Sur une "nouvelle" loi de probabilité

Sur une "nouvelle" loi de probabilité
Extrait du Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
http://revue.sesamath.net/spip.php?article565
Sur une "nouvelle" loi de
probabilité
- N°40 - mai 2014 -
Date de mise en ligne : samedi 19 avril 2014
Description :
une variable aléatoire peu connue mais utilisée depuis quelque temps déjà, et intéressante au lycée de par la relative facilité des calculs de probabilité, d'espérance
et de variance
Les nouvelles technologies pour l'enseignement des mathématiques
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Sur une "nouvelle" loi de probabilité
Le problème concerne à la fois la géométrie et les probas : On choisit deux points au hasard
dans un segment de longueur 1, qui forment à leur tour un segment : Quelle est la loi de la
longueur de ce segment aléatoire ?
Cet article peut être librement diffusé à l'identique dans la limite d'une utilisation non commerciale
suivant la licence CC-nc-nd (http://creativecommons.org/licenses...)
La loi de Xenakis peut donc se découvrir expérimentalement avec un logiciel de géométrie dynamique comme
CaRMetal (dont la version réseau permet de collecter rapidement un grand nombre de données) ou GeoGebra avec
ses superbes histogrammes.
Simulation en CoffeeScript
Dans les exemples de CoffeeScript ci-dessous, la fonction histogramme dessine un histogramme dans le dessin
numéro 1, 2 ou 3 selon le choix fait par l'utilisateur en premier paramètre. Le second paramètre est un tableau
d'effectifs (nombres positifs).
function efface(canvas){ var ctx=canvas.getContext('2d'); ctx.fillStyle="White"; ctx.fillRect(0, 0, canvas.width,
canvas.height); } function histogramme(numero,tableau){ numero = parseInt(numero); numero =
Math.max(numero,1); numero = Math.min(numero,3); var canevas =
document.getElementById('can'+numero.toString()); efface(canevas); ctx = canevas.getContext('2d'); ctx.fillStyle
= "Cyan"; ctx.strokeStyle = "Blue"; var N = tableau.length; var M = 1; for(n=0;n
<N;n++){ if(tableau[n]> M){M =
tableau[n];} } for(n=0;n #scriptCoff0, #scriptCoff1, #scriptCoff2 { border: 5px ridge lightGray; background-color:
Black; color: LightGreen; } canvas { border: 3px inset gray;} simulation de variables aléatoires de Xenakis
Définition géométrique
La longueur du segment [a,b] est la distance entre a et b, soit |b-a|: Math.abs b-a. Pour simuler une variable
aléatoire de Xenakis, on commence par créer un tableau effectifs que l'on remplit avec des 0, puis dans une
boucle sur n, on simule la variable X et on incrémente l'effectif correspondant au premier chiffre de son décuple. La
fonction histogramme dessine l'histogramme sur le canevas dont le numéro est donné en premier argument.
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = Math.abs(Math.random()-Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 1, effectifs
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Lancer cet algorithme
Définition alternative
Le minimum de deux variables aléatoires uniformes suit aussi une loi de Xenakis
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = Math.min(Math.random(),Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 2, effectifs
Lancer cet algorithme
Remarque:
Avec 20 classes comme ci-dessus, on simule en fait le minimum de deux dés dodécaédriques...
Algorithme utilisé par Xenakis
effectifs = new Array()
for classe in [0...20]
effectifs[classe] = 0
for n in [1..10000]
X = 1 - Math.sqrt(1-Math.random())
effectifs[Math.floor 20*X]++
histogramme 3, effectifs
Lancer cet algorithme
Calculs sur la loi de Xenakis
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Pour les calculs ci-dessous, on considère la loi de Xenakis de paramètre 1, soit la loi de la longueur d'un segment
aléatoire inclus dans un segment de longueur 1. La densité est alors $2(1-x)$
I/ Probabilité et fonction de répartition
La probabilité que $X$, variable aléatoire de Xenakis, soit comprise entre $a$ et $b$ est $\int_{a}^{b} (2-2x) dx$. Ce
qui veut dire que pour calculer cette probabilité, on a besoin d'une primitive de $2-2x$ : La probabilité que $X$ soit
inférieure à $x$, qui est $F(x)=2x-x^2$. Finalement, la probabilité que $a\leqslant X \leqslant b$ est
$F(b)-F(a)=2b-b^2-(2a-a^2)=2(b-a)-(b^2-a^2)=2(b-a)-(b-a)(b+a)=(b-a)(2-a-b)$.
On constate que la primitive est plus facile à calculer que celle pour une loi exponentielle tout en étant plus
intéressante que celle pour une loi uniforme. Ce qui motive déjà dès le début l'étude de cette variable aléatoire en
Terminale...
II/ Espérance
Par analogie avec le cours de Première, on définit en Terminale, l'espérance d'une variable aléatoire $X$ de densité
$f$ comme étant l'intégrale de $x \times f(x)$ sur le support de $f$. Le problème est que la seule variable aléatoire
de support fini au programme est la loi uniforme pour laquelle l'intégrale est un calcul d'aire de trapèze, ce qui rend
inintéressant (parce que non nécessaire) le calcul de primitive. Comme les intégrales indéfinies ne sont pas au
programme de lycée, on aborde rapidement cette question parce qu'on aborde quelque chose qui n'est pas au
programme. De plus, il faut une intégration par parties (ou un logiciel de calcul formel) pour avoir une primitive de $x
e^{-\lambda x}$.
Ces problèmes n'existent pas pour une variable $X$ de Xenakis, pour laquelle l'espérance est donc $\int_{0}^{1}
x(2-2x) dx = \int_{0}^{1} (2x-2x^2) dx$ : Une primitive du trinôme à intégrer est $G(x)=x^2-\frac{2x^3}{3}$ ; cette
primitive s'annulant en 0, l'espérance est donc $G(1)=1^2-\frac{2\times 1^3}{3}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$.
On constate que l'espérance est légèrement supérieure à la médiane $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$, ce qui montre que la
densité est asymétrique. D'ailleurs sa "skewness" (ou asymétrie (statistiques)) est $\frac{2\sqrt{2}}{5}$ soit environ
0,56 qui est assez élevée.
III/ Variance
Il y a deux manières de calculer la variance, selon la définition vue en Première :
1.
Ou bien on a vu que $V(X)=E(X-EX)^2$, ce qui ici donne $V(x)=\int_{0}^{1}(x-\frac{1}{3})^2 (2-2x)
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dx=\int_{0}^{1}(x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9})(2-2x) dx$ soit, après développement,
$V(X)=\int_{0}^{1}(-2x^3+\frac{10}{3}x^2-\frac{14}{9}x+\frac{2}{9}) dx=[-\frac{x^4}{2}+\frac{10 x^3}{9}-\frac{7
x^2}{9}+\frac{2x}{9}]_{0}^1$ soit, puisque la primitive choisie s'annule en 0,
$V(X)=-\frac{1}{2}+\frac{10}{9}-\frac{7}{9}+\frac{2}{9}=\frac{1}{18}$
2. Ou alors on utilise la formule $V(x)=E(X^2)-(EX)^2$ en commençant par calculer l'espérance de $X^2$, soit
$\int_{0}^{1}x^2(2-2x) dx=\int_{0}^{1}(2x^2-2x^3) dx$. Comme une primitive de $2x^2-2x^3$ est
$\frac{2x^3}{3}-\frac{x^4}{2}$ qui a la gentillesse de s'annuler en 0, on trouve finalement
$E(X^2)=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}$. Alors $V(X)=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$.
On constate que la deuxième version est plus facile à calculer que la première, ce qui montre son intérêt. De toute
manière, il est possible, comme dans les sujets de bac, de donner la primitive dans l'énoncé, ce qui amène l'exercice
à un calcul de dérivée et un développement.
Il résulte donc de ce qui précède que l'écart-type d'une variable aléatoire de Xenakis est
$\sqrt{VX}=\sqrt{\frac{1}{18}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$ soit environ 0,24.
Les calculs d'espérance, médiane et écart-type de la loi de Xenakis ont été donnés en devoir maison avant le cours
sur la loi uniforme. Voici le sujet :
IV/ Simulation
Le calcul de primitive effectué plus haut montre que, si $X$ est une variable aléatoire de Xenakis de paramètre 1, on
a $P(X \leqslant y)=2y-y^2$ pour tout $y \in [0;1]$. En posant $X=f(R)$ où $R$ est une variable (pseudo-)aléatoire
uniforme comme celle de la calculatrice et $f$ une fonction strictement croissante, on réécrit la définition de la
fonction de répartition ci-dessus comme $P(f(R) \leqslant y)=2y-y^2$, soit en posant $y=f(x)$, $P(R \leqslant x)=2
f(x)-f(x)^2$ ; or pour une variable aléatoire uniforme entre 0 et 1, la probabilité qu'elle soit inférieure à $x$ est égale à
$x$ ; d'où $x=2y-y^2$. Pour trouver l'expression de $f$, on résout cette équation du second degré, qui s'écrit aussi
$-y^2+2y-x=0$ : Son discriminant est $\Delta=2^2-4 (-1)(-x)=4-4x=4(1-x)$ dont la racine carrée est
$\sqrt{\Delta}=2\sqrt{1-x}$ ; or une seule des deux solutions de l'équation est inférieure à 1, c'est $1-\sqrt{1-x}$ ;
donc $f(x)=1-\sqrt{1-x}$. Pour simuler une variable aléatoire de Xenakis, on peut donc appliquer cette fonction à une
variable aléatoire uniforme.
V/ Estimation de paramètres
Si on est confronté à une variable de Xenakis de paramètre $a$ inconnu, on peut estimer le paramètre à partir d'un
échantillon suffisamment grand de valeurs de $X$. Plusieurs estimateurs peuvent être envisagés :
•
le maximum sur un échantillon assez vaste de réalisations de $X$ ; il semble être biaisé (d'ailleurs la probabilité
d'avoir une valeur proche du maximum est faible).
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•
•
le produit de la médiane par $2+sqrt{2}$ sur un échantillon assez vaste de réalisations de $X$ ;
le triple de la moyenne sur échantillon. Il s'agit d'un cas particulier de méthode des moments (statistiques).
Dans son livre, il est clair que cette variable aléatoire est utilisée par Xenakis pour approcher une variable
exponentielle en la bornant. Dans le cas du paramètre 1, quel est le paramètre de cette loi exponentielle ?
Pour y répondre, on peut chercher à minimiser l'aire coloriée entre les deux courbes représentant les fonctions de
répartition :
Mais depuis Hilbert, on préfère minimiser l'intégrale du carré de la différence. Celle-ci est composée de deux
morceaux :
•
•
$\int_{0}^{1}(1-e^{-\lambda x}-2x+x^2)^2 dx=\frac{1}{5}-\frac{3}{2 \lambda}+\frac{4}{\lambda ^2}-\frac{4}{\lambda
^3}-\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}+\frac{4 e^{-\lambda}}{\lambda ^3}$
$\int_{1}^{+ \infty}(1-e^{-\lambda x}-1)^2 dx=\int_{1}^{+ \infty} e^{-2\lambda x}dx=\frac{e^{-2 \lambda}}{2
\lambda}$
Donc on veut minimiser la fonction $\lambda \mapsto \frac{1}{5}-\frac{3}{2 \lambda}+\frac{4}{\lambda
^2}-\frac{4}{\lambda ^3}-\frac{e^{-2 \lambda}}{2 \lambda}+\frac{4 e^{-\lambda}}{\lambda ^3}+\frac{e^{-2 \lambda}}{2
\lambda}$ ; sa dérivée faisant intervenir des produits d'exponentielles par $\lambda$ et ses puissances, on ne peut
que chercher numériquement les valeurs qui l'annulent. D'après Xcas, on trouve environ 2,83173397154 qui est
supérieur à la valeur de e (nombre) utilisée par Xenakis.
Un R de musique stochastique avec Xenakis
Simulation
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Pour simuler la longueur d'un segment aléatoire, on manipule directement des listes, c'est ce que permet R (langage
de programmation et environnement statistique).
•
La première méthode consiste à créer des listes de nombres aléatoires uniformes appelées A et B (car ce sont
des points) puis à calculer la distance X comme valeur absolue de leur différence :
N <- 100000
A <- runif(N,0,1)
B <- runif(N,0,1)
X <- abs(A-B)
bornes <- seq(0,1,0.05)
hist(X,breaks=bornes)
L'histogramme obtenu est celui-ci :
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
•
Mais R n'est pas un logiciel de géométrie, alors autant faire une simulation à partir de la fonction de répartition :
N <- 100000
U <- runif(N,0,1)
X <- 1-sqrt(U)
bornes <- seq(0,1,0.05)
hist(X,breaks=bornes)
L'histogramme obtenu est si proche du précédent qu'il ne vaut pas la peine de l'afficher
•
Et pour simuler X comme minimum de deux variables aléatoires uniformes, on peut effectuer une boucle :
• On crée une liste vide avec X <- c()
• On boucle sur n allant de 1 à N ; à chaque passage dans la boucle,
• on crée une liste de deux variables aléatoires uniformes avec runif(2,0,1)
• on cherche la plus petite des deux valeurs avec la fonction statistique min(runif(2,0,1))
• on concatène le résultat à X avec c(X,min(runif(2,0,1))) que l'on met dans X
N <- 10000
X <- c()
for (n in 1:N) {
X <- c(X,min(runif(2,0,1)))
}
bornes <- seq(0,1,0.05)
hist(X,breaks=bornes)
Là encore, l'histogramme est assez proche des deux précédents, la seule différence étant que le script s'exécute
plus lentement que les deux autres, ce qui a conduit à choisir N plus petit :
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
Distribution bêta
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Comme la loi de Xenakis est un cas particulier de loi bêta et que celle-ci est connue de R, on peut simplifier et
accélerer ce qui a été vu ci-dessus, en effet il suffit pour simuler une variable de Xenakis, de faire rbeta(x,1,2) où
est une liste de nombres de la taille voulue :
x
N <- 10000
x <- seq(0,1,len=N+1)
X <- rbeta(x,1,2)
bornes <- seq(0,1,0.05)
hist(X,breaks=bornes,col='lightcyan')
points(x,N*0.05*dbeta(x,1,2),type="l",col="red")
En prime, on a avec dbeta(x,1,2) la fonction de densité, et avec
variable de Xenakis. Le graphique obtenu est celui-ci :
pbeta(x,1,2)
la fonction de répartition de la
<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>
TP en réseau
avec CaRMetal
L'idée de base était la suivante : Si 10 élèves réussissent une simulation sur 1000 expériences chacun, en
moyennant leurs données, on aura l'équivalent d'une simulation sur 10000 données, et en plus, si on transmet les
données au serveur sous forme de points, l'alignement des points du nuage moyen sera meilleur que sur chacun des
jeux de données. De ces deux points de vue le TP a été décevant :
Au moment de démarrer le serveur, on peut choisir d'activer, ou non, le travail collaboratif :
Dans le premier groupe, ce choix n'ayant pas été fait, chaque figure était envoyée par l'élève l'ayant créée, dans un
onglet qui lui était propre, et il n'a pas été possible de saisir les données des différents onglets par script pour
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calculer la moyenne [1]. Du moins, pas pendant le TP. Le nuage moyen, en rouge, calculé sur 7 des fichiers, n'est
pas tellement aligné que ça :
Dans le second groupe, par contre, l'option "travail collaboratif" a été actionnée, et les nuages de points, portant
chacun des noms différents, ont bien été envoyés dans la figure "global". Par contre certains élèves avaient laissé le
nombre maximal n à 100 au lieu de 1000 et le calcul de la moyenne a été fait en tenant compte de cela :
noms=["Jirayalecochon","Mamdex","Corobizar","Drank","Kakashi","Gros tête","Walter","Atomiiz","Prototype"];
for(p=0; p<=10;p++){
somme = 0;
for (n=0; n<=6; n++){
somme += Y(noms[n]+p);
}
for (n=7; n<=8; n++){
somme += Y(noms[n]+p)/10;
}
q = Point("Q"+p,p,somme/9);
SetPointType(q,"cross");
SetColor(q,"red");
}
Comme les élèves ont vu qu'en bougeant un point sur leur écran, le point bougeait sur tous les écrans, et que ça les
a amusés, ils ont bougé beaucoup de points et le nuage moyen (en rouge ci-dessous) n'est pas très aligné non plus :
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Il aurait donc fallu rajouter cette ligne dans le script :
setFixed(p,true);
Il aurait également fallu faire faire des nuages de 100000 points [2] ; mais avec 1000 points, le TP dure 40 minutes...
Prolongement
Une fois faite l'activité sur la loi de Xenakis, il est facile de refaire tout avec la loi exponentielle, même avant le cours
sur celle-ci. Toutefois, la sensibilité aux erreurs des élèves rend le TP long (environ une heure) et peu probant. Aussi
semble-t-il préférable de faire le TP avec la calculatrice, en entrant
Suite(-10*ln(nbrAléat),I,1,100)/’L1
puis en affichant l'histogramme (surtout avec des calculatrices comme la Ti84 qui peuvent aller jusqu'à 1000
données) ; du coup il reste du temps pour la très motivante question : "Quelle fonction passe au plus près de
l'histogramme ?". Ce qui a permis de conjecturer une fonction du type "constante fois l'exponentielle de 0,1X" plus ou
moins spontanément pour environ le tiers de la classe.
[1] Par contre les fichiers sont envoyés avec JavaScript ce qui permet d'utiliser cette technologie pour faire de l'algorithmique en réseau
[2] et diviser les ordonnées par 1000
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