SUR LES LOIS DE PROBABILHTBS IDEMPOTENTES

PROBABlLlTY
.
AND
MATHEMATICAL STATISTICS
SUR LES LOIS DE PROBABILHTBS IDEMPOTENTES
DANS
LES DEMI-GWOUPES
.. - .
PAR
ALBERT T O B T R A T (BARE)
Abstract. We improve theorems of Mukherjea and Tserpes on
idempotent (probability) laws p in locally compact (1.c.) semigroups
S to the case d completely regular (c.r.) S with z-regular laws.
1. Introduction. Comrne it est dit dans [2], p. 28, le cas ou S est un groupe
1.c. (alors toute loi z-rkgulihre est de Radon) fiit reconnu indkpendamment par
plusieurs auteurs: p est loi de Haar sur un sous-groupe compact. Cependant
dans [3] la preuve est donnke dans S c.r. pour p de Radon (= t-rCgulilre, ou
reguliere au sens de [2]), et aussi que {pa = p) est un sous-groupe compact
pour toute loi p de Radon, resultat que ne contient pas ce qui va suivre (pa note
la convoluCe p6 (a)).
Tout ce qui suit risulte de l'adaptation de l'avancke fondamentale que
furent en 1972 (cf. [I]) les thtorlmes de Mukherjea et Tserpes, essentiellement
la proposition 3.14 de [2]. Nous bornant au cas de probabilitks comme
mesures, nous pouvons simplifier la prksentation.
Pour p = p2 de support S (rkduction toujours possible, pv note la
convoluee de p et v) un resultat de [2], demeure dans tous les cas: le noyau
K de S s'ecrit encore K = EGF complGtement simple, mais i1 est-seulement
dense dans S, si p,, projection de p sur G (obtenue en agissant sur les fonctions
de q1(G) - a valeurs dans [0, I]), n'est pas "t-rtguli6re et symktrique". De
plus, p,, notke m, est invariante a droite et a gauche, dans le sous-groupe
G (fermk ainsi que E, F, EG et GF) de S. m = m2 est unique et pure en ce sens
qu'elle est t-rigulilre ou sans composante telle (nous la dirons alors z-pure ou
purement z-rdguliire). I1 sufit que m soit t-rkguliere (a fortiori p telle) et
symktrique, pour que G soit compact, donc K fermk et S = EGF, suivant le
theorem 2.14 de [2]('). En ce cas on peut afirmer que p = p,mp,, sur la tribu
(I) Page 147 de [4] nous avons affirme l'isomorphisme topologique de EGF et E x G x F,
avant de formuier, au bas de la page, I'hypothtse que G soit topologique (- g-' continue), et sans
en donner la preuve.
12
-
PAMS 16.1
178
A. Tortrat
borelienne a,de S, pour la topologie F de S. Sinon cette egalit6 n'a plus qu'un
sens en gtneral plus hible, parfois meilleur (cf. (iii) du thkoreme 5.2).
2.1. Nous renvoyons a 161, pp. 132-133, pour les dkfinitions kquivalentes
de la T-regularit6 d'une mesure. Nous supposons que S est un demi-groupe
topologique (x x y + x y est (bi)continue), et c.r.
Rappelons que :
(i) La famille des Z =f (0) (f E%" (S)) est d'unicitk pour les lois
z-rkgulieres, qui satisfont par dkfinition 1 ph 10 avec f,J 0, pour f,E V1 ou s.c.s.
(semi-continues superieurement; s.c.i. semi-continues inferieurement).
. (ii) La convolution est definie et bicontinue pour toutes ces lois dans un
demi-groupe c.r.
(iii) La "formule de Fubini" assure que
-
rnais il est igalement vrai que, outre la continuit6 de pa, soit de paf
on a
= 1f (sa)p (ds), avec
(1)
puf est s.c.i. ou s.c.s. avec f (telles I,, I,),
ce qui suffit a exprimer la continuite de pa, car la convergence pa + p (sur W1)
tquivaut i
-
(2)
limp,Z < pZ, sur la famille des 2, pour toutes les lois, m2me non
z-rkgulilres.
2.2. TH~OREME.
On suppose pv = p (tquation de Choquet-Deny) et vp = p.
Alors on a
(3)
pas = ps pour tous s E S,, a E S , (supports de p, v), et sap = SF.
P r e u v e . C'est celle de 3.14 de [2]. I1 suffit de prouver pas(Z) = p ( Z )
pour tous Z. Soit ps(Z) = c et Z =f (O), I: = (x: f (x) 2 q ) ,
u = ('x: f (x) < q ) , q 6tant tel que (cela est loisible) psF-< c+&. Posons
A = (x: px(F) 2 c+E).
A est fermt, vu (2) appliquk aux px,, x, + x, et pAc > 0 puisque s E S,nAc. Si
g (x) = (px ( f ) - c - e ) ' ,
on drifie, separkment dans A et A', que
PV = p = - g ( y ) G VYg?
puis que
VP= P = V ' I V Y ~ - ~ ( Y =
) ) 0.
Ainsi g = vyg p-p.s. en y. Pour ces y, pris dans A", on a g ( y ) = 0 * g(xy) = 0,
.
Sur les lois
v-P.S. en x. Prenant x,
4
de
probabilitds idempotentes
x E S,, et y, + s, on en deduit
-
pxs{U) < limpx,ypU
soit p s Z
< psZ
179
pour tout x de S,. Vu pv
<c+&,
= p,
assure ps (2)= pxs (2)v-p.s. en x, donc pour tout x E S,. ra
COROLLAIRE.
p. .= pZ de support S (demi-groupe topalogique) implique
pa. sa = p s v a= pa,
(4)
pah
= pa
dbf pour tout h G H = Sa support de pa.
H est un demi-groupe f i r m i dans S) vtr$ant, vu (31,
-
-
E-ls = ss,
donc
- H S = SaS 3 SS
dtf
3.1. Ainsi, posant aS = H', m = apa est une loi invariante i droite et
a gauche dans H r n H (A droite dans H , A gauche dans H'), de support
dtf
aSadef
= Q c H ' n H = G,;
Q est un demi-groupe, comme aSa, tel que
- (6)
Q h = h f Q = Q pour tous h ' , i z ~ H ' , H .
Fixons q et q' de Q. q'Q et Qq sont simplifiables z i gauche et a droite
respectivement. En effet, q'q, .q'q, = q'q, .q' q , n'est autre que sq, = sq, avec
s = q'q, q', et si tas -t q' (vu (6) avec h = s E Q),
dbf
3.2. Suivant [2], p. 17, il existe E = e2 E A = qlQq.
L'ingknieuse mkthode de [2], qui concernait m invariante a droite mais
non ntcessairement bornee (de Radon dans S 1.c.) prouve I'existence de E E A
avec EX = E'X pour un x de A, donc E = E,, vu la simplifiabilite de A.
La preuve est baske sur la considkration de 8 (A x A), image de A x A pour
8(x, y) = (x, yx). Comme on vkrifie de suite, en prenant Ies sections par
180
A. Tortrat
vu la sirnplifiabilite dans A; il s'en suit que 8 (A x A) coupe son symktrique, donc
il existe u, v, x, z dans A, tels que (u, vu) = (zx, x), d'oA EX = E'X pour s = vz. 1
I1 faut noter que m = qf mq est dkfinie sur la tribu des parties 3 de Q telles
que qf-I Bq-I soit m-mesurable (par exemple, tgale a Q), donc m est definie
pour A. On a ainsi, puisque E E Q, mE = m, et puisque QE est fermke avec Q,
.
-
- Q E = E Q = Q et ~ = q ' q ~ q - q ' Q ~ &
et QQ q 3 Q & * q Q = Q q = Q .
Ainsi, vu 3.1, Q est un groupe. e note maintenant l'unitk de Q.
3.3. H at H' sont, respectivement, un groupe droite et urz ci gauche, et
H'nflZf G (ou G,) est un yrouga fermi) qui a m3me unit6 E que Q c G.
Preuve. (i) H i = HE = H vu (5").
Vu (61, on a QH c Q, donc (cf. (5")) QHh est dans QnHh, qui, idbal
B gauche (non vide) dans le groupe Q, Cgale Q.
(ii) E etant ainsi dans tout Hh, on a HEc HHh c Hh = H, soit
= H pour tout h, donc H est un groupe i gauche, car H est
sirnplifiable a droite.
(7) Hh
En effet,
donc E est identitt i-droite dans H, comme tout -idernpotent de H (vu (5")).
Prenant,
vu -(7), hh = E , on a hhohh = h ~ h= hh. Alors h, h = h, h
=h,hh = h2hh, donc h, = h,.
4.1. H est id6al minimal a gauche dans S.
En effet, si H 3 I ideal A gauche dans S, I rest a fortiori dans H, qui n'en
a pas de propre vu Hh = H. Ainsi I = H. Alors H 3 Sa 3 H implique
(8)
tous les Ss sont ferinks et H
= Sa.
On vCrifie que Ies Hs sont aussi minimaux comme idtaux a gauche, donc
Cgaux ou disjoints.
4.2. K%f SaS = HS est iddal minimal duns S (est son noyaea).
En effet, I idCal bilatere dans S + I H = ISa c H et I, donc (vu 4.1)
I H = H c I. Alors Hs c Is c I implique K = HS c I. Soit maintenant I idCal
dans K. Pour tout i = sfas E I, on a (vu (7))
Sur les lois de probabilitis idempotentes
181
c'est-a-dire que dans K comme dans S, un idbal $ gauche (d droite) est rkunion
de Hs (sH). Les idiaux de K le sont dans S, et K n'a pas d'idkal propre, on le dit
simple (comme demi-groupe).
43. On vient de voir que les Hs (tous c K = H S ) sont idkaux B gauche,
minimaux, dans K. I1 est alors tres simple (cf. 2.8 de 121) de prouver que les
sf H ' n H s sont des groupes, dont les unitks E,,,, sont des idempotents e primitifs,
c'est-a-dire non absorbables (fe = ef =f ) par un autre idernpotent j. L'idkal
K est dit compldtement simple.
Pour E (ci-dessus) = s'a = as on obtient le groupe G = G, ci-dessus, et,
vu (71, - SE=SQS et
K&=SaSas= UHh-s=Hs.
~ E H
(9)
-dbf
SE = KE, EKE= ESE,EKE= Qp
= ESE=
Go = Qa (le Q de 3.1) vu
Q, = USSS'a c Q, c G,.
4.4. On sait que K completement simple (cf. [2] ou [4]) s'bcrit EGF, oi
E est l'ensemble des e = e2 vkrifiant e~ = e (alors ee' = e), F celui des f =f
E E=~f (f'f =f), et FE c G.
G = H'nH est fermk, ainsi (vu (8)) que SE= EG, ES= GF. E et F sont
fermks, car E =f,-' (E)pour
f (s) = ES de S dans GF. Mais on ne sait K fermk
- (alors K = S puisque S = SS 2 K 3 SS) que si g-I est, dans G, une fonction
continue de g, c'est-$-dire lorsque G est comme sous-groupe demi-topologique
de S ( g x g' + gg' est continue), un groupe topologique. Cela est assure (theoreme de Ellis, cf. [2]) dGs que G est 1.c. avec seulement gg' dparkment
continue.
5.1. rn dkfinie par apa, dans G, comme loi invaiiante 5 droite sur son
support (alors idempotente et aussi invariante a gauche suivant le corollaire 2.2), est' unique.
..
En effet, si rn' en Ctait une autre on aurait m' = m = m'. Elle est aussi ou
z-pure, ou t-rtguliere, car (cf. [ 5 ] , $ 2.3.3), si m = rn, rn, de variations ol = m, G
et f? = 1-a, l'invariance de m implique mm, = am, m, m = flm. La partie z-pure
de mm, = m2 + m, mr ne pouvant "dkpasser" o12, m, rn, est t-rkguliere, et aussi
bien z-pure, donc olfl = 0.
R e m a r que. Nous ne savons pas si la continuitk de s x s' + ss', dans S,
impIique pour les G du noyau K compl&tementsimple, que g-I est mesurable.
d6f
Si oui, m' A = mA-' egale mA: m est symktrique. La mesurabiliti supposke ne
dkpend pas du G choisi, c'est une proprittt de K. Elle entraine g-I continue si
m existe, de Radon (cf. la fin de 5.2), mais non, en general, dans Ie cas contraire
+
182
A. Tortrat
(prendre dans RZ Ies voisinages A x A' avec A = [a, b [ , A' de meme, ou la
circonfkrence uniti avec les [ O , 0+ s[).
5.2. MOREME.
(i) Si m est t-rkguliire et symktrique, G est compact,
S = EGF, g-I est continue et on a
(10)
P = 1 1~~ P* F
(ii) Sinon, (10) vaut hour p trace), dans EGF = K , sur la tribu
dK= i3 ( jaG
~g;)
(engeirdrie par les B' BB" dans K , auec B' E gk, ...), 04 g E ,par exemple, dksigne
la tribu, dans E, des bases 3 de cylindres BG€BEG(tribu truce sur EG, de
3 dijinie ii IaJin du 5 I). Cette tribu d, peut dtre entendue dans S, deuenant
gS c B, en remplagant les ABC par l'intersection des "cylindres" correspondants
dans S. Ainsi le cylindre n i l A (nE projection de S dans E ) est
soit AEG8-l, ou AEGE BEGpuisque A E ak.
Aussi bien (10) vaut pour tout BE^, tel qur B n K ~ d , ,soit l'ensernble
not6 gS.
(iii) Duns le cas particulier ozi Bi = a,,
= gF,
(10)vaut dans S sur la
tribu borelienne pour une topologie Y' induite duns S par Ie produit (dans
E x G x F) des traces YE,F G , FF,de F sur E, G, F.
Si la trace YKde Y est moins fine que YEFG
SF(image de la pricidente
pour E x G x F -+ EGF), et si dans S on choisit F' Cgalement plusJine qese F ,
p est ainsi prolongke, par (lo), univoquement, de
a B'.
P r euve. Puisque s -+ S E est continue, p~ est une loi dans EG, sur BEG
tribu
qui est A la fois BnEG et ensemble des bases 3 de tous les "cylindres"
BE-' EL@.
De meme pour cp et a,,, E ~ =
E m et g G .
(i) Si m est t-rCguli2re et symCtrique, prenant rnC > 1/2, avec C compact,
C c G, on a mC-l = mC, et, vu l'invariance de m, C - l g coupe C pour tout
g de G, donc G c CC. Ainsi (cf. 4.4) g-I est continue, et la preuve qui suit est
celle de 121 (8 3.16) d2s lors que m est unique dans G:
Pour les fonctions cp (e)ij ( g ) de g1(E) V 1(G), p~ (rp$) est pour rp fixCe, une
mesure z-rkguli2re invariante a droite, donc proportionnelle a m$. Le facteur,
comrne fonction linCaire et "positive" de cp, s'kcrit alors pE rp. La tribu gEG
est
isomorphe a B ( E x G) pour YEx YG(et EG homkomorphe a E x G). Vu les
z-rigularitis, p = p E q tant au sens de l'image de p, x rn dans EG, que de la
convolution de pE et m Ctendues A g E G ,car p,mB en ce 2""" sens, se riduit A
ce B de droite ktant pris dans E x G.
.
Sur les iois de probabilitls idempotentes
183
Alors P E - E convolution
~,
dans S, est aussi, suivant (11) qui vaut encore,
l'irnage de (pEx m)x (mx p,). Cette image cst la meme que celle de pE x rn x pg.
Comme pour pr et rp, (lo), peut 8tre entendue aux deux sens susdits (image du
produit de ces lois pris dans E x G x F ou S x S x 9.
(ii) On a encore (prendre y (e) a;-mesurable), p~ = pE A rnB pour les AB
avec B E BGet A EL& (SOUS
tribu de SEdifinie dans I'inonce). Si TEG
n'est pas,
dans E x G , le produit FE
x FG
(: est rnoins fine), ceux des ouverts de EG qui
sont des G-cylindres dkfinissent une topologie F k dans El qui pourrait Etre
triviale I?), et
ne peut Btre rattachee i g(.F(E).
Elle contient les ouverts
0 pour YEqui sont tels que, en outre, OG E BEG.La convoluee p, m existe dans
EG sur la tribu G(W~W,)= B;,, au sens de la formule (1 I), car cette formule
a un sens dans E x G sur la tribu isomorphe a (gE
x B',) (Ex G ++ EG, sans
bicontinuitk).
I1 est prkfkrable de se limiter A ce seul premier sens: image de E x G dans
EG, la convolution au sens de S x S 4 S, ici S = EG ne pouvant &tred6finie en
toute gtneralite.
La convolube p ~~p- = QY, dans S, s'tcrit eicore, comme dans (11)
elle ne d6pend que de A n K , et a un sens aussi dans 52, x In, = EG x GF, muni
de a (BEG
x a,,),ou B IFE, x FG,)
vu les z-rtgularitks. Mais sur a (gEG
x a;;,)
seulement, p s'ecrit aussi (dans (E x G) x (G x F)) (pEx m)x (mx pF), et son
image dans S (ou EGF avec la mesure trace de la prkcidente, pA = 0 si
AnK = 0)est celle du pE x rn x pF. Elle est 1imitCe dans K i &, et dans S nous
pouvons choisir la sous-tribu de B,qui a 4, pour trace sur K - notke @s dans
l'Cnonc6 - ou encore la tribu
Ainsi (10) vaut dans K , au premier des deux sens dits en (i), mais seulement
sur &,. Elle vaut aussi dans S au premier sens (E x G x F + S) sur toute tribu
de trace
sur K.
(iii) Si BE= BE, a; = aPlpE x rn x pF est dkfinie dans E x G x F, par
z-rCgularitC, sur la tribu borCIienne pour YEx 9,
x FF,
donc sur la tribu
isomorphe dans K = EGF, contenant gK initiale, que nous notons
a(FZ)= Bk, avec F;,= YEFGFF.
La convolution (10) vaut ainsi sur WZ au
premier sens, ou encore, dans S, sur toute autre tribu ayant cette BKpour trace.
Ce peut Ztre la tribu borklienne pour la topologie 5'
dkfinie dans S pour les
"cylindres" de base ouverte dans K (ou tout autre topologie de mimes traces
non vides, que F sur K, alors K reste dense dans S). En ce cas, la convolution
(10) est pleinement difinie au 2'"' sens aussi dans (S, a'). On peut adjoindre
$ F' tous les ouverts pour F , pour assurer 93' 2 a.
as.
a,
5.3. Ce qui prCdde Ctend la familie des p = p2 aux p = pEmpF avec pE et
pF seulement z-rkguliikes, mais pose la question de l'existence dans un groupe
184
A. Tortsat
G demi-topologique, de lois rn = m2 qui ne soient pas t-r8guliCres (donc sont
z-pures), ou qui, 1' Ctant, ne soient pas symktriques.
Un exemple d Btudier pourrait &re le suivant: il existe une ropologie F'
moins fine que ceIle 9-de G, qui rende la restriction m, de rn a &" (tribu
borelienne pour F')t-regullere et A gpl-mesurable (alors continue), et de plus,
il existe une base de 9-voisinages U de l'unitk E, qui E gm
(tribu
, complete pour
m,). Alors, ou a c ah, (et les compacts qui approchent m le sont pour 9'
mais
non pour F),ou on se demande B quelles conditions, G n'htant pas 5 a base
dknombrable, le ..
prolongement
. .
m8
=
sup rn, {
U ix i ) ,
finie
B partir de m,, a un sens: dtGnit une loi sur 92.
Nous avons montrh (p. 134 de Symposia Mathematica, Vol. XXI) qu'il
sufit que m soit filtrante croissante sur ces 0,soit que
sup 0 ,B ~ sup mu, 2 mu.
P.S. Nous remercions vivement le refire pour ses critiques qui nous ont
perrnis d'ameliorer la redaction de 3.2 et de forrnuler correctement le theo&me 5.2.
TRAVAUX CITES
[I] A. Mukherj ea and N. A. Tserpes, Inuariant measures and the converses of Haar's theorem on
semi-topological semi-groups, Pacilic J . Math. 21, No. 10 (1972).
[2] - Measures on Topological Semi-groups, Lecture Notes in Math. 547, Springer, Berlin 1800.
[3] A. Tortrat, Lois de probabilitC sur un espace, C R Ann. Inst. H. Poincari 1, No. 3 (1965),
pp. 217-237.
[4] - Lois tendues sur un demi-groupe topologique complPternent simple, 2.Wahrsch. verw. Gebiete
6 (1966), pp. 145-160,
[ 5 ] - Calcul des probabilitis, Masson, Paris 1971.
[6] -r-rkgulariti des lois, siparation au sens de A. TuIcea et proprittk de Radon-Nikodym, Ann.
--.
Inst. H . Poincark 12, No. 2 (1976), pp. 131-150.
Albert Tortrat
85, Rue de Paris
92190 Meudon, France
Receiued on 14.6.1993;
dejnitive version on 17.1.1 994