.2.2 (a) Pour tout carquois Q et tout m
2 2, Rm est admissible.
(b) Soit Q le carquois suivant:
L'idéal Il=< (YB- y6 > est admissible ; en effet, IlC R2, alors que R3 = O. Par contre,
I2 =< a$-
X > ne l'est pas car ap - A $ R2.
Définition 1.2.3 Soit Q un carquois. Une relation de Q avec coeficients dans k est
u n e combinaison k-linéaire de chemins de longueur au moins deux ayant m ê m e s o w c e et
même but. Une relation p est donc u n élément d e k Q tel que
où les
sont des scalaires (non tous nuls), et les wi des chemins dans Q de longueur au
moins deux tels pue si i # j , alors s(wi) = s(wj)et b(wi) = b(wj).
Dans l'expression ci-dessus, si m = 1, on dit que p est une relation monomiale ou
relation-zéro.
Si
est un ensemble de relations de Q tel que l'idéal I =< pj
1j
E J
engendre soit admissible, on dira que le carquois Q est lié par les relations
par les relations
pj
> qu'il
ou
= O pour tout j E J , ou simplement que (Q, 1) est un carquois lié.
Un chemin p dans Q est un chemin nul si p
E
1.
If)est un sous-carquois plein de (Q, 1) si Q fest un souscarquois plein de Q et If= kQ' n I. L'ensemble {e, = E. + I 1 a E Qo) est un ensemble
Un carquois lié
(QI,
complet d'idempotents primitifs orthogonaux pour L'algèbre de carquois lié kQ/I. Pour
un kQ/I-module M, on définit son support SuppM comme étant le sous-carquois plein
de (Qy1)tel que ( s ~ p p M =
) ~{a E Qo
1 Me, # O).
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer un résultat de base de la théorie des
représentations des algèbres. Le prochain théorème permettra en effet de voir les kalgèbres comme étant des algèbres de carquois lié. Notons d'abord que si A est une
k-algèbre de k-dimension finie, notre objectif est d'étudier la théorie des représentations
de A, c'est-à-dire de caractériser A par les propriétés de la catégorie mod A des A-modules
à droite de type fini. On peut donc, sans perte de généralité, supposer que A est sobre
et connexe ([l]). Pour la démonstration du théorème suivant, nous référons à [4].
Théorème 1.2.4 Soit A une k-algèbre sobre, connexe et de k-dimension finie. Alors il
existe u n carquois fini connexe QA ainsi qu'un idéal admzssible 1 de k Q A tels que A est
isomorphe à kQA/I. O
Le carquois lié (QAi1)est appelé une présentation de A.
À partir de maintenant et jusqu'à la fin de ce mémoire, toutes nos algèbres sont des
k-algèbres sobres, connexes et de k-dimension finie, et tous nos modules sont a droite de
type fini.
Définition 1.2.5 Soient A une algèbre et
(QA,
1) une présentation de A. Alors A est
triangulaire si Q A ne contient pas de cycles orientés.
C'est ainsi que se termine ce premier chapitre. Nous n'avons pu parcourir avec rigueur
toute la matière nécessaire à la bonne compréhension des prochains chapitres, mais nous
avons vu l'essentiel et l'accent a volontairement été mis sur la notion de carquois lié.
Cette notion joue un rôle de premier plan dans toutes les démonstrations de ce mémoire-
Chapitre 2
Algèbres inclinées
La théorie de l'inclinaison, introduite par Brenner et Butler, puis Happel et Ringel
au début des années 80, généralise la théorie de Morita (pour un historique plus complet
de la théorie d e I'inclinaison, voir [11]p.93).
Une algèbre inclinée est une algèbre A qui est isomorphe à l'algèbre d'endomorphismes
d'un module, dit inclinant, sur une algèbre héréditaire B. Ce qui est intéressant dans ce
concept, c'est que les catégories modA et modB sont assez sembIables, et les algèbres héréditaires étant bien connues, on connaît relativement bien modB. On peut donc espérer
étudier modA à partir de modB.
De plus, on sait que si A est une algèbre arbitraire et M est un A-module indécomposable ne se trouvant pas sur un cycle de la catégorie modA, alors il existe une algèbre
inclinée B telle que M soit un B-module indécomposable [18]. La compréhension des
modules sur les algèbres inclinées aide donc à la compréhension des modules sur toutes
les algèbres.
La notion d'algèbre inclinée a été généralisée par Happel, Reiten et Smala à celle d'al-
gèbre quasi-inclinée. Les algèbres quasi-inclinées peuvent être définies en fonction de leurs
dimensions homologiques et ceci s'avère très utile dans notre cas car il est relativement
simple de calculer les dimensions projectives et injectives des modules sur une algèbre
aimable de représentation finie. C'est ce qui nous permettra de classifier les algèbres
aimables inclinées de représentation finie à la section 4-2.
Ce chapitre est donc consacré aux algèbres inclinées et quasi-inclinées.
Définitions et exemples
Définition 2.1.1 Une algèbre N est héréditaire s'il existe un carquois fini et sans cycle
orienté Q tel que H soit isomorphe à kQ.
Nous avons vu que toute algèbre, sous certaines conditions, était isomorphe au quotient d'une algèbre de chemins par un idéal admissible 1 (1.2.4). Les algèbres héréditaires
sont donc celles pour lesquelles I = 0, c'est-à-dire les algèbres de chemins telles que définies en 1.1.3. Notons que cette définition n'est valide que dans notre cadre, c'est-à-dire le
cas où H est sobre, connexe et de k-dimension finie avec k un corps algébriquement clos.
La définition originale d'algèbre héréditaire est homologique ((81) et ne fait pas mention
des carquois.
11 est facile de construire des exemples d'algèbres héréditaires. 11 suffit de prendre un
carquois fini, connexe et sans cycle orienté Q et de considérer son algèbre de chemins kQ.
Nous donnons maintenant la définition de Happel et Ringel de module inclinant.
Définition 2.1.2 ([13]) Soit A une algèbre. U n A-module TA est dit inclinant s'il satisf ait aux trois conditions suivantes:
(Tl)La dimension projective de TA n3excède pas 1.
(T2)Exti(T,T) = 0.
(T3) Le nombre de facteurs directs indécomposables non-zsornorphes d e T e s t égal au
nombre de classes d'isomorphismes de A-modules simples.
Si A est héréditaire, alors la dimension projective de tout A-module n'excede pas 1,
ce qui fait que la condition (Tl) est toujours satisfaite.
Exemple 2.1.3 Pour toute algèbre A, le A-module AA est inclinant.
Nous avons maintenant tous Ies outils nécessaires à la définition d'algèbre uiclinée.
Définition 2.1.4 Soient Q un carquois &il
connexe e t sans cycle orienté et Q le graphe
sous-jacent d e Q. Une algèbre A est inclinée d e type Q s 'il existe une algèbre hkréditaire
B = k Q et u n B-module inclinant TB tels que A
EndTs.
Exemple 2.1.5 Soit A = k Q une algèbre héréditaire, alors A est inclinée de type
a En
effet, nous avons vu en 2.1.3 que AA est un A-module inclinant, et de plus A S EndAA.
La notion d'algèbre inclinée se généralise à celle d'algebre pré-inclinée.
Déhition 2.1.6 Soient Q u n carquois fini, connexe et sans cycle o n e n t é et Q l e graphe
sous-jacent de Q. Une algèbre A est dite pré-inclinée de type
Q s'il existe u n e suite
k Q = Ao,A l , . . . ,A, = A et une suite TL de Ai-modules i n c l i n a n t s tels que
EndTii pour tout O 5 i 5 m - 1.
d'algèbres
Aicl
Une algèbre inclinée est donc d'abord une algèbre pré-inclinée. Or il existe des ~ é s u l t a t s
fort utiles de classification de certains types d'algèbres pré-inclinées ; deux de ces résultats,
que nous verrons au prochain chapitre, seront à la base des démonstrations du chapitre
4. Les autres propriétés dont nous aurons besoin à propos des algèbres inclinées seront
vues à la prochaine section et aux deux premières sections du chapitre 4.
2.2
Algèbres quasi-inclinées
La notion d'algèbre quasi-inclinée, introduite par Happel, Reiten et Smalo, est une
généralisation catégorique de celle d'algèbre inclinée. Nous donnons dans cette section
une définition d'algèbre quasi-inclinée équivalente à celle donnée par Happel, Reiten et
Smala, mais plus adaptée au contexte de ce mémoire, ainsi que quelques exemples.
Définition 2.2.1 ([12]) Une algèbre A est quasi-inclinée s i la dimension globale de A
n'excède pas deux, et s i pour t o u t A-module indécomposable M , la dimension projective
de M o u sa dimension injective est plus petite ou égale à un.
Exemples 2.2.2 (a) Soit A l'algèbre donnée par le carquois :
lié par op et /36. Alors A n'est pas quasi-inclinée. On peut en effet montrer que la
dimension globale de A est trois. Par contre, pour tout A-module indécomposable M, la
dimension projective ou injective de M est plus petite ou égale à un. De même, on peut
trouver des algèbres de dimension globale deux et pour lesquelles il existe des modules
ayant dimensions projective et injective égales à deux. Les deux conditions de la définition
ne sont donc pas redondantes.
(b) Soit maintenant A l'algèbre donnée par le carquois :
lié par a$ et 67.Alors A est quasi-inclinée. Et nous serons en mesure, au chapitre 4, de
Cy
montrer que A est pré-inclinée de type & mais n'est pas inclinée.
Pour vérifier si une algèbre est quasi-inclinée, il suffit donc de calculer les dimensions
homologiques de ses modules.
Au début de cette section, nous avons présenté les algèbres quasi-inclinées comme
étant une généralisation des algèbres inclinées. En fait, toute algèbre inclinée est quasi-
inclinée,et on a le résultat suivant :
Proposition 2.2.3 ([12]) Soit A une algèbre de représentation finie.Alors A est inclinée si et seulement si elle est quasi-inclinée. Cl
Exemple 2.2.4 L'algèbre correspondant au carquois suivant :
lié par a$ est de représentation finie et est quasi-inclinée, et par conséquent est inclinée.
Ceci termine ce deuxième chapitre. Nous verrons au prochain chapitre une classe
particulière d'algèbres, les algèbres aimables, qui contient une autre classe d'algèbres très
importantes pour nous, soit les algèbres pré-inclinées de type & et
&.
Chapitre 3
Algèbres aimables
Comme nous l'avons vu au chapitre 1, les k-algèbres peuvent être représentées par des
carquois liés. 11 est donc naturel de décrire des classes d'algèbres par Ieurs carquois liés.
C'est ainsi que sont décrites les algèbres aimables, introduites par -4ssem et Skowronski
au milieu des années 80, de même que les algèbres pré-inclinées de type & et
L , res-
pectivement classifiées par Assern et Happe1 et par Assem et Skowronski. Nous verrons
également dans ce chapitre la notion de recouvrement universel, la notion d'extension et
de coextension de branche, ainsi que plusieurs exemples.
3.1
Définitions et exemples
Définition 3.1.1 ( [ 5 ] ) Une algèbre triangulaire A est aimable s 'd existe une présentation de A par un carquois lié (Q,1) satisfaisant aux conditions suivantes :
(Gl)Le nombre de flèches de source ou de but donné est plus petit ou égal à deux.
(G2) Pour chaque flèche a, il existe au plus une flèche
P et une flèche
y telles pue
cup
et y a n'appartiennent pas a 1.
(G3) Pour chaque flèche a, il existe au plus une Pèche
Pr et une flèche y' telles que olp'
et i a ! appartiennent à 1.
(G4) L 'idéal 1 est engendré par u n ensemble de chemins de longueur deux.
Un carquois lié (Q, 1)satisfaisant aux conditions de cette définition est un carquois
lié aimable.
Exemples 3.1.2 (a) Le carquois suivant :
ne satisfait pas à la condition (Gl).
(b) Le carquois suivant :
lié par
O$
et a@' ne satisfait pas à la condition ( G 3 ) , et s'il n'est lié par aucune
relation alors il ne satisfait pas à (G2).
( c ) Le carquois suivant :
lié par acP6 ne satisfait pas à la condition (G4).
(d) L'algèbre correspondant a u carquois suivant :
lié par a$, 76 et
PX est
aimable.
(e) Les algèbres héréditaires correspondant aux carquois suivants sont aimables :
Soit A = k Q / f une algèbre aimable de représentation finie. Le recouvrement uni-
--
verse1 (Q, 1) de (Q, 1) est un carquois lié que l'on construit de la façon suivante :
(i) On fixe a E Qo, alors
Go est l'ensemble des marches réduites w telles que s(w) = a.
Pour w, w' E Go, il existe une flèche
~
,
,
~
:t tu -t
w' si et seulement s'il existe
-
a E QI telle que w' = w a ou w = w'a-'. Le carquois Q est lié par l'ensemble des
chemins de longueur deux ai,,&,^^ tels que
--
O$
E 1.
+ (Q, 1) tel que T(W) = b(w) pour
tout w E Qo7~ ( a ~ ,=~a. pour
)
tout a,,,. E QI et ~ ( p E) I pour tout p E Ce
-morphisme induit un foncteur de recouvrement ?r, : k Q / I + A et un foncteur de
(ii) On a un morphisme de carquois liés
-
rabaissement
TA
7r
: (Q, 1)
- - + modA qui est exact et qui préserve les projectifs et
:m o d k Q / I
les injectifs.
Pour la définition formelle d e recouvrement universel, voir, par exemple, [17].
Cette construction dépend du choix de a E Qo, mais le recouvrement universel de
(Q, 1) est tout de même unique à isomorphisme de carquois liés près. De plus, on voit
-
facilement que (Q, 1)est aimable e t que
est un arbre, et c'est ce qui fait que la notion
de recouvrement universel nous sera très u t J e à la section 4.1.
Dans les exemples suivants, on utilisera la même notation pour les flèches de
a que
pour celles de Q.
Exemples 3.1.3 (a) Soit (Q, 1) un carquois lié. Si Q est un arbre, alors il suit directe-
--
ment de la construction que (Q, I ) = (Q,I ) .
(b) Soit Q le carquois suivant :
lié par a$, y6 et
PX. Alors
lié par a$, 7 6 et
PX.
est le carquois infini suivant :
( c ) Soit Q le carquois suivant :
lié par y a et bA. Alors
est le carquois infini suivant :
lié par ya! et bX-
3.2
Classification des algèbres pré-inclinées de type &
Les algèbres pré-inclinées de type & e t
&
sont des algèbres aimables qui ont été
classifiées dans les années 1980 par Assem e t Happe1 [3] et par Assem et Skowroiiski [5]
respectivement. Les preuves principales de ce mémoire se basent sur ces deux résultats.
Rappelons d'abord que & désigne le graphe de Dynkin suivant :
et que & désigne le graphe euclidien suivant :
On a le résultat suivant pour les algèbres pré-inclinées de type & :
Théor5me 3.2.1 ([3]) Une algèbre A = k Q / I est pré-inclinée de type A,, si et seulement
si elle est aimable et Q est un arbre ayant n points. O
Il suit de ce théorème que les modules indécomposables sur une algèbre pré-inclinée
de type
4
sont sans multiplicité (c'est-à-dire que si A est une algèbre pré-inclinée de
type A,,, alors pour tout A-module indécomposable M et tout A-module indécomposable
projectif P, on a dimkHoma(P, M) 5 1).Par conséquent, tout module indécomposable
sur une telle algèbre est uniquement déterminé par son support, dont le graphe sousjacent est de type & pour un m
< n. Ceci nous sera très utile dans les démonstrations
de la section 4.1.
De plus, si A = k Q / I est pré-inclinée de type &, il est facile de voir que (Q, 1)est
un sous-carquois fini et connexe du carquois infini suivant :
O
t
lié par op et
Ba! et obtenu du carquois suivant :
20
lié par crp et
Ba! en utilisant la construction de recouvrement universel vue
à la section
Ce carquois est appelé la branche compléte, et tout sous-carquois fini et connexe de
la branche complète est appelé une branche. On a donc que A = k Q / I est pré-inclinée
de type & si et seulement si (Q,I ) est une branche.
Exemples 3.2.2 (a) Soient A = k Q / I une algèbre aimable de représentation finie et
(a,7) son recouvrement universel. Alors tout sous-carquois plein, fini et connexe
CY
CI
de (Q, I ) est le carquois lié d'une algèbre pré-inclinée de type Pa, ; en effet, on a vu
à la section 3.1 que
--
(Q, 1)est aimable et que
est un arbre.
(b) Une branche tronquée en a est un souîcarquois fini et connexe, contenant a, du
carquois infini suivant :
Lié par a$. En fait, une branche tronquée est une branche telle que le but d'une
flèche p n'est pas la source d'une flèche a. On voit donc que l'algèbre correspondant
à une branche tronquée est pré-inclinée de type
&.
Les notions de branche et branche tronquée nous seront utiles au chapitre 4, ainsi que
le résultat suivant :
Lemme 3.2.3 Une branche (Q,I ) est une branche tronquée e n a si et seulement s'il
n'existe pas u n point b E Qo tel que l'unique marche réduite entre b et a contient îIne
relation.
Démonstration. Cela suit du fait qu'une branche tronquée ne contient pas de relation
de la forme Ba. O
Voici maintenant la classification des algèbres pré-inclinées de type
&:
Théorème 3.2.4 ([SI) Une algèbre A = k Q / I est pré-inclinée de type & s i et seulement
s i elle est aimable et ( Q ,1) satisfait à :
(i)
IQol = n + 1-
(ii) Q contient u n unique cycle C (non-orienté).
(iii) (Condition de l'horloge.) Sur C, le nombre de relations orientées dans le sens horaire
est égal au nombre de relations orientées dans le sens anti-horaire.
De plus, A est de représentation finie si et sevlement s i le cycle C est lié par au moins
deux relations. O
Exemples 3.2.5 (a) L'algèbre héréditaire donnée par le carquois :
est clairement pré-inclinée de type
(b) L'algèbre donnée par le carquois :
&.
lié par
O$,
y6 et dA est pré-inclinée de type
&. Par contre, si le carquois est lié
par olp et bX, alors il ne satisfait pas à la condition de l'horloge. Donc l'algèbre
correspondante n'est pas pré-inclinée de type
&.
( c ) L'algèbre donnée par le carquois :
lié par p6 et yX est pré-inclinée de type &. Par contre, l'algèbre héréditaire donnée
par ce carquois n'est pas aimable et donc n'est pas pré-inclinée de type
&.
En fait, on peut déduire du théorème 3.2.4 une construction du carquois lié (Q, I )
d'une algèbre pré-inclinée de type
, qui consiste à effectuer des extensions et coex-
tensions de branche sur un carquois lié (QI, I f ) avec Q' un cycle non-orienté. (Cette
construction doit bien entendu se faire en tenant compte du fait que le carquois lié résultant doit être aimable.)
Effectuer une extension de branche en a à (Qf,I') consiste d'abord à ajouter un
nouveau point a et une nouvelle flèche au : a
-t
i avec i E
&a,
et une relation-zéro p
contenant a, s'il n'y en a pas déjà une sur Q ayant i pour point médian. On ajoute
ensuite une branche (Qu, 1")contenant a et telle que Qi n Qb = 0. Si Q" contient une
flèche ou deux de but a, on peut ajouter une relation-zéro p' s'il y a lieu. On a alors un
carquois lié (Q"fyIf")
tel que
par I f , f',p et
4.
Qa = Qk
U QO,
Q i = Q:
u {aa)U Qy
et If" est engendré
On définit dudement la notion de coextension de branche.
Exemples 3.2.6 (a) Considérons le carquois suivant:
C'est un cycle non-orienté sans relations. Faisons une extension de branche. Ajoutons d'abord une source a de but i :
et la relation [email protected] suffit ensuite d'ajouter une branche contenant a, par exemple
comme ceci :
La branche est liée par y6 et 6X. Finalement, on ajoute la relation p a et il en
découle que l'algèbre correspondant à ce carquois lié est pré-inclinée de type
&.
(b) Le carquois suivant :
lié par @, 76, 6 X , p a et a'$ est obtenu du cycle de l'exemple précédant en effectuant une extension de branche et une coextension de branche. Ainsi l'algèbre
correspondant à ce carquois lié est pré-inclinée de type
XII.
Ainsi s'achève le troisième chapitre. Nous sommes maintenant prêts à aborder le
quatrième et dernier chapitre, qui contient la démonstration du théorème principal de ce
mémoire.
Chapitre 4
Théorème de Roldan
Comme nous l'avons mentionné dans l'introduction, nous donnons dans ce chapitre
un nouvel énoncé ainsi qu'une nouvelle démonstration du théorème de R o l d b . Pour ce
faire, nous nous servirons principalement des théorèmes de classification des algèbres
préinclinées de type & et
j& vus à la section 3.2, ainsi que de la notion de double-zéro
[15] que nous verrons dans la première section d e ce chapitre, et finalement du théorème
de Ringel de caractérisation des algèbres inclinées de type euclidien de représentation
infinie [18] que nous verrons dans la deuxième section. Ensuite, nous pourrons donner
la démonstration du théorème dans le cas où l'algèbre est de représentation finie (à la
tronsième section) et finalement dans le cas où l'algèbre est de représentation infinie (à la
quadxièrne et dernière section).
Mais tout d'abord, voici le nouvel énoncé d u théorème de R o l d h :
Théorème ([19]) Soit A = k Q / I u n e algèbre pré-inclinée de type
&. Alors
A est
zncllinée si et seulement s i son carquois lié ( Q ,1) n e contient pas de sous-carquois lié
d'urne des formes suivantes ou leurs d d s :
avec t 2 4, a$ = O , yb = 0.
avec t 2 5 , pû: = O , y6 = O , 1 e t 2 sont sur le cycle tandis que t - 1 et t n e le sont pas.
avec t
> 4, ap = O , y6 = O , seuls 1 et t ne sont pas sur le cycle.
avec t 2 4,
ap = O , y6 = O, seuls 1 et t n e sont pas sur le cycle.
Dans tous les cas, il n'y a pas d'autres relations à part celles mentionnées, et les
flèches dont o n ne précise pas l'orientation peuvent être orientées arbitrairement.
Notion introduite par François Huard [15] (voir aussi [21), le double-zéro nous permet
de classifier les algèbres aimables inclinées de représentation finie, et donc les algèbres
inclinées de type
de représentation finie à la section 4.3.
Définition 4.1.1 U n double-zéro est une marche réduite contenant exactement deux
relations qui pointent dans la même direction.
Un double-zéro est donc une marche réduite de la forme suivante :
P
a
0
0
0
-
1
avec
2
0
3
- . 0-0-0-0
t-2
cup = O et 76 = 0.
Exemples 4.1.2 (a) Le carquois suivant :
lié par
Dy contient le double-zéro suivant :
(b) Le carquois suivant :
lié par ;*A et p6 contient le double-zéro suivant :
( c ) Le carquois suivant :
6
Y
t-1
t
lié par a$? et y6 ne contient pas de double-zéro.
Remarques 4.1.3 (a) Il suit directement de la construction d u recouvrement universel
1) d'une algèbre aimable de
vue à la section 3.1 que le carquois lié aimable (Q,
représentation h i e contient un double-zéro si et seulement si son recouvrement
-
universel (Q, 1)e n contient un également.
(b) Si A = k Q / I est une algèbre pré-inclinée de type
(Q, 1)contient
UR
& de représentation finie et que
double-zéro, d o r s les points, flèches et relations de celui-ci sont
tous distincts. E n effet, si ce n'est pas le cas, on a que le cycle que contient Q n'est
lié par aucune relation ou qu'il ne respecte pas la condition de l'horloge. Dans les
deux cas, ceci contredit le fait que A est pré-inclinée de type
de représentation
finie. Ainsi, dans ce cas, un double-zéro est un sous-carquois de (Q,I ) .
( c ) Une branche contenant un double-zéro n'est pas tronquée. En effet, supposons que
le carquois lié (Q, 1)soit une branche tronquée et qu'il contienne un double-zéro.
Alors les deux relations de ce double-zéro sont nécessairement de la forme a@ (voir
3.2). 11 est donc de l a forme suivante :
et le point 3 est le but d'une flèche p. Or, dans une branche tronquée, le but d'une
flèche ,LI est soit le but d'une flèche ai, soit la source d'une autre flèche
P, et la
source d'une flèche ai est soit la source d'une flèche P , soit le but d'une autre flèche
a. Donc les flèches entre les points 3 et t
-2
sont des flèches ,û pointant dans la
même direction que les relations et des flèches
Donc t - 2 est soit le but d'une flèche
p,
a!
pointant dans l'autre direction.
soit la source d'une flèche a , ce qui dans
les deux cas contredit le fait que (Q, 1) est une branche tronquée puisque t - 2 est
également la source d'une flèche a.
Le lemme suivant et son dual nous seront utiles pour la classification des algèbres
aimables inclinées de représentation finie.
Lemme 4.1.4 Soient A = k Q / I une algèbre pré-inclinée de type & e t M u n A-module
indécomposable de dimension projective plus grande que un. Alors (Q,I ) contient une
marche réduite d e la forme suivante :
avec s une source de S u p p M , p $ ( S z ~ p p M et
) ~ quz contient u n e seule relation, soit
ap = O Démonstration. Rappelons d'abord que tous les A-modules indécomposables sont sans
multiplicité et donc uniquement déterminés par leurs supports qui sont de type & (voir
la remarque suivant le théorème 3.2.1).
Soit f : P
+M
une couverture projective de M. Puisque d p M > 1, on a que L =
Ker f n'est pas projectif. Il existe donc un facteur direct indécomposable L' de L qui n'est
pas projectif.
Soit P' la couverture projective de Lt. Puisque Lt # P', on peut déduire de la
construction de la couverture projective d'un module indécomposable qu'il existe un
point q E ( S U ~ ~ P\ (' )S ~U ~ ~ Let' une
) ~ flèche
P
: p -t q
avec p E ( S U ~ ~ L Le
' ) ~module
.
M étant sans multiplicité, on a nécessairement p $ ( S ~ p p h 4 ) ~ .
&faintenant, soit v un chemin non-nul dans SiippP commençant en une source s de
SuppM et finissant en p (ce chemin existe puisque p E (SuppP) ) .Puisque q $ (SuppL')
on a v p = O. L'algèbre A étant aimable et u étant non-nul, il existe une flèche a et un
chemin non-nul vt tels que v = v'a et
O$
= O, ce qui achève la démonstration. O
Voici maintenant le résultat sur lequel s'appuie la démonstration de la section 4.3.
Cette proposition a déjà été montrée par Huatd et Liu [15j (3.4) dans le contexte plus
général des algèbres de corde. Nous en donnons une courte preuve dans notre contexte
d'algèbre aimable-
Proposition 4.1.5 Soit A = k Q / I une algèbre aimable de représentation finie. Alors A
est inclinée si e t seulement si ( Q ,1) n e contient pas de double-zéro.
Démonstration. Nécessité. Supposons que (Q, I ) contient un double-zéro de la forme
suivante :
avec t
> 4 et où orp et y6 sont les relations-zéro (elles ne sont pas nécessairement dis-
tinctes).
Si t = 4, alors il suit de [9,101 que dim.gl.A > 2, et donc A n'est pas quasi-inclinée.
A étant de représentation finie, il suit de la proposition 2.2.3 que A n'est pas inclinée.
Supposons donc que t
3 5 , et soit N le A-module dont le support est le carquois
suivant :
Soit s une source de SuppN telle qu'il existe un chemin de s vers t - 2 dans SuppN.
On voit que le noyau du morphisme canonique P ( s )
+N
possède un facteur direct
non-projectif étant donné la présence de la relation yb. Donc dpN > 1.
On peut montrer de façon semblable que diN > 1. Donc A n'est pas quasi-inclinée,
et par conséquent n'est pas inclinée (voir 2.2.3).
Suffisance. Supposons que A n'est pas inclinée. Alors A n'est pas quasi-inclinée. Si
dirn.gl.A > 2, alors il suit de [9, 101 que (Q, I ) contient un double-zéro. Sinon, il existe
un A-module N tel que dpN > 1 et diN > 1.
--
--
Soit (Q, I ) le recouvrement universel de (Q, 1).Choisissons un kQ/I-module M E
TL' (N), et un sous-carquois lié
--
- -
(QI,
1') h i et connexe de (Q, 1)suffisamment grand qui
-
ic.
contient SuppM. Alors l'algèbre A' = kQ'/If est pré-inclinée de type &.
Le foncteur
TA
conservant les projectifs et les injectifis et étant exact, il en découle
que dpM > 1 et diM > 1- L'algèbre A' étant pré-inclinée de type &, il suit du lemme
--
et de son dual que (Q', I r ) contient un doublezéro.
Il suit alors de la remarque 4.1.3 (a)
que (Q, I ) en contient un aussi, d'où le résultat.
On déduit facilement de cette proposition la classification des algèbres inclinées de
m e &Corollaire 4.1.6 ( [ 2 ] ) Une algèbre A = k Q / I pré-inclinée de type & est inclinée si et
seulement si (Q,1) ne contient pas de double-zéro. O
Cette section étant complétée, nous sommes en mesure de montrer le théorème de
RoldAn dans le cas où A est de représentation h i e . Mais auparavant, nous verrons dans
la prochaine section les notions nécessaires à la démonstration du théorème dans t'autre
cas.
4.2
Théorème de Ringel
Pour la démonstration du théorème de Roldan dans le cas où A est de représentation
infinie, nous utilisons un théorème de Ringel [18]caractérisant les algèbres inclinées de
type euclidien de représentation infinie. Nous donnons dans cette section une version de
l'énoncé de ce théorème adaptée à notre contexte, et donc simplifiée. 11 n'en reste pas
moins que l'énoricé nécessite de présenter de nouvelles notions qu'il est difficile de traiter
en profondeur dans ce mémoire. Nous référons donc le lecteur à [18] pour plus de détails.
Définition 4.2.1 Soient A une k-algèbre et M un A-module. L'extension ponctuelle
de A par M , notée A [ M ] , est l'algèbre de matrices suivante :
AIW =
;[ *]
munie de l'addition matricielle et de la multiplication induite la structure de A-module
de M .
Le carquois lié de A [ M ] est obtenu à partir de celui de A en ajoutant un point a, et
pour chaque facteur direct simple S de la coiffe de M, on ajoute une fièche de source a
et ayant pour but le point i correspondant à S (c'est-à-dire le point i tel que S ( i ) "= S).
Donc a est toujours une source. Finalement, s'il y a lieu, on ajoute des relations de façon
à ce que M
radP(a).
On définit de façon duale la notion de coextension ponctuelle.
Soit A = k Q une algèbre héréditaire de type
. Alors le carquois d7Auslander-Reiten
l? (A) de A possède une composante post-projective, une composante pré-injective et une
infinité de tubes homogènes (tubes ayant un seul module sur leurs bouches, c'est-à-dire
de rang un), et au plus deux tubes exceptionnels Tpet S,, de rangs p et q respectivement
tels que p
+q = n + 1. Les n + 1 modules sur les bouches des ces tubes sont les A-modules
simples réguliers non-homogènes.
Composante post-projective
Composante pré-injective
Tubes exceptionnels
33
n i b e s homogènes
Soient Ml,
..., Mt
des A-modules simples réguliers deux-à-deux non-isomorphes.
L'extension tubulaire de A par les modules Ml, --., Mt consiste d'abord à effectuer
une extension ponctuelle de A par chacun des Mi- Notons que chaque
simple, et donc l'algèbre qui en résulte est aimable. Pour tout 1 5 i
Mi
est de coiffe
< t, notons ai, ai
et pi respectivement la source: la fièche et la relation-zéro correspondant à -Mi qui se
sont ajoutés à (Q, I).On a un nouveau carquois lié (QI, 1') tel que Qa = Qo U
Q; = QI U {c*i)ici5t
et
r est engendré par {piIl y5t-
Ii s d E t ensuite, pour tout 1 5 i 5 t , d'ajouter une branche tronquée (Qi, ri) en ai
telle que (Qi)o nQa = {ai). On obtient une extensicn tubulaire d'une algèbre héréditaire
de type
Q;
PB, dont
U {(Qi) i)i<ict
le carquois Lié (QU,I")est tel que Q: = Qo U {(Qi)o)l<ict, Q i =
et 1' est engendré par {pi)i<ict et
{Ii)isict
-
On definit de façon duale la notion de coextension tubulaire.
Remarque 4.2.2 On voit que par rapport au carquois Q de A, faire une extension
ponctuelle par un A-module simple régulier consiste à ajouter un point a, une flèche ac
telle que s(a)= a et b ( a ) E Qo, et une relation p = CEPavec
de type
E QI. Or, sur un carquois
;a, il y a exactement + 1 possibilités d'ajouter une telle source et une telle
TL
relation- Puisqu'il y a exactement n
+ 1 classes d'isomorphismes
de A-modules simples
réguliers, on voit que chacune de ces possibilités correspond à une extension ponctuelle
par un A-module simple régulier.
On peut faire une remarque semblable pour les coextensions ponctuelIes de A par des
A-modules simples réguliers.
Exemples 4.2.3 (a) Soit A = k Q avec Q le carquois suivant :
5
4
Alors A est une algèbre héréditaire de type
&, et l'algèbre
correspondant au car-
quois suivant :
lié par aly,a26, d p l et
a1'ven est une extension tubulaire.
(b) Soit A = kQ l'algèbre héréditaire de type ;$ vue en (a). Alors l'algèbre correspondant au carquois suivant :
3
lié par
603, C
2
a"0" en est une coextension tubulaire.
Y et
' ~
Nous pouvons maintenant enoncer la version simplifiée du théorème de Ringel correspondant aux algèbres inclinées de type
&.
Théorème 4.2.4 ([18]) Soit A = k Q / I une algèbre de représentation infinie. Alors A
35
est inclinée de type &, si et seulement si A est une extension ou une coextension tubulaire
d'une algèbre héréditaire de type
& et lQol = n + 1. O
Exemple 4.2.5 Les algèbres obtenues aux exemples 4.2.3 (a) et (b) sont inclinées de
Nous sommes maintenant en mesure de démontrer le théorème de Roldiin, ce que
nous ferons dans les deux prochaines sections.
4.3
Démonstration pour une algèbre A de représenta-
tion finie
Nécessité. Supposons que (Q,
1)contient un sous-carquois de la forme a), b), c) ou d),
et montrons que ceci entraîne que (Q, 1) contient un double-zéro. Il suivra alors de la
proposition 4.1.5 que A n'est pas inclinée.
- Si (Q,I ) contient un sous-carquois de la forme a), alors il est évident qu'il contient
un double-zéro.
- Si (Q, 1) contient un sous-carquois de la forme b), on a les cas suivants :
(i) Si le point 3 n'est pas sur le cycle, (Q, 1) contient un sous-carquois de la forme
suivante :
A étant de représentation finie et (Q, I ) satisfaisant la condition de l'horloge,
on a que (Q, I ) contient nécessairement un double-zéro muni d'une des relations
D a et 76.
(ii) Si le point 3 est sur le cycle, on a quatre cas différents.
(1)Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme suivante :
avec /?'a'= O, alors il contient le double-zéro suivant :
Dr
0
0
0
-
cYr
o..
'0-
0-0-0
3
B
a
2
1
(2) Si (Q,1)contient un sous-carquois de la forme suivante :
avec
d B t = O, alors il contient nécessairement un double-zéro, qu'il y ait
ou non d'autres relations sur le cycle puisque (Q, 1)respecte la condition
de l'horloge.
(3) Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme suivante :
avec paf = O, alors il contient le double-zéro suivant :
(4) Si (Q, I ) contient un sous-carquois de la forme suivante :
2
avec
a'fl
8
3
= O, alors il contient nécessairement un double-zéro puisque
(Q, 1)respecte la condition de l'horloge.
-
Si (Q, 1) contient un sous-carquois de la forme c), alors il contient un sous-carquois
de la forme suivante :
A étant de représentation finie, il y a au moins deux relations sur le cycle respectant
la condition de l'horloge, et alors on voit que (Q, 1) contient un double-zéro.
-
Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme d), alors il contient un sous-carquois
de 1a forme suivante :
A étant de représentatien finie, il y a au moins deux relations sur le cycle respectant
la condition de l'horloge, et alors on voit que (Q, 1)contient un double-zéro.
Ceci achève la démonstration de la nécessité.
Suffisance. Supposons que A n'est pas inclinée. A étant de représentation finie, il suit
de la proposition que (Q, 1)contient un double-zéro. De plus, il suit de la remarque 4.1.3
(b) que ce double-zéro est un sous-carquois de (Q, 1) de la forme a), ce qui achève la
démonstration. O
Exemples 4.3.1 (a) L'algèbre correspondant au carquois suivant :
lié par a@,&y et pX est inclinée de type
&.
(b) L'algèbre correspondant au carquois suivant :
lié par pcu,
(YP, y6 et
bX n'est pas inclinée car son carquois lié contient un sous-
carquois de la forme a).
4.4
Démonstration pour une algèbre A de représentation infinie
Nécessité. On a que A = k Q / I est inclinée de type
Ah et est de représentation infinie. Il
suit donc du théorème 4.2.2 que A est une extension ou une coextension tubulaire d'une
algèbre héréditaire de type
k .Supposons que
(Q, 1) contient un sous-carquois de la
forme a), b), c) ou d) et montrons que ceci mène à une contradiction.
- Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme a), on a les trois cas suivants :
(i) Si les points 1 et 2 sont sur le cycle (le cas où t - 1 et t sont sur le cycle est
d u d ) , alors (Q, 1) contient un sous-carquois de la forme suivante :
A étant une coextension tubulaire, on sait que le sous-carqucis
fait partie d'une branche tronquée en 3. Mais l'unique marche réduite reliant
t à 3 contient la relation 76. Il suit donc du lemme 3.2.3 que ce n'est pas une
branche tronquée, d'où la contradiction.
(ii) Si seul le point 1 est sur le cycle (le cas où t est sur le cycle est dual), alors
(Q, 1)contient un sous-carquois de la forme suivante :
A étant une coextension tubulaire, on sait que le sous-carquois
o-o2
B
0.
* .
0
-
3
S
Y
0-0-0
t-1
t
fait partie d'une branche tronquée en 2. Mais l'unique marche réduite reliant
t à 2 contient la relation 76. Il suit donc du lemme 3.2.3 que ce n'est pas une
branche tronquée, d'où la contradiction.
(iii) Si tous les p ~ i n t sdu sous-carquois ne sont pas sur le cycle, alors il est entièrement contenu dans une branche tronquée, ce qui est impossible d'après la
remarque 4.1.3 (c). On a donc une contradiction.
- Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme b), alors il contient un sous-carquois
de la forme suivante :
A étant une extension tubulaire, on sait que le sous-carquois
fait partie d'une branche tronquée en 3. Mais l'unique marche réduite reliant t à 3
contient la relation 76. Il suit donc du lemme 3.2.3 que ce n'est pas une branche
tronquée, d'où la contradiction-
- Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme c), alors il contient un sous-carquois
de la forme suivante :
A étant une extension ou une coextension tubulaire, on ne peut avoir à la fois une
flèche qui pointe vers le cycle (comme a) et une flèche qui sort d u cycle (comme b),
d'où la contradiction.
- Si (Q, 1)contient un sous-carquois de la forme d), alors il contient un sous-carquois
de la forme suivante :
Encore une fois, A étant une extension ou une coextension tubulaire, on ne peut
avoir à la fois une flèche qui pointe vers le cycle (comme a) et une flèche qui sort
du cycle (comme 6 ) , d'où la contradiction.
Ceci achève la démonstration de la nécessité.
Suffisance. Supposons que (Q, 1)ne contient pas de sous-carquois de la forme a), b), c)
et d), et montrons que A est une extension ou une coextension tubulaire d'une algèbre
&.Il suivra alors du théorème 4.2.2 que A est inclinée de type & .
D'abord, A étant pré-inclinée de type & , on sait que (Q, 1)a été obtenu d'une algèbre
héréditaire de type & en faisant des extensions et coextensions de branche (voir section
héréditaire de type
(Q, 1) ne contenant pas de sous-carquois de la forme c) et d), on voit que (Q, 1) ne
peut contenir à la fois des extensions et des coextensions de branche- Supposons donc
que (Q, 1)ne contient que des extensions de branche (l'autre cas est semblable).
Si la branche d'une extension de branche en un point a n'est pas tronquée, on sait
alors qu'il existe un point b dans cette branche tel que l'unique marche réduite reliant b
a a contient une relation. A étant de représentation infinie, il n'y a pas de relations sur
le cycle, et ainsi la flèche a
. :a
relation
orp avec
+-a'
(avec a' un point sur le cycle) fait partie d'une
s ( P ) = a'. On a donc que
(Q, 1)contient un sous-carquois de la forme
suivante :
P
0-0-0-0'
a!
-
' O-O-
Y
6
0-
O - "
O
avec x, a' sur le cycle, ap = O e t les flèches y et b forment une relation. Ainsi (Q, 1)
contient un sous-carquois de la forme a) ou b), une contradiction. Donc la branche est
nécessairement tronquée-
Il reste
à vérifier que 1 est engendré par les relations contenues dans les branches
tronquées et les relations de la forme crB avec a hors du cycle et ,f3 sur le cycle. Autrement
dit, il faut vérifier qu'il n'y a pas d e relations de la forme ycr avec
dans une branche
tronquée et cu en-dehors de cette branche tronquee. Or, si c'est le cas, (Q, 1)contient un
sous-carquois de la forme suivante :
avec ya = O, a/3 = O, 7 est dans une branche tronquée et
P est sur le cycle. Mais alors
(Q, 1)contient un carquois de la forme a), ce qui entraîne une contradiction. Ceci achève
la démonstration. Ci
Exemples 4.4.1 (a) Soit A l'algèbre donnée par le carquois :
lié par ap et 67. On a vu à l'exemple 2.2.2 (b) que A est quasi-inclinée. On voit
également que A est pré-inclinée de type
g,mais elle n'est
pas inclinée car son
carquois lié contient un sous-carquois de la forme c).
(b) L'algèbre correspondant au carquois suivant :
lié par y X et p6 n'est pas inclinée car son carquois lié contient un sous-carquois de
la forme d).
(c) L'algèbre correspondant a u carquois suivant :
lié par y q , 6-
et
d p r est inclinée de type Go.
Remarque 4.4.2 Le résultat principal de [14]dit que si une algèbre inclinée est aimable,
alors elle est de type & ou
&. Ainsi le théorème principal de ce mémoire et le corollaire
4.1.6 donnent une classification complète des algèbres aimables inclinées.
CONCLUSION
La technique de preuve employée ici est très puissante, comme le montrent les résultats de [15, 161. Par contre, elle repose sur le fait qu'on a une description des modules
indécomposables sur une algèbre aimable [7].Il n'est donc possible de l'appliquer que
dans ce cas. Si une algèbre non-héréditaire admet pour carquois ordinaire un carquois de
Dynkin ou euclidien, sa catégorie de modules est une sous-catégorie pleine de celle d'une
catégorie héréditaire de type Dynkm ou euclidien, et donc on a une bonne connaissance
de ses modules indécomposables. Il est donc loisible d'appliquer la même technique de
preuve à ce cas.
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En,
thèse de Ph.D. , U. Carleton