M1: Séance 1
Entiers, écriture décimale, division euclidienne, multiples et diviseurs
Dans toute la séance, on ne considérera que les entiers positifs ou nuls.
I Division euclidienne :
Soient a et b deux entiers positifs. Effectuer la division euclidienne de a par b c'est déterminer le couple
d'entiers (q,r) vérifiant a=bq+r avec r<b
q et r sont respectivement appelés quotient et reste de la division de a par b.
lorsque r = 0, on dit que a est divisible par b
a est un multiple de b
b est un diviseur de a
b divise a
Pour prouver que a est divisible par b, il suffit de prouver qu'il existe un entier k tel que a=bk.
II Critères de divisibilité:
Un entier est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8;
Un entier est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5;
Un entier est divisible par 10 s'il se termine par 0 ;
Un entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3;
Un entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9;
Un entier est divisible par 11 si la différence entre la somme de ses chiffres de rang pair et la somme de ses
chiffres de rang impair est 0 ou un multiple de 11;
Ex1: 1425 est divisible par 3 car 1+4+2+5 = 12 et 12 est un multiple de 3
Ex2: 902 est divisible par 11 car la somme des chiffres de rang pair (le chiffre de rang 0 étant celui des
unités, celui de rang 1 étant le chiffre des dizaines...) est 9+2 soit 11 et la somme de ses chiffres de rang
impair est 0 or la différence entre 0 et 11 est 11.
Ex3: 645689 est également divisible par 11 car la différence entre (9+6+4) et (8+5+6) est 0.
Rq1: Tout nombre divisible par 9 est divisible par 3 mais la réciproque est fausse.
Rq2: Un nombre est divisible par 6, si et seulement si il est divisible par 2 et par 3 (2 et 3 étant premiers
entre-eux)
Rq3: Pour savoir si un nombre N est divisible par un nombre M pour lequel on ne dispose pas de critère, on
pose la division euclidienne de N par M et on vérifie si le reste est nul.
III Nombres premiers:
Déf1: Un entier strictement supérieur à 1 est dit premier s'il n'admet comme diviseur que 1 est lui même.
Ex4: 7,13,29 sont des nombres premiers. En fait, il existe une infinité de nombres premiers.
Soit p un nombre entier, pour prouver qu'il est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun
entier de l'intervalle ]1;