Exam mécaQ 10-11v1

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I N S A de RENNES Année universitaire 2010/2011
DEVOIR SURVEILLE MECANIQUE QUANTIQUE
3ème ANNEE MNT
(3 pages)
3ème année département MNT
Date du D.S. : Lundi 08 novembre 2010 Durée : 2 h
Document autorisé : Tous documents autorisés
Calculatrices autorisées : Casio FX 82 ou FX 92, Texas TI-30 ou TI-40 collège ou tout modèle d’une de
ces deux marques de numéro inférieur ou égal à ceux indiqués.
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=> L’orthographe, la qualité des explications et de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
=> Le barème est indiqué à titre indicatif et est susceptible d'être modifié
Obligations : • Présenter votre copie avec clarté et concision.
• La numérotation des pages de votre copie est indispensable.
• Les notations utilisées dans les énoncés doivent être respectées.
• Lorsqu'une question demande un développement littéral suivi d'un calcul numérique, mener le
premier le plus loin possible.
• Les différentes étapes nécessaires à l'obtention d'un résultat numérique devront apparaître sur
votre copie.
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ENCADRER VOS RESULTATS !!
LES 2 EXERCICES SONT ENTIEREMENT INDEPENDANTS
EXERCICE N° 1 (5 points) : Questions de Cours (donner des réponses brèves)
1/ Quelle information apporte la résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps ?
Expliquer la différence entre fonction propre d’un système et fonction d’onde d’une particule. On
pourra prendre un exemple pour appuyer l’explication
2/ Pour répondre brièvement à ces questions, on pourra s’aider de schémas explicatifs :
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé d’une fente si on
envoie un faisceau entier d’électrons sur celui-ci ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si on
envoie un faisceau entier d’électrons sur celui-ci ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si l’on
envoie un par un des électrons ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si l’on
envoie un par un des électrons et que l’on veut mesurer par quelle fente est passé l’électron ?

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Quelles sont les implications de ces résultats sur la notion de mesure et de trajectoire en
mécanique quantique ?
EXERCICE N° 2 ( 15 points) : Oscillations dans la molécule ionisée H2+ : La liaison chimique
vue par la mécanique quantique
La mécanique quantique permet généralement de décrire l’ensemble des problèmes à l’échelle
moléculaire et/ou atomique. En particulier, elle permet de décrire convenablement certaines
propriétés de la liaison chimique. Dans ce cadre, l’étude de la molécule ionisée H2+ a joué un rôle
particulièrement important, car c’est une molécule ne possédant qu’un seul électron. Dans cet
exercice, on s’attachera à donner en utilisant la mécanique quantique, les propriétés de cette
molécule. On considère ici que la molécule est composée de deux protons p1 et p2 et d’un électron.
Du fait de leur grande masse, on peut considérer les protons comme fixes.
Considérons maintenant chaque proton indépendamment. Soient
1
ϕ
et
2
ϕ
les états propres du
Hamiltonien associé à un atome d’hydrogène où l’électron est localisé soit autour de p1, soit autour
de p2. Les fonctions d’onde associées seraient les fonctions propres d’un atome d’hydrogène qu’il
formerait soit avec p1, soit avec p2.
Figure 1 : (a) Représentation de la molécule ionisée H2+ du point de vue de la mécanique quantique
et (b) du point de vue de la chimie.
1/ Expliquer pourquoi
1110
ˆ
ϕϕ EH = et
2220
ˆ
ϕϕ EH =. Que représentent physiquement les
différents termes de ces équations ? Pourquoi peut-on écrire que E1 = E2 = E ?
2/ Ecrire le Hamiltonien
0
ˆ
H dans la base
{
}
21 ;
ϕϕ
3/ On considère maintenant la molécule dans son ensemble. On peut montrer qu’un couplage
électronique apparait alors entre les deux atomes, rajoutant un terme de couplage « W » au
Hamiltonien, tel que : =
0
0
ˆ
W
W
W dans la base
{
}
21 ;
ϕϕ
.
Donner l’expression sous forme matricielle du Hamiltonien total de la molécule : WHH ˆˆˆ
0
+=
4/ Démontrer que E
+
= E + W et E
-
= E - W sont énergies propres de la molécule, et donner les états
propres associés :
{
}
−+
ϕϕ ;
exprimés dans la base
{
}
21
; ϕϕ
.
5/ La base
{
}
21 ;
ϕϕ
étant orthonormée, vérifier que la base
{
}
−+
ϕϕ ;
est aussi
orthonormée. D’où vient la normalisation ?

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6/ Donner les valeurs moyennes H
ˆ et
2
ˆ
H dans l’état
1
ϕ . En déduire la variance. Que
signifie physiquement ce résultat ?
7/ On regarde maintenant l’évolution temporelle de la fonction d’onde d’un électron )(t ψ . Quelle
équation permet de décrire l’évolution temporelle d’une particule ? Donner son nom et sa forme
générale.
8/ à t=0, on suppose que l’électron est localisé près de p
1
, et donc que
1
)0( ϕψ =. Donner
l’expression de )0( ψ dans la base
{
}
−+
ϕϕ ;
.
9/ Démontrer à partir des deux questions précédentes que )(t
ψ
s’écrit sous la forme
n
n
tiE
n
n
ect ϕψ
−
= )( On donnera l’expression exacte ici de )(t
ψ .
10/ On cherche maintenant à connaitre la probabilité d’avoir l’électron à l’instant t dans l’état
2
ϕ .
Calculer le produit scalaire )(
2
t ψϕ .
11/ En déduire la probabilité P
12
(t) d’obtenir l’électron dans l’état
2
ϕ à l’instant t. On exprimera
le résultat en fonction de
)cos( t
EE
−+
−
12/ Tracer la fonction P
12
(t). Quelle est finalement l’interprétation physique de ce résultat ? Donner
l’expression de la fréquence de Bohr. Pourquoi cette évolution peut être intéressante en pratique ?
13/ A un instant t
1
on fait une mesure telle que −= ϕψ )(
1
t. Comment évolue le système après la
mesure ?
14/ Sans faire de calculs, que se passe-t-il si l’état initial est maintenant
−
= ϕψ )0(
?
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