TD 7 nombres carrés et triangulaires

Lycée Marcellin Berthelot BCPST 2C 2015-2016
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TD 7
Un nombre triangulaire est un entier strictement positif qui est égal à une des sommes partielles de la série
( )
8
1
de terme
8 8 1
72 8 9
général . Par exemple 36 est un nombre triangulaire car 36 .
2 2 2
Ces nombres sont appelés ainsi parce qu'on peut les représenter sous forme de triangles.
Pour 36 par exe
k
k
u k k
=
× +
×
= = = = =
∑
mple, on a la représentation :
36 est aussi un nombre carré qui se représente par :
Le problème, posé par Euler, consiste
•
• •
• • •
• • • •
•••••
••••••
•••••••
••••••••
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
• • • • • •
à déterminer tous les entiers strictemen
ts positifs qui sont, comme 36, à la foi
s
carrés et triangulaires.
Etude des puissances d'une matrice.
3 8
On considère la matrice 1 3
1) Démontrer
A = 
Partie I
( )
( )
( )
( ) ( )
22
22
0 0 1 1
1 1
l'identité : 6 0
2) a) Montrer que : , , tel que : .
Préciser les couples , et , .
Déterminer la relation de récurrence reliant , à , .
k
k k k k
k k k k
A A I
k a b A a A b I
a b a b
a b a b
+ +
− + =
∀ ∈ ∃ ∈ = + ℕ ℝ
( )
b) Montrer que la suite satisfait une relation de récurrence linéaire d'ordre
2 et en déduire l'expression
explicite de en fonction de .
3) Expliciter, pour tout entier strictement
kk
k
a
a k
∈ ℕ
( )
positif , les quatre coefficients de .
L'équation de Fermat.
1) Montrer que le problème d'Euler revient à chercher les couples , d'entiers str
ictement positifs solution de
l'équation
k
k A
m n
Partie II
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1
: 1 . A quel couple , correspond le nombre 36 cité dans l'introduction ?
2
2) Montrer que si , est un couple d'entiers positifs satisfaisant l'équation 1 alors le
couple d'entiers po
m m n m n
m n
+=
( )
2 2
sitifs 2 1, satisfait l'équation de Fermat : 8 1. m n X Y + − =

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(
)
( )
( )
3) Montrer réciproquement que si , est un couple d'entiers positifs solution de l'équation
1
de Fermat, alors est impair et , est solution de l'équation 1 .
2
4) Montrer que 3,1 est so
x y
x
x m n y
−
= =
( )
( )
2
lution de l'équation de Fermat. En déduire un couple , solution
de 1 puis le nombre à la fois carré et triangulaire correspondant.
5) Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base cano
m n
f ℝ
( )
( ) ( )
nique est .
a) Montrer que si , est un couple d'entiers strictement positifs, solution de
l'équation de Fermat, alors il en est
de même du couple ', ' , .
b) On considère la suite de
A
x y
x y f x y =
( )
( )
( )
1
2
1
3,1
vecteurs de définies par
Montrer que tous les vecteurs sont des couples d'entiers strictement p
ositifs solution de l'équation de Fermat
.
6) Soit , un couple d'ent
kk k
k
V
VV f V
V
x y
+
=
=
ℝ
( )
( )
iers strictement positifs solution de l'équation de Fermat et différent de 3,1 .
On se propose, dans cette question, de démontrer que , est, en fait, l'un des vecteurs de la question 5) :
a
k
x y V
( ) ( )
( )
1
) Montrer que est un automorphisme et calculer , , .
b) Montrer que , est un couple d'entiers strictement positifs solution de l'équation de Fermat.
c) Etablir que .
d) En raison
f X Y f x y
X Y
X x
−
=
<
( )
nant par l'absurde, montrer que , est nécessairement l'un des couples de la question 5).
Retour aux nombres triangulaires et carrés.
1) a) Démontrer, en synthétisant les parties précéd
k
x y V
Partie III
()()
2
entes que les entiers strictement positi
fs qui sont à la fois carrés
3 2 2 3 2 2
et triangulaires s'écrivent sous la forme : où décrit
32
b) Calculer pour 1,2 et 3.
2
k k
k
k
CT k
CT k
∗
+ − −
=
=
ℕ
2 1
) a) Montrer que, pour 1, les entiers vérifient la relation de récurrence : 34 2
b) Rédiger un programme permettant d'afficher les premiers termes de cette suite lorsque
k k k k
k CT CT CT CT
N N
+ +
≥ = − +
est un entier
strictement positif fourni par l'utilisateur.
3) Déterminer un équivalent de lorsque tend vers l'infini.
k
CT k