entiers ni

Densit´ e des corps
quadratiques plats
Patrick Iglesias
Introduction
Dans un pr´ec´edent article, [Igl94], nous avons d´efini le type combinatoire d’un
ordre d’un corps de nombres alg´ebriques r´eels K. Lorsque Kest quadratique,
le type combinatoire de l’ordre Dfde conducteur fest le quotient de la
fronti`ere de l’enveloppe convexe des points de Dfsitu´es dans le cˆone positif de
K, avec des points marqu´es : les sommets g´eom´etriques qui sont les sommets
de l’enveloppe convexe, et les sommets plats qui sont les points de Dfsitu´es
dans les faces de l’enveloppe convexe. Il se repr´esente comme un graphe
Γ
f=[b1,...,b g], o`u gest le nombre de sommets g´eom´etriques et les bi−1
le nombre de sommets plats entre deux sommets g´eom´etriques cons´ecutifs,
comme l’illustre les quelques exemples donn´ees dans la figure 1.
Nous ´etudions dans cet article, le cas le plus simple : celui pour lequel il
n’y a qu’une classe de sommets g´eom´etriques (les unit´es positives). Lorsque
l’anneau des entiers v´erifie cette propri´et´e, nous disons que le corps est plat,
et nous en donnons une caract´erisation simple. Pour chaque classe de con-
gruence de dmodulo 4 il n’y a que certaines classes permises de bmodulo
4. Nous montrons, par des m´ethodes analytiques, que pour chacune de ces
valeurs permises il y a une infinit´e de corps du type Γ(d)=[b] et nous calcu-
lons les densit´es relatives de ces corps suivant la valeur de b. Nous avons ´et´e
conduit `a modifier l´eg`erement la d´efinition originale des densit´es de Dirichlet
`a cause du trop petit nombre de corps plats dans l’ensemble de tous les corps
quadratiques. En d´efinitive nous trouvons que la densit´e des corps plats de
1

type Γ(d)=[b] est proportionnelle, `a une constante universelle pr`es, `ala
fonction arithm´etique suivante
ρ(b)= 1
bQp|kµ1−1
p2−1¶
1 Les ordres plats
Nous reprenons les notations de [Igl94]. Nous consid´erons un ordre Dfde
conducteur fd’un corps quadratique K, et nous supposons que Γ
f=[b].
Soit εl’unit´e positive fondamentale de Df, cela signifie que tous les points
minimaux entre 1 et εsont align´es. Il n’y a donc dans ce cas qu’un sommet
g´eom´etrique (la classe de l’unit´e) et b−1 sommets plats.
1.1 D´ efinition. Nous dirons qu’un ordre Dfde Q(√d) est plat s’il existe
un entier naturel btel que Γ
f(d)=[b]. Nous dirons, de mˆeme, que le corps
Q(√d) est plat si son anneau des entiers est plat.
1.2 Th´ eor` eme.Soit Dfun ordre de Q(√d)et εson unit´e fondamentale
positive, alors Dfest plat si et seulement si il existe deux entiers b>0et r
tels que ε=1+b(r+fω), avec r>0si d≡2ou 3mod 4et r>−f/2si
d≡1mod 4. De plus :
d≡2ou 3mod 4⇒f2d=r2+2r
bet ε=1+b³r+f√d´(1)
d≡1mod 4⇒f2d=R2+4R
bavec R=2r+f
et ε=1+b
2³R+f√d´(2)
Dans les deux cas Γ
f(d)=[b].
D´ emonstration. Supposons que Dfsoit plat, alors ε=1+bu et u=
r+sfω, il faut montrer que s= 1. Mais sest le volume du parall´elogramme
d´efini par le couple de vecteurs (1,1+u), or comme ce paral´elogramme
2

est `a sommets entiers, qu’il ne contient de points entiers ni sur ses faces
ni `a l’int´erieur (par hypoth`ese) : det(1,1+u) = 1, c’est-`a-dire s=1.
R´eciproquement, si ε=1+bu avec u=r+fω, alors le nombre de points
entiers contenus `a l’int´erieur du parall´elogramme d´efini par (1,ε) est ´egal `a
det(1,ε)−1=b−1. Nous connaissons d´ej`a les b−1 points entiers 1 + ku,
k=1...b−1, il n’y en a donc pas d’autres, le graphe de Dfest donc du
type [b]. ¥
Le th´eor`eme pr´ec´edent peut aussi s’interpr´eter de la fa¸con suivante :
1.3 Proposition.Soit b>0et r>0deux entiers tels que bdivise 2r. Soit
f2le facteur carr´eder2+2r/b et dson facteur sans carr´e, si dest congru
`a 2ou 3modulo 4, alors l’ordre Dfde Q(√d)est plat et Γ
f(d)=[b]. Son
unit´e fondamentale positive εest donn´ee par la formule 1.
1.4 Proposition.Soit b>0et R>0deux entiers tels que bdivise 4R.
Soit f2le facteur carr´edeR2+4R/b et dson facteur sans carr´e, si dest
congru `a 1modulo 4,etsiRest congru `a fmodulo 2alors l’ordre Dfde
Q(√d)est plat et Γ
f(d)=[b]. Son unit´e fondamentale positive εest donn´ee
par la formule 2.
Donnons une interpr´etation des nombres bet r(ou R). Rappelons que le
discriminant de l’ordre Dfest ´egal au carr´e du volume du r´eseau engendr´e
par {1,fω}, c’est-`a-dire : Df=f2dsi d≡1 mod 4, et Df=4f2dsi
d≡2 ou 3 mod 4. Consid´erons le r´eseau engendr´e par {1,ε}et soit Dεson
discriminant, on peut constater que dans tous les cas :
Dε=b2Dfi.e. b=sDε
Df
.(3)
L’interpr´etation de rdans le cas d≡2,3 mod 4, et Rdans le cas d≡1
mod 4 est apparemment moins naturelle, elle est li´ee `a la trace de l’unit´e
fondamentale ε, on peut constater que :
R=1
btr(ε−1) si d≡1mod4
r=1
2btr(ε−1) si d≡2,3mod4
(4)
3

Ilyabeaucoup d’ordres plats dans Q(√d), il est d’ailleurs possible de les
d´ecrire tous.
1.5 Proposition.Toute unit´e positive de l’anneau des entiers du corps Q(√d)
est l’unit´e fondamentale d’un ordre plat maximal.
D´ emonstration. Soit εune unit´e positive de l’anneau des entiers de
Q(√d), telle que ε>1. Soit u=ε−1, il se d´ecompose sur la base {1,ω}
en u=n+mω, avec net mentiers naturels. Soit b=n∧w,r=n/b et
f=m/b de telle sorte que u=b(r+fω)etε=1+bu. Soit Dfl’ordre
engendr´epar1etfω, on est dans le cadre du th´eor`eme 1.2 : Γ
f(d)=[b]et
εest l’unit´e fondamentale positive de Df. Si nous n’avions pas pris le pgcd
de net m, mais un diviseur quelconque b0(b=kb0) nous aurions pu poser
de la mˆeme mani`ere r0=n/b0,f0=m/b0et u0=r0+f0ω. De telle sorte que
ε=1+b0(r0+f0ω) soit l’unit´e fondamentale positive de Df0. Mais l’ordre
Df0={1,f0ω}={1,kfω}est contenu dans Df,Dfest bien l’ordre plat
maximal d’unit´e fondamentale positive ε.¥
On peut ainsi associer `a toute unit´e εde l’anneau des entiers de Q(√d), un
ordre plat maximal Dεd’unit´e positive fondamentale ε. Les ordres plats de
tout corps Q(√d) sont donc index´es par N∗.
2 Etude des corps plats
Nous identifierons comme d’ordinaire, l’ensemble des corps quadratiques r´eels
Q(√d)`a l’ensemble des nombres entiers sans facteur carr´e d. Nous noterons
Qce dernier ensemble et νsa fonction caract´eristique (le module de la fonc-
tion de M¨obius) :
ν(1)=1,et si n6=1: ν(n)=(1sinest sans facteur carr´e
0 sinon. (5)
Nous diviserons notre ´etude des corps plats Q(√d) suivant la congruence de
dmodulo 4, soit :
Qi(b)={d∈Q|Γ(d)=[b]etd≡imod 4}i=1,2,3.(6)
4

D’apr`es la proposition 1.2 nous savons que Q(√d) et plat si et seulement si
il existe deux entiers ret b,ouRet b, tels que d=r2+2r/b si d≡2,3
modulo 4 ou d=R2+4R/b si d≡1 modulo 4. La proposition suivante
pr´ecise cette d´ecomposition suivant r(ou R)etb.
2.1 Proposition.Soit Q(√d)un corps quadratique r´eel, alors :
1. Q(√d)est plat, d≡1mod 4et Γ(d)=[b]si et seulement si best
impair et s’il existe un entier impair R0sans facteur carr´e tel que d=
R0(R0b2+4) et tel que R0b2+4 soit sans facteur carr´e.
2. Q(√d)est plat, d≡2mod 4et Γ(d)=[b]si et seulement si
•b≡0mod 4et s’il existe un entier r0≡2mod 4sans facteur
carr´e, tel que d=r0[r0(b/2)2+1] et tel que r0(b/2)2+1 soit sans
facteur carr´e.
•b≡2mod 4et s’il existe un entier r0≡1ou 2mod 4sans facteur
carr´e, tel que d=r0[r0(b/2)2+1] et tel que r0(b/2)2+1 soit sans
facteur carr´e.
3. Q(√d)est plat, d≡3mod 4et Γ(d)=[b]si et seulement si
•b≡0mod 4et s’il existe un entier r0≡3mod 4sans facteur
carr´e, tel que d=r0[r0(b/2)2+1] et tel que r0(b/2)2+1 soit sans
facteur carr´e.
•best impair et s’il existe un entier impair r0sans facteur carr´e,
tel que d=r0(r0b2+2) et tel que r0b2+2 soit sans facteur carr´e.
De plus, dans chaque cas de congruence de bmod 4,lad´ecomposition ci-
dessus est unique.
D´ emonstration. Analysons la d´ecomposition de dsuivant les cas :
1) d≡1mod4.
En vertu du th´eor`eme 1.2, R=2r+ 1 (avec f= 1) est impair, puisque bdoit
diviser 4R,ona:
5