Algèbre 1 Examen

Examen alg`ebre 2009.
Exercice 1
Soit A=Z[i] l’anneau des entiers de Gauss et Σ = {a2+b2, a, b ∈N}.
(a)(Question de cours). Montrer que Σ est stable par multiplication. D´eterminer
les ´el´ements inversibles de A. Montrer que Aest euclidien.
(b) Soit pun nombre premier, montrer que p∈Σ si et seulement si pn’est
pas irr´eductible dans Z[i].
(c) Soit Fple corps `a p´el´ements. Montrer que Z[i]/pZ[i] est isomorphe `a
Fp[X]/(X2+ 1). Montrer que p∈Σ si et seulement si p= 2 ou p≡1 mod 4.
(d) Soit n∈Net n= Πpvp(n)sa d´ecomposition en facteurs premiers. Mon-
trer que n∈Σ si et seulement si pour tout p≡3 mod 4, vp(n) est pair.
(e) D´eterminer les ´el´ements irr´eductible de Z[i].
Exercice 2
Soit nun entier non nul. Soit Mn(R) l’espace des matrices n×n. On note At
la transpos´ee de A∈Mn(R) et T r(A) sa trace. Montrer que q1(A) := T r(AAt)
et q2(A) := T r(A2) sont des formes quadratiques. D´eterminer les formes polaires
de q1et de q2. D´eterminer le rang et la signature de q1et de q2.
Probl`eme.
ASoit Aun anneau non nul , on dit qu’un ´el´ement ede Aest idempotent
si e2=e. On dit que deux idempotents eet e0sont orthogonaux si ee0= 0. Un
anneau Aest dit local si il a un unique id´eal maximal. On note A∗l’ensemble
des ´el´ements inversibles de A.
A1) Montrer que si eest un idempotent de A, alors 1 −eest un idempotent
orthogonal `a e. Montrer que si Aest int`egre 0 et 1 sont les seuls idempotents
de A.
A2) On suppose que Aest un anneau local d’id´eal maximal m. Montrer que
Aest r´eunion disjointe de met de A∗. Montrer que les seuls idempotents de A
sont 0 et 1.
A3) Soit eun idempotent de A. Montrer que le sous-ensemble Ae de Amuni
des lois d’additions et de multiplication induites par celles de Aest un anneau
d’´el´ement unit´e e. Soient e1,...,endes idempotents deux `a deux orthogo-
naux de somme 1. On note Ail’ensemble Aeimuni de la structure d’anneau
pr´ec´edente. Montrer que l’application a7→ (ae1,...,aen) est un isomorphisme
de Asur l’anneau produit A1×...×An
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BOn appelle radical d’un anneau Aet on note Rad(A) l’intersection de tous
les id´eaux maximaux de A.
B1) Montrer que si x∈Rad(A) alors 1 −x∈A∗.
Soit Iun id´eal de Aet Mun A-module de type fini tel que IM =M.
B2) Soit (x1,...,xn) un syst`eme de g´en´erateurs de M. Soit Xla matrice
colonne (x1,...,xn). Montrer qu’il existe une matrice n×n, Λ `a valeurs dans
Itelle que ΛX=X. Soit Inla matrice identit´e et P=Ir−Λ, montrer que
det(P).M = 0.
B3) Montrer qu’il existe y∈Itel que det(P) = 1 + y. En d´eduire le lemme
de Nakayama qui dit que si de plus I⊂Rad(A), alors M=O.
On suppose jusqu’`a la fin de cette partie que Aun anneau local noeth´erien
d’id´eal maximal m. On note kle corps A/m.
B4) Montrer que ∩n≥0mn= 0.
B5) Soit Mun A-module de type fini. Montrer que M/mMest un k-espace
vectoriel de dimension finie. Soit (m1,...,mn) des ´el´ements de Minduisant une
base de M/mM. Montrer que (m1,...,mr) est un syst`eme de g´en´erateurs de
M. On pourra consid´erer M/N o`u Nd´esigne le sous-A-module de Mengendr´e
par les mi.
CSoit Aun anneau et Mun A-module.
C1) Montrer que les deux propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.
(a) Toute suite d´ecroissante de sous-modules de Mest stationnaire.
(b) Tout ensemble non vide de sous-modules de Madmet un ´el´ement mini-
mal.
On dit que Mest artinien si il v´erifie ces propri´et´es. On dit que l’anneau A
est artinien si c’est un A-module artinien.
C2) Montrer que si Aest un corps, un A-espace vectoriel est artinien si et
seulement si il est de dimension finie. Montrer que pour tout entier n,Z/nZest
un anneau artinien.
C3)Montrer que si
0→M0→M→M00 →0
est une suite exacte de A-modules, alors Mest artinien si et seulement si M0
et M00 sont artiniens.
On suppose d´esormais Aartinien. On fixe a∈Aet on note Nret Ir,
respectivement les noyaux et l’image de la multiplication par ardans A.
C4) Montrer qu’il existe un entier htel que Ir=Ihpour tout r≥h. Montrer
qu’il existe y∈Atel que ah=a2hy. En d´eduire que A=Ir⊕Nrpour tout
r≥h.
C5) Montrer que si les seuls idempotents de Asont 0 et 1 alors Aest un an-
neau local dont l’id´eal maximal est constitu´e d’´el´ements nilpotents. On pourra
v´erifier que ahyest un idempotent de A.
C6) On suppose Alocal artinien d’id´eal maximal m. On veut montrer que
mh= 0 pour tout hassez grand. Comme Aest artinien, il existe un id´eal atel
que pour tout hassez grand mh=a. On suppose a6= 0, montrer qu’il existe
x∈Atel que xa6= 0 et tel que mxA =xA. Conclure.
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C7) On suppose encore que Aest local artinien d’id´eal maximal m. Soit J
un id´eal de A. Montrer que Jest de type fini. On pourra supposer dans un
premier temps que Jm= 0 puis raisonner par r´ecurrence.
C8) On dit qu’un idempotent ede Aest minimal si il est diff´erent de 0
et si les seuls idempotents de Ae sont 0 et e. Montrer qu’il existe dans Aun
idempotent minimal, puis que Aest un produit fini d’anneaux locaux artiniens.
En d´eduire qu’un anneau artinien est noeth´erien.
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