1 1MOUVEMENT D`UN CYLINDRE SUR UN PLAN INCLINÉ On

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MOUVEMENT D’UN CYLINDRE SUR UN PLAN INCLINÉ
On considère un cylindre homogène, de rayon R, de hauteur h, de densité volumique σv et de
masse m. Ce cylindre roule sans glisser sur un plan incliné faisant un angle β avec le plan
horizontal (figure 1). On désigne par G le centre de masse du cylindre où s’appliquent deux forces :
• Le poids : P = m.g
• La réaction normale du support RN
Le cylindre est soumis à une force de frottement f qui s’applique au point de contact B avec le plan
incliné.
€
Initialement le cylindre est immobile
en haut du plan incliné où le point M de sa surface est situé à
r r €
l’origine 0 du référentiel ( i , j, k ) . A l'instant t, le point M a tourné d’un angle θ comme indiqué sur
€
la figure 1.
y
€
Rn
G
M
G
Δ
θ
i
B
j
M
o
Référentiel
f
P= m g
β
Plan horizontal
x
Figure 1
1ère PARTIE : Analyse de la rotation du cylindre autour de son axe ∆
1. Montrer que le moment d’inertie du cylindre par rapport à son axe de symétrie ∆ est tel que :
R2
I=m .
2
rr r
2. Déterminer dans le référentiel ( i , j , k ) , le moment τ par rapport à l’axe de symétrie Δ du
cylindre de la résultante des forces : P , Rn et f .
€
€ fondamental du€moment cinétique, déterminer l’expression de
3. En utilisant le théorème
€ cylindre
€
€ en fonction du rayon R, de la force de frottement f et
l’accélération angulaire α du
du moment d’inertie I.
4. Donner l’expression de l’énergie cinétique de rotation Ec rot du cylindre.
1
Ph.ROUX © 2007
http://rouxphi3.perso.cegetel.net
2
2 ième PARTIE : Analyse du mouvement de translation du centre de masse
On suppose maintenant que la masse m du cylindre est concentrée au point G. Le vecteur position
r
r
du centre de masse G est tel que : rG = xG i + yG j .
y
€
yG (t)
j
Rn
O
ω (t)
rG (t)
G
Variation
énergie potentielle
i
Δ
vG (t)
xG (t)
x
β
f
Plan horizontal
P= m g
1. En appliquant le théorème fondamental la dynamique, rechercher les équations des
composantes du vecteur accélération aG du centre de masse G sur les axes Ox et Oy.
2. En déduire l’équation du mouvement yG(t) de la projection du centre de masse sur l’axe Oy.
€
3. Le mouvement de la projection du centre de masse sur l’axe Ox dépend de la force de
frottement f. Aussi, il est nécessaire de chercher une relation entre la force f et une
caractéristique du mouvement sur l’axe 0x.
G
dθ
R
dxG
a. Sachant que le cylindre roule sur le plan incliné sans glisser (voir figure ci-dessus),
quelle relation lie l’abscisse dxG du centre de gravité et l'angle dθ ?
b. En exploitant les résultats des questions de la première partie, montrer que :
1
f = m.x˙˙G .
2
€
3
4. Montrer que l’accélération ˙x˙G du centre de masse G est constante et ne dépend que de
l’accélération g de la pesanteur et de l'angle β du plan incliné. Donner l’expression de xG (t).
5. Montrer que le coefficient de frottement µ du cylindre sur le plan incliné doit être au moins
€ assurer le roulement sans glissement.
égal à (tan β) /3 pour
6. Retrouver le résultat de la question 4 de la deuxième partie en utilisant le principe de
conservation de l’énergie :
variation de E potentielle = variation (E C rotation + E C translation )
4
CORRECTION
1° PARTIE : Analyse de la rotation du cylindre autour de l'axe ∆
1. Considérons une portion du cylindre d’épaisseur dr située à la distance r de l’axe de
symétrie Δ.
Δ
R
dr
On définit le moment d’inertie élémentaire : dI = r 2 dm où dm représente la masse élémentaire
de la portion de cylindre avec : dm = σ V 2π .r.h.dr . On obtient alors :
R
1
I = ∫ σ V 2π .r 3 .h.dr
I = σ V π .h.R 4
2 €
0
€ m du cylindre : m = σ π .h.R 2 , il vient : I = 1 m.R 2 (1).
En introduisant la masse
V
2
€
2. Les forces P , Rn passent par l’axe Δ, aussi leur moment par rapport à cet axe est nul.
Pour la force de frottement,€on définit le moment : τ€= GB ∧ f :
€
r
€ €0 i
r
GB = −R j
r
0 k
€
€
r
−f i
r
f =0 j
r
0 k
r
0 i
r
τ€= 0 j
r
− R. f k
(2)
3. Le théorème fondamental du moment cinétique indique que l’accélération angulaire α est
proportionnelle au moment de la résultante des forces responsables de la rotation soit :
€
τ = I.α .€
d 2θ R. f
α
=
=
On obtient donc :
(3)
dt 2
I
1
4. Energie cinétique de rotation Ec rot du cylindre : E C ro t = Iω 2 (4)
2
€
dθ R. f
Avec une vitesse angulaire : ω =
=
t + 0 compte tenu de la condition initiale.
dt
I
€
€
5
2 ° PARTIE : Analyse du mouvement de translation du centre de masse
1. Bilan des forces dans le référentiel choisi :
r
mgsin β i
r
r
−f i
0 i
r
r
r
P = − mgcos β j
f = 0 j
Rn = Rn j
r
r
r
0 k
0 k
0 k
Le théorème fondamental la dynamique conduit aux relations suivantes sur les axes Ox
et Oy :
d2x
• m 2G €
= mgsin β − f (5)
€
dt
d2y
• m 2G = −mgcos β + Rn = 0 (6) (Compte tenu du principe d’action réaction).
dt
€
€
2. Equation du mouvement yG (t) de la projection de G sur l’axe Oy.
dy
d2y
€
Sachant
que : m 2G = 0 , on en déduit avec la condition initiale : vG = G = 0 et
dt
dt
yG (t) = R .
3.
a) Le cylindre roule sur le plan incliné sans glisser, aussi on peut écrire la relation :
€
dxG =€R.dθ . On en déduit : xG = Rθ (7).
€
I d 2θ
b) De la relation (3) de la première partie, on exprime la force de frottement : f =
.
R dt 2
€
d 2θ 1 d 2 xG
Cependant, la relation (7) permet d’écrire : 2 =
.
dt
R dt 2
I d 2 xG
€
Ce qui conduit à l’expression : f = 2
.
2
R dt
Avec l’équation du moment d’inertie I, on obtient finalement :
€
€
€
4.
La relation (5) : m
1 d2x
f = m. 2G (8)
2
dt
d 2 xG
= mgsin β − f devient avec l’expression de la force f :
2
dt€
d 2 xG 2
= gsin β (9)
dt 2
3
€
dx
2
Il vient alors : G = gsin β .t + 0
dt
3
€
2
xG = gsin β .t 2 + 0
6
f
On rappelle l’expression du coefficient de frottement : µ =
.
€
€
Rn
5.
d 2 xG 2
= gsin β .
Avec : Rn = mgcos β et compte tenu des résultats précédents, à savoir :
dt 2
3
m
€
Il vient : f = gsin β .
3
€
€
6
On en déduit alors la condition que doit satisfaire le coefficient de frottement, pour
assurer le roulement sans glissement:
1
µ ≥ tan β (10).
3
6.
Supposons que le cylindre est situé à la distance xG (t) avec une vitesse vG (t) et une
vitesse angulaire ω (t).
€
xG(t)
ω (t)
Δ
β
O
Variation énergie
potentielle
G(t)
vG (t)
x
β
Plan horizontal
P= m g
Etablissons le bilan énergétique :
•
•
•
€
€
1
Energie cinétique de translation : E Ctrans = mvG2
2
1 2
Energie cinétique de rotation : E Crot = Iω
2
Variation de l’énergie potentielle : ΔE p = mg.xG .sin β
€
La conservation de l’énergie conduit à la relation : ΔE p = E C tran + E C rot
€
1 2 1 2
Soit : mvG + Iω = mg.xG .sin€
β (11)
2
2
La relation (7) permet d’exprimer la vitesse angulaire du cylindre :
€
dθ 1 dxG 1
ω=
=
= vG
dt R dt
R
€ La relation (11) devient avec la relation (1) du moment d’inertie :
dx
4
vG2 = ( G ) 2 = gxG sin β
dt
3
Soit en dérivant par rapport au temps :
dx d 2 xG 4 dxG
2 G
= g
sin β
dt dt 2
3 dt
d 2 xG 2
= gsin β
On retrouve la relation (9) :
dt 2
3
€
€