AS : Décomposition d`un nombre réel en base . Courbes de

AS - DECOMPOSITION D’UN NOMBRE
REEL EN BASE a
COURBE DE PEANO
Soit aun entier strictement plus grand que 1. Notons
Na={0,1,...,a−1}.
Définition On dira qu’un nombre réel positif xest de classe a, s’il existe un entier naturel ptel
que apxsoit entier.
L’ensemble des nombres de classe aest stable par addition, car, si apxet aqysont entiers, alors
amax(p,q)(x+y)est entier, et de plus il contient N. Les nombres de classe 10 sont les nombres décimaux.
On suppose connue la décomposition d’un nombre entier men base a:
Proposition 1 Soit Ndans N∗. Si l’on a
0≤m < aN
il existe un unique N−uplet (m1,...,mN)d’entiers de Na, tel que
m=aN−1m1+aN−2m2+···+mN.
On remarquera que, si xest un nombre réel positif, le nombre u=x−E(x)appartient à l’intervalle
[ 0,1 [ et
x=u+ E(x).
Comme E(x)est un nombre entier, il suffit donc, pour décomposer un nombre en base a, de savoir
trouver la décomposition en base ad’un nombre de l’intervalle [ 0,1 ] .
Décomposition d’un nombre réel de [ 0,1 ] en base a
Soit Sal’ensemble des suites (xn)n≥1à coefficients dans Na.

AS 2
Considérons un élément (xn)n≥1de Sa. La série de terme général xn/anconverge, puisque son terme
général est majoré par (a−1)(a−1)n, avec 0< a−1<1, et l’on a
0≤
∞
X
n=1
xna−n≤(a−1)
∞
X
n=1
a−n= 1 .
L’application F, qui à (xn)n≥1dans Saassocie le nombre
∞
X
n=1
xna−n, prend ses valeurs dans [ 0,1 ] .
Le théorème suivant montre que l’application Fest surjective, et qu’elle est « presque » injective.
Théorème 1 i) Soit xdans ] 0,1 [
1) Il existe un élément X= (xn)n≥1de Satel que
(1) F(X) = x .
De plus, pour tout élément de Savérifiant (1), on a, pour tout entier r
(2) 0≤x−
r
X
n=1
xna−n≤a−r,
les inégalités ne pouvant être des égalités que si xest de classe a.
2) Si xn’est pas de classe ala suite Xvérifiant (1) est unique.
3) Si xest de classe a, il existe exactement deux suites Xet X′vérifiant (1). Elles vérifient les
propriétés suivantes : il existe un rang Ntel que
xn=x′
nsi n≤N−2
xN−1=x′
N−1+ 1
xn= 0 si n≥N
x′
n=a−1si n≥N
.
ii) On a de manière unique
0 = F(X)ou Xest la suite constante nulle
1 = F(X)ou Xest la suite constante égale à a−1.
Si r≥1, notons
Rr=x−
r
X
n=1
xna−n,
et posons
R0=x .
Avec ces notations les inégalités (2) deviennent
0≤Rr−1−xra−r≤a−r

AS 3
ou encore
(3) arRr−1−1≤xr≤arRr−1,
i) Soit xdans ] 0,1 [ . Nous allons construire par récurrence une suite (xn)n≥1telle que, pour tout r
(4) 0≤x−
r
X
n=1
xna−n< a−r,
Supposons la suite construite jusqu’au rang r. La partie entière xr+1 de ar+1Rrvérifie alors les inégalités
(5) ar+1Rr−1< xr+1 ≤ar+1Rr,
et donc, on a,
0≤Rr+1 =Rr−xr+1a−(r+1) < a−(r+1) .
On a donc construit la suite au rang r+ 1.
Il résulte alors de (4) et (5) que
−1< xr+1 < ar+1a−r=a ,
ce qui montre que xr+1 est dans Na. Enfin, par passage à la limite dans (4), on obtient
lim
r→+∞Rr= 0 ,
ce qui montre que
F(X) = x .
Réciproquement, si Xest une suite telle que
F(X) = x ,
alors
0≤Rr=
∞
X
n=r+1
xna−n≤(a−1)
∞
X
n=r+1
a−n=a−r,
ce qui donne (2).
Si Rrest nul, on en tire
arx=
r
X
n=1
ar−nxn.
Ce nombre est entier, donc xest de classe a. De même, si Rrvaut a−r, on a
arx=
r
X
n=1
ar−nxn+ 1 ,
et de nouveau xest de classe a.

AS 4
2) Dans les inégalités (3), les égalités ne sont possibles que si xest de classe a. Dans le cas contraire,
il n’y a qu’un choix possible pour xr, d’où l’unicité de la suite Xdans ce cas.
3) Lorsque xest de classe a, soit ple plus petit entier tel que apxsoit entier. Pour rstrictement plus
petit que p, le nombre arRr−1n’est pas entier, sinon arxle serait. Donc les inégalités de (3) sont
strictes et xrest déterminé avec unicité. Deux cas se présentent pour le terme de rang p.
Premier cas :
xp=apRp−1,
et donc
x=
p
X
n=1
xna−n.
Alors, si r > p, on déduit de (3)
0≤xr≤ar
−
r−1
X
n=p+1
xna−n
≤0,
ce qui implique que xrest nul.
Deuxième cas :
x′
p=apRp−1−1,
ce qui donne
x=
p
X
n=1
x′
na−n+a−pet Rp=a−p.
Alors d’après (3), si r > p
x′
r≥arRr−1−1
≥ar
Rp−
r−1
X
n=p+1
x′
na−n
−1
≥ar
a−p−(a−1)
r−1
X
n=p+1
a−n
−1.
Mais r−1
X
n=p+1
a−n=a−p−11−a−(r−p−1)
1−a−1=a−p1−a−r+p+1 a−1,
donc
x′
r≥ar(a−p−a−p(1 −a−r+p+1)) −1 = a−1.
Alors
a > x′
r≥a−1,

AS 5
et donc x′
rvaut a−1.
Si l’on note N=p+ 1, on vient de démontrer que deux suites au plus sont associées à xet que ces
suites vérifient les propriétés indiquées. Ces deux suites conviennent toutes les deux puisque l’on a
l’égalité
∞
X
n=1
xna−n=
N−1
X
n=1
xna−n=
N−2
X
n=1
xna−n+ (xN−1−1)a−N+1 +
∞
X
n=N
(a−1)a−n.
ii) Il est clair que l’égalité
0 =
∞
X
n=1
xna−n
est possible si et seulement si xnest nul pour tout n.
On a aussi
1 =
∞
X
n=1
(a−1)a−n.
D’autre part, si Xest un élément quelconque de Satel que
xq≤a−2
pour au moins une valeur q, on a
∞
X
n=1
xna−n≤xqa−q−(a−1)a−q+
∞
X
n=1
(a−1)a−n≤1−((a−1) −xq)a−q,
ce qui serait strictement inférieur à 1. La seule suite dont l’image est 1est donc la suite constante égale
àa−1.
Décompositions et inégalités
On munit Sade l’ordre lexicographique, c’est-à-dire
(xn)n≥1<(yn)n≥1
si et seulement si, il existe un entier ptel que
xn=ynsi n < p
xp< yp
.
Proposition 2
1) L’application Fest une application croissante.
2) Si l’on a
F(X) = xet F(Y) = y
alors x < y implique X < Y .