Démonstration directe du dernier théorème de Fermat

Article 136
Démonstration directe
du dernier théorème de Fermat
Par Marcel Mountsiesse∗
Résumé : Dans ce travail, nous nous proposons de prouver par une méthode élémentaire
l’impossibilité de l’équation de Fermat dans *3.
Mots clefs : Equation de Fermat, binôme de Newton, inégalité triangulaire, fractions
irréductibles.
1
Introduction
Le théorème de Fermat, énonçant qu’il est impossible de trouver trois nombres entiers non
nuls x, y, z, vérifiant pour n entier 3, l’égalité xn + yn = zn conserve encore tout son
mystère. L’énigme se pose en termes d’existence d’une preuve élémentaire, car Fermat a
prétendu posséder une démonstration de son théorème. Dans ce travail, nous envisageons une
approche qui montre que ce théorème de Fermat est démontrable dans sa généralité avec des
outils qui étaient connus de son temps.
2
Domaine d’étude
Les principes d’équivalence des équations algébriques montrent que si trois nombres entiers
n
n
n
non nuls x, y et z vérifient l’équation de Fermat suivant l’égalité x + y = z , alors il en est
de même pour x , y et z , à permutation près. En effet, si n est un entier pair, on a toujours :
xn + y n = z n ⇔ x n + y n = z
n
Si n est un entier impair, il y a toujours une étape dans la triple équivalence suivante où
l’égalité ne contient que des nombres positifs :
xn + yn = zn ⇔ (-x)n + (-y)n = (-z)n ⇔ (-z)n + yn = (-x)n ⇔ zn + (-y)n = xn
Donc, pour étudier le comportement des solutions de l’équation de Fermat, on peut travailler
uniquement avec des nombres strictement positifs.
3
Principe de la méthode
La méthode s’appuie sur un principe caractéristique des nombres entiers qui stipule :
‘’ tout nombre strictement compris entre deux entiers consécutifs n’est pas un entier’’.
Ainsi, pour établir l’impossibilité de l’équation de Fermat, il suffit de démontrer que si x
et/ou y sont entiers, alors z doit être nécessairement compris entre deux entiers consécutifs.
_______________________________________________________
Centre Gabriel Lamé
*Adresse de l’auteur :
Laboratoire Africain de Mathématiques Elémentaires.
BP : 1263. Pointe-Noire. République du Congo. Email : [email protected]
1
4
Méthodologie
Soit ( x, y, z ) un triplet de nombres strictement positifs qui vérifient l’égalité :
n
x + y =z
n
n
(1)
où n est un entier supérieur ou égale à 3.
Alors, on peut écrire
1+
y
x
n
z − 1+1
x
=
n
n
(2)
Ou encore, d’après la formule du binôme de Newton,
1+
D’où
y
x
n
n
y
x
=
n
n
=
n
n
p =0
p
n
n
p =1
p
z −1
x
p
z −1
x
p
(3)
(4)
Chaque terme de rang p étant positif, on peut écrire :
0 <
n
p
p
z −1
x
<
y
x
n
(5)
n
Ainsi, pour le cas particulier p = 1, on a la double inégalité :
0 < n
z −1
x
<
y
x
n
n
(6)
n −1
(7)
On déduit de ce résultat que :
x < z < x +
y
nx
n
Pour comprendre le comportement de z par rapport à x et y, on est amené à distinguer
deux cas :
-1er cas : y2 x
-2èmecas : y2 > x
4.1
Etude du premier cas ( y2
x)
La double inégalité obtenue au ( 7 ) s’écrit encore :
2
x < z < x +
2
y x
ny
n−2
n −1
(8)
Comme y2
x, si y est un entier positif non nul, alors on a toujours :
n −1
2
y x
ny
0 <
D’après ( 8 ) et ( 9 ), il apparaît que :
< 1
n− 2
x < z <x
(9)
+ 1
( 10 )
Donc, z ne peut pas être un entier en même temps que x quand y est entier.
L’équation de Fermat est impossible dans le premier cas.
Etude du deuxième cas ( y2 > x )
4.2
Dans ce cas, tout triplet ( x, y, z ) vérifiant l’égalité ( 1 ) doit aussi vérifier l’inégalité :
z
y
n
2n
< 1 + 1n
( 11 )
y
On peut donc étudier le comportement de z suivant que : y2
4.2.1 Supposons y2
z et y2 = z.
z
En considérant les valeurs absolues, on peut écrire la triple égalité suivante :
z
y
n
2n =
z
y
n
=
2n
n
z
y
2 −1 + 1 =
n
n
p =0
p
z
y
2 −1
p
( 12 )
Or, l’inégalité triangulaire nous permet aussi d’écrire :
n
n
p=0
p
p
z
y
2 −1
≤
n
n
p =o
p
z
y
p
2 −1
( 13 )
Donc
z
y
n
2n
≤
n
n
p =0
p
z
y
2
p
−1
( 14 )
En rapprochant ce résultat de celui obtenu au ( 11 ), on déduit que ( voir annexe, page 6 ) :
n
p =0
n
z
y
2
p
p
−1
<
3
1 + 1n
y
( 15 )
Ou, plus simplement :
n
n
p =1
p
p
z
y
2 −1
<
1
y
( 16 )
n
Chaque terme de rang p étant positif, on a nécessairement, pour tout p :
p
z
y
n
2 −1
p
1
<
y
( 17 )
n
Ainsi, dans le cas paticulier où p = 1, cette relation ( 17 ) se présente comme suit :
n
z
y
2
−1
1
<
n
( 18 )
n−2
( 19 )
y
Ou, plus simplement
z −y
2
<
1
ny
ce qui signifie,
y2 -
1
ny
n− 2
< z < y2
ou
y2 < z < y2 +
1
ny
( 20 )
n− 2
Or, si y est un entier strictement positif, on a toujours :
0 <
1
< 1
( 21 )
y2 - 1 < z < y2 ou y2 < z < y2 + 1
( 22 )
ny
n−2
Donc, d’après ( 20 ), on doit avoir :
z ne peut pas être un entier en même temps que y.
L’équation de Fermat est impossible dans le deuxième cas si y2
z
2
4.2.2 Supposons y = z
L’équation de Fermat s’écrit alors :
xn + yn = y2n
( 23 )
Celle-ci est équivalente au système d’équations suivant :
x =ay
n
n
a = y −1
4
(24'
)
(24'
'
)
( 24 )
D’après (24’’), on peut remarquer que :
- si 0 < a ≤ 1, alors y ne peut pas être un entier, ce qui ne nous intéresse pas ;
- si a > 1, l’étude 4.1 du premier cas montre qu’on a toujours :
a < y < a+1
( 25 )
Donc, les nombres y et a ne peuvent pas être tous les deux à la fois des entiers.
Considérons pour la suite que y est un entier strictement positif :
Si nous supposons que a est un rationnel non entier, alors il doit exister deux entiers u et v,
premiers entre eux, tels que :
a = x/y= u/v
( 26 )
Autrement dit, a doit pouvoir s’écrire comme une fraction irréductible. Or, d’après (24’’), on
doit avoir :
(u / v)n = yn - 1
( 27 )
Le membre droit étant entier, cette égalité est impossible, car aucune puissance n-ième d’une
fraction irréductible, d’exposant n non nul, n’est égale à un nombre entier.
Il découle de cette contradiction que les entiers hypothétiques u et v n’existent pas. Donc a
est un nombre irrationnel.
Dans ce cas, d’après ( 24’), x est aussi un nombre irrationnel ( car produit d’un nombre
entier positif non nul par un nombre irrationnel ).
En définitive,
2
( 28 )
x = y n 1 − 1n
y
x ne peut pas être un entier en même temps que y.
L’équation de Fermat est aussi impossible dans le deuxième cas si y2 = z
5
Conclusion
Le dernier théorème de Fermat, énoncé en 1637, est démontrable dans sa généralité avec des
outils qui étaient connus de son temps.
Références
[1] Caratini R. Dictionnaire des découvertes, Edition°1, 1990.
[2] Cheymol M., Combrade M., Bonneval L-M., Gaud D., Jussiaume L., Terrochaire R.,
Mathématiques Seconde. Breal, Rosny, 2000.
[3] Condamine M. Algèbre, Terminale C-E. Collection P. Vissio, Delagrave, 1971.
[4] Revue Sciences et vie n°911, Août 1993.
5
Annexe : justification du passage (15)
Pour rendre plus évidente la relation (15), on peut exprimer la somme ci-dessous notée Sy(z),
Sy(z) =
n
n
p=0
p
p
z
y
2 −1
,
en fonction de e = z − y² . On obtient l’expression équivalente suivante que l’on note δy(e) :
n
1+ e²
δy(e) =
y
On peut ainsi remarquer plus clairement une intéressante propriété :
Sy(z) = Sy ( y² - e ) = Sy ( y² + e ) = δy (e)
z
y
Or, d’après (14), on sait aussi qu’on a toujours :
(A.1)
(A.2)
n
2n
≤ Sy(z). Donc, en utilisant la propriété
(A.2) ci-dessus, on peut écrire de manière plus détaillée :
- si z > y2 ( c’est-à-dire z = y² + e ),
2
- si z < y
z
y
z
y
alors
2n
( c’est-à-dire z = y² - e ), alors
z
y
Sachant que, d’après (11), on a toujours :
n
2n
n
= δy (e)
(A.3’)
< δy (e)
( A.3’’)
n
2n
< 1 + 1 n , il découle des relations (A.3’) et
y
(A.3’’) la double inégalité suivante :
z
y
n
2n
≤ δy (e) < 1+ 1n
y
(A.4)
En remplaçant δy(e) par Sy(z) qui est son expression équivalente on trouve :
z
y
n
2n
≤ Sy (z) < 1 + 1n
y
D’où l’inégalité (15) :
n
n
p=0
p
p
z
y
2 −1
6
<
1 + 1n
y
(A.5)