Etudions tout d` abord la progression 1 - Les

Etudions tout d’ abord la progression 1 (mod 4) : supposons par l’absurde
que cette progression ne contienne qu’un nombre fini de nombres premiers,
disons {p1, ..., pk}. On consid`ere le polynˆome f(x) = 4x2+ 1 et l’entier A=
f(p1...pk) = 4(p1...pk)2+ 1.Si qest un diviseur premier de Aalors −1 est
un carr´e modulo qdonc q≡1 (mod 4). Si An’est pas premier alors Aest
divisible par un entier q≡1 (mod 4) qui n’est pas dans {p1, ..., pk}(sinon
p1= 1 par exemple). Ainsi il existe une infinit´e de premiers dans cette
progression d`es qu’il en existe un , ce qui est le cas ici avec 5.
Etudions `a pr´esent la progression 3 mod 4 : on suppose de mˆeme par
l’absurde que cette progression ne contient qu’ un nombre fini de nombres
premiers, disons {p1, ..., pk}. On consid`ere le polynˆome g(x)=4x−1 et l’
entier B=g(p1...pk) = 4(p1...pk)−1. Ba un facteur congru `a 1 ou 3 (mod 4)
puisqu’ il est impair. Si tous ses facteurs premiers sont congrus `a 1 mod 4
alors Ble serait aussi, ce qui est faux. Donc il existe q≡3 (mod 4) tel que
q|Bet il ne peut s’ agir de l’ un des pk, ce qui est absurde. Enfin 7 ≡3
(mod 4) ce qui permet de conclure.
Dans ces 2 preuves l’ argument-clef est l’ existence d’ un polynˆome dont
les valeurs prises en des entiers sont divisibles par des nombres premiers dans
la progression voulue. Dans le premier cas , f(x) = 4x−1 , chaque valeur
prise en un entier n’ est divisible que par des nombres premiers congrus `a 1
(mod 4). Dans le deuxi`eme cas , g(x)=4x−1 , chaque valeur prise en un
entier est divisible par au moins un nombre premier congru `a 3 (mod 4). Ceci
justifie la d´efinition suivante :
D´efinition 1 p est un diviseur premier d’ un polynˆome f`a coefficients dans
Zsi il existe n∈Ztel que p|f(n).On notera p|f.
Etudions par exemple le cas du ni`eme polynˆome cyclotomique que l’ on
note φn.
Proposition 1 Supposons que p-n. Alors
p|φnsi et seulememt si p≡1 (mod n).
D´emonstration. Soit ptel que p|φn(a) et p-n. On a l’ identit´e suivante
bien connue :
Xn−1 = Y
d|n
φd(X).(1)
On en d´eduit que an≡1 (mod p). Soit kl’ ordre de amodulo p. Alors k|n.
Supposons que k < n. D’ apr`es (1), ak≡1 (mod p). Il existe donc d0tel que
φd0(a)≡0 (mod p). D`es lors, comme d06=n,an−1≡0 (mod p2). On a
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´egalement φn(a+p)≡φn(a)≡0 (mod p) et de mˆeme pour d0. Par diff´erence
il vient : (a+p)n−1≡0 (mod p) soit
0≡(a+p)n−1≡an+npan−1−1≡npan−1(mod p2).
Mais p-na, on aboutit ainsi `a une contradiction. Finalement aest d’ ordre
nmodulo pet donc n|(p−1).
R´eciproquement si n|(p−1), comme (Z/pZ)∗est cyclique, il existe ad’
ordre nmodulo p. Donc φd(a)≡0 (mod p) pour un certain dqui divise n.
Mais si d < n l’ ordre de aserait plus petit que nd’ apr`es ad−1≡0 (mod p).
Donc p|φn(a).
Th´eor`eme 1 (Schur) Tout polynˆome fnon constant de Z[x]poss`ede une
infinit´e de diviseurs premiers.
D´emonstration. Si f(0) = 0, alors tous les nombres premiers divisent
f. Supposons `a pr´esent que f(0) = c6= 0. L’ ´equation f(x) = ±1 n’ a qu’ un
nombre fini de solutions. Donc fadmet au moins un diviseur premier.
Supposons par l’ absurde que l’ ensemble des diviseurs de fsoit fini.
Disons que P(f) = {p1, ..., pk}. Soit A=p1...pk.
f(Acx) =
n
X
p=0
ap(Acx)p=c(1 +
n
X
p=1
apcp−1(Ax)p) = cg(x)
avec g(x) = c(1 + c1x+... +cnxn). gest `a coefficients entiers et A|cipour
tout i. Si pest un diviseur premier de galors c’ est un diviseur premier de f
donc pest l’ un des pi.D`es lors p|A|cipour tout i. Comme p divise aussi
g(a) il vient p|1 ce qui est absurde.
On peut remarquer que l’ on obtient ainsi, `a la mani`ere d’ Euclide, avec
l’ aide de la proposition 1, un cas particulier du th´eor`eme de Dirichlet.
Corollaire 1 Il existe une infinit´e de nombres premiers congrus `a 1 (mod k).
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