Mise en œuvre de la méthode : test Z ou test T
Pour mettre en œuvre la méthode, on doit avoir à sa disposition : la moyenne observée et la
taille de l’échantillon ainsi que la moyenne de référence et son écart-type ou, si cet écart-type
n’est pas connu, l’écart-type de la moyenne observée sur l’échantillon.
Suivant la taille de l’échantillon, pour comparer les deux moyennes, on utilise l’un ou
l’autre de deux tests dont la mise en œuvre est analogue : le test Z ou le test T.
Mise en œuvre du Test Z
Complétons les données : la taille l’échantillon est 36 et l’écart type observé est 60. Avec
une moyenne théorique de 210 alors que la moyenne observée est 234, la mesure de la
différence entre les moyennes est zobs = 2,4. Cette valeur est-elle grande ? Est-elle trop grande
pour laisser supposer que l’échantillon soit issu aléatoirement de la population de référence ?
Ou est-elle suffisamment faible pour qu’on ne puisse rejeter cette hypothèse ?
Pour répondre (sans machine), il faut penser à la courbe de la loi normale centrée réduite :
] –0,994 ; +0,994[ ]–1,96 ; +1,96[ ]–2,58 ; +2,58[
Fréquence = 68% Fréquence = 95% Fréquence = 99%
À chaque pourcentage correspond une zone de « normalité », zone d’autant plus grande
que le pourcentage est grand. Par exemple, si l’on admet une zone de normalité comprenant
95% de la population, les valeurs « normales » sont celles de l’intervalle ]–1,96 ; +1,96[.
Autrement dit, la zone « d’anormalité » qui comporte 5% des valeurs est constituée des
valeurs inférieures à –1,96 et des valeurs supérieures à +1,96. Dans la pratique des tests, la
zone « d’anormalité » est la zone de rejet de l’hypothèse nulle ; elle est déterminée par le seuil
de signification choisi a priori.
Dans le cas qui nous occupe, la valeur zobs = 2,4 est située à l’extérieur de l’intervalle
]–1,96 ; +1,96[ dont la probabilité est 95%, on peut donc en déduire que la probabilité
d’obtenir une différence aussi grande (au sens de la mesure choisie) est inférieure à 5%.
La valeur de zobs étant dans la zone de rejet de l’hypothèse nulle au seuil de 5%, on conclut
que la durée moyenne de réalisation de l’épreuve de dénombrement par les enfants du groupe
étudié est significativement différente au seuil de 5% de la moyenne de référence.
Remarque : dans la pratique, le logiciel calcule exactement la probabilité p que la valeur de
la fonction discriminante z soit à l’extérieur de l’intervalle ]–2,4 ; +2,4[ : p = 1,64%.
Mise en œuvre du Test T
Supposons que le nombre d’enfants du groupe étudié ne soit plus 36 mais seulement 25,
avec la même moyenne 234 et le même écart type 60. Supposons aussi que la durée de
réalisation de l’épreuve de dénombrement suive approximativement une loi normale (dans la
pratique, il faudrait le prouver à partir des données recueillies).
La fonction discriminante t suit alors la loi T de Student à 24 degrés de liberté. La mise en
œuvre du test est ensuite analogue à celle du test Z.
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