Exercice no 1 : Questions de cours ( 1,5 pts) Exercice no 2 : Les

UNSA-USTV-IUFM M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques
Examen du 7 juin 2012
Durée : 3 h
Calculatrices autorisées ; documents et tout autre matériel électronique interdits. Ne pas hésiter à traiter
les questions dans l’ordre de son choix. Ne pas hésiter à utiliser les résultats d’une question antérieure.
Nous vous demandons de bien prendre soin de justifier vos solutions en employant le formalisme des pro-
babilités.
Exercice no1 : Questions de cours ( 1,5 pts)
Soit (Ω,A,P)un espace probabilisé (Aest la tribu des « événements »), Xune variable aléatoire réelle
définie sur Ω.a∈R,ω∈Ωqui admet une densité f.
On considère les 6 objets mathématiques suivants (pour la probabilité conditionnelle, on suppose que
P([X≤a]) 6= 0 ) :
X;X(ω) ; [X≤a] ; f;P[X≤a](encore noté P(.|[X≤a])) ; x7→ P(X≤x).
Indiquer l’appartenance de chacun de ces six objets à l’un des ensembles suivants (s’il y a plusieurs choix,
prendre le plus petit ensemble) :
R; [0,1] ; A;F(A; [0,1]) ; F(Ω; [0,1]) ; F(R;R) ; C(R;R) ; F(Ω; R).
Pour cela, vous vous contenterez de mettre des croix dans les cases appropriées du tableau donné en
annexe 1. (Aucune justification n’est demandée). On rappelle que pour deux ensembles Aet B,F(A;B)
désigne l’ensemble des applications de Adans B;C(R;R)désigne l’ensemble des fonctions continues de
Rdans R.
Un bonne réponse est comptée 1/4 point, une mauvaise réponse (y compris si l’ensemble choisi n’est pas
le plus petit) enlève 1/4 point (le minimum que l’on peut obtenir à l’exercice restant quand-même 0).
Exercice no2 : Les quatre tiroirs (3 pts)
Un professeur de mathématiques recherche la clef de sa voiture dans l’un des 4 tiroirs que possède son
scriban. On suppose que la probabilité que la clef soit dans l’un des 4 tiroirs est p, où p∈]0,1[ est donné.
Notez bien qu’il est possible que la clef ne soit dans aucun des 4 tiroirs, puisque p < 1. On suppose de
plus que les chances de trouver sa clef dans un des 4 tiroirs sont égales.
On notera Til’événement « la clef est dans le tiroir i».
Le professeur a ouvert les trois premiers tiroirs sans y trouver la clef. Quelle est la probabilité que la clef.
se trouve dans le 4ème tiroir ?
Réponse : On a P(
4
[
i=1
Ti) =
4
X
i=1
P(Ti)car les Tisont évidemment disjoints puisque la clef ne peut pas être
dans deux tiroirs différents. D’où pour i= 1,2. . . 4,P(Ti) = p
4.
Posons A=
3
\
i=1
¯
Ti. Alors ¯ A=
3
[
i=1
Tiet donc P(A) = 1 −3p
4. D’autre part, il est clair que T4⊂A. Donc,
P(A∩T4) = P(T4). On trouve
PA(T4) = P(A∩T4)
P(A)=P(T4) P(A)=p 4−3p
ce qui est la probabilité cherchée.
Exercice no3 : Une somme de longueur variable (5 pts)
Le nombre Nde versements d’indemnités effectués par une compagnie d’assurance en une semaine est
2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 1/6 IUFM Célestin Freinet

donné par une variable aléatoire d’espérance n0. Pour i∈N, on suppose que le montant du i-ème verse-
ment est une variable aléatoire discrète Yidéfinie sur un espace probabilisé (Ω,F,P)à valeur dans N. On
suppose que les variables aléatoires Yisont de même loi et ont une même espérance µ. On fait l’hypothèse
que les variables aléatoires Yisont indépendantes, et sont indépendantes de N.
Soit U=Y1+Y2+··· +YNla variable aléatoire qui représente les versements totaux effectués par la
compagnie en une semaine. La variable aléatoire Uest donc définie sur (Ω,F,P)par
U(ω) = Y1(ω) + Y2(ω) + ··· +YN(ω)(ω)
(si N(ω) = 0, on pose U(ω) = 0). Le but de l’exercice est de montrer que E(U) = n0µ. On admettra
que pour une série double à termes positifs (ui,j )(i,j)∈N2on a P∞
i=0(P∞ j=0 ui,j ) = P∞ j=0(P∞ i=0 ui,j )où les
séries peuvent éventuellement être divergentes (on a alors +∞= +∞).
1. Quelle série doit converger pour que Uadmette une espérance ?
Réponse : Par définition de l’espérance, il s’agit de la série P∞
k=0 kP(U=k).
2. Montrer que pour tout k≥0,
P(U=k) =
∞
X
n=0
(P(N=n)×P(Y1+··· +Yn=k)) .
Réponse : Comme les [N=n],n∈Nforment un système complet d’événements on peut écrire
P(U=k) =
∞
X
n=0
P([N=n]∩[U=k])
Mais on a l’égalité [N=n]∩[U=k] = [N=n]∩[Y1+··· +Yn=k]. On obtient le résultat de la
question grâce à l’indépendance des Yiet de N.
3. Pour n∈N, comment peut-on trouver sans grand calcul la valeur de
∞
X
k=0
kP(Y1+··· +Yn=k)
en fonction de net de µ? Justifier votre réponse en citant bien la ou les propriétés utilisées.
Réponse : On reconnaît dans la série E(Y1+··· +Yn). En utilisant la linéarité de l’espérance, on
trouve que la valeur cherchée est E(Y1) + ··· +E(Yn) = nµ (formule valable aussi si n= 0).
4. En déduire que E(U) = n0µ.
Réponse : Comme les sommes considérées sont à termes positifs, on peut écrire (sans préjuger au
départ de la convergence de la série de droite)
∞
X
k=0
kP(U=k) =
∞
X
k=0
k
∞
X
n=0
(P(N=n)×P(Y1+··· +Yn=k))
=
∞
X
n=0 P(N=n)
∞
X
k=0
kP(Y1+··· +Yn=k)!
=µ
∞
X
n=0
nP(N=n)
=µE(N) = n0µ,
ce qui montre la convergence de la série de droite et le résultat.
Exercice no4 : Loi exponentielle (3,5 pts)
On dispose d’un lot d’ampoules électriques, toutes de fabrication identique. On suppose que la durée
de vie (exprimée en heures) de chaque ampoule est une variable aléatoire de loi exponentielle de para-
mètre λ, c’est à dire admettant la densité x7→ f(x) = I[0,+∞[(x)λe−λx.
2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 2/6 IUFM Célestin Freinet

1. On note X(variable aléatoire) la durée de vie d’une ampoule. Quelle est la probabilité qu’une
ampoule s’éteigne avant un temps Tde fonctionnement ?
Application numérique : prendre T= 200 et λ= 0,001.
Réponse : Il s’agit d’évaluer ici la probabilité de l’événement [X < T ]. Par définition de la densité,
on obtient :
P(X < T ) = ZT
−∞
f(x)dx
=ZT
0
f(x)dx
=h−e−λxiT
0
= 1 −e−λT .
Application numérique : P(X < 200) ≈0,18.
2. Montrer qu’avec ce type d’ampoule, il n’est pas malhonnête de revendre des ampoules usagées mais
en état de marche. Vous utiliserez les probabilités conditionnelles pour votre démonstration.
Réponse : On reprend les notations de la question précédente : supposons que l’on ait utilisé
une ampoule pendant une durée T > 0et qu’elle soit toujours en état de marche, c’est à dire
que l’événement [X≥T]soit réalisé. On veut savoir qu’elle est la probabilité qu’elle puisse encore
fonctionner pendant une durée Ssuplémentaire. On sait que P(X≥T) = e−λT d’après la question
précédente. On obtient en tenant compte du fait que [X≥S+T]⊂[X≥T]et d’après les propriétés
algébriques de la fonction exponentielle :
P[X≥T](X≥S+T) = P([X≥T]∩[X≥S+T])
P(X≥T)
=P(X≥S+T)
P(X≥T)
=e−λ(T+S)
e−λT
=e−λS
=P(X≥S).
Sachant qu’elle est usagée mais en état de marche, la probabilité qu’elle puisse encore fonctionner
pendant une durée Sest la même que si l’ampoule était neuve. (C’est une propriété de la loi
exponentielle qui modélise les phénomènes dit « sans vieillissement ».)
3. On allume 2 ampoules en même temps dans une pièce à l’instant 0. On note X1et X2les durées
de vies - variables aléatoires supposées indépendantes - des deux ampoules. Déterminer en fonction
de T > 0et λ, la probabilité pour que la pièce ne soit pas dans le noir à l’instant T. Applications
numérique : prendre T= 200 et λ= 0,001.
Réponse : La pièce ne sera pas dans le noir à l’instant Tsi et seulement si l’une des deux ampoules
au moins est en état de marche. Il s’agit donc ici d’évaluer la probabilité de l’événement [X1≥
T]∪[X2≥T](ou non exclusif). On obtient, en tenant compte de l’indépendance des deux variables
aléatoires :
P([X1≥T]∪[X2≥T]) = P([X1≥T]) + P([X2≥T]) −P([X1≥T]∩[X2≥T])
=P([X1≥T]) + P([X2≥T]) −P([X1≥T]) ×P([X2≥T])
= 2e−λT −e−2λT .
(On pouvait aussi calculer la probabilité de l’événement complémentaire on trouve : (1 −e−λT )2).)
Applications numérique : P([X1≥200] ∪[X2≥200]) ≈0,967.
Exercice no5 : Stock de CD (3 pts)
2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 3/6 IUFM Célestin Freinet

À l’occasion d’un concert de musique organisé dans une salle de spectacle, on décide de fabriquer en
direct un CD des chansons des artistes qui participent à la manifestation. Le CD sera vendu à l’issu du
concert (et uniquement à ce moment là).
On estime que chaque personne présente à la manifestation a 30% de chance d’acheter ce CD. Le nombre
de personnes qui seront présentes à la manifestation est de 4000.
Pour la suite, on donnera des résultats approchés grâce au tableau de la loi normale donné en annexe. On
veillera à bien traduire les énoncés grâce au formalisme des probabilités.
1. Pour i∈ {1, ..., 4000}, décrire la variable aléatoire Xiqui caractérise le choix de la i-ème personne
d’acheter ou pas le CD.
2. Quelle est la probabilité que les organisateurs vendent au moins 1100 CD ?
3. Quel est le nombre maximum de CD que les organisateurs doivent fabriquer pour être sûrs à 95%
d’écouler la totalité du stock ?
Réponse :
1. Pour chaque entier i∈ {1, ..., 4000}on définit la variable aléatoire Xiqui vaut 1si la ième personne
présente au concert achète le CD et qui vaut 0sinon. D’après l’énoncé, on a E(Xi)=0.3. Comme
Xiest une variable alétoire de Bernouilli, on déduit aussi V(Xi) = 0.3(1 −0.3) = 0.21.
On suppose de plus que les variables aléatoires Xisont indépendantes.
2. La probabilité cherchée est
P 4000
X
i=1
Xi≥1100!=P P4000
i=1 Xi−4000 E(Xi)
p4000V(Xi)≥1100 −0.3×4000 √4000 ×0.21 !
=P P4000
i=1 Xi−4000 E(Xi)
p4000V(Xi)≥3.45 .!
Comme les variables aléatoires Xisont indépendantes et indentiquement distribuées et comme de
plus n= 4000 ≥30,np = 4000 ×0.3≥10 et n(1 −p) = 4000 ×0.7≥10, on peut estimer cette
probabilité en utilisant le théorème de la limite centrale et en remplaçant P4000
i=1 Xi−4000 E(Xi)
√4000V(Xi)par la
loi normale Ucentrée réduite. On a donc
P 4000
X
i=1
Xi≥1100!'P(U≥ −3.45) = P(U≤3.45) '99,97% .
3. On cherche le plus grand N∈Ntel que PP4000
i=1 Xi≥N≥95%, c’est à dire le plus grand N∈N
tel que
P P4000
i=1 Xi−4000 E(Xi)
p4000 V(Xi)≥N−4000 ×0.3 √4000 ×0.21 !≥95%.
En approximant P4000
i=1 Xi−4000 E(Xi)
√4000 V(Xi)par Ucomme précédemment, on est amené à chercher le plus
grand Ntel que, avec πla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite,
1−πN−4000 ×0,3
√4000 ×0,21 ≥0,95 ⇔πN−4000 ×0,3 √4000 ×0,21 ≤0,05 ,
Grâce au tableau de la loi normale on a π(1,65) ≈0,95 et donc on obtient, compte tenu de la parité
de la fonction densité, π(−1,65) ≈0,05. On cherche donc le plus grand Ntel que
N−4000 ×0,3
√4000 ×0,21 ≤ −1.65 ,
et donc N= 1152.
2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 4/6 IUFM Célestin Freinet

Exercice no6 : Durée de vie d’un appareil (4 pts)
La durée de vie d’un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
normale d’espérance µet d’écart-type σinconnus. Les spécifications impliquent que 5 % de la production
ait une durée de vie inférieure à 120 jours et que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie
entre 120 et 200 jours.
1. En vous servant de la table de la loi normale donnée en annexe, donner une valeur approchée à
l’unité près de µet de σ. Explicitez votre démarche.
2. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et
230 jours ?
Réponse : 1. Soit Xla variable aléatoire qui modélise la durée de vie du type d’appareil considéré. On
sait d’après l’énoncé que Xsuit une loi normale de paramètres µet σ, i.e, X∼ N(µ, σ). On sait alors
que (X−µ)/σ suit une loi normale centrée réduite dont on peut lire certaines valeurs de la fonction de
répartition, que nous noterons π, à l’aide de la table de la loi normale donnée en annexe.
D’après l’énoncé on a aussi les deux propriétés suivantes :
P(X < 120) = 0,05 et P(120 ≤X≤200) = 0,8.
On en déduit alors que P(X≤200)−P(X < 120) = 0,8soit P(X≤200) = 0,85. Comme X−µ
σ∼ N(0,1),
on a les résultats suivants (avec πfonction de répartition de N(0,1)) :
π120 −µ
σ= 0,05 et π200 −µ σ= 0,85.
La lecture de la table de la loi normale et la prise en compte de la parité de la densité, nous donne alors
approximativement
120 −µ
σ=−1,64,
200 −µ
σ= 1,03
La résolution de ce système donne finalement σ= 29,96 et µ= 169,14 que l’on arrondi respectivement à
30 et à 169
2. On a, en notant U= (X−µ)/σ,
P(200 < X < 230) = P200 −169
30 <X−µ σ<230 −169 30 
'P(U < 2,03) −P(U < 1,03) '0,9788 −0,8485 = 0,1303 .
2011/2012 Master cohabilité Nice-Toulon 5/6 IUFM Célestin Freinet