Les nombres premiers hyperboliques et la conjecture

Hughes Moreau
Superviseur : Prof. Dominic Rochon
Université du Québec à Trois-Rivières
Goldbach
Christian Goldbach, mathématicien russe, a écrit à
Euler et lui a introduit sa conjecture : tout nombre pair
supérieur à 2 peut  comme la somme de deux
nombres premiers. Cette conjecture était rédigée dans
une lettre envoyée en 1742. Non démontrée, elle a
toutefois été vérifiée pour les nombres pairs
inférieurs à   .
Complexes
Les complexes sont de la forme      ,où
    et  . Ils forment un corps. On retrouve
les réels si    .Le module est exprimé par
   , qui  nul autre que la relation de
Pythagore. Comparativement aux réels qui  que
deux unités, et ,les complexes en ont quatre :
   .Une unité est abrégée par le symbole .Un
associé  nombre est un nombre qui respecte
  .On se restreint aux entiers de Gauss ,où
   .Les premiers complexes sont    tels que :
1) (ou ) est un entier premier congru à 3 modulo
4; 2) est un entier premier sans que soit un
associé  entier premier.
Nombres premiers
Un nombre est premier   que 1 et lui-même comme diviseurs. Les premiers de la liste sont 2, 3, 5, 7, 11,13,17
Un nombre est composé  aun diviseur différent de 1et de lui-même. Il y a des ensembles de nombres différents
des réels, mais qui les incluent à la fois : les complexes, les hyperboliques, etc. Fait surprenant : dans les complexes,
le nombre 5 est composé, mais 3, 7 et 11 restent premiers. Dans les hyperboliques, seulement 2 est premier, aucun
autre nombre entier ne . Dans le but de trouver les nombres premiers, la théorie des nombres a été étudiée en
lien avec les ensembles choisis. De la façon dont on définit les nombres premiers hyperboliques, on retrouve une
conjecture très intéressante qui les relie aux nombres réels : la conjecture de Goldbach.
Hyperboliques triviaux
Les hyperboliques sont de la forme     ,où
    et  . Ils forment un anneau unitaire
commutatif. On retrouve les réels si   .Les unités
sont    .On a une base idempotente qui rend
les calculs intuitifs en prenant   
et  .
Ainsi,               .
addition et la multiplication sont  
    et    .
Comme dans les complexes, on se restreint aux
entiers   ,   ,-à-dire et sont de même
parité. Les premiers hyperboliques triviaux sont : 2,
  ,  ,  et   et leurs
associés, où    et est un premier impair.
Hyperboliques non triviaux
Le module hyperbolique est   .On se
restreint à  suivant :
              .
On définit les hyperboliques non triviaux :  
            .
Dans les non triviaux, on se concentre sur les
diviseurs qui appartiennent à et non dans   au
complet. Les premiers hyperboliques non triviaux sont
tous les nombres de  .En fait, ceux-ci sont
les seuls à admettre dans   uniquement
eux-mêmes et leur associé comme diviseurs
appartenant à .
Références
De Koninck, J.-M., & Mercier, A. (1994). Introduction à la théorie des
nombres. (Modulo, Ed.). Mont-Royal (Québec).
Wagon, S. (1991). Mathematica in action. (W. H. Freeman and Company).
New York (USA).
Shapiro, M., Struppa, D. C., Vajiac, A., & Vajiac, M. B. (2012). Hyperbolic
numbers and their functions. Fasc. Matematica, XIX(1), 265–283.
Sobczyk, G. (1995). The hyperbolic number plane. The College
Mathematics Journal, 26(4), 268–280. http://doi.org/10.2307/2687028
Les premiers hyperboliques triviaux
Les nombres premiers hyperboliques et
la conjecture de Goldbach
Remerciements
Je remercie mon professeur et directeur de recherche
Dominic Rochon qui  grandement aidé, les élèves
avec lesquels  discuté de mon projet, ainsi que
UQTR de me permettre de me développer en tant
 des cycles supérieurs.
Les premiers complexes Les premiers hyperboliques non triviaux
Conclusion
Les nombres premiers non triviaux semblent aussi
 àla conjecture symétrique de Goldbach : la
conjecture de Polignac. Celle-ci dit que tout nombre
pair est la différence de deux nombres premiers
consécutifs. À la place de regarder la composante 
(colonne), on regarde la composante (ligne).
Résultat
Théorème : La conjecture de Goldbach est vraie si et
seulement si    .
On regarde la composante (colonne). Les
hyperboliques peuvent être représentés par la
relation suivante :      
. Or,
  implique     .En 
mots, par la conjecture de Goldbach, il existe un   
pour tout   .Il existe néanmoins un
   pour tout     .