Facteurs - Université de Sherbrooke

GCI 400 - Mécanique des fluides et thermodynamique
Bertrand Côté, ing., professeur
GCI 400
Mécanique des fluides et thermodynamique
Conséquences de la variation de vitesse radiale
d’un écoulement laminaire dans une conduite circulaire
Vitesse moyenne V vs vitesse au centre U0 de la conduite (pp. 170-171)
r
dA=2rdr
R
Q   udA avec dA  2rdr
0
r3
r2
Q  U 0 (1  2 )2rdr = 2U 0  (r  2 )dr
R
R
0
R
R
R2 R2
R2
r2
r4
2 U0
Q  2U 0

 ) = 2U 0
= 2U 0 (
= R
2
2 4R 0
2
4
4
2
La vitesse moyenne (dite aussi unidimensionnelle) dans la conduite est donc de :
V
Q U0
, soit 50 % de la vitesse au centre.

A 2
Département de génie civil
1
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Bertrand Côté, ing., professeur
Facteur de correction pour la quantité de mouvement (p. 155)
Le fait d’utiliser la vitesse moyenne d’une conduite d’entrée/sortie plutôt que de tenir
compte de la variation de vitesse (nulle à la paroi et maxi. au centre) introduit une erreur
qui doit être compensée par un facteur de correction.
Le terme de flux de l’équation de transport de Reynolds est le suivant :
V (V  n)dA
CS
En tenant compte de la variation de la vitesse, il devient :
r2
r2
U 0 (1  R 2 ) U 0 (1  R 2 )2rdr
CS
Par transformations successives, il devient :
R
r2 2
2r 2 r 4
2
= 2U  (1  2 ) rdr = 2U 0  (1  2  4 )rdr
R
R
R
0
0
R
2
0
R
2
2r 4
r6
2r 3 r 5
2 r

)
= 2U  (r  2  4 )dr = 2U 0 ( 
2 4R 2 6R 4 0
R
R
0
R
2
0
2
R2 R2 R2
2 R

 ) = 2U 0
= 2U (
2
2
6
6
2
0
Comme il a été déterminé que U0 = 2V :
R2 4 2 2 4
2
= 2 4V
= R V = AV
6
3
3
2
ce qui explique le facteur de correction de 1.33 qu’on doit appliquer au terme V2A en
régime laminaire.
Facteur de correction pour l’énergie cinétique (pp. 170-171)
Le fait d’utiliser la vitesse moyenne d’une conduite d’entrée/sortie plutôt que de tenir
compte de la variation de vitesse (nulle à la paroi et maxi. au centre) introduit une erreur
qui doit être compensée par un facteur de correction.
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2
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Dans l’équation 3.65, le terme d’énergie cinétique vaut (
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V2 
)m.
2
Mais l’expression suivante serait plus rigoureuse pour tenir compte de la variation de
vitesse :
V2
  (V  n)dA =
CS 2
=

2
 
3
r2 
U
(
1

=
 0 R 2 ) dA
2 CS 

3
 V dA
CS

3r 2 3r 4 r 6 

U 03  (1  2  4  6 ) 2rdr
2 CS 
R
R
R 

3r 3 3r 5 r 7 

= U 2  (r  2  4  6 ) dr
2
R
R
R 
CS 
3
0

r 2 3r 4
3r 6
r8



= U 2
2
2 4 R 2 6 R 4 8R 6
=

2
R
3
0
U 03 2 (
0
R 2 3R 2 3R 2 R 2

R2


 ) = U 03 2 ( )
2
4
6
8
2
8
Comme il a été déterminé que U0 = 2V, le résultat est :


R2
8V 2 ( ) = V 3 A = V 2 VA= V 2 Q = (V 2 ) m
=
2
8
3
V2 
ce qui explique le facteur de correction de 2 qu’on doit appliquer au terme ( ) m en
2
régime laminaire.
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