Dossier d`été 9ème vers 10ème

Groupe de Mathématiques Collège des Colombières
1
Dossier
1
d’été pour l’entrée en 8
ème
Tu ne dois rien écrire sur les pages de ce dossier.
Tous les exercices sont à faire sur des feuilles
séparées.
Nom : ……………………….. Prénom : ………………………..
Mon enseignant(e) de mathématiques en 7
ème
: ………………………..
Mes moyennes en mathématiques
1
er
trimestre : …… 2
ème
trimestre :…… 3
ème
trimestre : ……
Ma note d’épreuve commune : ……
Ce dossier est facultatif, il t’a été remis dans le but de :
• Te permettre de retravailler tranquillement chez toi les notions
vues en 7
ème
année afin de commencer la 8
ème
année dans de bonnes
conditions.
• De montrer ta volonté de remédier à tes difficultés.
Tu devras rendre ce dossier (fait ou non) lors du premier cours à ton
enseignant(e) de mathématiques de 8
ème
.
1
Ce dossier a été réalisé à l’aide des fiches de théorie du Collège de Cayla, des exercices du
document « Connaissances essentielles » et des exercices des anciens manuels de
mathématiques.

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1. Nombres et opérations – compétences à maîtriser
1.1 Nombres entiers
• Distinguer chiffre et nombre
• Connaître la notation puissance
• Savoir décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
• Déterminer un diviseur commun et un multiple commun
• Utiliser les critères de divisibilité par 2 ; 3 ; 5 ; 10
• Additionner, soustraire, multiplier, diviser des nombres entiers.
• Appliquer l’ordre des opérations.
1.2 Nombres relatifs
• Comparer, ordonner et représenter des entiers relatifs sur un système d’axes.
• Prendre son opposé, sa valeur absolue.
• Additionner et soustraire des entiers relatifs.
1.3 Nombres rationnels
Ecriture décimale :
• Lire, écrire, comparer, ordonner, arrondir des expressions décimales
• Multiplier et diviser par 10 ; 100 ; 1000 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 (calcul oral)
• Additionner, soustraire, multiplier, diviser.
• Ordonner les opérations, estimer l’ordre de grandeur d’un résultat
Ecriture fractionnaire :
• Notation d’une fraction
• Conversion d’écritures : nombre décimal <-> fraction <-> pourcentage
• Amplifier, simplifier, rendre irréductible
• Comparer et classer des rationnels :
o par la représentation géométrique de deux fractions
o par les conversions d’écriture
o par la mise au même dénominateur, ou au même numérateur
o en les plaçant sur une droite numérique
• Prendre une fraction de…
• Retrouver l’entier à partir de la fraction de…
• Prendre un pourcentage de…
• Additionner et soustraire dans des cas simples

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1. Nombres et opérations – éléments de théorie
1.1 Nombres entiers
Écriture, vocabulaire
Un mot s’écrit à l’aide de lettres. De la même façon, un nombre s’écrit à l’aide de chiffres.
Exemples : i 235 est un nombre
i 3 est un des chiffres du nombre 235.
Lire et écrire un nombre entier
Un nombre qui s’écrit sans virgule est appelé nombre entier.
Pour lire ou écrire un nombre entier, on regroupe ses chiffres par tranches de trois en partant
de la droite.
Exemple : 123456789 s’écrit 123 456 789 et se lit cent vingt trois millions quatre cent
cinquante six mille sept cent quatre vingt neuf.
Pour le lire, on peut aussi placer ses chiffres dans le tableau suivant :
Classe
des
millions
Classe
des mille
Classe
des
unités
centaines dizaines unités centaines dizaines unités centaines dizaines unités
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Dans cet exemple : 9 est le chiffre des unités.
8 est le chiffre des dizaines.
7 est le chiffre des centaines.
6 est le chiffre des mille.
5 est le chiffre des dizaines de mille.
4 est le chiffre des centaines de mille.
3 est le chiffre des millions.
est le chiffre des dizaines de millions.
1 est le chiffre des centaines de millions.
On peut donc aussi écrire que
123 456 789 = 9 + 8 · 10 + 7 · 100 + 6 · 1000 + 5 · 10 000 + 4 · 100 000 + 3 · 1 000 000 + 2 · 10 000
000 + 1 · 100 000 000.
Remarque : 1 000 000 000 se lit un milliard.

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Division euclidienne (division avec quotient entier et reste)
Exemple : Comment partager entre 3 personnes 85F en pièces de 1F ?
Réponse : en effectuant la division euclidienne de 85 par 3 :
On voit que :
85 = 28 ×
××
× 3 + 1
Réponse : Chaque personne recevra 28F, et il restera 1F qu’on ne peut pas partager...
On peut conclure que : 28 < 85 : 3 < 29
Diviseurs d'un nombre et plus grand diviseur commun
On obtient l'ensemble des diviseurs d'un nombre entier en divisant ce nombre successivement
par tous les nombres entiers successifs à partir de 1. Si la division donne un quotient entier, on
met diviseur et quotient dans la liste des diviseurs.
Exemple :
Diviseurs de 42 :
42 : 1 = 42 42 : 2 = 21 42 : 3 = 14
42 : 5 = 8,4 8,4 n’est pas entier donc 5 n’est pas diviseur de 42
42 : 6 = 7 42 : 7 = 6 déjà trouvé
On continue aussi longtemps que le quotient est plus grand que le diviseur.
On note l’ensemble des diviseurs du nombre entier n Div
n
ou Dn et on note les diviseurs entre
accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgules
Div
42
= {1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42} ou D42 : 1 ;2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42
On peut s’intéresser aux diviseurs communs de deux nombres, par exemple de 36 et 54 :
D36 : 1;2;3;4;6;9;12;18;36 et D54 : 1;2;3;6;9;18;27;54
On a souligné dans les deux listes les diviseurs communs : 1;2;3;6;9;18.
On constate que les diviseurs communs correspondent à tous les diviseurs de 18 et que 18 est le
plus grand diviseur commun (pgdc) de 36 et de 54.
3
5
8
6
2
5
2 8
2 4
1
Q
UOTIENT
D
IVISEUR
D
IVIDENDE
R
ESTE
Approximation entière
par défaut
Approximation entière
par excès

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5
Multiples d'un nombre et plus petit multiple commun
On obtient tous les multiples d'un nombre entier en multipliant successivement ce nombre par
tous les nombres entiers à partir de 1.
On note l’ensemble des multiples du nombre entier n M
n
ou Mn et on note les multiples entre
accolades ou sous forme d’une liste en les séparant par des points virgule.
Exemple : M
5
={5;10;15;20;25;30;35;...} ou M
3
: 3;6;9;12;15;18;21;...
L’ensemble des multiples d’un nombre est infini puisqu’on peut le multiplier par tous les nombres
entiers.
On peut s’intéresser aux multiples communs à deux nombres, par exemple à 9 et à 15 :
M
9
: 9 ; 18 ; 27 ; 36 ; 45 ; 54 ; 63 ; 72 ; 81 ; 90 ; 99 ; 108 ; 117 ; 126 ; 135 ; 144 ; 153 ; …
M
15
= ={15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120 ; 135 ; ...}
On a souligné les multiples communs : 45 ; 90 ; 135 … (qui sont en nombre infini).
On constate que les multiples communs correspondent aux multiples de 45 et que 45 est le plus
petit multiple commun (ppmc) de 9 et de 15.
Nombres premiers
Un nombre entier est premier s’il ne possède que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Tous les autres nombres entiers sont dits composés et ils peuvent s’écrire comme le produit de
deux ou plusieurs nombres premiers.
Les premiers nombres premiers sont 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; ...
Il y a un nombre infini de nombres premiers.
Exemples :
• 17 est premier car il n’a pas d’autres diviseurs que 1 et 17 (17 ne se divise pas par 2, ni
par 3, ni par 4, ni par 5, ni par 6, ni par 7 etc.)
• 15 est composé, il se divise par 1 , par 3, par 5 et par 15.
Div 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
On peut écrire 15 = 3⋅ 5
• 2 est le seul nombre pair qui est premier (en effet tous les autres nombres pairs sont
divisibles par 2 et par eux-mêmes).