Dossier d`été 9ème vers 10ème

Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Dossier1 d’été pour l’entrée en 8ème
Tu ne dois rien écrire sur les pages de ce dossier.
Tous les exercices sont à faire sur des feuilles
séparées.
Nom : ………………………..
Prénom : ………………………..
Mon enseignant(e) de mathématiques en 7ème : ………………………..
Mes moyennes en mathématiques
1er trimestre : ……
2ème trimestre :……
3ème trimestre : ……
Ma note d’épreuve commune : ……
Ce dossier est facultatif, il t’a été remis dans le but de :
• Te permettre de retravailler tranquillement chez toi les notions
vues en 7ème année afin de commencer la 8ème année dans de bonnes
conditions.
•
De montrer ta volonté de remédier à tes difficultés.
Tu devras rendre ce dossier (fait ou non) lors du premier cours à ton
enseignant(e) de mathématiques de 8ème.
1
Ce dossier a été réalisé à l’aide des fiches de théorie du Collège de Cayla, des exercices du
document « Connaissances essentielles » et des exercices des anciens manuels de
mathématiques.
1
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Collège des Colombières
1. Nombres et opérations – compétences à maîtriser
1.1 Nombres entiers
•
•
•
•
•
•
•
Distinguer chiffre et nombre
Connaître la notation puissance
Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
Déterminer un diviseur commun et un multiple commun
Utiliser les critères de divisibilité par 2 ; 3 ; 5 ; 10
Additionner, soustraire, multiplier, diviser des nombres entiers.
Appliquer l’ordre des opérations.
1.2 Nombres relatifs
•
•
•
Comparer, ordonner et représenter des entiers relatifs sur un système d’axes.
Prendre son opposé, sa valeur absolue.
Additionner et soustraire des entiers relatifs.
1.3 Nombres rationnels
Ecriture décimale :
•
•
•
•
Lire, écrire, comparer, ordonner, arrondir des expressions décimales
Multiplier et diviser par 10 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 (calcul oral)
Additionner, soustraire, multiplier, diviser.
Ordonner les opérations, estimer l’ordre de grandeur d’un résultat
Ecriture fractionnaire :
•
•
•
•
Notation d’une fraction
Conversion d’écritures : nombre décimal <-> fraction <-> pourcentage
Amplifier, simplifier, rendre irréductible
Comparer et classer des rationnels :
o par la représentation géométrique de deux fractions
o par les conversions d’écriture
o par la mise au même dénominateur, ou au même numérateur
o en les plaçant sur une droite numérique
•
•
•
•
Prendre une fraction de…
Retrouver l’entier à partir de la fraction de…
Prendre un pourcentage de…
Additionner et soustraire dans des cas simples
2
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1. Nombres et opérations – éléments de théorie
1.1 Nombres entiers
Écriture, vocabulaire
Un mot s’écrit à l’aide de lettres. De la même façon, un nombre s’écrit à l’aide de chiffres.
Exemples :
i 235 est un nombre
i 3 est un des chiffres du nombre 235.
Lire et écrire un nombre entier
Un nombre qui s’écrit sans virgule est appelé nombre entier.
Pour lire ou écrire un nombre entier, on regroupe ses chiffres par tranches de trois en partant
de la droite.
Exemple :
123456789 s’écrit 123 456 789 et se lit cent vingt trois millions quatre cent
cinquante six mille sept cent quatre vingt neuf.
Pour le lire, on peut aussi placer ses chiffres dans le tableau suivant :
Classe
des
millions
centaines dizaines
1
2
Classe
des mille
unités
3
centaines dizaines
4
5
Dans cet exemple :
unités
6
Classe
des
unités
centaines dizaines
7
8
unités
9
9 est le chiffre des unités.
8 est le chiffre des dizaines.
7 est le chiffre des centaines.
6 est le chiffre des mille.
5 est le chiffre des dizaines de mille.
4 est le chiffre des centaines de mille.
3 est le chiffre des millions.
est le chiffre des dizaines de millions.
1 est le chiffre des centaines de millions.
On peut donc aussi écrire que
123 456 789 = 9 + 8 · 10 + 7 · 100 + 6 · 1000 + 5 · 10 000 + 4 · 100 000 + 3 · 1 000 000 + 2 · 10 000
000 + 1 · 100 000 000.
Remarque :
1 000 000 000 se lit un milliard.
3
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Division euclidienne (division avec quotient entier et reste)
Exemple :
Comment partager entre 3 personnes 85F en pièces de 1F ?
Réponse : en effectuant la division euclidienne de 85 par 3 :
DIVIDENDE
DIVISEUR
8 5 3
6
2 8
2 5
2 4
1
On voit que :
85 = 28 × 3 + 1
QUOTIENT
RESTE
Réponse :
Chaque personne recevra 28F, et il restera 1F qu’on ne peut pas partager...
On peut conclure que :
28 < 85 : 3 < 29
Approximation entière
par excès
Approximation entière
par défaut
Diviseurs d'un nombre et plus grand diviseur commun
On obtient l'ensemble des diviseurs d'un nombre entier en divisant ce nombre successivement
par tous les nombres entiers successifs à partir de 1. Si la division donne un quotient entier, on
met diviseur et quotient dans la liste des diviseurs.
Exemple :
Diviseurs de 42 :
42 : 1 = 42
42 : 2 = 21
42 : 3 = 14
42 : 5 = 8,4
8,4 n’est pas entier donc 5 n’est pas diviseur de 42
42 : 6 = 7
42 : 7 = 6 déjà trouvé
On continue aussi longtemps que le quotient est plus grand que le diviseur.
On note l’ensemble des diviseurs du nombre entier n Divn ou Dn et on note les diviseurs entre
accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgules
Div42 = {1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42}
ou
D42 : 1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42
On peut s’intéresser aux diviseurs communs de deux nombres, par exemple de 36 et 54 :
D36 : 1;2;3;4;6;9;12;18;36 et
D54 : 1;2;3;6;9;18;27;54
On a souligné dans les deux listes les diviseurs communs : 1;2;3;6;9;18.
On constate que les diviseurs communs correspondent à tous les diviseurs de 18 et que 18 est le
plus grand diviseur commun (pgdc) de 36 et de 54.
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Multiples d'un nombre et plus petit multiple commun
On obtient tous les multiples d'un nombre entier en multipliant successivement ce nombre par
tous les nombres entiers à partir de 1.
On note l’ensemble des multiples du nombre entier n Mn ou Mn et on note les multiples entre
accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgule.
Exemple : M5={5;10;15;20;25;30;35;...}
ou
M3 : 3;6;9;12;15;18;21;...
L’ensemble des multiples d’un nombre est infini puisqu’on peut le multiplier par tous les nombres
entiers.
On peut s’intéresser aux multiples communs à deux nombres, par exemple à 9 et à 15 :
M9 : 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63 ; 72 ; 81 ; 90 ; 99 ; 108 ; 117 ; 126 ; 135 ; 144 ; 153 ; …
M15 = ={15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120 ; 135 ; ...}
On a souligné les multiples communs : 45 ; 90 ; 135 … (qui sont en nombre infini).
On constate que les multiples communs correspondent aux multiples de 45 et que 45 est le plus
petit multiple commun (ppmc) de 9 et de 15.
Nombres premiers
Un nombre entier est premier s’il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Tous les autres nombres entiers sont dits composés et ils peuvent s’écrire comme le produit de
deux ou plusieurs nombres premiers.
Les premiers nombres premiers sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; ...
Il y a un nombre infini de nombres premiers.
Exemples :
• 17 est premier car il n’a pas d’autres diviseurs que 1 et 17 (17 ne se divise pas par 2, ni
par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7 etc.)
•
15 est composé, il se divise par 1 , par 3, par 5 et par 15.
Div 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
On peut écrire 15 = 3⋅ 5
•
2 est le seul nombre pair qui est premier (en effet tous les autres nombres pairs sont
divisibles par 2 et par eux-mêmes).
5
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Critères de divisibilité
Un nombre est divisible par :
2
si son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6, 8
3
si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
5
si son dernier chiffre est 0 ou 5
10
si son dernier chiffre est 0
100
si ses deux derniers chiffres sont 00
Autres critères de divisibilité
Un nombre est divisible par :
4
si le nombre formé par ses deux chiffres est un multiple de 4
si sa moitié est divisible par 2
6
si il est divisible par 2 et par 3
9
si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
11
si la différence entre la somme des chiffres de rang pair et la somme des chiffres de
rang impair est 0 ou un multiple de 11
15
si il est divisible par 3 et par 5
25
si les deux derniers chiffres du nombre sont 25 ou 50 ou 75 ou 00
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Décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers
Un nombre peut être décomposé
additivement : il est alors écrit sous la forme d’une somme de termes
Exemple : 18 = 5 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1
ou multiplicativement : il est alors écrit comme un produit de facteurs
Exemple : 18 = 6 x 3.
La décomposition multiplicative la plus utilisée est le produit de facteurs premiers. Tout entier
ne possède qu’une seule décomposition en produit de facteurs premiers. On utilise souvent la
notation puissance quand, dans la décomposition du nombre, apparaît plusieurs fois le même
facteur premier.
Exemple : 18 = 2 x 3 x 3 = 2 x 32
Remarque : Les nombres premiers ne peuvent pas se décomposer en produits de nombres
premiers (il n’y aurait qu’un seul facteur dans le produit).
Pour décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, on peut le décomposer
successivement en facteurs de plus en plus petits, jusqu’à ce qu’ils soient tous premiers.
Exemples :
a) 400 = 4 x 100 = 2 x 2 x 10 x 10 = 2 x 2 x 2 x 5 x 2 x 5 = 24 x 5
b) on peut présenter une décomposition en cascade :
120
60
2
30
15
2
2
3
5
on écrit : 120 = 23 x 3 x 5
c) on peut diviser systématiquement le nombre à décomposer par les nombres premiers
successifs à partir de 2 en présentant cela en colonne
364
182
91
13
1
2
2
7
13
On ne peut pas diviser 91 par 2, il n’est pas divisible
par 3, ni par 5, on essaie par 7
On sait que 13 est premier
On écrit : 364 = 22 x 7 x 13
7
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Calcul du pgdc et du ppmc à l’aide de la décomposition des entiers
La décomposition multiplicative est utile pour calculer les pgdc et les ppmc de deux ou plusieurs
nombres sans devoir écrire la liste des diviseurs ou des multiples.
Exemple :
18 = 2 x 32
et 30 = 2 x 3 x 5
pgdc (18 ; 30) = 2 x 3 = 6 obtenu en multipliant tous les facteurs premiers communs à
18 et à 30 (un 2 et un 3)
ppmc (18 ; 30) = 2 x 32 x 5 = 90 obtenu en multipliant tous les facteurs de 18 et de
30 (le 2 et les deux 3 de 18 et le 5 de 30, puisque le 2 et le 3 sont déjà présents)
Remarque : le pgdc est un diviseur des deux nombres, tous ses facteurs sont donc présents dans
les deux nombres
Exemple : 18 = 2 x 32 = (2 x 3) x 3 = 6 x 3 = pgdc x 3
30 = (2 x 3) x 5 = 6 x 5 = pgdc x 5
Remarque : le ppmc est un multiple des deux nombres, il doit donc être « fabriqué » entièrement
avec les facteurs des deux nombres
Exemple : ppmc = 90 = (2 x 32) x 5 = 18 x 5
ppmc = 90 = 2 x 32 x 5 = (2 x 3 x 5) x 3 = 30 x 3
Remarque
On peut également retrouver le plus grand diviseur commun et le plus petit multiple commun en
faisant respectivement les ensembles de diviseurs et les ensembles de multiples.
Exemple
Le pgdc de 12 et 18 est 6 car
Div12 = {1;2;3; 4; 6;12}
Div18 = {1;2;3; 6; 9;18}
le ppmc de 4 et 5 est 20 car
M4 = {4;8;12;16;20;24;...}
M5 = {5;10;15;20;25;30;...}
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Les puissances
L’exposant
153
La base
La puissance
•
•
153 est une puissance de 15
15 est la base et 3 est l’exposant
Ex : 43 est une puissance de base 4 et d’exposant 3.
Définition
Ex :
153 = 15
⋅ 15
1 4⋅ 15
2 43
3 facteurs
En général :
am = a1 ×4a4×2a ×4...4×3a
m facteur
Propriétés
a0 = 1 Traduction : N’importe quel nombre “mis” à la puissance 0 est égal à 1
Exemples : 140 = 1 ; 3,50 = 1 ; (-2)0 = 1 ; etc…
a1 = a Traduction : N’importe quel nombre “mis” à la puissance 1 est égal à lui-même
Exemples : 141 = 14 ; 3,51 = 3,5 ; (-2)1 = -2 ; etc…
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1.2 Nombres relatifs
Axe gradué
Un axe gradué est une droite munie d’une origine et d’une unité.
O
B
↓
0
origine
1
2
3
4
A
5
6
unité
On repère chaque point sur l’axe par son abscisse :
A est le point d’abscisse (+5) ;
l’abscisse de B est (+4,5).
Nombres positifs et négatifs
Pour repérer les points situés « après » l’origine (à droite de l’origine O), on utilise des nombres
positifs, des nombres précédés du signe +.
Pour repérer les points situés « avant » l’origine (à gauche de l’origine O), on gradue l’axe à l’aide
de nouveaux nombres, appelés nombres négatifs, des nombres précédés du signe -.
D
(-5)
C
↓
(-4)
(-3)
(-2)
O
(-1)
0
A
(+1)
(+2)
(+3)
B
↓
(+4)
(+5)
(+6)
L’abscisse de C est (-1,5) (on lit « moins 1,5 ») ; l’abscisse de D est (-5).
On dit que :
(+4) ; (+9347) ; (+5,64)
(-7) ; (-30149) ; (-0,567)
sont des nombres positifs.
sont des nombres négatifs.
Ce sont tous des nombres relatifs.
Remarque : Quand le signe n’est pas noté, on considère qu’il s’agit d’un nombre positif.
4 ; 12 et 3,67 sont des nombres positifs.
0 est le seul nombre qui est à la fois positif et négatif.
Remarque : On appelle ′ l’ensemble des nombres entiers relatifs. En général, on parle de nombre
relatif lorsqu’un nombre est muni d’un signe.
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Ordre dans les nombres relatifs
On ordonne les nombres relatifs selon leur position sur l’axe gradué.
Pour les nombres positifs, le plus « grand » est celui qui est le plus loin de zéro et le plus
« petit » celui qui est le plus proche de zéro.
Pour les nombres négatifs, le plus « grand » est celui qui est le plus proche de zéro et le plus
« petit » celui qui est le plus éloigné de zéro.
Pour se rappeler ces règles, on peut penser aux températures.
Exemple :
(-30149) < (-7) < (-0,567) < 0 < (+4) < (+5,64) < 80 < (+9347)
Repérage dans le plan
Pour repérer les points dans le plan, on a besoin de deux axes gradués :
- L’un, horizontal, est appelé « axe des abscisses ».
- L’autre, vertical, est appelé « axe des ordonnées ».
axe des ordonnées
A
(+2)
B
(-5)
(+1)
(-4)
(-3) (-2) 2) (-1) 0
(+1) (+2) (+3) (+4) (+5)
axe des
abscisses
(-1)
D
(-2)
C
Chaque point est repéré par deux nombres. Le premier est appelés l’abscisse et le
second l’ordonnée : ensemble ils forment les coordonnées d’un point.
Exemple :
A est le point d’abscisse (+3) (on lit la graduation sur l’axe des abscisses) et d’ordonnée
(+2) (on lit la graduation sur l’axe des ordonnées).
On écrit
De la même manière, on a :
A(+3 ; +2) ou A<+3 ; +2>
B(-5 ; +1)
C(+5 ; -3)
D(-2 ; -2)
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Attention : par convention, on écrit TOUJOURS l’abscisse en première position et
l’ordonnée en seconde position.
Valeur absolue des nombres relatifs
La valeur absolue d’un nombre relatif est sa « distance à zéro » sur un axe gradué. Elle
correspond à l’écart entre zéro et le nombre.
Exemples :
La valeur absolue
de (+4)
est 4 ,
de (-8,5)
est 8,5 ,
de 9347
est 9347,
de 0
est 0.
La valeur absolue se note à l’aide de deux barres verticales de part et d’autre du nombre.
Exemples :
La valeur absolue de +7
La valeur absolue de –4,2
est |+7| = 7
est |-4,2| = 4,2
Opposé d’un nombre relatif
L’opposé d’un nombre relatif est le nombre de même valeur absolue et de signe opposé. C’est le
nombre qu’on obtient en changeant le signe.
Exemples :
L’opposé
de (+4)
de (-8,5)
de 9347
de 0
est (-4) ,
est (+8,5) ,
est -9347,
est 0 .
Remarque : la somme d’un nombre et de son opposé est égale à zéro.
(+4) + (-4) = 0
Exemples :
(-5) + (+5) = 0
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Addition de deux nombres relatifs
Pour additionner deux nombres relatifs, il faut d’abord regarder leurs signes : ils peuvent être
les mêmes : (+ ) + (+ ) ou
(- ) + (- )
différents : (+ ) + (- ) ou
(- ) + (+ )
Si les deux nombres ont le même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on
attribue à la somme leur signe commun
Exemples : (+5) + (+3) = + ( 5+3 ) = +8
(-5) + (-3) = - ( 5+3 ) = -8
Si les deux nombres sont de signe différent, on soustrait leurs valeurs absolues et on
attribue au résultat le signe du nombre qui a la plus grande valeur absolue
Exemples : (+5) + (-3) = + ( 5-3 ) = +2
(-5) + (+3) = - ( 5-3 ) = -2
Soustraction de deux nombres relatifs
On ne sait pas soustraire des nombres relatifs. On transforme donc la soustraction en une
addition, à l’aide de la règle suivante :
Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé.
Exemples : (+5) - ( +3) =
(+5) + (-3) = +2
(-5) - ( -3) =
(-5) + (+3) = -2
(+5) – ( -3) =
(+5) + (+3) = +8
(-5) – ( +3) =
(-5) + (-3) = -8
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1.3 Nombres rationnels
Définitions
Le résultat de la division « 3,5 : 2 » est appelé le quotient de 3,5 par 2.
On peut le calculer, afin d’obtenir son écriture décimale 3,5 : 2 = 1,75
Mais on peut également ne pas le calculer.
On garde alors son écriture fractionnaire 3,5 : 2 =
3,5
2
L’écriture fractionnaire représentant la division de deux nombres entiers est appelée une
fraction.
Dans une fraction, le dividende (le nombre du haut) s’appelle le numérateur et le diviseur (le
nombre du bas) s’appelle le dénominateur.
NUMERATEUR
DENOMINATEUR
Exemples :
3
2
se lit « trois demis »
4 12 1
;
;
sont des fractions.
6
7
3
4 ,2 5,24
;
ne sont pas des fractions, mais sont quand même des nombres en
2,1
6
écriture fractionnaire.
Lorsque le dénominateur est égal à 10, 100, 1000... on dit que la fraction est une fraction
décimale.
Exemples :
Remarque :
4
147
3
;
;
sont des fractions décimales.
10 100 1000
4
100
peut s’écrire 4 % .
On appelle ⁄ l’ensemble des nombres rationnels, il comprend les fractions et donc les nombres
décimaux finis et les nombres périodiques.
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L’écriture décimale et l’écriture fractionnaire
•
Pour passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale, on divise le numérateur par le
dénominateur.
Exemples :
•
2
5
1
10
3
100
1
3
=2:5
= 0,4
= 1 : 10
= 0,1
= 3 : 100 = 0,03
=1:3
= 0,333… = 0, 3
Pour passer de l’écriture décimale finie à l’écriture fractionnaire, on utilise les fractions
décimales.
4
c’est 4 dixièmes,
c’est
en fraction.
Exemples : 0,4
10
25
en fraction.
0,25 c’est 25 centièmes,
c’est
100
124
0,124 c’est 124 millièmes,
c’est
en fraction.
1000
Pour un nombre décimal fini, on peut aussi le mettre au dénominateur 1 sous-entendu, puis
amplifier la fraction pour obtenir un nombre entier au numérateur.
Exemple :
0, 4 =
0,4 0,4×10 4 2
=
=
=
1
1×10
10 5
15
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Représentation d’une fraction sur l’axe gradué
Sur un axe gradué, l’unité de référence est la distance entre 0 et 1 :
0
+1
+2
+3
L’unité de référence
Pour placer une fraction sur l’axe, on peut :
- soit effectuer un partage de cet intervalle, en se référant au dénominateur,
- soit passer à l’écriture décimale de la fraction.
Exemples :
0
+1
+2
1
3
+3
5
3
0
+1
9
3
+2
4
= 0,8
5
+3
21
= 2,1
10
A
24
=3
8
B
Pour trouver la fraction qui correspond à un point sur la droite :
12
6
=
10
5
25
5
B = 2,5 =
=
10
2
A = 1,2 =
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La fraction comme opérateur
On peut utiliser les nombres pour opérer sur des grandeurs.
Exemples :
Le triple de 6F ,
Le double de
,
c’ est
3 x 6 = 18F
c’est
2x
,
il est représenté par :
De la même manière, on utilise les fractions pour opérer sur des quantités.
Exemple :
Les
3
4
de
, c’est
3
4
x
,
est représenté par :
Dans cette situation, on distingue deux notions :
Unité de référence
Fraction
•
L’unité de référence est la quantité qui va être partagée en un nombre égal de parts.
•
Le dénominateur indique en combien de parts égales on a partagé l’unité de référence. Par
conséquent, il ne peut pas être égal à zéro.
•
Le numérateur indique le nombre de parts qui vont être prises en considération après le
partage.
Rappel : Le numérateur et le dénominateur sont toujours des nombres entiers
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Unité de référence
L’unité de référence est souvent exprimée à l’aide d’une unité.
Exemples : 50 kg de farine, une pizza, 2 tartes, 12 pommes, une plaque de chocolat etc.
Dans un problème de fraction, on sous-entend toujours qu’il y a un nombre infini d’unités de
référence à disposition, c’est-à-dire, selon l’exemple ci-dessus, autant de sacs de farine de 50 kg
qu’on veut, autant de pizzas qu’on en veut ou de paquets de 2 tartes etc.
50 kg
50 kg
50 kg
Unités de
référence
Etc.
Etc.
chocolat
chocolat
chocolat
Etc.
Pour représenter des fractions on peut dessiner l’unité de référence comme une surface ( par
exemple un disque, un carré ) ou comme un segment.
Exemples :
1) Hachurer
3
de
4
2) Hachurer
7
de
4
Réponse :
Réponse :
18
etc.
Groupe de Mathématiques
3) Calculer
Collège des Colombières
3
de 50 kg :
4
on partage 50 kg en 4 parts , chaque part vaut
50 ÷ 4 =
12,5 kg,
50 kg.
12,5 kg
12,5 kg
12,5 kg
12,5 kg
On calcule ensuite combien valent trois morceaux ensemble en faisant :
3 х 12,5 = 37,5
Donc
3
4 de 50 kg valent 37,5 kg.
4) Pour calculer
7
de 50 kg, on refait le même raisonnement :
4
50 ÷ 4 = 12,5 ………….1 part
12,5 х 7 = 87,5 ………..7 parts
Donc
7
de 50 kg sont 87,5 kg.
4
Pourcentages
Définition :
Un pourcentage est une notation pour une écriture fractionnaire dont le
dénominateur est 100.
Exemple :
7% =
7
100
= 0,07
2,5% =
2,5
100
= 0,025
• Appliquer un pourcentage :
« Prendre un pourcentage » d’un nombre consiste à multiplier ce nombre par le pourcentage.
Exemple :
prendre
30 % de 80 CHF
(30% =
30
100
= 0,3)
c’est calculer
30
de 80 = 80 : 100 • 30 = 24 CHF.
100
ou calculer
0,3 • 80 = 24 CHF
• Calculer une nouvelle grandeur, connaissant les pourcentages d’augmentation ou de
diminution :
Exemple : Un article affiché à 60 € augmente de 15%. Quel sera sont nouveau prix ?
On peut calculer l’augmentation de prix, puis ajouter l’augmentation au prix initial
pour calculer le nouveau prix.
L’augmentation :15% de 60€ = 15 % • 60 = 0,15 • 60 = 9,00€
Nouveau prix : 60€ + 9,00€ = 69,00€
19
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Fractions équivalentes
En comparant les trois représentations ci-dessous, nous constatons qu’une même quantité ( la
partie hachurée ) correspond à plusieurs écritures fractionnaires.
etc.
1
5
=
2
10
4
20
=
etc.
On dit que ces fractions sont des fractions équivalentes. Elles représentent toutes le même
nombre égal à 0,2 .
2
.
Il y a un nombre infini de fractions équivalentes à
10
2
Pour les trouver, on peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur de
par un
10
même nombre entier :
1
5
÷2
÷2
2
10
10
50
Χ 5
Χ 5
simplification
amplification
•
La multiplication du numérateur et du dénominateur par le même nombre s’appelle
l’amplification. On peut amplifier une fraction par tous les nombres entiers.
On obtient ainsi une infinité d’écritures de la même fraction.
•
La division du numérateur et du dénominateur par le même nombre s’appelle la
simplification. Pour diviser et obtenir des quotients entiers, on doit diviser par des
diviseurs communs du numérateur et du dénominateur.
•
Contrairement à l’amplification, on ne peut pas simplifier une fraction au-delà d’une
fraction particulière, celle formée par les plus petits numérateur et dénominateur
entiers.
On appelle cette fraction la fraction irréductible.
Réduire une fraction, c’est trouver son écriture irréductible.
20
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Exemples :
Amplifier la fraction
45
par 3.
99
On trouve :
Simplifier la fraction
45
par 3.
99
On trouve :
Rendre la fraction
45 x 3
99 x 3
45 ÷ 3
99 ÷ 3
45
irréductible. On trouve :
99
21
45 ÷ 3
99 ÷ 3
=
=
=
135
297
15
33
15 ÷ 3
33 ÷ 3
=
5
11
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Comparaison de fractions
•
Fractions de même dénominateur :
Comment classer les fractions
13 2
20
,
et
dans l’ordre croissant ?
15 15
15
Puisque le dénominateur indique en combien de parts égales on a partagé l’unité de référence,
lorsque les fractions ont le même dénominateur, cela signifie que les parts de toutes les
fractions ont la même « taille ».
On compare donc les numérateurs entre eux, car le numérateur représente le nombre de parts
contenues dans chaque fraction.
Donc :
•
2
15
<
13
15
<
20
15
Fractions de même numérateur :
Comment classer les fractions
3 3
3
,
et
dans l’ordre croissant ?
4 8
2
Puisque le dénominateur indique le nombre de parts dans lesquelles on a partagé l’unité de
référence, plus le dénominateur est grand, plus la « taille » de chaque part est petite.
Donc, lorsque les fractions ont le même numérateur, plus le dénominateur est petit plus la valeur
de la fraction est grande.
Donc :
•
3
8
<
3
4
3
2
<
Fractions de numérateurs et dénominateurs différents :
Dans ce cas, on peut raisonner ou comparer l’écriture décimale de chaque fraction.
Exemple :
5
12
<
~ 0,41
2
3
<
~ 0,66
3
4
<
= 0,75
7
6
~ 1,16
5
2
<
= 2,5
On peut aussi les amplifier de façon à avoir le même dénominateur pour toutes les fractions :
car
5
12
5
12
<
<
2
3
8
12
<
<
3
4
9
12
<
<
7
6
14
12
<
<
22
5
2
30
12
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
L’addition et la soustraction des fractions
• Lorsque les fractions ont le même dénominateur, les parts ont toutes la même « taille ». On
additionne donc les numérateurs entre eux.
Exemple :
3
12
3
12
+
1
12
=
4
12
1
12
•
Lorsque les dénominateurs sont différents, par exemple
1
1
et , les parts n’ont pas la
4
3
même « taille », on ne peut donc pas les additionner.
Pour avoir des parts de même taille, il faut que les fractions aient le même dénominateur
On trouve un dénominateur commun en cherchant le PPCM des dénominateurs.
Dans notre exemple, le dénominateur commun est le PPCM( 4 ; 3 ) = 12.
Remarque : On peut évidemment choisir d’autres dénominateurs communs. Ce sont des multiples
du PPCM( 4 ; 3 ).
Exemple :
1
4
=
3 12
1
1
4
3
7
+
=
+
=
3
12
12
12
4
1
4
•
=
3
12
On procède de la même manière pour la soustraction.
Exemples :
3
12
-
1
12
=
2
1
=
12
6
1
3
23
-
1
4
=
1×4
3×4
-
1×3
4 ×3
=
4
12
-
3
12
=
1
12
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Exercices sur le domaine nombres et opérations
1) Par quel(s) chiffre(s) (donner chaque fois toutes les réponses possibles.) faut-il remplacer le
point dans le nombre 1092• pour obtenir un nombre…?
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
divisible par 2
divisible par 3
divisible par 5
divisible par 2, mais pas par 5
divisible par 3, mais pas par 5
divisible par 2, mais pas par 3
dont la division par 5 donne 3 pour reste
dont la division par 3 donne 1 pour reste
2) Trouver le ppcm des entiers:
1)
2)
3)
4)
2 et 3
3 et 4
2 et 4
6 et 4
5)
6)
7)
8)
3 et 8
6 et 9
4 et 12
6 et 12
5)
6)
7)
8)
3 et 5
10 et 15
2 et 6
8 et 18
3) Trouver le pgcd des entiers:
1)
2)
3)
4)
12 et 8
6 et 9
4 et 6
8 et 10
4) Effectue la décomposition en facteur premier des nombres suivants.
a) 145
b) 2350
c) 64
d) 132
e) 526
f) 1000
5) Sur un compteur électrique, on peut lire les nombres suivants. Réécrire les nombres en
enlevant les chiffres inutiles.
000147312
000082302
001020080
123000000
400000001
000002030
6) Recopier la droite numérique suivante et y placer, le plus précisément possible, les
nombres:
a = 1,0
0,4
b = 1,9
c = 1,55
d = 0,486
0,5
24
e = 0,846
f = 0,45
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
7) Recopier la droite numérique ci-après et y placer, le plus précisément possible,
les nombres:
a = 3,27 b = 3,31 c = 3,345 d = 3,20 e = 3,405
f = 3,23
3,2
3,3
8) Encadrer chacun des nombres suivants par deux entiers successifs:
10,8 ; 0,72 ; 1,08 ; 4,25 ; 99,3 ; 1309,5
9) Encadrer chacun des nombres suivants au dixième près:
623,48 ; 0,0475 ; 52,625 ; 82,98 ; 23,0052 ; 5,208
10) Arrondir à la dizaine la plus proche:
47,8 ; 109,75 ; 1,3 ; 0,09 ; 234,2 ; 0,7 ; 3,14 ; 4087,63
11) Arrondir au dixième le plus proche:
8,372 ; 50,64 ; 3000 ; 43,725 ; 0,02 ; 1,09 ; 0,98 ; 78,66 ; 3,14
12) Effectuer les opération suivantes (pour les divisions, donner la réponse avec 3 décimales):
1) 475 : 12
13,4 – 7,05
3,35 · 0,42
27,07 + 3,109
3)
41,5 : 3,14
41,5 + 3,14
41,5 · 3,14
41,5 – 3,14
5)
0,03 : 21
12 · 0,021
15 – 8,07
3,04 + 0,285
2) 0,04 · 0,012
600 : 13
6,12 + 3,88
6,12 – 3,88
4)
25 + 3,14
25 · 3,14
25 – 3,14
25 : 3,14
6)
4,05 – 2,099
0,0005 : 0,005
3,13 + 4,37
0,6 · 0,03
13) Dans les opérations qui suivent, remplacer chaque astérisque par un chiffre, de manière à
obtenir une opération juste:
1)
4328
+*1**
5*85
2)
*0 **
–3*06
3124
3)
621
* *
8 *
* *
00
25
*
*
*
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
14) La superficie de la Suisse est approximativement de 41 000 km2. Estimer la superficie de
la France, de la Grèce, de l'Allemagne et du canton de Genève, sachant que
1)
2)
3)
4)
la France est 14 fois plus grande que la Suisse;
la Grèce est 3 fois plus grande que la Suisse;
l'Allemagne est 2,7 fois plus grande que la Grèce;
le canton de Genève est 146 fois plus petit que la Suisse.
15) Effectuer les calculs suivants:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
12 + 2 · (6 – 2 · 2) + 20 : 5 – 5
49 : (15 – 2 · 4) + 3 – 2 · 5
2 · 5 + 150 : (2 + 3) + 12 · 4 + 7 · 8
(22 – 3 · 6) + (7 – 4) : 3 + 1 + 9 · 7
5 + 19 · (24 – 2 · 9) + 15 : 3 – 2
(24 · 10 – 8 · 5) : [50 : 5 – (2 + 3)]
4 + 5 · 2 – [2 · (5 · 4 + 1 – 21) + 2]
(4 · 4 – 2 · 7) · {9 – 3 · (7 – 5) + 2 · [15 – 2 · (4 – 1)]} – 3
(12 – 2 · 5) + 4 · {15 + 3 · [24 : 2 – (4 + 6)] + 2} – 3
15 + 8 · 4 – [5 · 3 + (2 + 3) · 4 – 2]
(15 + 8) · 4 – [(5 · 3 + 2 + 3) · (4 – 2)]
15 + 8 · 4 – 5 · 3 + 2 + 3 · 4 – 2
15 + 8 · 4 – 5 · (3 + 2) + 3 · (4 – 2)
16) Effectuer les additions suivantes:
1) (-6) + (-8)
4) (+16) + (+9)
7) (+92) + (-53)
2) (-4) + (+7)
5) (-17) + (-23)
8) (-46) + (-76)
3) (-12) + (+14)
6) (+48) + (-14)
9) (-117) + (+27)
17) Effectuer les soustractions suivantes:
1) (-2) - (+5)
4) (+23) - (-4)
7) (-94) - (-43)
2) (-4) - (+9)
5) (+26) - (-19)
8) (+56) - (+19)
3) (-2) - (-6)
6) (+42) - (+17)
9) (-42) - (-161)
18) Effectuer les calculs suivants:
1) (+6,2) - (+3,5)
4) (+2,1) + (-1,2)
7) (-13) - (-0,3)
2) (+9,5) + (-1,5)
5) (-0,6) - (+1,3)
8) (-8,3) - (+9,8)
3) (-4,2) - (-5)
6) (-1,3) + (-3)
9) (-0,4) + (-5,1)
26
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
19) Par quel nombre faut-il compléter ?
1) (+2) + .... = (-6)
4) (-5) + .... = (+4)
7) (-2) + .... = (-6)
2) (+3) + .... = (-3)
5) (+1) + .... = (-4)
8) (-4) + .... = (+2)
3) (-3) + .... = 0
6) (-1) + .... = (-4)
9) (-3) + .... = (-1)
20) Effectuer ces calculs:
1) (+2) + (-3) - (+4) + (-7)
2) (+18) + (-4) + (-6) - (+20)
3) (-48) - (+36) + (-42) - (-65)
4) (-156) + (+38) - (-48) - (-156)
21) Classer les nombres suivants par ordre croissant:
a) -14 ; +6 ; -5 ; -12 ; +9 ; 0 ; -4 ; +18 ; -2
b) 4,5, -0.6 ; 0,2 ; -0,8
c) 2,5 ; -5,2 ; 2,52 ; -3,8
d)
4,2 ; 6,25 ; -5,25 ; -6.25
e)
30,2 ; 30,02 ; -30,2 ; -30,02
22) Recopier la droite numérique ci-dessous et y placer, le plus précisément possible,
les nombres relatifs
a = -7
b = -12 c = -3
d = -6
e = -3,5
f = -5,6
g = -7,8
h = -18
23) Dessiner une droite numérique (entre -8 et +8) et y placer, le plus précisément possible,
les nombres relatifs
a = -5
b = +4
c = +6
d = -2
e = +2,5
f = -2,5 g = +3,7
27
h = -3,7
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
24) Répondre par vrai ou faux à chacune des affirmations suivantes et justifier la réponse.
Pour les affirmations a à c, on considère la droite graduée suivante :
-5
N
R
2
J
a) L’abscisse du point N est égale à -7.
b) L’abscisse du point R est égale à 0.
c) L’abscisse du point J est égale à 5.
d) Deux nombres relatifs de signes différents sont opposés
e) Deux nombres relatifs différents ne peuvent pas avoir la même distance à zéro.
25) Dessiner un repère et placer dans ce repère les points suivants :
M( +4 ; +5 )
N( -7 ; +2 )
P( -8 ; -3 )
Q( 0 ; -3)
R( +5 ; -1 )
S( -6 ; +2 )
26) Lire dans ce repère les coordonnées des points M, N, P, Q, R et S :
N
M
R
(+1)
0
P
(+1)
S
Q
27) Combien peut-on former de nombres différents de trois chiffres, tels que le chiffre des
unités soit le double de celui des dixièmes et tels que le chiffre des dizaines soit la moitié de
celui des unités ?
28
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
28) Calculer rapidement :
34,7 · 100
3000 · 100
34,7 : 100
3000 : 100
34,7 · 0,01 et 0,01 · 34,7
3000 · 0,01 et 0,01 · 3000
34,7 : 0,01
3000 : 0,01
29) Placer la ou les virgules manquantes et rajouter des zéros si nécessaire pour que l’égalité
soit vraie :
4,56 + 206 = 6,62
4,56 + 206 = 4,766
4,56 + 206 = 210,56
30) Encadrer :
- entre deux entiers consécutifs
<123,4567<
- entre deux centièmes consécutifs
<0,4567<
- entre deux milliers consécutifs
<234900<
- entre deux dixièmes consécutifs
< 23,0015<
31) Estimer le résultat de chaque opération en arrondissant les nombres de façon à pouvoir
calculer mentalement. Ecrire l’opération en nombres arrondis et donner son résultat.
949,12 − 15,92 ≈ ………− ……….. = ……..
0,723 + 426,2 ≈ ………+ ……….. = ……..
12125 · 48 ≈ ……… · ……….. = ……..
19400 · 4,07 ≈ ……… · ……….. = ……..
730,18 : 6,3 ≈ ……… : ……….. = ……..
1,696 : 0,323 ≈ ……… : ……….. = ……..
32) Compléter
=
3
5
⋅
c)
b) 3,2 ⋅ 3,2 ⋅ 3,2 = 3,2......
d) 2·2· ………….. ·2·2 = 2
29
7
. . . .
. . . .
. . . .
⋅
a) 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2....
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
33) a) Quelle fraction de chaque carré a-t-on ombrée ?
b) Quelle est la fraction non ombrée de chaque carré ?
34) Dans quel cas a-t-on hachuré le quart de la figure :
35) Ecrire sous forme décimale :
51 1
3 8
11
30
40
5
7 1
3 0 0
2 4
3
1 0 0
+
2
11 0
3
+
36) Dessiner une droite numérique (entre 0 et 2) et y placer le plus précisément possible les
fractions suivantes.
37) Ecrire sous forme d’une fraction :
0,75 ; 0,8 ; 0,077 ; 29,8 ; 5
38) Lorsque c’est possible rendre la fraction irréductible.
;
3 4
0 2
0 0
;
1 7
2 2
;
1 4
6 5
2 7
5 5
2 3
7 6
;
39) Encadrer par deux entiers consécutifs :
<……..
b) …..<
30
8
1 4 1
1 4
1
a) ……<
<……
1 8
0
f
=
5 4
e
=
7 5
d
=
4 9
c
=
7 1 0
b
23
a
=
=
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
plaque et Alfred les
5 6
78
40) Albert et Alfred ont reçu chacun une plaque de chocolat. Albert a mangé les
de sa
de la sienne. Qui a mangé le plus de chocolat ?
41) Plus grand ou plus petit ?
ou 0,333 ?
c)
ou
5 8
b)
0 , 6 2 57
18
ou 1,4 ?
1 3
9 6
a)
?
42) Plus grand ou plus petit ? Répondre sans passer par l’écriture décimale.
?
d)
ou
ou
?
e)
67
c)
8 5
ou
?
56
ou
1 1 21 8
3
b)
13
2 31 1 3
13
1 31 1 2
a)
ou
?
?
d)
e)
f)
+
−
=
=
1
3 1 1
31 1 1
=
75
c)
7 4
−
b)
=
3
+
a)
53
7 1 84 9
7 1 2
49
43) Calculer et donner le résultat sous forme
d’une fraction irréductible
+ =
−
=
44) Calculer :
de 35 fr.
de 4500 m
pour s’acheter un CD et
shirt. Combien lui reste-t-il ?
46) Compléter les phrases suivantes et vérifie chaque résultat :
de …… fr. valent 24 fr.
5 7
b) les
2 3
a) les
de …….. km font 25 km
c) le quinzième de ……… kg pèse 20 kg
31
5 1 2
2 5
45) Robert a 120 fr. Il en dépense
c)
2
b)
4 9
de 24 km
5 7
3 4
a)
pour s’acheter un sweat-
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
47) Calculer :
a) 12 % de 700 fr.
b) 30 % de 120 fr.
c) 20 % de 82 kg
d) 28 % de 20000 m
48) Le loyer de Claude représente 30 % de son salaire. A combien s'élève son loyer si Claude
gagne 2500 fr. par mois ?
49) Rendre les fractions ci-dessous irréductibles
32
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
50) Parmi les fractions suivantes, lesquelles sont équivalentes à
1)
2
6
2)
8
21
3)
6
18
4)
5
25
5)
3
?
9
8
24
6)
12
36
51) Recopier et compléter pour obtenir des fractions équivalentes:
2
=
3 15
3
2) =
4 12
1)
9 3
=
12
6
4) =
8 20
5
=
12 144
4 10
6) =
6
5)
3)
3
=
18 6
6 10
8) =
9
7)
52) Pierre dépense 360 fr. par mois pour ses achats de nourriture. Il dépense un huitième de
cette somme à la boulangerie, un tiers à la boucherie, un quart à la laiterie et le reste à
l'épicerie.
Quelle somme dépense-t-il chaque mois dans chacun des magasins ?
53) Marianne doit parcourir 720 m pour se rendre à l'école. Le tiers du chemin est en montée,
le quart à plat et le reste en descente.
Quelle est la longueur de la descente ?
54) Effectue les additions suivantes
33
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
55) Effectue les soustractions suivantes
34
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
2. Proportionnalité – compétences à maîtriser
•
•
•
reconnaître des suites ou des grandeurs proportionnelles
o en vérifiant l'existence du coefficient de proportionnalité dans un tableau de
valeurs
o en vérifiant que le tableau des valeurs répond aux propriétés de la linéarité
établir un tableau de valeurs à partir d'un énoncé
trouver la « quatrième proportionnelle »:
o en utilisant un tableau de valeurs et les propriétés de la linéarité
o par la méthode du retour à l'unité
o en utilisant le coefficient de proportionnalité
2. Proportionnalité – éléments de théorie
Proportionnalité de deux suites de nombres.
On peut exprimer le nombre et le prix de timbres postaux de même valeur à l’aide d’un tableau de
correspondance :
Tableau 1 :
Nombre
Prix (Frs.)
1
0,90
2
1,80
3
2,70
4
3,60
5
4,50
On peut aussi exprimer l’âge et la taille d’une enfant à l’aide d’un tableau de correspondance :
Tableau 2 :
L’âge (mois)
1
2
3
4
5
Taille (cm)
52
53
55
58
64
On obtient dans chaque tableau deux suites de nombres.
Définition :
Calculer le rapport de deux grandeurs revient à calculer le quotient de deux
valeurs correspondantes.
Exemple :
La vitesse exprimée en km/h est le rapport entre le nombre de km effectué et le
temps écoulé pour parcourir cette distance.
Si on parcourt 15 km en 30 min (= 0,5 heures), la vitesse est de :
15km
= 30 km/h.
0,5h
Remarque :
Une fraction est donc l’expression d’un rapport entre deux nombres.
3
La fraction
est le rapport de 3 par rapport à 4…
4
35
Groupe de Mathématiques
Définition :
Collège des Colombières
Deux suites de nombres sont proportionnelles si le rapport de deux éléments
correspondants est constant.
On parle alors d’un tableau de proportionnalité.
Dans un tableau de proportionnalité, en multipliant chaque nombre de la première
suite par un même facteur, on obtient le nombre correspondant dans la deuxième
suite.
Ce facteur est appelé le coefficient de proportionnalité.
Attention :
Pour montrer que deux suites sont proportionnelles, il faut que l’on passe de l’une
à l’autre en multipliant toujours par le même nombre (coefficient de
proportionnalité) ; si pour un seul nombre de la suite, ce n’est pas vrai, les suites
ne sont pas proportionnelles.
Exemples :
1) Le tableau 1 est un tableau de proportionnalité. On passe de nombre timbres
au prix en multipliant par 0,90.
Le coefficient de proportionnalité est 0,90.
2) Le tableau 2 n’est pas un tableau de proportionnalité. Il n’existe pas un nombre
constant correspondant au coefficient de proportionnalité.
3) Le côté et le périmètre d’un carré sont deux grandeurs proportionnelles.
Dans chaque colonne, on multiplie le nombre de la première ligne par 4 pour
obtenir le nombre de la seconde ligne.
Le coefficient de proportionnalité du tableau est donc le facteur 4.
Côté d’un carré (cm)
Périmètre du carré (cm)
1
4
2
8
3
12
4
16
5
20
4) Le côté et l’aire d’un carré ne sont pas des grandeurs proportionnelles.
Côté d’un carré (cm)
Aire du carré (cm2)
1
1
36
2
4
3
9
4
16
5
25
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Coefficient de la proportionnalité
Le coefficient de proportionnalité d’un tableau se calcule en divisant, dans une colonne, le nombre
de la seconde ligne par le nombre de la première ligne.
Si le coefficient est le même pour chaque colonne, on peut dire que c’est un tableau de
proportionnalité.
Exemple :
Le tableau ci-dessous est-t-il un tableau de proportionnalité ?
Suite 1 4,6 2,1
Suite 2 11,5 5,25
Calculs :
11,5
= 2,5
4,6
3
7,5
0,4
15
1 37,5
5,25
= 2,5
2,1
7,5
= 2,5 etc.
3
Le coefficient de proportionnalité est 2,5.
Ces deux suites sont donc proportionnelles. On passe de la suite 1 à la suite 2 en
multipliant par 2,5.
Méthodes pour compléter un tableau de proportionnalité
Méthode 1
En utilisant le coefficient de proportionnalité:
suite 1
3
suite 2 10,50
4
y
x
8,75
•a
Calcul du coefficient a :
Comme 3 • a = 10,50
Calcul de y :
y = 4 • a = 4 • 3,5 = 14
Calcul de x :
Comme on sait que x • a = x • 3,5 = 8,75
x=
Méthode 2
3
CHF
10,50
1
÷3
On sait que
Donc
8,75
= 8,75 ÷ 3,5 = 2,5
a
Par retour à l’unité :
÷3
kg
3 kg
1 kg
2,7 kg
0,6 kg
coûtent
coûte
coûtent
coûtent
le coefficient a = 10,50 ÷ 3 = 3,5
• 0,6
• 2,7
2,7
0,6
• 2,7
• 0,6
10,50 CHF,
10,50 ÷ 3 = 3,50 CHF.
2,7 • 3,50 CHF.
0,6 • 3,50 CHF. etc.
37
Groupe de Mathématiques
Méthode 3
Collège des Colombières
En utilisant les propriétés de la linéarité :
• Propriété additive
+
Consommation d’essence (litre)
Distance parcourue (km)
Comme
8 = 5 + 3,
5
27,5
3
16,5
+
y = 27,5 + 16,5 = 44
• Propriété multiplicative
• 10
Consommation d’essence (litre)
Distance parcourue (km)
Comme
50 = 5 • 10
8
y
5
27,5
3
16,5
• 10
y = 27,5 • 10 = 275
38
50
y
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Exercices sur le domaine Proportionnalité
39
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
40
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
41
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
3. Algèbre – compétences à maîtriser
•
•
•
•
•
•
•
traduire une phrase en langage algébrique
substituer un nombre à une variable
prouver qu'une égalité n'est pas une identité
réduire des expressions algébriques simples (à coefficients entiers ou décimaux)
appliquer la distributivité
résoudre des équations du type ax + b = c par tâtonnement ou opérations inverses
appliquer la hiérarchie des opérations lors de substitutions numériques
3. Algèbre – éléments de théorie
1. Résumer une série de calculs répétitifs par une expression littérale.
Le professeur a écrit au tableau l’exercice ci-dessous. Un camarade est absent. Comment
noter, dans un message le plus court possible, le travail à effectuer :
Calculer :
23
23
23
23
23
23
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
12 + 3
14 + 3
16 + 3
18 + 3
20 + 3
22 + 3
23
23
23
23
23
23
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
13 + 3
15 + 3
17 + 3
19 + 3
21 + 3
23 + 3
On voit que l’expression à calculer est chaque fois la même à l’exception du
nombre qui multiplie 23. Ce nombre varie et nous allons le désigner par la lettre a.
On peut alors résumer le travail à faire en utilisant une expression littérale.
Cela donne : calculer 23 ⋅ a + 3 pour toutes les valeurs entières de a de 12 à 23
2. Expression numérique, expression littérale et calcul littéral.
En mathématique, on utilise non seulement des nombres pour calculer mais aussi des lettres
pour symboliser des grandeurs. Par exemple : a pour l’accélération, v pour la vitesse, T pour la
température, I pour l'intensité d'un courant électrique etc.
On distingue donc deux types d’expressions mathématiques :
Expression
Numérique
Littérale
2•3+5
2•a+5
variable
Une expression numérique qui ne
contient que des nombres.
Une expression littérale qui contient au
moins une lettre, appelée variable, qui
représente un nombre indéterminé.
La valeur d’une expression
numérique est unique :
La valeur d’une expression littérale est
multiple, elle dépend de la valeur
substituée à la variable :
2 • 3 + 5 = 11
42
Si a = 2 alors 2 • a + 5 = 2 • 2 + 5 = 9
Si a = 3 alors 2 • a + 5 = 2 • 3 + 5 = 11
Groupe de Mathématiques
Définition :
Collège des Colombières
Le calcul littéral est l’ensemble des règles qui permettent de calculer
avec des expressions contenant des lettres.
Ecrire un résultat « en fonction d’une variable », c’est trouver une
expression mathématique où figure cette variable. On appelle aussi
cette expression une expression littérale. On peut le faire en
traduisant une phrase en langage mathématique.
Exemple 1 :
J’ai choisi un nombre x. Je l’ai triplé puis j’ai ajouté 5.
L’expression du résultat en fonction de x est
3•x + 5
x
Exemple 2 :
5
Pour un carré, l‘ expression de son périmètre noté p, en fonction de la longueur du
côté noté c,
est
p=c+c+c+c
c
ou p = 4•c.
Dans les deux exemples ci-dessus, pour obtenir une valeur numérique de l’expression, on
substitue un nombre à une variable, c’est-à-dire, on remplace la variable par un nombre. Ainsi on
peut effectuer des calculs.
Dans l’exemple 1 :
pour x = 0,
pour x = 7,2
pour x = 45
etc.
le résultat est
le résultat est
le résultat est
3•0 +5 = 0
+5 =5
3 • 7,2 + 5 = 21,6 + 5 = 26,6
3 • 45 + 5 = 135 + 5 = 140
Dans l’exemple 2 :
pour c = 1
pour c = 1,7
pour c = 76
etc.
le périmètre est
le périmètre est
le périmètre est
p=1+1+1+1=4
p = 1,7 + 1,7 + 1,7 + 1,7 = 4 • 1,7 = 6,8
p = 76 + 76 + 76 + 76 = 4 • 76 = 304
43
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Egalité et identité
Le signe « = » se lit « est égal à ».
Deux expressions numériques sont dites égales si, lorsqu’on les calcule, on obtient le même
résultat.
Deux expressions littérales sont dites égales si elles donnent le même résultat, quel
que soit le nombre mis à la place de la variable.
Une égalité peut être toujours vraie, parfois vraie et parfois fausse, ou toujours
Attention :
fausse.
Une égalité qui est toujours vraie s’appelle une identité.
Exemples :
1) L’égalité 5 + 3 = 8
est toujours vraie
C’est une identité.
2) L’égalité 2y – 3 = 5
est vraie pour y = 4,
sinon elle est fausse.
C’est une égalité qui peut être vraie ou
fausse selon la valeur de y.
Ce n’est pas une identité
3) L’égalité 3 + 5 = 18
est toujours fausse.
C’est une fausse égalité.
Attention :
Dans l’exemple 2, vérifier que l’égalité est vraie pour quelques valeurs de la
variable ne suffit pas pour affirmer que l’égalité est une identité.
En revanche, trouver un contre-exemple (une valeur pour laquelle l’égalité n’est
pas vraie) suffit pour prouver qu’une égalité n’est pas une identité.
Exemple 1 :
2 + 3•x= 7•x
l’égalité est vraie pour x = 0,5, car 2 + 3 • 0,5 = 7 = 7 • 0,5
mais elle est fausse pour x = 2. car 2 + 3 • 2 = 8 ≠ 7 • 2 = 14
Cette égalité n’est donc pas une identité.
Exemple 2 :
2 • (x + 3) = 2 • x + 2 • 3
l’égalité est toujours vraie, car la multiplication est distributive sur l’addition.
Cette égalité est donc une identité.
Ecriture d’une expression littérale
Dans l’expression
3ab
3 est le coefficient numérique
ab est la partie littérale.
Conventions d’écriture :
- On écrit le coefficient numérique avant la partie littérale et on écrit les lettres par ordre
alphabétique.
Exemple :
On n’écrit pas ab3 mais 3ab.
44
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
- On peut supprimer le signe de la multiplication
1) entre deux lettres.
2) entre un nombre et une lettre,
Exemples :
a • b = ab
a • a = a2
5 • a = 5a
4,5 • x = 4,5x
c • 2a = = c2a = 2ac
Comme multiplier un nombre par 1 ne change pas ce nombre, on écrira :
1•a=a
Comme multiplier un nombre par zéro donne zéro, on écrira :
0•a=0
Attention:
Propriétés
1•a=a
0•a=0
a + a + ………..….. + a = n • a
a
1 =a
Exemple :
a + a + a + a + a = 5 • a = 5a
Exemple :
a • a • a • a • a = a5
n termes
a • a • ………..….. • a = an
n facteurs
La commutativité de l’addition et de la multiplication permet d’intervertir la place des termes ou
des facteurs :
a + b = b + a
a • b = b • a
L’associativité de l’addition et de la multiplication permet de regrouper différemment les termes
ou les facteurs :
( a + b ) + c = a + ( b + c )
( a • b ) • c = a • ( b • c )
45
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Réduire une expression littérale
On utilise les propriétés précédentes pour réduire des expressions littérales.
Exemples :
x+y+x+y+x
= x+x+x+y+y
= 3x + 2y
0,4x • 3y • 2x
= 0,4 • x • 3 • y • 2 • x
= 0,4 • 3 • 2 • x • x • y
= 2,4 x2 y
3•2•x•x•y
=(3•2)•(x•x•y)
= 6x2y
Distributivité de la multiplication sur l’addition
distributivité
5•( a + 3 ) = 5•a + 5•3
Développer
Lorsque l'on passe de l'expression
5 • ( a + 3) à l'expression 5 • a + 5 • 3, on a transformé un
produit en une somme. On dit que l'expression a été développée.
On appelle ce procédé la distributivité.
Exemples :
5•(x+4) = 5•x + 5•4
= 5x + 20
6•(x-3) = 6•x - 6•3
= 6x - 18
Méthode:
Pour développer une expression littérale en distribuant une multiplication sur une
addition, on multiplie tous les termes de la parenthèse par l’expression qui la
multiplie.
Exemple:
7•(6y+x)
Remarque:
Dans le calcul littéral, la réduction d’une somme de termes semblables
repose sur la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition.
Exemples :
= 7 • 6y + 7 • x
= 42y + 7x
3 g a + 5 g a = (3 + 5
) g a = 8a
7 g a - 9 g a = ( 7 - 9 ) g a = -2a
46
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Exercices sur le domaine Algèbre
47
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48
Groupe de Mathématiques
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49
Groupe de Mathématiques
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4. Grandeurs et mesures – compétences à maîtriser
•
•
•
•
•
•
•
•
choisir des unités ou sous-unités pertinentes
utiliser les sous-unités standard : kilo, hecto, déca, déci, centi, milli
transformer des unités de longueur et d'aire
transformer des unités de masse, de capacité et de temps
utiliser des unités cohérentes dans les calculs
estimer l'ordre de grandeur d'une mesure
choisir les grandeurs nécessaires et calculer au moyen des formules usuelles le périmètre
et l'aire du triangle, du carré, du rectangle, du losange, du parallélogramme et du trapèze
décomposer une figure en figures élémentaires et calculer son périmètre ou son aire
4. Grandeurs et mesures – éléments de théorie
Périmètre d’une figure
Définition :
on appelle « périmètre d’une figure fermée » la longueur de son contour.
Pour un polygone, c’est la somme des longueurs de tous ses cotés.
Exemple :
1 cm
3 cm
2 cm
4 cm
5,5 cm
2,5 cm
4,5 cm
6 cm
p = 1 + 3 + 2 + 5,5 + 6 + 4,5 + 2,5 + 4
p = 28,5 cm
Remarque :
km...).
un périmètre s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité de longueur (m, cm,
50
Groupe de Mathématiques
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Aire d’une figure
Définition :
on appelle « aire d’une figure fermée » le nombre de carrés (de côté 1 unité de
longueur) nécessaires pour la remplir complètement.
Exemple :
chaque petit carré mesure 1 cm de coté, on dit que son aire est 1 centimètre
carré (noté 1 cm²).
1
La figure est composée de 9 carrés de ce type, on dit que son aire est 9 cm².
Attention :
Il n’y a pas d’instrument de mesure pour l’aire.
Pour mesurer l’aire d’une figure, on peut quadriller et compter le nombre de
carrés qu’elle contient.
Exemple :
Ce rectangle est composé de 4 carrés + 4 demis carrés de ce type, son aire est de
6 cm².
1,5
4
On peut aussi calculer l’aire d’une figure à partir des dimensions de la figure.
Pour ce rectangle on a
Aire = 4 · 1,5 = 6 cm2
Selon la figure concernée, ces dimensions peuvent être les côtés ou les diagonales, ou la base, ou
la hauteur.
Remarque :
une aire s’exprime à l’aide d’un nombre suivi d’une unité d’aire ( une unités de
longueur au carré : m², cm², km²... ).
51
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Quelques formules de calculs d’aires
Quadrilatères
L
RECTANGLE
ℓ
c
CARRE
A=L·ℓ
A = c·c = c2
h
A=b·h
PARALLELOGRAMME
L’aire d’un parallélogramme est égale à
celle du rectangle correspondant
b
A = (d1 · d2) : 2 = d1 ⋅ d2
2
d2
LOSANGE
L’aire du losange est la moitié de celle
du rectangle construit sur ses
diagonales
d1
b1
A =[(b1 + b2) : 2] · h =
TRAPEZE
h
b1 + b2
⋅h
2
L’aire d’un trapèze est celle du
rectangle ayant pour longueur la
moyenne des bases du trapèze et pour
largeur la hauteur du trapèze
b2
52
Groupe de Mathématiques
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Quelques formules de calculs d’aires
Triangles
A = (L · ℓ) : 2 =
ℓ
TRIANGLE
RECTANGLE
L’aire d’un triangle rectangle est la
moitié de celle du rectangle
correspondant
L
A = (b · h) : 2 =
TRIANGLE
QUELCONQUE
b ⋅h
2
h1
b1
L’aire du traingle quelconque est la
moitié de celle du parallélogramme
correspondant
A = (b · h) : 2 =
TRIANGLE
QUELCONQUE
L⋅λ
2
h2
b2
b ⋅h
2
L’aire du traingle quelconque est la
moitié de celle du parallélogramme
correspondant
Les transformations d’unités de longueur
Pour les unités de mesure de longueur, l’unité de base est le mètre.
Toutes les autres unités de mesure de longueur sont basées sur le mètre. Elles sont formées d’un
préfixe et du mot « mètre ».
Préfixes :
nom
kilo
hecto
déca
déci
centi
milli
sens
1000 fois
100 fois
10 fois
1 fois
0,1 fois
0,01 fois
0,001 fois
53
abréviation
k
h
da
d
c
m
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Cela donne par exemple :
le kilomètre , qui mesure 1000 m,
le centimètre, qui mesure 0,1 m,
1 hm = 1 hectomètre = 100m,
1 mm = 1 millimètre = 0,001 m, etc.
Ces unités peuvent être organisées dans un tableau qui permet de trouver les correspondances :
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
hm
dam
m
dm
cm
mm
Exemple :
km
1
3
8
On lit 13800 mm = 1380 cm = 138 dm = 13,8 m = 1,38 dam = 0,138 hm = 0,0138 km
Les transformations d’autres unités
D’autres unités sont construites sur le même modèle :
•
les unités de masse dont l’unité de base est le gramme, abrégé [g]
kg
•
hg
dag
g
dg
cg
mg
cℓ
mℓ
les unités de capacité dont l’unité de base est le litre, abrégé [ℓ]
kℓ
hℓ
daℓ
ℓ
54
dℓ
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Unités d’aire
km2
hm2 = ha
dam2 = a
m2
dm2
cm2
mm2
dam2 = a
m2
dm2
cm2
mm2
1 hm2 = 1 hectare = 1 ha
1 dam2 = 1 are = 1 a
Exemple :
km2
hm2 = ha
4
On lit : 4507300000 mm2
5
0
7
=
45 07 30 00 cm2
=
45 07 30 dm2
=
45 07,3 m2
=
45,07 3 dam2
=
0, 45 07 3 hm2
= 0, 00 45 07 3 km2
55
3
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Unités de temps
Les unités de temps ne sont pas construites sur une base décimale car
1 heure ≠ 10 minutes
et
1 minute ≠ 10 secondes.
Les unités de temps sont construites sur la base 60. Cette base nous a été transmise par les
Babyloniens, qui vivaient plus de 1000 ans avant JC.
Dans cette base :
1 heure = 60 minutes
et
1 minute = 60 secondes
Ensuite on a :
1 jour = 24 heures
1 semaine = 7 jours
1 année = 365 jours (mais tous les 4 ans, l’année est bissextile et dure 366 j.)
Les mois ont un nombre de jours variable, entre 28 jours et 31 jours.
Remarque :
pour simplifier les calculs, le monde de la finance a adopté un système de 12 mois
de 30 jours pour faire une année… ( mais où passent alors les 5 jours restants ? )
Pour faire des conversions d’unités de temps, on ne peut pas utiliser un tableau de conversion
décimal. On doit calculer :
•
On multiplie par 60 pour passer des heures (h) aux minutes (min) et des minutes aux
secondes (s).
Exemples :
3 h = 3 · 60 min = 180 minutes
2h 45 min 8 s = 9908 secondes
car
2 · 60 min = 120 min
120 min + 45 min = 165 min
165 · 60 s = 9900 s
9900 s + 8 s = 9908 secondes
•
On divise par 60 pour passer des secondes aux minutes et des minutes aux heures
Exemples :
90 min = 1h 30 min
car
90 min : 60 min = 1,5 h
1,5 h = 1 h + 0,5 h = 1 h + ½ h
1228 s = 20 min 28 s
car
1228 s : 60 s = 20 min reste 28 s
15 minutes = ¼ h
car
15 min : 60 min = 0,25 h = ¼ h
56
Groupe de Mathématiques
Collège des Colombières
Exercices sur le domaine Algèbre
Exercice 1.
Calcule le périmètre de chacun des polygones suivants, après avoir pris les mesures
nécessaires.
Exercice 2. Trouve l'unité qui donne une mesure entre 1 et 10 et transforme:
1) 0,27 km
5) 73,1 dm
2) 0,0382 m
6) 0,034 dam
3) 0,0001 hm
7) 5,83 km
4) 48 dam
8) 720 m
Exercice 3. Trouve l'unité qui manque:
1) 20 m = 0,2 …
5) 0,07 dam = 70 …
2) 4700 m = 4,7 …
6) 15 m = 1500 …
3) 7,6 dm = 0,076 …
7) 220 dm = 2,2 …
Exercice 4. Transforme en litres, mètres ou en grammes
1) 6000 dl
4) 0,004 km
7) 0,05 kg
2) 500 cg
5) 0,0035 kg
8) 0,6 dal
3) 800000 mm
6) 0,037 hg
9) 0,05 hm
Exercice 5. Transforme dans l’unité demandée
1) 550 m2 en hm2
4) 4500 mm2 en dm2
2) 7830 m2 en hm2
5) 160000 cm2 en m2
2
3) 600 dm2 en m
6) 150 hm2 en km2
Exercice 6. Calcule l'aire d'un parallélogramme qui a
1) 87,2 mm de base et 1,3 dm de hauteur correspondante
2) 500 m de base et 472 m de hauteur correspondante
3) 43 dm de base et 170 mm de hauteur correspondante
4) 0,08 km de base et 0,012 km de hauteur correspondante
57
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Exercice 7. Calcule l'aire d'un trapèze qui a
1) 10 m et 13 m de bases et 8 m de hauteur
2) 4,5 dm et 3,5 dm de bases et 0,5 dm de hauteur
3) 1,2 m et 52 cm de bases et 95 mm de hauteur
4) 1,03 km et 500 m de bases et 2,3 hm de hauteur
Exercice 8. Choisis la bonne réponse.
1) La hauteur de la tour Eifel est de 320,75 dam ; 320,75 hm ; 320,75 m ?
2) La longueur du pied de votre professeur est de 25dm ; 25 cm ; 25 m ?
3) La longueur d’une bactérie est d’environ 1/1000 km ; 1/ 1000 m ; 1/1000 mm ?
4) La hauteur de l’Everest est de 8848 km ; 8848 hm ; 8848 m ?
5) L’épaisseur de la croûte terrestre mesure 40 km ; 40 m ; 40 cm ?
6) La longueur totale des routes de France est d’environ de 900000 km; 900000 dam;
900000 m ?
Exercice 9. Détermine si possible l’aire
des figures ci-dessous.
Exercice 10. Détermine si possible l’aire
des figures ci-dessous.
Exercice 11. Détermine si possible l’aire des figures ci-dessous.
58
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Exercice 12. Calcule l’aire de la figure suivante. (Inscris la figure dans un rectangle.)
Exercice 13. Détermine le périmètre et l’aire de la figure suivante.
Exercice 14. Calcule l’aire de la figure suivante. (Explique ta méthode.)
Exercice 15. Cherchez l’erreur !
Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
a) un carré de 4 cm2 est un carré de 4 cm de côté.
b) Un dam2 est un carré de 10 m de côté.
c) Il n’existe qu’un seul carré de 1 cm2.
d) 1 m2 = 10 dm2
e) Le mm2 est dix fois plus petit que le cm2.
f) 3 ha = 3 km2.
Exercice 16. Calcule si possible les aires suivantes :
a) Aire d’un carré de 6 cm de côté.
b) Aire d’un carré de 6 cm de diagonale.
c) Aire d’un losange de 6 cm de côté.
d) Aire d’un rectangle de 6 cm de diagonale.
59
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Exercice 17.
ABCD est un rectangle tel que A = 4cm et AD = 9 cm. EFGH est un rectangle tel que
EF = 12 cm et EH = 3 cm.
a) ABCD et EFGH ont-ils la même aire ?
b) ABCD et EFGH ont-ils même périmètre ?
Exercice 18.
a) Un carré de 2,8 m de périmètre a-t-il une aire plus grande que celle d’un carré dont la
diagonale mesure 1 m ?
b) Un rectangle de 2 m de périmètre a-t-il une aire plus grande que celle d’un rectangle de
1 m de périmètre ?
Exercice 19.
Calcule l’aire de la figure ci-dessous (cotes en m)
60
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5. Organisation et traitement de données – compétences à
maîtriser
•
•
Lire une graduation sur un axe
Lire des informations à partir d’un tableau de données d’une courbe dans un repère, d’un
histogramme, d’un diagramme circulaire
Choisir une échelle convenable
Graduer un axe
Construire une courbe dans repère ou un histogramme à partir d’un tableau de données
•
•
•
5. Organisation et traitement de données – éléments de théorie
Construire une courbe
Construire une courbe à partir du tableau suivant :
Heure
Température
(en°C)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2
2
1,5
1
1
0,5
1
2
4
5
8
10
11
-
Tracer deux axes perpendiculaires.
Inscrire les deux légendes.
-
Graduer régulièrement les deux axes
en choisissant l’unité judicieusement :
les nombres proposés doivent tenir
sur la feuille.
Placer les points correspondant aux données
du tableau. Pour mieux voir les variations de
température, on peut relier les points.
Conseil :
Lorsque le graphique est fini, pour savoir s’il est bien réussi, il faut vérifier :
- si les deux légendes sont inscrites ;
- si les axes sont gradués régulièrement ;
- si les points ou les rectangles sont placés correctement.
61
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Les différentes représentations
62
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63
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Exercices sur le domaine Gestion, organisation et
traitements de données
1) a) Laquelle des représentations suivantes est un diagramme circulaire ? Un diagramme en
barres ? Une courbe ? Un diagramme en bâtons ?
b) Y a-t-il des représentations qui utilisent les mêmes données ? Lesquelles ?
c) Qu’est-ce qui différencie ces représentations les une des autres ?
64
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2) Quelles mesures peut-on lire sur les graduations ci-dessous?
°C
20
cl
cm
mL
150
15
0
2
-10
1
50
5
éprouvette
thermomètre
3) D'après le graphique ci-contre…
a) Qui a gagné la course?
b) Décris en mots comment le lièvre
a fait cette course.
c) Décris en mots comment la tortue
a fait cette course.
d) A quelle distance de la ligne de
départ se sont-ils rencontrés la
première fois?
4) Voici un diagramme en bâtons
qui représente la hauteur
moyenne de pluie tombée à
Genève chaque mois. Cette
moyenne a été établie en faisant
des relevés sur 30 ans.
3
100
10
règle
10
100
90
pluie
(en mm de hauteur)
80
70
60
50
40
30
20
10
0
65
pipette
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5) Et voici les quantités de pluie
relevées pendant l'année 1995 :
Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
Durant quels mois y a-t-il eu plus de
précipitations que la moyenne?
Et quels mois y a-t-il eu moins de
pluie que d'habitude?
184 mm
139 mm
76 mm
23 mm
114 mm
52 mm
Juillet
Août
Septembre
Octobre
Novembre
Décembre
38 mm
62 mm
151 mm
49 mm
38 mm
104 mm
6) Dans une classe de 26 élèves, 13 élèves ont 11 ans, un seul a 10 ans, 8 ont 12 ans, et 4 ont
13 ans. Lequel de ces diagrammes circulaires correspond à la répartition des âges de la classe?
7) Le tableau suivant indique la consommation moyenne d'énergie par habitant (moyenne
calculée sur la consommation mondiale):
Année
1950
1955
1960
1965
1970
1975
1980
1985
énergie (en MJ)
29
38
41
53
69
70
63
57
a) Faire le graphique de la consommation d'énergie selon l'année. Représenter les années sur
l'axe des abscisses (horizontal) et l'énergie sur l'axe des ordonnées (vertical).
b) Durant quelle période l'augmentation a-t-elle été la plus forte?
c) Estimer combien de mégaJoules (MJ) un habitant consommait en 1967.
8) Recopier et compléter la graduation des axes ci-dessous.
a)
1990
……
……
……
……
2015
b)
–3
……
……
……
……
+2
c)
0
1
……
……
……
66
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9) Le tableau suivant donne, pour 1995, le nombre de conducteurs et de conductrices
impliqués dans des accidents de la circulation à Genève selon l'âge du conducteur ou de la
conductrice.
Construire l'histogramme correspondant.
âge
15-19
20-24
25-30
30-34
nb.d'accidents
422
842
1047
973
âge
35-39
40-44
45-49
50-54
nb.d'accidentsâge
894
719
631
538
nb.d'accidents
55-59
60-64
384
258
65-69
70-74
152
132
10) Ce diagramme circulaire représente la
répartition des dépenses de Sandrine pour un
mois. Elle reçoit 60 francs d'argent de poche par
mois. Calculer combien elle dépense pour chaque
type d'achat.
11) Ce graphique représente le prix d'une course en taxi en fonction de la longueur du trajet.
a) Quelle somme paiera-t-on pour une course de 5 km ?
67
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b) Quelle distance a-t-on parcourue si l'on a payé la course 15,50 fr. ?
c) D'après le graphique, déterminer le montant de la "prise en charge"; c'est la somme
qu'indique le compteur du taxi au moment où l'on monte dans la voiture.
d) D'après le graphique, déterminer le prix du kilomètre.
e) Combien paiera-t-on pour une course de 3,5 km ?
f) Quelle distance peut-on parcourir pour 10 fr. ?
12) Voici le graphique de l’évolution de la population du canton de Genève entre 1900 et
1980.
400 000
Population totale
Genevois
Confédérés
Etrangers
300 000
200 000
100 000
0
1900
1920
1940
1960
1980
En quelle année la population était-elle constituée à parts égales de Genevois, de confédérés et
d’étrangers ?
En quelle année le nombre de confédérés a-t-il dépassé 100 000 ?
Et le nombre d’étrangers ?
Et le nombre de Genevois ?
En 1960, quelle était la population de Genevois ? De confédérés ? D’étrangers ?
Et en 1980 ?
68
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6. Géométrie – compétences à maîtriser
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Faire la distinction entre croquis et dessin
Comprendre le codage d'une figure sur un croquis
Faire un croquis à main levée d'une figure ou d'une situation simple, et y indiquer les
données du problème
Décrire une figure ou une construction en utilisant le vocabulaire connu
Reconnaître et construire la parallèle ou la perpendiculaire à une droite donnée passant
par un point donné avec la règle et l'équerre
Mesurer et construire un angle avec le rapporteur et reconnaître des angles opposés par
le sommet, supplémentaires, correspondants, alternes-internes, alternes-externes
Calculer un angle dans un triangle quelconque ou particulier, connaissant l'un ou les deux
autres angles du triangle
Utiliser le compas pour construire des points à une distance donnée d'un point
Construire la médiatrice d'un segment, la bissectrice d'un angle
Construire le cercle circonscrit à un triangle
Reconnaître des triangles et des quadrilatères particuliers, même dans une figure
complexe
Construire un triangle connaissant :
o trois côtés
o un angle et les deux côtés adjacents
o un côté et les deux angles adjacents
Construire un carré connaissant son côté, un rectangle connaissant sa longueur et sa
largeur, un losange connaissant ses deux diagonales, un parallélogramme connaissant un
angle et les côtés adjacents
Reconnaître les hauteurs d'un triangle, d'un quadrilatère particulier
Construire l'image d'une figure par une symétrie axiale ou une translation
Reconnaître un axe de symétrie ; construire les axes de symétrie pour les triangles et
quadrilatères particuliers
6. Géométrie – éléments de théorie
La géométrie étudiée ici se situe dans le plan : on parle de géométrie plane.
Le plan est symbolisé par la feuille de papier.
Le plan est une surface infinie. La feuille que l'on utilise est bien sûr limitée à ses bords.
Points
Un point du plan est un lieu, un endroit qui n'a ni longueur ni épaisseur. Il existe partout des
points, qui ne sont pas nécessairement marqués ou encore moins nommés.
Pour les utiliser, on les marque au moyen de deux traits qui se croisent.
On utilise :
Mais pas :
Pour pouvoir en parler, on les nomme au moyen de lettres majuscules d'imprimerie.
A
B
N
M
69
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Droites
Si l'on a marqué et nommé A et B deux points du plan, on peut tracer une seule (ligne) droite
passant par ces deux points. Pour la représenter, on en dessine une partie à l’aide d’une règle.
Comme pour le plan, la droite géométrique est infinie, alors que toutes les représentations qu’on
peut en faire sont finies.
La droite passant par les points A et B est appelée la droite AB notée (AB).
A
B
Pour nommer une droite sur laquelle il n’y a pas de points marqués et nommés, on peut aussi
utiliser une lettre, par exemple d. Ici la lettre d ne désigne pas un point mais est le nom de la
droite.
d
Positions relatives de deux droites
• Droites sécantes
Les droites d et d’ se coupent (se croisent) en I :
On dit qu’elles sont sécantes.
I est leur point d’intersection (c’est le seul point
appartenant aux 2 droites).
d
I
d’
• Droites parallèles
Deux droites parallèles sont deux droites qui n’ont aucun point commun ou qui sont
confondues.
Les droites d et d’ n’ont pas de point d’intersection.
On dit qu’elles sont parallèles.
d
On note : d // d’
d’
Si on imagine que deux droites peuvent être placées n’importe où dans le plan, il se peut
qu’elles se superposent. On dit alors qu’elles sont confondues.
On note : d = (AB)
A
d
B
70
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• Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit.
On note : d ⊥ d’
On dit : la droite d est perpendiculaire à la droite d’
d’
d
Pour vérifier que deux droites sont perpendiculaires, on peut utiliser :
- l’équerre,
- le rapporteur, en mesurant l’angle formé par les deux droites ( 90°).
Propriétés des droites parallèles et perpendiculaires
Si d1 et d2 sont parallèles et que d1 est parallèle à d3, alors d2 est parallèle à d3.
Un droite d’ , perpendiculaire à une droite d, est perpendiculaire à toutes les parallèles de d et
parallèle à toutes les perpendiculaires de d.
d’
d
Segments
Définition :
Le segment AB noté [AB] est l’ensemble des points de la droite (AB)
situés entre A et B. Les points A et B s'appellent les extrémités du
segment.
A
B
Attention :
Quand on représente un segment, on s’arrête aux extrémités du segment, alors
que quand on représente une droite (infinie) on dessine la droite au-delà des
points.
Notation :
la mesure du segment [AB], sa longueur, se note AB.
Exemple : AB = 5 cm
71
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Médiatrice d’un segment
Définition :
La médiatrice d'un segment [AB] est la droite perpendiculaire à [AB] passant par
son milieu.
M
Dire qu’une droite (d) est la médiatrice de [AB] signifie que :
B
• (d) ⊥ [AB]
• d passe par le point I milieu de [AB] ( IA = IB)
I
A
Remarque :
(d)
Tous les points de la médiatrice d’un segment sont à égale distance des
extrémités du segment : si M est un point de la médiatrice de [AB] alors MA =
MB.
On dit qu’ils sont équidistants des extrémités du segment [AB].
Construction de la médiatrice : voir Aide-mémoire p. 51-52
Cercle
O est un point donné et r un nombre donné.
On appelle cercle de centre O et de rayon r l'ensemble de tous les points du plan situés à la
distance r de O.
On le note C (O, r) ou bien C(O, OA) où A est un point quelconque du cercle.
Pour tracer un cercle ou un arc de cercle, on précisera toujours son centre et son rayon.
O est le centre du cercle. Ce n'est pas un point du cercle.
A, B, M et N sont des points du cercle.
Les segments [OA], [OB], [OM], [ON] sont des rayons du
cercle.
Le segment [AB] est un diamètre du cercle.
Le segment [MN] est une corde du cercle. Le segment [AB]
est aussi une corde du cercle.
¼ .
L’ensemble des points du cercle situés entre M à N s’appelle l’arc de cercle MN
L’angle BÔN est un angle au centre, son sommet est le centre du cercle.
ˆ est un angle inscrit, son sommet est un point du cercle.
L’angle ONM
72
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Demi-droites
Si on place un point sur une droite, il apparaît alors deux parties de cette droite, de part et
d’autre du point. Ces deux parties de la droite sont nommées demi-droites. Le point est l’origine
des demi-droites.
On note les demi-droites à l’aide d’un crochet " [ " qui entoure l’origine .
Si plusieurs points sont nommés sur une droite :
M
A
B
on utilise ces points pour nommer les demi-droites :
[BM) est la demi-droite d'origine B, passant par M.
A
M
[BA) est la demi-droite d'origine B, passant par A.
M
B
B
A
Le dessin en géométrie
•
Codage d'une figure : longueurs égales , angles égaux
Sur les figures que l'on dessine, on marque des indications pour que la figure soit "parlante". En
particulier, on marque le fait que deux longueurs sont égales au moyen de signes particuliers sur
les segments qui ont les mêmes longueurs.
On dit alors que l'on code la figure.
Ici, on a marqué des longueurs égales au moyen :
•
•
•
d'un trait
des deux traits
d'un petit cercle
73
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On peut utiliser d'autres signes, autant qu'il en faut.
Ici on a marqué les angles égaux par le même symbole.
On utilisera ces codages pour marquer les côtés égaux d’un parallélogramme, ou les angles égaux
d’un triangle isocèle par exemple.
•
Croquis
Un croquis est un dessin qui va servir à réfléchir.
C'est un dessin qui est fait sans instruments, qui doit donner une idée de la situation, sans en
respecter nécessairement les données exactes.
Il est codé selon les indications données pour utiliser les propriétés des figures.
Angles
On a tracé les deux demi-droites [Ox) et [Oy) de même origine O.
^
^
La portie du plan limitée par ces deux demi-droites est un angle que l’on note xOy ou yOx. y
O est le sommet de l’angle.
[Ox) et [Oy) sont les cotés de l’angle.
On mesure les angles en degrés, notés °. On utilise pour cela
un rapporteur.
Voir Aide-mémoire p. 10
O
^
xOy
x
Angles particuliers
^
xOy est un angle nul = 0°
^
tOz est un angle plat = 180°
y
x
O
z
^
uOv est un angle droit = 90°
t
O
v
^
rOs est un angle plein = 360°
s
O
O
r
u
74
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Angles aigus, angles obtus
z
t
v
v
O
u
O
u
^
uOz est « moins pointu » qu’un angle droit.
On dit que c’est un angle obtus.
uÔz > 90°
uÔt est « plus pointu » qu’un angle droit.
On dit que c’est un angle aigu.
uÔt < 90°
voir Aide-mémoire p.10
Angles adjacents
Si deux angles ont le même sommet et un côté en commun et qu’ils sont situés de part et d'autre
du côté commun, on dit qu'ils sont adjacents.
x
O
x
z
z
A
y
y
O
Les angles yÔz et zÔx ont comme sommet commun 0.
Ils ont comme côté commun (Oz).
Ils sont donc adjacents.
75
yÂz et zÔx n’ont pas le même sommet.
Ils ne sont pas adjacents.
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Angles particuliers isométriques
Angles opposés par
le sommet
3
1
Angles alternes
internes
2
4
Les angles 4 et 5 sont alternesinternes. Les angles 3 et 6 aussi.
Les angles 2 et 7 sont alternesexternes. Les angles 1 et 8 aussi.
Des angles alternes-internes et deux
angles alternes-externes sont égaux.
(d')
(d)
3
5 6
7
8
Angles alternes
externes
Angles
correspondants
Les angles 1 et 2 sont opposés par le
sommet.
De même que les angles 3 et 4.
Des angles opposés par le sommet
sont égaux.
1 2
4
(d')
1
(d)
Les angles 2 et 6 sont
correspondants.
Des angles correspondants sont
égaux.
2
3
4
5
6
7
8
Voir Aide-mémoire p. 9
Bissectrice d’un angle
La bissectrice d’un angle est la droite (ou demi-droite) qui partage un angle en 2 angles égaux.
z
O
y
Dire que [Oy) est la bissectrice de l’angle xÔz signifie que :
^
• xOy = yOz
Remarque :
x
Tous les points de la bissectrice d’un angle sont à égale distance des deux demidroites qui forment l’angle.
Construction : voir Aide-mémoire p. 13
76
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Polygones
Les polygones sont des figures planes fermées, dont les côtés sont des segments de droites.
(« poly » signifie plusieurs et « gone » angle).
On ne peut pas former un polygone avec un ou deux segments de droite.
Le premier polygone a trois côtés et a trois sommets.
Le nombre de sommets (ou de côtés ou d'angles) indique la nature du polygone.
Nombre de sommets
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Etc.
Nature du polygone
Triangle
Quadrilatère
Pentagone
Hexagone
Heptagone
Octogone
Ennéagone
Décagone
Endécagone
Dodécagone
Exemples :
Pentagone
Hexagone
Octogone
Définition :
Un polygone régulier est un polygone dont tous les angles et tous les côtés sont
égaux.
Quadrilatère régulier = carré
Hexagone régulier
Voir Aide-mémoire p. 74
77
Groupe de Mathématiques
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Triangles
Un triangle est un polygone qui possède trois côtés.
Dans le triangle ABC, les points A, B et C s’appellent les sommets, les segments [AB], [BC] et
[AC] s’appellent les côtés.
Définition : [BC] est le côté opposé au sommet A.
Vocabulaire :
A
sommets
C
B
côtés
Somme des angles d’un triangle
La somme des angles d’un triangle mesure 180°.
α’
B
d
A
β’
α
β
C
Preuve par les propriétés des angles alternes-internes.
Les triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle ABC isocèle en A
est un triangle qui a deux
côtés égaux : AC = AB.
Triangle rectangle
Un triangle ABC rectangle en C
est un triangle possédant un
angle droit : AĈ B = 90°
A
Triangle équilatéral
Un triangle ABC équilatéral
est un triangle qui a trois
côtés égaux.
A
A
B
C
C
B
C
B
Propriété
Il possède deux angles
égaux: A B̂ C = A Ĉ B
Remarque :
Propriété
Les trois angles du triangle
sont égaux. Ils mesurent 60°.
Un triangle peut à la fois être rectangle et isocèle, mais il ne peut pas être
rectangle et équilatéral.
78
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Quadrilatères
Un quadrilatère est un polygone qui possède 4 côtés. Dans le quadrilatère ABCD, les points A, B,
C et D sont les sommets et les segments AB, BC, CD et AD les côtés. Les segments qui joignent
deux sommets opposés sont les diagonales.
Vocabulaire :
côtés
côtés consécutifs
B
A
C
sommets
D
diagonales
Quadrilatères particuliers
Le parallélogramme
Un parallélogramme a ses côtés opposés
parallèles et de même longueur.
A
Le losange
Un losange est un quadrilatère qui a quatre
côtés égaux.
A
B
D
D
C
Ses diagonales se coupent en leur milieu.
Le rectangle
Un rectangle est un quadrilatère possédant
quatre angles droits.
B
C
Ses diagonales sont perpendiculaires et se
coupent en leur milieu.
Le carré
Un carré est un quadrilatère qui a quatre côtés
égaux et quatre angles droits.
A
A
B
D
C
Les côtés opposés du rectangle sont
parallèles et de même longueur.
Ses diagonales se coupent en leur milieu et
sont de même longueur.
B
D
C
Les côtés opposés du carré sont parallèles.
Ses diagonales sont perpendiculaires, se
coupent en leur milieu et sont de même
longueur.
79
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Autre quadrilatère particulier : Le trapèze
Un trapèze est un quadrilatère possédant deux côtés opposés parallèles.
[AB]//[CD]
A
B
D
C
Classification des quadrilatères
On peut classer les quadrilatères selon la longueur de leurs côtés :
-
-
4 côtés isométriques : carré, losange
2 paires de côtés opposés isométriques 2 à 2 : parallélogramme, rectangle
2 paires de côtés consécutifs isométriques 2 à 2 : fer de lance, cerf-volant (rhomboïdes)
1 paire de côtés opposés isométriques : trapèze isocèle
On peut classer les quadrilatères selon le parallélisme de leurs côtés
-
2 paires de côtés parallèles: carré, rectangle, losange, parallélogramme
1 paire de côtés parallèles : trapèze
On peut classer les quadrilatères selon leurs angles
-
-
4 angles isométriques : le carré et le rectangle
2 angles opposés isométriques 2 à 2 : losange, parallélogramme
2 angles consécutifs isométriques 2 à 2 : trapèze isocèle
On peut classer les quadrilatères selon leurs axes de symétrie
-
-
4 axes de symétrie : carré
2 axes de symétrie, les médiatrices des côtés : rectangle
2 axes de symétrie, les diagonales : losange
1 axe de symétrie, la médiatrice des côtés parallèles : trapèze isocèle
1 axe de symétrie, une diagonale : fer de lance, cerf-volant
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Symétrie axiale
Symétrique d'un point
M' est le symétrique du point M par la symétrie d'axe d, si d est la médiatrice de [MM'].
d s’appelle l’axe de symétrie du segment [MM’].
d
M
I
M’
Si A est un point de la droite d, alors son symétrique est lui-même.
Remarque :
Symétrique d’une figure
A
B
La figure A’B’C’ est la figure symétrique de ABC par la
symétrie d’axe d. Les figures A’B’C’ se superposent en pliant la
feuille suivant la droite d.
D
B’
C
(d)
C’
D’
A’
Les longueurs AB et A’B’ sont les mêmes.
Les angles A B̂ C et A'B̂' C' sont égaux.
On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs et
conserve les mesures des angles. Elle conserve aussi
l’alignement.
La figure symétrique d’une droite par rapport à d est une droite.
La figure symétrique d’un segment par rapport à d est un segment de même longueur.
La figure symétrique d’un cercle par rapport à d est un cercle de même rayon.
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Axe de symétrie d’une figure
Une figure admet un axe de symétrie si elle se superpose à elle-même par la symétrie de cet axe.
Autrement dit :
Une figure admet un axe de symétrie s’il existe une droite le long de laquelle on peut « plier » la
figure de manière à ce que les deux parties se superposent.
L’axe de symétrie d’un segment est la médiatrice de ce segment.
L’axe de symétrie d’un angle est sa bissectrice
Axes de symétrie des figures usuelles
Le triangle isocèle
Le rectangle
1 axe de symétrie :
2 axes de symétrie :
la bissectrice de
les médiatrices des
l’angle au sommet et la côtés.
médiatrice de sa base.
Remarque :
Le losange
2 axes de symétrie :
ses diagonales
Le carré
4 axes de symétrie :
ses diagonales et les
médiatrices de ses
côtés
Le cercle possède une infinité d’axes de symétrie : tous ses diamètres.
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Translation
Translaté d’un point
En faisant glisser une figure d’une distance fixée et dans une direction indiquée par une flèche
on obtient l’image par une translation de la figure.
Soient A et B deux points distincts.
M’ est l’image d’un point M par la translation AB si
MM’ = AB
(MM’) // (AB)
B
A
M'
M
Translaté d’une figure
Une figure F' est l'image d’une figure F par la translation qui transforme A en B.
Ceci signifie que la figure F' est obtenue en faisant glisser la figure F parallèlement à la droite
(AB):
selon la direction de la droite (AB).
dans le sens de A vers B.
d'une longueur égale à AB.
N’
F’
N
B
F
A
L'image d'une droite par une translation, est une droite parallèle.
L'image d'un segment par une translation, est un segment de même longueur.
L'image d'un cercle par une translation, est un cercle de même rayon.
L'image d'un angle par une translation, est un angle isométrique.
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Exercices sur le domaine Géométrie
1) Construis trois points A , B et C et deux droites m et n tel que
A ∈ m et A ∈ n ,
B ∈ n et B∉m,
C∉m et C∉n.
2) Construis trois points A, B et C non alignés et cherche par le dessin le nombre de droites
passant par deux de ces points.
Procède de la même façon avec 4 points, puis 5.
Cherche à généraliser le raisonnement.
3) Construis un segment [AB] et une demi-droite ayant tous deux pour origine B.
4) Que représente la notation [EF] ?
5) Construis un angle aigu et un angle obtus ayant tous deux le même sommet.
6) Construis un segment de droite de 5 [cm] de longueur ayant pour extrémités les points A et
B. Puis construis un point C situé à 3 [cm] de A. Puis construis un point D situé à 3 [cm] de A
et à 6 [cm] de B.
7) Construis une droite m et deux points F et G appartenant à m tel que δ(F ; G) = 7 cm
Puis un point H tel que δ(F ; H) = 2 cm.
Puis un point J tel que δ(F ; J) + δ(J ; G) > δ(F ; G)
Puis un point K tel que δ(F ; K) + δ(K ; G) < δ(F ; G)
8) Construis un angle α d'amplitude 40°, un angle β d'amplitude 230° et un angle γ
d’amplitude 168° n'ayant pas la même origine.
9) Construis un angle nul, un angle plat et un angle plein.
10) Mesure les angles suivants :
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11) Calculer la mesure de β, sachant que α = 82°.
12) Trace une droite a et place un point B qui n’est pas sur cette droite. Trace ensuite la droite
b qui passe par le point B et qui est parallèle à la droite a.
13) Trace une droite a et place un point B sur cette droite. Place un point C qui n’est pas sur
cette droite. Trace ensuite la droite b qui passe par le point B et qui est perpendiculaire à la
droite a. Trace pour finir la droite c qui passe par le point C et qui est perpendiculaire à la
droite a.
14) (Ne pas faire de figure). a, b et c sont trois droites telles que a//b et b//c. Que peut-on dire
de la droite a par rapport à la droite c ?
15) (Ne pas faire de figure). a, b et c sont trois droites telles que a ┴ b et b ┴ c. Que peut-on
dire de la droite a par rapport à la droite c ?
16) Recopie approximativement ce triangle puis construis :
1) la parallèle c à la droite ]AB[,
qui passe par le point C ;
2) la perpendiculaire b à la droite ]AB[,
qui passe par le point B ;
b coupe c en D ;
3) la perpendiculaire d à la droite ]BC[,
qui passe par le point D.
A
C
B
17) Construis un segment de 4,7 cm et un segment de 11,5 cm. Construis la médiatrice de ces
deux segments.
18) Construis un angle de 42°, un angle de 117° et un angle de 169°. Construis la bissectrice
de ces trois angles.
18) Place deux points A et B. Construis l’ensemble des points situés à la même distance de A
et de B.
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19) Place trois points A, B et C. Construis l’ensemble des points situés à la même distance de
A, de B et de C.
20) Reporter ce triangle dans le cahier.
21) Construire un triangle dont les côtés mesurent 7 cm, 6 cm, et 5 cm.
22)
1) Si α = 30° et β = 70°, calculer γ
2) Si α = 47° et β = 36°, calculer γ
3) Si β = 48° et γ = 120°, calculer α
4) Si β = 112° et γ = 83°, calculer α
23)
1) Si α = 40° et β = 70°, calculer γ , α ’, β’, γ ’
2) Si α = 70° et γ = 50°, calculer β '
3) Si α ’= 130° et β ' = 109°, calculer γ
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24) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
25) Construire le triangle ABC en vraie grandeur.
26) Construire un triangle ABC tel que :
·
BAC
= 50°,
27) Construire un triangle ABC tel que :
·
= 50° et ·ABC = 30°.
AB = 6 cm, BAC
28) Construire un triangle ABC tel que :
·
BAC
29) Construire un triangle ABC tel que :
·
AB = 5 cm, BAC
=100° et BC = 7 cm.
AB = 5 cm et AC = 6 cm.
·
= 110°, BCA
= 40° et AC = 4 cm.
30) Construis un triangle ABC tel que :
AB = 3 cm, BC = 9 cm et AC = 7cm
Construis les trois hauteurs de ce triangle.
31) La demi-droite [AD) est la bissectrice de
l'angle BAC. Calculer l'angle γ .
32) La demi-droite [AD) est la bissectrice de
l'ange a. Sachant que α = 70° et β = 50°,
calculer l'angle δ.
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33) On considère un triangle ABC isocèle en A.
·
Sachant que l'angle CAB
vaut 40°.. Que valent les autres angles ?
·
34) Aide-toi des codages de la figure suivante pour déterminer l’angle CDE
..
·
Information : ABC
= 156°.
35) Calcule la mesure de l’angle α de la figure cicontre. Indique toutes les étapes de ton raisonnement.
36) Voici des polygones.
1) Enumérer tous les trapèzes :
2) Enumérer tous les parallélogrammes :
3) Enumérer tous les losanges :
4) Enumérer tous les carrés :
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37) Peut-on construire...?
1) un rectangle non carré dont les diagonales ont la même longueur
2) un parallélogramme non rectangle dont les diagonales ont la même longueur
3) un trapèze non parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur
4) un quadrilatère non trapèze dont les diagonales ont la même longueur
Si c'est possible, construire une telle figure. Si c'est impossible, expliquer pourquoi.
38) Peut-on construire... ?
1) un trapèze non parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur et se
coupent à angle droit
2) un quadrilatère non trapèze dont les diagonales ont la même longueur et se coupent
à angle droit
Si c'est possible, construire une telle figure. Si c'est impossible, expliquer pourquoi.
39)
40) Lesquelles de ces figures admettent au moins un axe de symétrie ?
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