Exercice no 1 : Questions de cours ( 1,5 pts) Exercice no 2 : Les

UNSA-USTV-IUFM
M1-Math.-Ens. UE7 : Probabilités-Statistiques
Examen du 7 juin 2012
Durée : 3 h
Calculatrices autorisées ; documents et tout autre matériel électronique interdits. Ne pas hésiter à traiter
les questions dans l’ordre de son choix. Ne pas hésiter à utiliser les résultats d’une question antérieure.
Nous vous demandons de bien prendre soin de justifier vos solutions en employant le formalisme des probabilités.
Exercice no 1 : Questions de cours ( 1,5 pts)
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé (A est la tribu des « événements »), X une variable aléatoire réelle
définie sur Ω. a ∈ R, ω ∈ Ω qui admet une densité f .
On considère les 6 objets mathématiques suivants (pour la probabilité conditionnelle, on suppose que
P ([X ≤ a]) 6= 0 ) :
X ; X(ω) ; [X ≤ a] ; f ; P[X≤a] (encore noté P(.|[X ≤ a])) ; x 7→ P(X ≤ x).
Indiquer l’appartenance de chacun de ces six objets à l’un des ensembles suivants (s’il y a plusieurs choix,
prendre le plus petit ensemble) :
R ; [0, 1] ; A ; F(A; [0, 1]) ; F(Ω; [0, 1]) ; F(R; R) ; C(R; R) ; F(Ω; R).
Pour cela, vous vous contenterez de mettre des croix dans les cases appropriées du tableau donné en
annexe 1. (Aucune justification n’est demandée). On rappelle que pour deux ensembles A et B, F(A; B)
désigne l’ensemble des applications de A dans B ; C(R; R) désigne l’ensemble des fonctions continues de
R dans R.
Un bonne réponse est comptée 1/4 point, une mauvaise réponse (y compris si l’ensemble choisi n’est pas
le plus petit) enlève 1/4 point (le minimum que l’on peut obtenir à l’exercice restant quand-même 0).
Exercice no 2 : Les quatre tiroirs (3 pts)
Un professeur de mathématiques recherche la clef de sa voiture dans l’un des 4 tiroirs que possède son
scriban. On suppose que la probabilité que la clef soit dans l’un des 4 tiroirs est p, où p ∈]0, 1[ est donné.
Notez bien qu’il est possible que la clef ne soit dans aucun des 4 tiroirs, puisque p < 1. On suppose de
plus que les chances de trouver sa clef dans un des 4 tiroirs sont égales.
On notera Ti l’événement « la clef est dans le tiroir i ».
Le professeur a ouvert les trois premiers tiroirs sans y trouver la clef. Quelle est la probabilité que la clef.
se trouve dans le 4ème tiroir ?
4
4
[
X
P(Ti ) car les Ti sont évidemment disjoints puisque la clef ne peut pas être
Réponse : On a P( Ti ) =
i=1
i=1
p
dans deux tiroirs différents. D’où pour i = 1, 2 . . . 4, P (Ti ) = .
4
3
3
\
[
3p
Posons A =
T̄i . Alors Ā =
Ti et donc P(A) = 1 − . D’autre part, il est clair que T4 ⊂ A. Donc,
4
i=1
i=1
P(A ∩ T4 ) = P(T4 ). On trouve
PA (T4 ) =
P(A ∩ T4 )
P(T4 )
p
=
=
P(A)
P(A)
4 − 3p
ce qui est la probabilité cherchée.
Exercice no 3 : Une somme de longueur variable (5 pts)
Le nombre N de versements d’indemnités effectués par une compagnie d’assurance en une semaine est
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donné par une variable aléatoire d’espérance n0 . Pour i ∈ N, on suppose que le montant du i-ème versement est une variable aléatoire discrète Yi définie sur un espace probabilisé (Ω, F, P) à valeur dans N. On
suppose que les variables aléatoires Yi sont de même loi et ont une même espérance µ. On fait l’hypothèse
que les variables aléatoires Yi sont indépendantes, et sont indépendantes de N .
Soit U = Y1 + Y2 + · · · + YN la variable aléatoire qui représente les versements totaux effectués par la
compagnie en une semaine. La variable aléatoire U est donc définie sur (Ω, F, P) par
U (ω) = Y1 (ω) + Y2 (ω) + · · · + YN (ω) (ω)
(si N (ω) = 0, on pose U (ω) = 0). Le but de l’exercice est de
) = n0P
µ. On admettra
P∞ que E(UP
Pmontrer
∞
∞
(
u
)
=
(
que pour une série double à termes positifs (ui,j )(i,j)∈N2 on a ∞
i,j
i=0 ui,j ) où les
j=0
j=0
i=0
séries peuvent éventuellement être divergentes (on a alors +∞ = +∞).
1. Quelle série doit converger pour que U admette une espérance
P?
Réponse : Par définition de l’espérance, il s’agit de la série ∞
k=0 kP(U = k).
2. Montrer que pour tout k ≥ 0,
P(U = k) =
∞
X
n=0
(P(N = n) × P(Y1 + · · · + Yn = k)) .
Réponse : Comme les [N = n], n ∈ N forment un système complet d’événements on peut écrire
P (U = k) =
∞
X
n=0
P([N = n] ∩ [U = k])
Mais on a l’égalité [N = n] ∩ [U = k] = [N = n] ∩ [Y1 + · · · + Yn = k]. On obtient le résultat de la
question grâce à l’indépendance des Yi et de N .
3. Pour n ∈ N, comment peut-on trouver sans grand calcul la valeur de
∞
X
k=0
kP(Y1 + · · · + Yn = k)
en fonction de n et de µ ? Justifier votre réponse en citant bien la ou les propriétés utilisées.
Réponse : On reconnaît dans la série E(Y1 + · · · + Yn ). En utilisant la linéarité de l’espérance, on
trouve que la valeur cherchée est E(Y1 ) + · · · + E(Yn ) = nµ (formule valable aussi si n = 0).
4. En déduire que E(U ) = n0 µ.
Réponse : Comme les sommes considérées sont à termes positifs, on peut écrire (sans préjuger au
départ de la convergence de la série de droite)
∞
X
k=0
∞
∞
X
X
kP(U = k) =
k
(P(N = n) × P(Y1 + · · · + Yn = k))
k=0
=
∞
X
n=0
∞
X
= µ
n=0
P(N = n)
∞
X
k=0
!
k P(Y1 + · · · + Yn = k)
nP(N = n)
n=0
= µE(N ) = n0 µ,
ce qui montre la convergence de la série de droite et le résultat.
Exercice no 4 : Loi exponentielle (3,5 pts)
On dispose d’un lot d’ampoules électriques, toutes de fabrication identique. On suppose que la durée
de vie (exprimée en heures) de chaque ampoule est une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre λ, c’est à dire admettant la densité x 7→ f (x) = I[0,+∞[ (x)λe−λx .
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1. On note X (variable aléatoire) la durée de vie d’une ampoule. Quelle est la probabilité qu’une
ampoule s’éteigne avant un temps T de fonctionnement ?
Application numérique : prendre T = 200 et λ = 0, 001.
Réponse : Il s’agit d’évaluer ici la probabilité de l’événement [X < T ]. Par définition de la densité,
on obtient :
Z T
f (x)dx
P(X < T ) =
−∞
T
Z
f (x)dx
=
0
=
h
−e−λx
iT
0
= 1 − e−λT .
Application numérique : P(X < 200) ≈ 0, 18.
2. Montrer qu’avec ce type d’ampoule, il n’est pas malhonnête de revendre des ampoules usagées mais
en état de marche. Vous utiliserez les probabilités conditionnelles pour votre démonstration.
Réponse : On reprend les notations de la question précédente : supposons que l’on ait utilisé
une ampoule pendant une durée T > 0 et qu’elle soit toujours en état de marche, c’est à dire
que l’événement [X ≥ T ] soit réalisé. On veut savoir qu’elle est la probabilité qu’elle puisse encore
fonctionner pendant une durée S suplémentaire. On sait que P(X ≥ T ) = e−λT d’après la question
précédente. On obtient en tenant compte du fait que [X ≥ S +T ] ⊂ [X ≥ T ] et d’après les propriétés
algébriques de la fonction exponentielle :
P[X≥T ] (X ≥ S + T ) =
=
P([X ≥ T ] ∩ [X ≥ S + T ])
P(X ≥ T )
P(X ≥ S + T )
P(X ≥ T )
e−λ(T +S)
e−λT
−λS
= e
=
= P(X ≥ S).
Sachant qu’elle est usagée mais en état de marche, la probabilité qu’elle puisse encore fonctionner
pendant une durée S est la même que si l’ampoule était neuve. (C’est une propriété de la loi
exponentielle qui modélise les phénomènes dit « sans vieillissement ».)
3. On allume 2 ampoules en même temps dans une pièce à l’instant 0. On note X1 et X2 les durées
de vies - variables aléatoires supposées indépendantes - des deux ampoules. Déterminer en fonction
de T > 0 et λ, la probabilité pour que la pièce ne soit pas dans le noir à l’instant T . Applications
numérique : prendre T = 200 et λ = 0, 001.
Réponse : La pièce ne sera pas dans le noir à l’instant T si et seulement si l’une des deux ampoules
au moins est en état de marche. Il s’agit donc ici d’évaluer la probabilité de l’événement [X1 ≥
T ] ∪ [X2 ≥ T ] (ou non exclusif). On obtient, en tenant compte de l’indépendance des deux variables
aléatoires :
P([X1 ≥ T ] ∪ [X2 ≥ T ]) = P([X1 ≥ T ]) + P([X2 ≥ T ]) − P([X1 ≥ T ] ∩ [X2 ≥ T ])
= P([X1 ≥ T ]) + P([X2 ≥ T ]) − P([X1 ≥ T ]) × P([X2 ≥ T ])
= 2e−λT − e−2λT .
(On pouvait aussi calculer la probabilité de l’événement complémentaire on trouve : (1 − e−λT )2 ).)
Applications numérique : P([X1 ≥ 200] ∪ [X2 ≥ 200]) ≈ 0, 967.
Exercice no 5 : Stock de CD (3 pts)
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À l’occasion d’un concert de musique organisé dans une salle de spectacle, on décide de fabriquer en
direct un CD des chansons des artistes qui participent à la manifestation. Le CD sera vendu à l’issu du
concert (et uniquement à ce moment là).
On estime que chaque personne présente à la manifestation a 30% de chance d’acheter ce CD. Le nombre
de personnes qui seront présentes à la manifestation est de 4000.
Pour la suite, on donnera des résultats approchés grâce au tableau de la loi normale donné en annexe. On
veillera à bien traduire les énoncés grâce au formalisme des probabilités.
1. Pour i ∈ {1, ..., 4000}, décrire la variable aléatoire Xi qui caractérise le choix de la i-ème personne
d’acheter ou pas le CD.
2. Quelle est la probabilité que les organisateurs vendent au moins 1100 CD ?
3. Quel est le nombre maximum de CD que les organisateurs doivent fabriquer pour être sûrs à 95%
d’écouler la totalité du stock ?
Réponse :
1. Pour chaque entier i ∈ {1, ..., 4000} on définit la variable aléatoire Xi qui vaut 1 si la ième personne
présente au concert achète le CD et qui vaut 0 sinon. D’après l’énoncé, on a E(Xi ) = 0.3. Comme
Xi est une variable alétoire de Bernouilli, on déduit aussi V(Xi ) = 0.3(1 − 0.3) = 0.21.
On suppose de plus que les variables aléatoires Xi sont indépendantes.
2. La probabilité cherchée est
4000
X
!
!
P4000
X
−
4000
E(X
)
1100
−
0.3
×
4000
i
i
i=1p
P
Xi ≥ 1100 = P
≥ √
4000 × 0.21
4000V(Xi )
i=1
!
P4000
i=1pXi − 4000 E(Xi )
=P
≥ 3.45 .
4000V(Xi )
Comme les variables aléatoires Xi sont indépendantes et indentiquement distribuées et comme de
plus n = 4000 ≥ 30, np = 4000 × 0.3 ≥ 10 et n(1 − p) = 4000 × 0.7 ≥ 10,
on peut estimer cette
P4000
X −4000 E(Xi )
par la
probabilité en utilisant le théorème de la limite centrale et en remplaçant i=1√ i
4000V(Xi )
loi normale U centrée réduite. On a donc
!
4000
X
P
Xi ≥ 1100 ' P(U ≥ −3.45) = P(U ≤ 3.45) ' 99, 97% .
i=1
P
4000
3. On cherche le plus grand N ∈ N tel que P
X
≥
N
≥ 95%, c’est à dire le plus grand N ∈ N
i
i=1
tel que
!
P4000
N − 4000 × 0.3
i=1pXi − 4000 E(Xi )
P
≥ √
≥ 95%.
4000 × 0.21
4000 V(Xi )
En approximant
P4000
√ Xi −4000 E(Xi ) par U comme précédemment, on est amené à chercher le plus
i=1
4000 V(Xi )
grand N tel que, avec π la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite,
N − 4000 × 0, 3
N − 4000 × 0, 3
1−π √
≥ 0, 95 ⇔ π √
≤ 0, 05 ,
4000 × 0, 21
4000 × 0, 21
Grâce au tableau de la loi normale on a π(1, 65) ≈ 0, 95 et donc on obtient, compte tenu de la parité
de la fonction densité, π(−1, 65) ≈ 0, 05. On cherche donc le plus grand N tel que
et donc N = 1152.
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N − 4000 × 0, 3
√
≤ −1.65 ,
4000 × 0, 21
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Exercice no 6 : Durée de vie d’un appareil (4 pts)
La durée de vie d’un certain type d’appareil est modélisée par une variable aléatoire suivant une loi
normale d’espérance µ et d’écart-type σ inconnus. Les spécifications impliquent que 5 % de la production
ait une durée de vie inférieure à 120 jours et que 80 % de la production des appareils ait une durée de vie
entre 120 et 200 jours.
1. En vous servant de la table de la loi normale donnée en annexe, donner une valeur approchée à
l’unité près de µ et de σ. Explicitez votre démarche.
2. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200 jours et
230 jours ?
Réponse : 1. Soit X la variable aléatoire qui modélise la durée de vie du type d’appareil considéré. On
sait d’après l’énoncé que X suit une loi normale de paramètres µ et σ, i.e, X ∼ N (µ, σ). On sait alors
que (X − µ)/σ suit une loi normale centrée réduite dont on peut lire certaines valeurs de la fonction de
répartition, que nous noterons π, à l’aide de la table de la loi normale donnée en annexe.
D’après l’énoncé on a aussi les deux propriétés suivantes :
P(X < 120) = 0, 05 et P(120 ≤ X ≤ 200) = 0, 8 .
On en déduit alors que P(X ≤ 200)−P (X < 120) = 0, 8 soit P(X ≤ 200) = 0, 85. Comme
on a les résultats suivants (avec π fonction de répartition de N (0, 1)) :
120 − µ
200 − µ
π
= 0, 05 et π
= 0, 85.
σ
σ
X−µ
σ
∼ N (0, 1),
La lecture de la table de la loi normale et la prise en compte de la parité de la densité, nous donne alors
approximativement
 120 − µ

= −1, 64,


σ


 200 − µ = 1, 03
σ
La résolution de ce système donne finalement σ = 29, 96 et µ = 169, 14 que l’on arrondi respectivement à
30 et à 169
2. On a, en notant U = (X − µ)/σ,
200 − 169
X −µ
230 − 169
P(200 < X < 230) = P
<
<
30
σ
30
' P(U < 2, 03) − P(U < 1, 03) ' 0, 9788 − 0, 8485 = 0, 1303 .
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Annexes
Ne pas oublier d’insérer cette feuille dans votre copie.
Annexe 1
Mettre des croix dans les cases appropriées pour indiquer dans quel ensemble appartiennent les objets
mathématiques en début de ligne. S’il y a plusieurs choix possibles prendre le plus petit ensemble.
R [0, 1] A F(A, [0, 1]) F(R; R) C(R; R) F(Ω; [0, 1]) F(Ω; R)
X(ω)
×
X
×
f
×
[X ≤ a]
×
x 7→ P([X ≤ x])
×
P[X≤a] ( ou P(.|[X ≤ a])
×
1
Table de la variable aléatoire Normale réduite
Annexe 2 : Table de la variable aléatoire Normale centrée, réduite
P(X! x)
Fournit la probabilité P(X≤x)
pour X ∼ N(0,1)
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
.00
0.5000
0.5398
0.5793
0.6179
0.6554
0.6915
0.7257
0.7580
0.7881
0.8159
0.8413
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974
0.9981
0.9987
0.9990
0.9993
0.9995
0.9997
.01
0.5040
0.5438
0.5832
0.6217
0.6591
0.6950
0.7291
0.7611
0.7910
0.8186
0.8438
0.8665
0.8869
0.9049
0.9207
0.9345
0.9463
0.9564
0.9649
0.9719
0.9778
0.9826
0.9864
0.9896
0.9920
0.9940
0.9955
0.9966
0.9975
0.9982
0.9987
0.9991
0.9993
0.9995
0.9997
.02
0.5080
0.5478
0.5871
0.6255
0.6628
0.6985
0.7324
0.7642
0.7939
0.8212
0.8461
0.8686
0.8888
0.9066
0.9222
0.9357
0.9474
0.9573
0.9656
0.9726
0.9783
0.9830
0.9868
0.9898
0.9922
0.9941
0.9956
0.9967
0.9976
0.9982
0.9987
0.9991
0.9994
0.9995
0.9997
x
.03
0.5120
0.5517
0.5910
0.6293
0.6664
0.7019
0.7357
0.7673
0.7967
0.8238
0.8485
0.8708
0.8907
0.9082
0.9236
0.9370
0.9484
0.9582
0.9664
0.9732
0.9788
0.9834
0.9871
0.9901
0.9925
0.9943
0.9957
0.9968
0.9977
0.9983
0.9988
0.9991
0.9994
0.9996
0.9997
.04
0.5160
0.5557
0.5948
0.6331
0.6700
0.7054
0.7389
0.7704
0.7995
0.8264
0.8508
0.8729
0.8925
0.9099
0.9251
0.9382
0.9495
0.9591
0.9671
0.9738
0.9793
0.9838
0.9875
0.9904
0.9927
0.9945
0.9959
0.9969
0.9977
0.9984
0.9988
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
.05
0.5199
0.5596
0.5987
0.6368
0.6736
0.7088
0.7422
0.7734
0.8023
0.8289
0.8531
0.8749
0.8944
0.9115
0.9265
0.9394
0.9505
0.9599
0.9678
0.9744
0.9798
0.9842
0.9878
0.9906
0.9929
0.9946
0.9960
0.9970
0.9978
0.9984
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
.06
0.5239
0.5636
0.6026
0.6406
0.6772
0.7123
0.7454
0.7764
0.8051
0.8315
0.8554
0.8770
0.8962
0.9131
0.9279
0.9406
0.9515
0.9608
0.9686
0.9750
0.9803
0.9846
0.9881
0.9909
0.9931
0.9948
0.9961
0.9971
0.9979
0.9985
0.9989
0.9992
0.9994
0.9996
0.9997
.07
0.5279
0.5675
0.6064
0.6443
0.6808
0.7157
0.7486
0.7794
0.8078
0.8340
0.8577
0.8790
0.8980
0.9147
0.9292
0.9418
0.9525
0.9616
0.9693
0.9756
0.9808
0.9850
0.9884
0.9911
0.9932
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1
2011/2012
Master cohabilité Nice-Toulon
6/6
IUFM Célestin Freinet