Exam mécaQ 10-11v1

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I N S A de RENNES
Année universitaire 2010/2011
DEVOIR SURVEILLE MECANIQUE QUANTIQUE
3ème ANNEE MNT
(3 pages)
3ème année département MNT
Date du D.S. : Lundi 08 novembre 2010
Durée : 2 h
Document autorisé : Tous documents autorisés
Calculatrices autorisées : Casio FX 82 ou FX 92, Texas TI-30 ou TI-40 collège ou tout modèle d’une de
ces deux marques de numéro inférieur ou égal à ceux indiqués.
_________________________________________________________________________________________
=> L’orthographe, la qualité des explications et de la rédaction seront pris en compte dans la notation.
=> Le barème est indiqué à titre indicatif et est susceptible d'
être modifié
Obligations : • Présenter votre copie avec clarté et concision.
• La numérotation des pages de votre copie est indispensable.
• Les notations utilisées dans les énoncés doivent être respectées.
• Lorsqu'
une question demande un développement littéral suivi d'
un calcul numérique, mener le
premier le plus loin possible.
• Les différentes étapes nécessaires à l'
obtention d'
un résultat numérique devront apparaître sur
votre copie.
_________________________________________________________________________________________
ENCADRER VOS RESULTATS !!
LES 2 EXERCICES SONT ENTIEREMENT INDEPENDANTS
EXERCICE N° 1 (5 points) : Questions de Cours (donner des réponses brèves)
1/ Quelle information apporte la résolution de l’équation de Schrödinger indépendante du temps ?
Expliquer la différence entre fonction propre d’un système et fonction d’onde d’une particule. On
pourra prendre un exemple pour appuyer l’explication
2/ Pour répondre brièvement à ces questions, on pourra s’aider de schémas explicatifs :
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé d’une fente si on
envoie un faisceau entier d’électrons sur celui-ci ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si on
envoie un faisceau entier d’électrons sur celui-ci ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si l’on
envoie un par un des électrons ?
- Que peut-on observer dans un plan situé derrière un système composé de deux fentes si l’on
envoie un par un des électrons et que l’on veut mesurer par quelle fente est passé l’électron ?
1/3
Quelles sont les implications de ces résultats sur la notion de mesure et de trajectoire en
mécanique quantique ?
EXERCICE N° 2 ( 15 points) : Oscillations dans la molécule ionisée H2+ : La liaison chimique
vue par la mécanique quantique
La mécanique quantique permet généralement de décrire l’ensemble des problèmes à l’échelle
moléculaire et/ou atomique. En particulier, elle permet de décrire convenablement certaines
propriétés de la liaison chimique. Dans ce cadre, l’étude de la molécule ionisée H2+ a joué un rôle
particulièrement important, car c’est une molécule ne possédant qu’un seul électron. Dans cet
exercice, on s’attachera à donner en utilisant la mécanique quantique, les propriétés de cette
molécule. On considère ici que la molécule est composée de deux protons p1 et p2 et d’un électron.
Du fait de leur grande masse, on peut considérer les protons comme fixes.
Considérons maintenant chaque proton indépendamment. Soient ϕ1 et ϕ 2 les états propres du
Hamiltonien associé à un atome d’hydrogène où l’électron est localisé soit autour de p1, soit autour
de p2. Les fonctions d’onde associées seraient les fonctions propres d’un atome d’hydrogène qu’il
formerait soit avec p1, soit avec p2.
Figure 1 : (a) Représentation de la molécule ionisée H2+ du point de vue de la mécanique quantique
et (b) du point de vue de la chimie.
1/ Expliquer pourquoi Hˆ 0 ϕ1 = E1 ϕ1
et Hˆ 0 ϕ 2 = E 2 ϕ 2 . Que représentent physiquement les
différents termes de ces équations ? Pourquoi peut-on écrire que E1 = E2 = E ?
2/ Ecrire le Hamiltonien Ĥ 0 dans la base
{ϕ
1
; ϕ2
}
3/ On considère maintenant la molécule dans son ensemble. On peut montrer qu’un couplage
électronique apparait alors entre les deux atomes, rajoutant un terme de couplage « W » au
0 W
dans la base ϕ1 ; ϕ 2 .
Hamiltonien, tel que : Wˆ =
W 0
Donner l’expression sous forme matricielle du Hamiltonien total de la molécule : Hˆ = Hˆ + Wˆ
{
}
0
4/ Démontrer que E+ = E + W et E- = E - W sont énergies propres de la molécule, et donner les états
propres associés :
5/ La base
{ϕ
{ϕ
1
+
; ϕ − }exprimés dans la base {ϕ1 ; ϕ 2 }.
; ϕ
2
} étant orthonormée, vérifier que la base {ϕ
orthonormée. D’où vient la normalisation ?
2/3
+
; ϕ−
} est aussi
6/ Donner les valeurs moyennes
Ĥ
et
dans l’état ϕ1 . En déduire la variance. Que
Ĥ 2
signifie physiquement ce résultat ?
7/ On regarde maintenant l’évolution temporelle de la fonction d’onde d’un électron ψ (t ) . Quelle
équation permet de décrire l’évolution temporelle d’une particule ? Donner son nom et sa forme
générale.
8/ à t=0, on suppose que l’électron est localisé près de p1, et donc que ψ (0) = ϕ1 . Donner
l’expression de ψ (0) dans la base
{ϕ
+
; ϕ − }.
9/ Démontrer à partir des deux questions précédentes que ψ (t )
ψ (t ) =
cn e
−
iEn t
ϕn
n
s’écrit sous la forme
On donnera l’expression exacte ici de ψ (t ) .
10/ On cherche maintenant à connaitre la probabilité d’avoir l’électron à l’instant t dans l’état ϕ 2 .
Calculer le produit scalaire ϕ 2 ψ (t ) .
11/ En déduire la probabilité P12(t) d’obtenir l’électron dans l’état ϕ 2 à l’instant t. On exprimera
le résultat en fonction de cos(
E+ − E−
t)
12/ Tracer la fonction P12(t). Quelle est finalement l’interprétation physique de ce résultat ? Donner
l’expression de la fréquence de Bohr. Pourquoi cette évolution peut être intéressante en pratique ?
13/ A un instant t1 on fait une mesure telle que ψ (t1 ) = ϕ − . Comment évolue le système après la
mesure ?
14/ Sans faire de calculs, que se passe-t-il si l’état initial est maintenant
Commenter.
3/3
ψ (0) = ϕ −
?
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