SUR LES LOIS DE PROBABILHTBS IDEMPOTENTES

PROBABlLlTY .
AND
MATHEMATICAL
STATISTICS
SUR LES LOIS DE PROBABILHTBS IDEMPOTENTES
DANS LES DEMI-GWOUPES
.. -.
PAR
ALBERT TO B T R A T (BARE)
Abstract. We improve theorems of Mukherjea and Tserpes on
idempotent (probability) laws p in locally compact (1.c.) semigroups
S to the case d completely regular (c.r.) S with z-regular laws.
1. Introduction. Comrne it est dit dans [2], p. 28, le cas ou S est un groupe
1.c. (alors toute loi z-rkgulihre est de Radon) fiit reconnu indkpendamment par
plusieurs auteurs: p est loi de Haar sur un sous-groupe compact. Cependant
dans [3] la preuve est donnke dans
S c.r. pour p de Radon (= t-rCgulilre, ou
reguliere au sens de [2]), et aussi que
{pa = p) est un sous-groupe compact
pour toute loi p de Radon, resultat que ne contient
pas ce qui va suivre (pa note
la convoluCe p6
(a)).
Tout ce qui suit risulte de l'adaptation de l'avancke fondamentale que
furent en 1972 (cf. [I]) les thtorlmes de Mukherjea et Tserpes, essentiellement
la proposition 3.14 de [2]. Nous bornant au cas de probabilitks comme
mesures, nous pouvons simplifier la prksentation.
Pour p
= p2 de support S (rkduction toujours possible, pv note la
convoluee de
p et v) un resultat de [2], demeure dans tous les cas: le noyau
K de S s'ecrit encore K = EGF complGtement simple, mais i1 est-seulement
dense dans S, si p,, projection de p sur G (obtenue en agissant sur les fonctions
de q1 (G) - a valeurs dans [0, I]), n'est pas "t-rtguli6re et symktrique". De
plus, p,, notke
m, est invariante a droite et a gauche, dans le sous-groupe
G (fermk ainsi que E, F, EG et GF) de S. m = m2 est unique et pure en ce sens
qu'elle est t-rigulilre ou sans composante telle (nous la dirons alors z-pure ou
purement z-rdguliire). I1 sufit que m soit t-rkguliere (a fortiori p telle) et
symktrique, pour que G soit compact, donc K fermk et S = EGF, suivant le
theorem 2.14 de [2]('). En ce cas on peut afirmer que
p = p,mp,, sur la tribu
(I) Page 147 de [4] nous avons affirme l'isomorphisme topologique de EGF et Ex G x F,
avant de formuier, au bas de la page, I'hypothtse que G soit topologique (- g-' continue), et sans
en donner la preuve.
12 - PAMS 16.1

178 A. Tortrat
borelienne a, de S, pour la topologie F de S. Sinon cette egalit6 n'a plus qu'un
sens en gtneral plus hible, parfois meilleur (cf. (iii) du thkoreme 5.2).
2.1. Nous renvoyons a 161, pp. 132-133, pour les dkfinitions kquivalentes
de la T-regularit6 d'une mesure. Nous supposons que S est un demi-groupe
topologique (x
x y + xy est (bi)continue), et c.r.
Rappelons que :
(i) La famille des Z = f (0) (f E%" (S)) est d'unicitk pour les lois
z-rkgulieres, qui satisfont par dkfinition 1 ph 10 avec f, J 0, pour f, E V1 ou s.c.s.
(semi-continues superieurement; s.c.i. - semi-continues inferieurement).
. -
(ii) La convolution est definie et bicontinue pour toutes ces lois dans un
demi-groupe c.r.
(iii) La "formule de Fubini" assure que
rnais il est igalement vrai que, outre
la continuit6 de pa, soit de paf
= 1 f (sa) p (ds), avec on a
(1)
puf est s.c.i. ou s.c.s. avec f (telles I,, I,),
ce qui suffit a exprimer la continuite de pa, car la convergence pa + p (sur W1)
tquivaut i
-
(2) limp,Z
< pZ, sur la famille des 2, pour toutes les lois, m2me non
z-rkgulilres.
2.2. TH~OREME. On suppose pv = p (tquation de Choquet-Deny) et vp = p.
Alors on a
(3)
pas = ps pour tous s E S,, a E S, (supports de p, v), et sap = SF.
Preuve. C'est celle de 3.14 de [2]. I1 suffit de prouver pas(Z) = p(Z)
pour tous Z. Soit ps(Z) = c et Z = f (O), I: = (x: f (x) 2 q),
u = ('x: f (x) < q), q 6tant tel que (cela est loisible) psF-< c+&. Posons
A
= (x: px(F) 2 c+E).
A est fermt, vu (2) appliquk aux px,, x, + x, et pAc > 0 puisque s E S,nAc. Si
g (x) = (px (f)-c-e)', on drifie, separkment dans A et A', que
PV =p=-g(y) G VYg?
puis que
VP = P=V'IVY~-~(Y)) = 0.
Ainsi g = vyg p-p.s. en y. Pour ces y, pris dans A", on a g(y) = 0 * g(xy) = 0,

. Sur les lois de probabilitds idempotentes 179
v-P.S. en x. Prenant x, 4 x E S,, et y, + s, on en deduit
-
pxs{U) < limpx,ypU < c+&,
soit psZ < psZ pour tout x de S,. Vu pv = p,
assure ps (2) = pxs (2) v-p.s. en x, donc pour tout x E S,. ra
COROLLAIRE. p . . = pZ de support S (demi-groupe topalogique) implique
pa. sa = psva = pa,
(4) pah = pa
dbf -
pour tout h G H = Sa support de pa.
H est un demi-groupe firmi dans S) vtr$ant, vu (31,
donc
- -
E-ls = ss,
- -
HS = SaS 3 SS
dtf
3.1. Ainsi, posant aS = H', m = apa est une loi invariante i droite et
a gauche dans HrnH (A droite dans H, A gauche dans H'), de support
def dtf
aSa = Q c H'nH = G,;
Q est un demi-groupe, comme aSa, tel que
- -
(6) Qh=hfQ=Q pour tous h',iz~H',H.
Fixons q et q' de Q. q'Q et Qq sont simplifiables zi gauche et a droite
respectivement. En effet,
q'q, . q'q, = q'q, .q' q, n'est autre que sq, = sq, avec
s = q'q, q', et si ta s -t q' (vu (6) avec h = s E Q),
dbf
3.2. Suivant [2], p. 17, il existe E = e2 E A = qlQq.
L'ingknieuse mkthode de [2], qui concernait m invariante a droite mais
non ntcessairement bornee (de Radon dans S 1.c.) prouve I'existence de E E A
avec EX = E'X pour un x de A, donc E = E,, vu la simplifiabilite de A.
La preuve est baske sur la considkration de 8 (A x A), image de A x A pour
8(x, y) = (x, yx). Comme on vkrifie de suite, en prenant Ies sections par

1 80 A. Tortrat
vu la sirnplifiabilite dans A; il s'en suit que 8 (A x A) coupe son symktrique, donc
il existe u, v, x, z dans A, tels que (u, vu) = (zx, x), d'oA EX = E'X pour s = vz. 1
I1 faut noter que m = qf mq est dkfinie sur la tribu des parties 3 de Q telles
que qf-I
Bq-I soit m-mesurable (par exemple, tgale a Q), donc m est definie
pour A. On a ainsi, puisque EE Q, mE = m, et puisque QE est fermke avec Q,
. -
- QE=EQ=Q et ~=q'q~q-q'Q~&Q et Qq3Q&*qQ=Qq=Q.
Ainsi, vu 3.1, Q est un groupe. e note maintenant l'unitk de Q.
3.3. H at H' sont, respectivement, un groupe droite et urz ci gauche, et
H'nflZf G (ou G,) est un yrouga fermi) qui a m3me unit6 E que Q c G.
Preuve. (i) Hi = HE = H vu (5").
Vu (61, on a QH c Q, donc (cf. (5")) QHh est dans QnHh, qui, idbal
B gauche (non vide) dans le groupe Q, Cgale Q.
(ii) E etant ainsi dans tout Hh, on a HE c HHh c Hh = H, soit
(7)
Hh = H pour tout h, donc H est un groupe i gauche, car H est
sirnplifiable a droite.
En effet,
donc E est identitt i droite dans H, comme tout idernpotent de H (vu (5")).
- -
Prenant, vu (7), hh = E, on a hho hh = h~h = hh. Alors h, h = h, h
- -
=h,hh = h2hh, donc h, = h,.
4.1. H est id6al minimal a gauche dans S.
En effet, si H 3 I ideal A gauche dans S, I rest a fortiori dans H, qui n'en
a pas de propre vu Hh = H. Ainsi I = H. Alors H 3 Sa 3 H implique
(8)
tous les Ss sont ferinks et H = Sa.
On vCrifie que Ies Hs sont aussi minimaux comme idtaux
a gauche, donc
Cgaux ou disjoints.
4.2. K%f SaS = HS est iddal minimal duns S (est son noyaea).
En effet, I idCal bilatere dans S + IH = ISa c H et I, donc (vu 4.1)
IH = H c I. Alors Hs c Is c I implique K = HS c I. Soit maintenant I idCal
dans K. Pour tout i = sf as E I, on a (vu (7))

Sur les lois de probabilitis idempotentes
181
c'est-a-dire que dans K comme dans S, un idbal $ gauche (d droite) est rkunion
de
Hs (sH). Les idiaux de K le sont dans S, et K n'a pas d'idkal propre, on le dit
simple (comme demi-groupe).
43. On vient de voir que les Hs (tous c K = HS) sont idkaux B gauche,
minimaux, dans K. I1 est alors tres simple (cf. 2.8 de 121) de prouver que les
sf H'nHs sont des groupes, dont les unitks E,,,, sont des idempotents e primitifs,
c'est-a-dire non absorbables (fe
= ef = f) par un autre idernpotent j. L'idkal
K est dit compldtement simple.
Pour E (ci-dessus) = s'a = as on obtient le groupe G = G, ci-dessus, et,
vu (71, - -
SE=SQS et K&=SaSas= UHh-s=Hs.
~EH
-
dbf
-
(9)
SE = KE, EKE = ESE, EKE = Qp = ESE = Go = Qa (le Q de 3.1) vu
Q, = USSS' a c Q, c G,.
4.4. On sait que K completement simple (cf. [2] ou [4]) s'bcrit EGF, oi
E est l'ensemble des e = e2 vkrifiant e~ = e (alors ee' = e), F celui des f = f
EE~ = f (f'f = f), et FE c G.
G = H'nH est fermk, ainsi (vu (8)) que SE = EG, ES = GF. E et F sont
fermks, car E =f,-' (E) pour f (s) = ES de S dans GF. Mais on ne sait K fermk
- -
(alors K = S puisque S = SS 2 K 3 SS) que si g-I est, dans G, une fonction
continue de
g, c'est-$-dire lorsque G est comme sous-groupe demi-topologique
de S
(g x g' + gg' est continue), un groupe topologique. Cela est assure (the-
oreme de Ellis, cf. [2]) dGs que G est 1.c. avec seulement gg' dparkment
continue.
5.1. rn dkfinie par apa, dans G, comme loi invaiiante 5 droite sur son
support (alors idempotente et aussi invariante
a gauche suivant le corol-
laire 2.2), est' unique. ..
En effet, si rn' en Ctait une autre on aurait m' = m = m'. Elle est aussi ou
z-pure, ou t-rtguliere, car (cf.
[5], $ 2.3.3), si m = rn, + rn, de variations ol = m, G
et f? = 1 -a, l'invariance de m implique mm, = am, m, m = flm. La partie z-pure
de
mm, = m2 + m, mr ne pouvant "dkpasser" o12, m, rn, est t-rkguliere, et aussi
bien z-pure, donc
olfl = 0.
Re m a r que. Nous ne savons pas si la continuitk de s x s' + ss', dans S,
impIique pour les G du noyau K compl&tement simple, que g-I est mesurable.
d6f
Si oui, m' A = mA-' egale mA: m est symktrique. La mesurabiliti supposke ne
dkpend pas du G choisi, c'est une proprittt de K. Elle entraine g-I continue si
m existe, de Radon (cf. la fin de 5.2), mais non, en general, dans Ie cas contraire