Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
On considère l’algorithme suivant, où Aet Bsont des entiers naturels tels que A<B:
Entrées Aet Bentiers naturels tels que A<B
Vari ables Dest un entier
Les variables d’entrées Aet B
Traitem ent Affecter à Dla valeur de B−A
Tant que D>0
Bprend la valeur de A
Aprend la valeur de D
Si B>Aalors
Dprend la valeur de B−A
Sinon
Dprend la valeur de A−B
Fin Si
Fin Tant que
Sortie Afficher A
1) On entre A=12 et B=14.
En remplissant le tableau donné en annexe,déterminerlavaleuraffichéeparl’algorithme.
2) Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres Aet B.
En entrant A=221 et B=331,l’algorithmeaffichelavaleur1.
a) Justifier qu’il existe des couples (x;y)d’entiers relatifs solutions de l’équation
(E)221x −331y =1.
b) Vérifier que le couple (3;2)est une solution de l’équation (E).
En déduire l’ensemble des couples (x;y)d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
3) On considère les suites d’entiers naturels (un)et (vn)définies pour tout entier naturel npar :
un=2+221n et !v0=3
vn+1=vn+331 .
a) Exprimer vnen fonction de l’entier naturel n.
b) Déterminer tous les couples d’entiers naturels (p;q)tels que up=vq,0!p!500 et 0!q!500.
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FEUILLES ANNEXES
Annexe, exercice 4
A B D
12 14
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Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1)
A B D
12 14 2
212 10
10 2 8
810 2
2 8 6
6 2 4
4 6 2
2 4 2
2 2 0
Si on entre A=12 et B=14,lavaleuraffichéeparl’algorithmeest2.
2) a) Puisque PGCD(221, 331)=1,lesnombres221 et 331 sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout,
il existe deux entiers relatifs uet vtels que 221u +331v =1.Lecouple(x, y)=(u, −v)est donc un couple d’entiers
relatifs solution de l’équation (E).
Ainsi, il existe au moins un couple (x, y)d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
b) 221 ×3−331 ×2=663 −662 =1.Donc,lecouple(x0,y
0)=(3, 2)est une solution de l’équation (E).
Soit (x, y)un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E).Alors221x −331y =221x0−331y0puis
221 (x−x0)=331 (y−y0).
L’entier 331 divise l’entier 331 (y−y0)et donc divise l’entier 221 (x−x0).Puisquelesentiers331 et 221 sont premiers
entre eux, le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 331 divise l’entier x−x0.Parsuite,ilexisteunentier
relatif ktel que x−x0=331k ou encore tel que x=x0+331k.
De même, l’entier 221 divise l’entier y−y0et donc il existe un entier relatif k′tel que y=y0+221k′.
En résumé, si (x, y)est un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E),ilexistenécessairementdesentiersrelatifs
ket k′tels que x=x0+331k et y=y0+221k′.
Réciproquement, soient ket k′deux entiers relatifs puis x=x0+331k et y=y0+221k′.
221x −331y =1⇔221 (x0+331k)−331 (y0+221k′)=1⇔221 ×331 ×(k−k′)+221x0−331y0=1
⇔221 ×331 ×(k−k′)=0⇔k=k′.
Les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E)sont les couples de la forme (3+331k, 2 +221k),k∈Z.
3) a) La suite (vn)est arthmétique de raison r=331.Onsaitquepourtoutentiernatureln,
vn=v0+nr =3+331n.
b) Soit (p, q)un couple d’entiers naturels.
up=vq⇔2+221p =3+331q ⇔221p −331q =1
⇔il existe un entier relatif ktel que p=3+331k et q=2+221k et p∈Net q∈N.
Ensuite,
0!p!500 ⇔0!3+331k !500 ⇔−3!331k !497 ⇔−3
331 !k!497 331 ⇔k=0ou k=1.
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De même,
0!q!500 ⇔0!2+221k !500 ⇔−2!221k !498 ⇔−2
221 !k!498 221 ⇔k=0ou k=1ou k=2.
et finalement 0!p!500 et 0!q!500 équivaut à k=0ou k=1.
k=0fournit p=3et q=2et k=1fournit p=334 et q=223.
Les couples (p, q)solutions sont (3, 2)et (334, 223).
On note que u3=665 =v2et u334 =73816 =v223.
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