Équations aux dérivées partielles.

Équations aux dérivées partielles.
Exercice 1. Résoudre l’équation ∂2u
∂x2=0.
Solution. Ce sont les fonctions qui s’écrivent (x,y)7→ x f (y) + g(y).
Exercice 2. Résoudre l’équation ∂2u
∂x∂y=0.
Solution. Ce sont les fonctions qui s’écrivent (x,y)7→ f(x) + g(y).
Exercice 3 (équation d’advection).Soit aun nombre réel non nul. L’équation
d’advection associée à aconsiste à trouver une fonction de classe C1de Rn×R+
dans Rntelle que
(∂u
∂t(x,t) + a∂u ∂x(x,t) = −u(x,t)
u(x, 0) = f(x).
1. On pose
φ(x,t) = x−at
x+at
Montrer que φest un C1-difféomorphisme et calculer φ−1.
2. On pose v(y,z) = u◦φ−1(y,z). Montrer que uvérifie l’équation d’advection
si et seulement si ∂v
∂z(y,z) = cv(y,z)où c:=−(2a)−1.
3. Montrer que l’équation différentielle ∂v
∂z(y,z) = cv(y,z)a pour solutions les
fonctions de la forme (y,z)7→ α(y)ecz où αest une fonction réelle.
4. Montrer que la solution de l’équation d’advection est donnée par u(x,t) =
f(x−at)e−t.
Exercice 4 (équation des ondes).On cherche une fonction ude classe C2telle
que
∂2u
∂t2(x,t)−a2∆u(x,t) = 0
u(x, 0) = f(x)
∂u
∂t(x, 0) = g(x).
1. On pose φ(x,t) = x−at
x+atMontrer que φest un C1-difféomorphisme et
calculer φ−1.
1

2. On pose v(y,z) = u◦φ−1(y,z). Montrer que uvérifie l’équation des ondes
si et seulement si ∂2v
∂y∂z(y,z) = 0.
3. Montrer que les solutions de cette équation différentielle sont de la forme
(y,z)7→ α(y) + β(z)
où α,βsont des fonctions de classe C1.
4. Trouver une solution à l’équation des ondes.
Exercice 5. On cherche à résoudre l’EDP suivante :
(a∂u
∂x(x,y) + b∂u ∂y(x,y) = 0
u(x, 0) = f(x)
où fest une fonction C1et a,bsont des nombres réels qui ne sont pas tous les
deux nuls.
1. Résoudre l’équation lorsque aest nul ou lorsque best nul.
2. Résoudre l’EDP lorsque aet bsont tous les deux non nuls.
Exercice 6 (équation de Fourier : ?).On rappelle que l’équation de la chaleur
consiste à trouver une fonction u:R×R+de classe C2telle que
∂u
∂t(x,t) = κ∂2u
∂x2(x,t)
où κest une constante non nulle. Par simplicité, on supposera que κ=1 dans cet
exercice.
1. On suppose qu’il existe une solution « à variables séparées », c’est-à-dire
vérifiant u(x,t) = f(x)g(t)avec f,gdeux fonctions de classe C2. Montrer
qu’il existe un nombre réel ωtel que gest solution de l’équation g0=ωget
fest solution de l’équation f00 =ωf.
2. Trouver toutes les solutions à variables séparables (sans tenir compte de la
condition initiale).
Exercice 7. On considère l’EDP suivante :
∂u
∂t+2t∂u ∂x=0
On pose φ(t,x) = (t,x+t2).
1. Montrer que φest un difféomorphisme et calculer son inverse.
2

2. On pose v(r,s) = u◦φ(r,s). Montrer que uest solution de l’équation si et
seulement si vest solution de l’équation
∂v
∂r=0.
3. Résoudre l’équation.
Solution. C’est toujours la même chose. Les solutions sont de la forme u(t,x) = f(x−t2).
Exercice 8 (vibrations du tambour : ?).Une peau est fixée sur un tambour cir-
culaire de rayon 1. Sa hauteur au point x,yet à l’instant test notée u(x,y,t). La
fonction uvérifie l’équation des ondes :
∂2u
∂t2=c2∂2u ∂x2+∂2u ∂y2
où cest un paramètre réel non nul. Elle vérifie aussi la condition au bord u(x,y,t) =
0 lorsque x2+y2=1 (la peau est fixée sur le bord du tambour). Dans cet exercice,
on propose de résoudre intégralement cette équation dans le cas radial, c’est-à-
dire lorsque une dépend que de tet de x2+y2. On commence par écrire uen
coordonnées polaires : v(r,θ,t) = u(rcos(θ),rsin(θ),t). Comme vne dépend pas
de θ, on écrira simplement v(r,t).
1. Montrer que vvérifie l’équation suivante :
∂2v
∂t2=c2∂2v ∂r2+1
r
∂v
∂r.
2. On cherche des solutions à variables séparées, c’est-à-dire qui s’écrivent
sous la forme v(r,t) = a(r)b(t)où a,bsont C2. Montrer que aet bvérifient
l’équation suivante pour tous r,t:
b00(t)
b(t)=c2a00(r) + a0(r)r−1 a(r).
3. En déduire qu’il existe une constante réelle κtelle que
(b00(t) = κb(t)
ra00(r) + a0(r) = κra(r).
4. Pour des raisons physiques, on s’attend à ce que la fonction bsoit pério-
dique. Montrer que dans ce cas, on a nécessairement κ<0 et b(t) = αcos(ωt) +
βsin(ωt)où ωoù ω,α,βsont des réels.
5. La deuxième équation s’écrit
ra00 +a0+νra =0 (1)
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avec ν=−κ>0. Il s’agit de l’équation de Bessel du premier ordre. Ses
solutions bornées 1sont de la forme uα:r7→ αJ0(√νr)où αest un réel et J0
est la fonction de Bessel définie par
J0(r) = ∑
n>0
(−1)n
(n!)2r
22n.
Vérifier que les fonctions uαsont solutions de (1).
Indication. L’expression en coordonnées polaires du laplacien a déjà été faite dans un exercice
précédent. Pour la question 3, remarquer que la terme de droite de l’équation ne dépend que de t
et celui de gauche ne dépend que de r, donc les deux termes sont égaux à une même constante.
Le lecteur intéressé par l’équation des ondes et les vibrations du tambour pourra consulter
de belles simulations sur le site . Les solutions radiales cor-
respondent à la première colonne. Les solutions qui ne sont pas radiales s’expriment également
grâce aux fonctions de Bessel, mais du deuxième ordre, et sont visibles sur la première ligne.
1. Là encore, les solutions non bornées sont écartées pour des raisons physiques. Il existe ce-
pendant des solutions non bornées de l’équation de Bessel !
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