Sur une "nouvelle" loi de probabilité

Sur une "nouvelle" loi de probabilité
Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
http://revue.sesamath.net/spip.php?article565
Sur une "nouvelle" loi de
probabilité
- N°40 - mai 2014 -
Date de mise en ligne : samedi 19 avril 2014
Description :
une variable aléatoire peu connue mais utilisée depuis quelque temps déjà, et intéressante au lycée de par la relative facilité des calculs de probabilité, d'espérance
et de variance
Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
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Sur une "nouvelle" loi de probabilité
Le problème concerne à la fois la géométrie et les probas : On choisit deux points au hasard
dans un segment de longueur 1, qui forment à leur tour un segment : Quelle est la loi de la
longueur de ce segment aléatoire ?
Cet article peut être librement diffusé à l'identique dans la limite d'une utilisation non commerciale
suivant la licence CC-nc-nd (http://creativecommons.org/licenses...)
La loi de Xenakis peut donc se découvrir expérimentalement avec un logiciel de géométrie dynamique comme
CaRMetal (dont la version réseau permet de collecter rapidement un grand nombre de données) ou GeoGebra avec
ses superbes histogrammes.
Simulation en CoffeeScript
Dans les exemples de CoffeeScript ci-dessous, la fonction histogramme dessine un histogramme dans le dessin
numéro 1, 2 ou 3 selon le choix fait par l'utilisateur en premier paramètre. Le second paramètre est un tableau
d'effectifs (nombres positifs).
function efface(canvas){ var ctx=canvas.getContext('2d'); ctx.fillStyle="White"; ctx.fillRect(0, 0, canvas.width,
canvas.height); } function histogramme(numero,tableau){ numero = parseInt(numero); numero =
Math.max(numero,1); numero = Math.min(numero,3); var canevas =
document.getElementById('can'+numero.toString()); efface(canevas); ctx = canevas.getContext('2d'); ctx.fillStyle
= "Cyan"; ctx.strokeStyle = "Blue"; var N = tableau.length; var M = 1; for(n=0;n <N;n++){ if(tableau[n]> M){M =
tableau[n];} } for(n=0;n #scriptCoff0, #scriptCoff1, #scriptCoff2 { border: 5px ridge lightGray; background-color:
Black; color: LightGreen; } canvas { border: 3px inset gray;} simulation de variables aléatoires de Xenakis
Définition géométrique
La longueur du segment [a,b] est la distance entre a et b, soit |b-a|: Math.abs b-a. Pour simuler une variable
aléatoire de Xenakis, on commence par créer un tableau effectifs que l'on remplit avec des 0, puis dans une
boucle sur n, on simule la variable X et on incrémente l'effectif correspondant au premier chiffre de son décuple. La
fonction histogramme dessine l'histogramme sur le canevas dont le numéro est donné en premier argument.
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = Math.abs(Math.random()-Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 1, effectifs
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Lancer cet algorithme
Définition alternative
Le minimum de deux variables aléatoires uniformes suit aussi une loi de Xenakis
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = Math.min(Math.random(),Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 2, effectifs
Lancer cet algorithme
Remarque:
Avec 20 classes comme ci-dessus, on simule en fait le minimum de deux dés dodécaédriques...
Algorithme utilisé par Xenakis
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = 1 - Math.sqrt(1-Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 3, effectifs
Lancer cet algorithme
Calculs sur la loi de Xenakis
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Sur une "nouvelle" loi de probabilité
Pour les calculs ci-dessous, on considère la loi de Xenakis de paramètre 1, soit la loi de la longueur d'un segment
aléatoire inclus dans un segment de longueur 1. La densité est alors $2(1-x)$
I/ Probabilité et fonction de répartition
La probabilité que $X$, variable aléatoire de Xenakis, soit comprise entre $a$ et $b$ est $\int_{a}^{b} (2-2x) dx$. Ce
qui veut dire que pour calculer cette probabilité, on a besoin d'une primitive de $2-2x$ : La probabilité que $X$ soit
inférieure à $x$, qui est $F(x)=2x-x^2$. Finalement, la probabilité que $a\leqslant X \leqslant b$ est
$F(b)-F(a)=2b-b^2-(2a-a^2)=2(b-a)-(b^2-a^2)=2(b-a)-(b-a)(b+a)=(b-a)(2-a-b)$.
On constate que la primitive est plus facile à calculer que celle pour une loi exponentielle tout en étant plus
intéressante que celle pour une loi uniforme. Ce qui motive déjà dès le début l'étude de cette variable aléatoire en
Terminale...
II/ Espérance
Par analogie avec le cours de Première, on définit en Terminale, l'espérance d'une variable aléatoire $X$ de densité
$f$ comme étant l'intégrale de $x \times f(x)$ sur le support de $f$. Le problème est que la seule variable aléatoire
de support fini au programme est la loi uniforme pour laquelle l'intégrale est un calcul d'aire de trapèze, ce qui rend
inintéressant (parce que non nécessaire) le calcul de primitive. Comme les intégrales indéfinies ne sont pas au
programme de lycée, on aborde rapidement cette question parce qu'on aborde quelque chose qui n'est pas au
programme. De plus, il faut une intégration par parties (ou un logiciel de calcul formel) pour avoir une primitive de $x
e^{-\lambda x}$.
Ces problèmes n'existent pas pour une variable $X$ de Xenakis, pour laquelle l'espérance est donc $\int_{0}^{1}
x(2-2x) dx = \int_{0}^{1} (2x-2x^2) dx$ : Une primitive du trinôme à intégrer est $G(x)=x^2-\frac{2x^3}{3}$ ; cette
primitive s'annulant en 0, l'espérance est donc $G(1)=1^2-\frac{2\times 1^3}{3}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
On constate que l'espérance est légèrement supérieure à la médiane $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui montre que la
densité est asymétrique. D'ailleurs sa "skewness" (ou asymétrie (statistiques)) est $\frac{2\sqrt{2}}{5}$ soit environ
0,56 qui est assez élevée.
III/ Variance
Il y a deux manières de calculer la variance, selon la définition vue en Première :
1. Ou bien on a vu que $V(X)=E(X-EX)^2$, ce qui ici donne $V(x)=\int_{0}^{1}(x-\frac{1}{3})^2 (2-2x)
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dx=\int_{0}^{1}(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})(2-2x) dx$ soit, après développement,
$V(X)=\int_{0}^{1}(-2x^3+\frac{10}{3}x^2-\frac{14}{9}x+\frac{2}{9}) dx=[-\frac{x^4}{2}+\frac{10 x^3}{9}-\frac{7
x^2}{9}+\frac{2x}{9}]_{0}^1$ soit, puisque la primitive choisie s'annule en 0,
$V(X)=-\frac{1}{2}+\frac{10}{9}-\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{18}$
2. Ou alors on utilise la formule $V(x)=E(X^2)-(EX)^2$ en commençant par calculer l'espérance de $X^2$, soit
$\int_{0}^{1}x^2(2-2x) dx=\int_{0}^{1}(2x^2-2x^3) dx$. Comme une primitive de $2x^2-2x^3$ est
$\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{2}$ qui a la gentillesse de s'annuler en 0, on trouve finalement
$E(X^2)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Alors $V(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$.
On constate que la deuxième version est plus facile à calculer que la première, ce qui montre son intérêt. De toute
manière, il est possible, comme dans les sujets de bac, de donner la primitive dans l'énoncé, ce qui amène l'exercice
à un calcul de dérivée et un développement.
Il résulte donc de ce qui précède que l'écart-type d'une variable aléatoire de Xenakis est
$\sqrt{VX}=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ soit environ 0,24.
Les calculs d'espérance, médiane et écart-type de la loi de Xenakis ont été donnés en devoir maison avant le cours
sur la loi uniforme. Voici le sujet :
IV/ Simulation
Le calcul de primitive effectué plus haut montre que, si $X$ est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre 1, on
a $P(X \leqslant y)=2y-y^2$ pour tout $y \in [0;1]$. En posant $X=f(R)$ où $R$ est une variable (pseudo-)aléatoire
uniforme comme celle de la calculatrice et $f$ une fonction strictement croissante, on réécrit la définition de la
fonction de répartition ci-dessus comme $P(f(R) \leqslant y)=2y-y^2$, soit en posant $y=f(x)$, $P(R \leqslant x)=2
f(x)-f(x)^2$ ; or pour une variable aléatoire uniforme entre 0 et 1, la probabilité qu'elle soit inférieure à $x$ est égale à
$x$ ; d'où $x=2y-y^2$. Pour trouver l'expression de $f$, on résout cette équation du second degré, qui s'écrit aussi
$-y^2+2y-x=0$ : Son discriminant est $\Delta=2^2-4 (-1)(-x)=4-4x=4(1-x)$ dont la racine carrée est
$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{1-x}$ ; or une seule des deux solutions de l'équation est inférieure à 1, c'est $1-\sqrt{1-x}$ ;
donc $f(x)=1-\sqrt{1-x}$. Pour simuler une variable aléatoire de Xenakis, on peut donc appliquer cette fonction à une
variable aléatoire uniforme.
V/ Estimation de paramètres
Si on est confronté à une variable de Xenakis de paramètre $a$ inconnu, on peut estimer le paramètre à partir d'un
échantillon suffisamment grand de valeurs de $X$. Plusieurs estimateurs peuvent être envisagés :
• le maximum sur un échantillon assez vaste de réalisations de $X$ ; il semble être biaisé (d'ailleurs la probabilité
d'avoir une valeur proche du maximum est faible).
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