Équations aux dérivées partielles. Exercice 1. Résoudre l’équation ∂2 u ∂x2 = 0. Solution. Ce sont les fonctions qui s’écrivent ( x, y) 7→ x f (y) + g(y). Exercice 2. Résoudre l’équation ∂2 u ∂x∂y = 0. Solution. Ce sont les fonctions qui s’écrivent ( x, y) 7→ f ( x ) + g(y). Exercice 3 (équation d’advection). Soit a un nombre réel non nul. L’équation d’advection associée à a consiste à trouver une fonction de classe C 1 de Rn × R+ dans Rn telle que ( ∂u ∂u ∂t ( x, t ) + a ∂x ( x, t ) = − u ( x, t ) u( x, 0) = f ( x ). 1. On pose φ( x, t) = x − at x + at Montrer que φ est un C 1 -difféomorphisme et calculer φ−1 . 2. On pose v(y, z) = u ◦ φ−1 (y, z). Montrer que u vérifie l’équation d’advection −1 si et seulement si ∂v ∂z ( y, z ) = cv ( y, z ) où c : = −(2a ) . 3. Montrer que l’équation différentielle ∂v ∂z ( y, z ) = cv ( y, z ) a pour solutions les cz fonctions de la forme (y, z) 7→ α(y)e où α est une fonction réelle. 4. Montrer que la solution de l’équation d’advection est donnée par u( x, t) = f ( x − at)e−t . Exercice 4 (équation des ondes). On cherche une fonction u de classe C 2 telle que 2 ∂ u 2 ∂t2 ( x, t) − a ∆u( x, t) = 0 u( x, 0) = f ( x ) ∂u ∂t ( x, 0) = g ( x ). x − at 1. On pose φ( x, t) = Montrer que φ est un C 1 -difféomorphisme et x + at calculer φ−1 . 1 2. On pose v(y, z) = u ◦ φ−1 (y, z). Montrer que u vérifie l’équation des ondes si et seulement si ∂2 v (y, z) = 0. ∂y∂z 3. Montrer que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme (y, z) 7→ α(y) + β(z) où α, β sont des fonctions de classe C 1 . 4. Trouver une solution à l’équation des ondes. Exercice 5. On cherche à résoudre l’EDP suivante : ( ∂u a ∂u ∂x ( x, y ) + b ∂y ( x, y ) = 0 u( x, 0) = f ( x ) où f est une fonction C 1 et a, b sont des nombres réels qui ne sont pas tous les deux nuls. 1. Résoudre l’équation lorsque a est nul ou lorsque b est nul. 2. Résoudre l’EDP lorsque a et b sont tous les deux non nuls. Exercice 6 (équation de Fourier : ?). On rappelle que l’équation de la chaleur consiste à trouver une fonction u : R × R+ de classe C 2 telle que ∂2 u ∂u ( x, t) = κ 2 ( x, t) ∂t ∂x où κ est une constante non nulle. Par simplicité, on supposera que κ = 1 dans cet exercice. 1. On suppose qu’il existe une solution « à variables séparées », c’est-à-dire vérifiant u( x, t) = f ( x ) g(t) avec f , g deux fonctions de classe C 2 . Montrer qu’il existe un nombre réel ω tel que g est solution de l’équation g0 = ωg et f est solution de l’équation f 00 = ω f . 2. Trouver toutes les solutions à variables séparables (sans tenir compte de la condition initiale). Exercice 7. On considère l’EDP suivante : ∂u ∂u + 2t =0 ∂t ∂x On pose φ(t, x ) = (t, x + t2 ). 1. Montrer que φ est un difféomorphisme et calculer son inverse. 2 2. On pose v(r, s) = u ◦ φ(r, s). Montrer que u est solution de l’équation si et seulement si v est solution de l’équation ∂v = 0. ∂r 3. Résoudre l’équation. Solution. C’est toujours la même chose. Les solutions sont de la forme u(t, x ) = f ( x − t2 ). Exercice 8 (vibrations du tambour : ?). Une peau est fixée sur un tambour circulaire de rayon 1. Sa hauteur au point x, y et à l’instant t est notée u( x, y, t). La fonction u vérifie l’équation des ondes : ∂2 u = c2 ∂t2 ∂2 u ∂2 u + 2 ∂x2 ∂y où c est un paramètre réel non nul. Elle vérifie aussi la condition au bord u( x, y, t) = 0 lorsque x2 + y2 = 1 (la peau est fixée sur le bord du tambour). Dans cet exercice, on propose de résoudre intégralement cette équation dans le cas radial, c’est-àdire lorsque u ne dépend que de t et de x2 + y2 . On commence par écrire u en coordonnées polaires : v(r, θ, t) = u(r cos(θ ), r sin(θ ), t). Comme v ne dépend pas de θ, on écrira simplement v(r, t). 1. Montrer que v vérifie l’équation suivante : ∂2 v = c2 2 ∂t ∂2 v 1 ∂v + r ∂r ∂r2 . 2. On cherche des solutions à variables séparées, c’est-à-dire qui s’écrivent sous la forme v(r, t) = a(r )b(t) où a, b sont C 2 . Montrer que a et b vérifient l’équation suivante pour tous r, t : b00 (t) = c2 b(t) a00 (r ) + a0 (r )r −1 a (r ) . 3. En déduire qu’il existe une constante réelle κ telle que ( b00 (t) = κb(t) . ra00 (r ) + a0 (r ) = κra(r ) 4. Pour des raisons physiques, on s’attend à ce que la fonction b soit périodique. Montrer que dans ce cas, on a nécessairement κ < 0 et b(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt) où ω où ω, α, β sont des réels. 5. La deuxième équation s’écrit ra00 + a0 + νra = 0 3 (1) avec ν = −κ > 0. Il s’agit de l’équation de Bessel √ du premier ordre. Ses solutions bornées 1 sont de la forme uα : r 7→ αJ0 ( νr ) où α est un réel et J0 est la fonction de Bessel définie par J0 (r ) = (−1)n r 2n ∑ (n!)2 2 . n >0 Vérifier que les fonctions uα sont solutions de (1). Indication. L’expression en coordonnées polaires du laplacien a déjà été faite dans un exercice précédent. Pour la question 3, remarquer que la terme de droite de l’équation ne dépend que de t et celui de gauche ne dépend que de r, donc les deux termes sont égaux à une même constante. Le lecteur intéressé par l’équation des ondes et les vibrations du tambour pourra consulter de belles simulations sur le site http://www.falstad.com/circosc/. Les solutions radiales correspondent à la première colonne. Les solutions qui ne sont pas radiales s’expriment également grâce aux fonctions de Bessel, mais du deuxième ordre, et sont visibles sur la première ligne. 1. Là encore, les solutions non bornées sont écartées pour des raisons physiques. Il existe cependant des solutions non bornées de l’équation de Bessel ! 4