Fonctions : logarithmes, exponentielles

5. FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,
HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES
RECIPROQUES.
1. Fonction logarithme népérien.
1.1. Définition.
La fonction logarithme népérien, notée ln , est la primitive sur ] 0, + ∞ [ qui s'annule pour
x = 1 de la fonction x a
Soit pour x ∈ ] 0, +∞ [
1
.
x
lnx = ∫
x
1
dt
.
t
1.2. Premières propriétés.
•
ln1 = 0
•
La fonction logarithme est dérivable sur ] 0, + ∞ [ et (lnx)' =
1
>0
x
donc la fonction logarithme est continue sur ] 0, + ∞ [
•
la fonction ln est strictement croissante sur ] 0, + ∞ [
ln(1+ h)
=1
h
h→0
En appliquant la définition de la dérivée en x=1, on a lim
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et ne s'annule pas sur I, on a
∀x ∈ I
(x)
[ ln u(x) ] ' = u'u(x)
et donc ∀x ≠ 0
[ln x ] ' = 1x
U.M.N. 5.
Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
1.3. Autres propriétés.
•
∀x > 0
•
∀x > 0
•
∀x > 0
•
∀x > 0
∀x' > 0
ln(xx' ) = lnx + lnx'
1
ln( ) = − lnx
x
x
ln( ) = lnx − lnx'
x'
∀x' > 0
ln(x r ) = rlnx
∀r ∈Q
La fonction logarithme est une bijection de ] 0, + ∞ [ sur ] − ∞ ,+ ∞ [ , on a donc
lnx 1 = lnx 2
x1 = x 2
⇔
x1 > 0 et x2 > 0
x1 > 0 et x2 > 0
1.4. Tableau de variations
x
0
+∞
1
+
f ’(x)
+∞
ln(x)
−∞
0
lnx
=0
x→+∞ x
lim
Quand x tend vers +∞ , la courbe présente une branche parabolique dans la direction Ox.
1.5. Définition du nombre e
La fonction logarithme étant une bijection de ] 0, + ∞ [ sur ] − ∞ ,+ ∞ [ , il existe un nombre
unique appelé e tel que lne = 1.
La valeur décimale approchée de e à 10 −5 près par défaut est 2,71828.
2
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
1.6. Courbe représentative.
2. Fonction exponentielle
La fonction logarithme étant une bijection de ] 0, + ∞ [ sur ] − ∞ ,+ ∞ [ , elle admet une fonction
réciproque appelée exponentielle et notée exp (ou x a e x )
x = lny
y = ex
x ∈ ] − ∞ ,+∞[
⇔
y ∈ ]0, + ∞ [
2.1. Propriétés
•
∀x ∈ ] 0, + ∞ [
•
∀x ∈ ] − ∞ ,+ ∞ [
ln(e x ) = x
•
∀x ∈ ] − ∞ ,+ ∞ [
ex > 0
e lnx = x
0
• e =1
La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R et on a :
∀x ∈ ] − ∞ ,+ ∞ [
(e x )' = e x
Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, on a
∀x ∈ I
[ eu(x) ] ' = u' (x)e u(x)
3
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
Formules d'addition.
∀x ∈R
∀x ∈R
et
lim e x = +∞
x→+∞
∀x' ∈R
e x+x' = e x e x'
1
e −x = x
e
lim ex = 0
x→−∞
Donc quand x tend vers +∞ , la courbe présente une branche parabolique dans la direction Oy;
2.2. Courbe représentative :
En repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction exponentielle est symétrique de
celle de la fonction logarithme par rapport à la première bissectrice
3. Fonction logarithme et exponentielle de base A.
Théorème : Logarithme de base a
Soit a ∈ ] 0, + ∞ [ − {1 } , on appelle fonction logarithme de base a et on note log a la fonction
définie par
∀x > 0
loga x =
lnx
lna
En particulier le logarithme népérien est le logarithme en base e.
4
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
Théorème :
Le logarithme de base 10 est appelé logarithme décimal et noté log
Propriétés
•
La fonction logarithme de base a est continue, strictement monotone sur ] 0, + ∞ [
•
log a 1 =
•
ln1
=0
lna
1
(log a x)' =
xlna
log a a =
lna
=1
lna
∀x ∈ ] 0, + ∞ [
•
1
 lnx  '
La fonction log a est dérivable sur ] 0, + ∞ [ et (log a x) = 
=

lna
xlna
•
si a > 1 alors log a est strictement croissante
•
si a < 1 alors log a est strictement décroissante
•
∀x > 0
∀x' > 0
•
∀x > 0
∀x' > 0
•
∀x > 0
log a (xx') = log a x + loga x'
log a (
x
) = log a x − log a x'
x'
log a (x r ) = rlog a x
∀r ∈Q
Changement de base :
∀(a, b) ∈( ] 0, + ∞ [ − { 1}) , ∀c ∈ ] 0, + ∞ [
2
log a c = log a b.log b c
3.1. Exponentielle de base a.
a ∈ ] 0, + ∞ [ − {1 } , la fonction log a est continue, strictement monotone sur ] 0, + ∞ [ . Elle
admet donc une fonction réciproque appelée exponentielle de base a et notée
exp a ou x a a x
x = log a y
y = ax
x ∈ ] − ∞ ,+∞[
ou encore x = log a y =
∀x ∈R
lny
lna
⇔
et
y ∈ ]0, + ∞ [
lny = xlna
y = a x = e xlna
5
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
Propriétés
•
La fonction exponentielle de base a est continue, strictement monotone sur R et dérivable
sur R
•
(a x )' = (e xlna )' = lna.e xlna = lna.a x
∀x ∈R
donc elle est croissante si a>1, décroissante si a<1 avec a 0 = 1
•
∀x ∈R,∀x' ∈R
•
1
a −x = x
a
a x+x' = a x a x'
4. Fonction puissance
Soit s ∈R, on appelle fonction puissance d'exposant s la fonction définie sur R∗+ par
x a xs = eslnx
La fonction puissance est continue sur ] 0, + ∞ [
Propriétés : ∀x > 0
∀y > 0
et
∀s ∈R
∀s' ∈R
• x0 = 1
• x s xs' = x s +s'
• x −s =
1
xs
• x s ys = (xy)s
• (x s ) s' = x ss'
• ln(x s ) = slnx
• (x s )' = s xs −1
5. Croissance comparée des fonctions exponentielle, logarithme et
puissance.
ex
Pour tout s, lim s = +∞
x→+∞ x
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
lnx
s =0
x→+∞ x
Si s > 0, on a :
Cours.
lim + xs lnx = 0
lim
x→0
5.1. Fonction puissance généralisée
Si u et v sont deux fonctions définies sur une partie A de R avec ∀x ∈ A
u(x)>0
[ u(x)]v(x) = e v(x)lnu(x)
∀x ∈ A
6. Fonctions hyperboliques.
On définit, pour tout réel x, les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique, tangente
hyperbolique par
chx =
e x + e −x
2
shx =
e x − e− x
2
thx =
shx e x − e − x
=
chx e x + e − x
6.1. Propriétés.
•
La fonction cosinus hyperbolique est une fonction paire, continue sur R
•
La fonction sinus hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R
•
La fonction tangente hyperbolique est une fonction impaire, continue sur R (quotient de
deux fonctions continues dont le dénominateur ne s'annule pas)
6.2. Propriétés algébriques.
Les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont
dérivables sur R et ∀x ∈R
chx + shx = e x
ch 2 x − sh2x = 1
chx − shx = e −x
1
1− th 2 x = 2
ch x
6.3. Dérivées.
∀x ∈ R
(shx)' = chx
(chx)' = shx
7
(thx)' =
1
2
2 = 1 − th x
ch x
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
6.4. Courbes représentatives.
D'après les propriétés de parité (ou imparité), il suffit d'étudier ses fonctions sur R+ .
La fonction sh est croissante sur R, car sa dérivée vérifie chx > 0 ∀x ≥ 0
D'où le tableau de variation de la fonction sh
−∞
x
+∞
f ’(x)
+
+∞
sh(x)
−∞
De même, la fonction ch est croissante sur R+ car sa dérivée vérifie shx ≥ 0 ∀x ≥ 0
D'où le tableau de variation de la fonction ch.
x
+∞
0
−∞
+
-
f ’(x)
+∞
+∞
ch(x)
1
On a en outre :
1 x
e ≤ chx
2
1
lim (chx − e x ) = 0 + et
2
x→+∞
shx ≤
1
lim (shx − e x ) = 0 −
2
x→+∞
Les courbes représentatives des fonctions ch et sh sont asymptotes à la courbe d'équation
y=
1 x
e et présentent donc quand x tend vers +∞ une branche parabolique dans la direction
2
Oy.
8
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
D'après les propriétés de parité (ou imparité) la courbe représentative de la fonction ch
appelée chaînette est symétrique par rapport à Oy , elle est appelée "chaînette car elle
modélise une chaîne homogène maintenue aux deux extrémités".
La courbe représentative de la fonction sh est symétrique par rapport à l'origine.
La fonction th est croissante sur R+ car sa dérivée vérifie ∀x ≥ 0
(thx)' =
1
>0
ch 2x
On peut aussi écrire :
ex − e −x 1 − e −2x
thx = x
=
e + e −x 1 + e −2x
et donc
lim thx = 1−
x→+∞
D'où le tableau de variation de la fonction th :
x
0
+∞
+
f ’(x)
1
th(x)
0
et la courbe représentative :
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
Remarque : on définit aussi la fonction cotangente hyperbolique par :
coth x =
1
thx
∀x ∈R∗
Représentation paramétrique de l'hyperbole
Les fonctions trigonométriques sinus et cosinus permettent d'obtenir une représentation
paramétrique de l'ellipse d'équation
x 2 y2
x = acost
+
=
1
sous
la
forme

a 2 b2
y = bsint
t ∈[ 0,2π [
De même les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique fournissent une
représentation paramétrique de l'hyperbole d'équation :
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
x 2 y2
x =ε acht
−
=
1
sous
la
forme

a 2 b2
y = bsht
Cours.
t ∈R
Si a ≥ 0 , on obtient pour ε = +1 la branche droite de l'hyperbole (x ≥ a) et pour ε = −1 la
branche gauche (x ≤ a) .
6.5. Formules de trigonométrie hyperbolique.
ch(a + b) = cha chb + shashb
ch(a − b) = cha chb − shashb
sh(a + b) = shachb + chashb
sh(a − b) = shachb − chashb
tha + thb
1 + thathb
tha − thb
th(a − b) =
1 − thathb
th(a + b) =
sh2a = 2shacha
ch2a = ch 2a + sh2a = 2ch 2a − 1 = 1 + 2sh2 a
a
2
cha =
a
2
1− th
2
1+ th 2
sha =
2th
a
2
1 − th 2
tha =
a
2
2th
a
2
1 + th 2
a
2
7. Fonctions hyperboliques réciproques.
7.1. Fonction Argument sinus hyperbolique.
La fonction sh est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur R.
La bijection réciproque est appelée fonction argument sinus hyperbolique et notée Argsh
y = Argshx
x ∈R
x = shy
⇔
y ∈R
La fonction Arg sh est continue, impaire et strictement croissante sur R
La fonction Arg sh est dérivable sur R
∀x ∈R
(Argshx) ' =
1
1 + x2
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
La fonction Arg sh s'exprime à l'aide de la fonction logarithme
∀x ∈R
Argshx = ln(x + x2 + 1)
En effet, puisque chy > 0, chy = sh2 y + 1 = x2 + 1
et donc e y = chy + shy = x 2 + 1 + x
d'où ∀x ∈R
y = Argshx = ln(x + x2 + 1)
Courbe représentative : elle se déduit, en repère orthonormé, de celle de la fonction sh par
symétrie par rapport à la première bissectrice des axes.
7.2. Fonction Argument cosinus hyperbolique.
La fonction ch est continue strictement croissante sur
[ 0, + ∞ [
[ 0, + ∞ [ .
C'est une bijection de
sur [ 1,+ ∞ [
La bijection réciproque est appelée fonction argument cosinus hyperbolique et notée Argch
y = Argchx
x ∈ [ 1,+ ∞ [
x = chy
⇔
y ∈ [ 0, + ∞ [
La fonction Arg ch est continue et strictement croissante sur [ 1,+ ∞ [
La fonction Arg ch est dérivable sur ] 1,+ ∞ [
∀x ∈ ]1,+ ∞ [
(Argchx)' =
1
x2 − 1
La fonction Arg ch s'exprime à l'aide de la fonction logarithme
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
∀x ∈ [ 1,+ ∞ [
Cours.
Argchx = ln(x + x 2 − 1)
En effet, puisque shy ≥ 0 ∀y ≥ 0, donc shy = ch 2 y − 1 = x2 − 1
et donc e y = chy + shy = x + x 2 − 1
d'où ∀x ∈ [ 1,+ ∞ [
y = Argchx = ln(x + x2 − 1)
La courbe représentative se déduit de celle de la restriction de la fonction ch à
[ 0, + ∞ [
par
symétrie par rapport à la première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé.
7.3. Fonction Argument tangente hyperbolique.
La fonction th est continue strictement croissante sur R. C'est une bijection de R sur ] − 1,1 [ .
La bijection réciproque est appelée fonction argument tangente hyperbolique et notée Argth
y = Argthx
x ∈ ] − 1,1 [
x = thy
⇔
y ∈R
La fonction Arg th est continue, impaire et strictement croissante sur ] − 1,1 [
La fonction Arg th est dérivable sur ] − 1,1 [
∀x ∈ ] − 1,1 [
(Argthx)' =
1
1− x2
La fonction Arg th s'exprime à l'aide de la fonction logarithme
∀x ∈ ] − 1,1 [
Argthx =
1 1+ x
ln
2 1− x
On a en effet :
13
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Cours.
e y − e −y e 2y − 1
x = thy = y
=
e + e −y e 2y + 1
1 1+x
y = Argthx = ln
2 1−x
La courbe représentative se déduit de celle de la fonction th par symétrie par rapport à la
première bissectrice des axes, dans un repère orthonormé.
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Exercices corrigés.
FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,
HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES
RECIPROQUES. EXERCICES CORRIGES.
MATH05E01.
Résoudre dans R l'équation : chx + 2 shx = 3
(I).
MATH05E02.
Résoudre dans R l'équation
2x
5
−2
x+
3
2
=2
x+
7
2
+ 52x−1
MATH05E03.
Résoudre dans R l'équation
( x)x = x x
MATH05E04.
Ecrire l'expression Argth
2x
en utilisant la fonction ln.
1+ x2
MATH05E05.
Simplifier l'expression f(x) = 2Argch
1+ chx x
−
2
2
15
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
Exercices corrigés.
MATH05E06.
Donner une autre expression pour les fonctions suivantes :
f(x) = sh(Argchx)
g(x) = ch(Argshx)
h(x) = th(Argshx)
k(x) = th(Argchx)
MATH05E07.
Résoudre dans R l'équation : Argthx + Arg th2x = Argth
2
3
(I)
MATH05E08.
Démontrer que pour tout réel x non nul, thx =
2
1
−
th2x thx
Simplifier alors, pour tout n de N et tout réel x non nul
n+1
Sn (x) = ∑ 2 p th(2 p x)
p=0
MATH05E09.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes
f : x a Arctan(shx)
g : xa Arcsin(thx)
En déduire une relation entre ces deux fonctions
MATH05E10. **
Résoudre le système
Argshy = 2Argshx

Argchy = 3Argchx
(I)
(II)
16
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E01.
Solutions.
retour
En tenant compte des définitions de chx et shx, l'équation s'écrit
(I) ⇔
e x + e −x
e x − e −x
+2
=3
2
2
ou encore
⇔
e2x + 1
e 2x − 1
+2
= 3ex
2
2
⇔ 3(e x )2 − 6e x − 1 = 0
En posant X = e x avec X > 0
Seule la racine positive de l'équation du second degré convient, d'où
X = ex =
3+ 2 3
3
L'équation proposée admet une solution unique ln(1 +
17
2
).
3
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E02.
Solutions.
retour
L'équation est définie pour tout réel x
2x
5
−2
x+
3
2
=2
x+
7
2
+5
2x−1
⇔5
2x−1
x+
(5 − 1) = 2
3
2 (1+ 22 ) ⇔ 52x−2
x−
=2
1
2
1
2ln5 − ln2
1
2
⇔ (2x − 2)ln5 = (x − )ln2 ⇔ x =
2
2ln5 − ln2
1
2ln5 − ln2
2
L'équation proposée admet une solution unique
2ln5 − ln2
18
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E03.
Solutions.
retour
L'équation est définie pour x > 0
1
1
( x)x = x x ⇔ xln x = x lnx ⇔ xlnx = x lnx ⇔ ( x − x)lnx = 0
2
2
L'équation proposée admet deux solutions : 1 et 4.
19
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E04.
f est définie si et seulement si −1 <
Solutions.
retour
2x
< 1 donc si et seulement si x ∈R− { − 1,1 } .
1 + x2


2x
Df = x ∈R
2 < 1 =R − { − 1,1 }
1+x


2x
2
2x
1
1 + x 2 = 1 ln (1+ x)
f(x) = Argth
=
ln
2 (1− x)2
1 + x 2 2 1− 2x
2
1+x
ln 1+ x
si − 1 < x < 1
1 + x  1− x
= ln
=
1− x
x+1
si x < −1 ou x > 1
ln
 x −1
1+
20
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E05.
Solutions.
retour
∀x ∈R, chx ≥ 1, donc f est définie sur R
Utilisons la formule de trigonométrie hyperbolique 1 + ch2a = 2ch 2a
x
x
et donc f(x) = 2Argch(ch ) −
2 2
 x si x ∈ 0, + ∞
[
[
 2
x
Argch(ch ) = 
x
2
− si x ∈ ] − ∞ ,0 [
 2
 x si x ∈ 0, + ∞
[
[
 2
f(x) = 
3x
si x ∈ ] − ∞ ,0 [
−
 2
21
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E06.
Solutions.
retour
f(x) = sh(Argchx)
Df = [ 1,+ ∞ [
∀u ∈R, ch 2 u − sh 2u = 1et donc sh2 (Argchx) = ch 2 (Argchx) − 1 = x2 − 1
puisque Argchx ≥ 0 ⇒ sh(Argchx) ≥ 0
alors sh(Argchx) = x2 − 1
g(x) = ch(Argshx)
Dg = R
ch 2 u = 1+ sh2 u et sh(Argshx) = x
de plus ∀x ∈R, ch(Argshx) > 1
donc
ch(Argshx) = 1 + x 2
h(x) = th(Argshx)
Dh = R
sh(Argshx)
x
h(x) =
=
ch(Argshx)
1 + x2
k(x) = th(Argchx)
D k = [ 1,+ ∞ [
k(x) =
sh(Argchx)
=
ch(Argchx)
x2 − 1
x
22
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Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E07.
{
Solutions.
retour
}
1 1
D = x ∈R x ∈ ]−1,1 [ et 2x ∈ ] − 1,1 [ =  − , 
 2 2
− 1 , 1 
Sur  2 2  n utilisant l'écriture logarithmique, on a
2
1 1 + x 1 1 + 2x 1 1 + 3
(I) ⇔ ln
+ ln
= ln(
)
2 1 − x 2 1 − 2x 2 1 − 2
3
⇔ (1+ x)(1+ 2x) = 5(1− x)(1− 2x)
⇔ 4x 2 − 9x + 2 = 0
Une seule solution convient
1
4
23
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U.M.N. 5.
Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E08.
pour x ≠ 0
2
1
−
=
th2x thx
n+1
2thx
1 + th 2 x
2p+1
2p
−
th(2 p+1 x) th(2 p x)
Sn (x) = ∑ 2 p th(2 p x) =
p=0
retour
2
1
th 2 x
−
=
= thx
2thx
thx thx
1+ th2 x
ou encore, en utilisant th2x =
2 p th(2 p x) =
Solutions.
2 n+2
1
−
n+2
th(2
x) thx
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U.M.N. 5.
Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E09.
Solutions.
retour
Ces deux fonctions sont définies et dérivables sur R
f'(x) = [ Arctan(shx)] ' =
chx
1
2 = chx
1 + sh x
g'(x) = [ Arcsin(thx)] ' =
1 − th 2x
1− th 2 x
= 1− th 2x =
1
chx
Ces deux fonctions sont de classe C1 sur R, puisqu'elles ont la même dérivée, elles sont égales
à une constante près
Arc tan(shx) = Arcsin(thx) + C
En particulier :
f(0) = Arctan(sh0) = 0
g(0) = Arcsin(th0) = 0
d'où C=0
Conclusion :
∀x ∈R
Arctan(shx) = Arcsin(thx)
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U.M.N. 5.
Logarithmes, exponentielles, hyperboliques et réciproques.
SOLUTION MATH05E10.
Solutions.
retour
Si (x,y) est solution du système, nécessairement x ≥ 1 et y ≥ 1
Puisque sh est bijective, on compose la première relation par sh:
y = sh(2Argshx) mais sh2u = 2shuchu et d' après 4.5 ch(Argshx) = x2 + 1
donc (I) ⇔ y = 2x x2 + 1
Puisque ch est bijective, on compose la seconde relation par ch :
y = ch(3Argchx)
mais
ch3u = chu(2ch 2u − 1) + 2sh 2 uchu
d'après 4.5sh(Argchx) = x2 − 1
donc (II) ⇔ y = x(2x2 − 1) + 2x(x2 − 1) = 4x 3 − 3x
D'où le système
x ≥ 1

y ≥ 1

2x x 2 + 1 = x(4x2 − 3)
Puisquex ≥ 1alors 2 x2 + 1 = 4x 2 − 3 et 16x 4 − 28x2 + 5 = 0
On résout cette équation bicarrée dont la seule solution plus grande que 1 est
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7 + 29
8
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U.M.N. 5.
Logarithmes, exponentielles, hyperboliques.
Exercices supplémentaires.
FONCTIONS LOGARITHMES, EXPONENTIELLES,
HYPERBOLIQUES ET HYPERBOLIQUES
RECIPROQUES.
EXERCICES SUPPLEMENTAIRES.
MATH05S01.
Simplifier l'expression Argsh
x2 − 1
.
2x
MATH05S02.
Etudier la fonction f:x a Argth
1 + 3thx
.
3 + thx
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