Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement

Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 (5 points) (candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité)
On considère l’algorithme suivant, où A et B sont des entiers naturels tels que A < B :
Entrées
A et B entiers naturels tels que A < B
Variables
D est un entier
Les variables d’entrées A et B
Traitement
Affecter à D la valeur de B − A
Tant que D > 0
B prend la valeur de A
A prend la valeur de D
Si B > A alors
D prend la valeur de B − A
Sinon
D prend la valeur de A − B
Fin Si
Fin Tant que
Sortie
Afficher A
1) On entre A = 12 et B = 14.
En remplissant le tableau donné en annexe, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.
2) Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres A et B.
En entrant A = 221 et B = 331, l’algorithme affiche la valeur 1.
a) Justifier qu’il existe des couples (x; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation
(E)
221x − 331y = 1.
b) Vérifier que le couple (3; 2) est une solution de l’équation (E).
En déduire l’ensemble des couples (x; y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
3) On considère les suites d’entiers naturels (un ) et (vn ) définies pour tout entier naturel n par :
!
v0 = 3
un = 2 + 221n et
.
vn+1 = vn + 331
a) Exprimer vn en fonction de l’entier naturel n.
b) Déterminer tous les couples d’entiers naturels (p; q) tels que up = vq , 0 ! p ! 500 et 0 ! q ! 500.
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1
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FEUILLES ANNEXES
Annexe, exercice 4
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A
B
12
14
2
D
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Nouvelle Calédonie. Novembre 2014. Enseignement spécifique
EXERCICE 4 : corrigé
1)
A
B
D
12
14
2
2
12
10
10
2
8
8
10
2
2
8
6
6
2
4
4
6
2
2
4
2
2
2
0
Si on entre A = 12 et B = 14, la valeur affichée par l’algorithme est 2.
2) a) Puisque PGCD(221, 331) = 1, les nombres 221 et 331 sont premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout,
il existe deux entiers relatifs u et v tels que 221u + 331v = 1. Le couple (x, y) = (u, −v) est donc un couple d’entiers
relatifs solution de l’équation (E).
Ainsi, il existe au moins un couple (x, y) d’entiers relatifs solutions de l’équation (E).
b) 221 × 3 − 331 × 2 = 663 − 662 = 1. Donc, le couple (x0 , y0 ) = (3, 2) est une solution de l’équation (E).
Soit (x, y) un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E). Alors 221x − 331y = 221x0 − 331y0 puis
221 (x − x0 ) = 331 (y − y0 ) .
L’entier 331 divise l’entier 331 (y − y0 ) et donc divise l’entier 221 (x − x0 ). Puisque les entiers 331 et 221 sont premiers
entre eux, le théorème de Gauss permet d’affirmer que l’entier 331 divise l’entier x − x0 . Par suite, il existe un entier
relatif k tel que x − x0 = 331k ou encore tel que x = x0 + 331k.
De même, l’entier 221 divise l’entier y − y0 et donc il existe un entier relatif k ′ tel que y = y0 + 221k ′ .
En résumé, si (x, y) est un couple d’entiers relatifs solution de l’équation (E), il existe nécessairement des entiers relatifs
k et k ′ tels que x = x0 + 331k et y = y0 + 221k ′ .
Réciproquement, soient k et k ′ deux entiers relatifs puis x = x0 + 331k et y = y0 + 221k ′ .
221x − 331y = 1 ⇔ 221 (x0 + 331k) − 331 (y0 + 221k ′ ) = 1 ⇔ 221 × 331 × (k − k ′ ) + 221x0 − 331y0 = 1
⇔ 221 × 331 × (k − k ′ ) = 0 ⇔ k = k ′ .
Les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) sont les couples de la forme (3 + 331k, 2 + 221k), k ∈ Z.
3) a) La suite (vn ) est arthmétique de raison r = 331. On sait que pour tout entier naturel n,
vn = v0 + nr = 3 + 331n.
b) Soit (p, q) un couple d’entiers naturels.
up = vq ⇔ 2 + 221p = 3 + 331q ⇔ 221p − 331q = 1
⇔ il existe un entier relatif k tel que p = 3 + 331k et q = 2 + 221k et p ∈ N et q ∈ N.
Ensuite,
0 ! p ! 500 ⇔ 0 ! 3 + 331k ! 500 ⇔ −3 ! 331k ! 497 ⇔ −
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1
497
3
!k!
⇔ k = 0 ou k = 1.
331
331
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De même,
0 ! q ! 500 ⇔ 0 ! 2 + 221k ! 500 ⇔ −2 ! 221k ! 498 ⇔ −
498
2
!k!
⇔ k = 0 ou k = 1 ou k = 2.
221
221
et finalement 0 ! p ! 500 et 0 ! q ! 500 équivaut à k = 0 ou k = 1.
k = 0 fournit p = 3 et q = 2 et k = 1 fournit p = 334 et q = 223.
Les couples (p, q) solutions sont (3, 2) et (334, 223).
On note que u3 = 665 = v2 et u334 = 73816 = v223 .
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