La Géométrie des Transformations

H.E.C.F.H. - Isep Mons
Boulevard Albert-Elisabeth, 2 Document
7000 Mons (Belgique)
Cellule de Géométrie
Mathématiques élémentaires
Mail:
[e-mail]
Site: www.hecfh.be/cellulegeometrie
Cellule de Géométrie – Catégorie pédagogique de la HEH
DEMAL Michel DRAMAIX Jérémy DUBUCQ Jacques
[e-mail] [e-mail] [e-mail]
HIGNY Samuel LAFOT Cindy MALAGUARNERA Angelo
[e-mail] lafot.[email protected] [e-mail]
PILAETE CHRISTINE POPELER Danielle
christine.pil[email protected] [e-mail]
"Le savant doit ordonner. On fait la science avec des faits comme une maison
avec des pierres,
mais une accumulation de faits n'est pas plus une science qu'un tas de pierres n'est une maison."
Cette affirmation d'Henri POINCARÉ sur la construction de la science vaut aussi pour son enseignement.
Jean SIVARDIÈRE
Plans des matières pour le cours de
Géométrie (de 5 à 18 ans)

LaGéométriedesTransformations
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT–UVGT
2
Cedocumentprésentelesplansdesmatièresducoursdegéométrie(de5à15ans)
développéetexpérimentéàdetrèsnombreusesreprisesparlaCelluledeGéométriedela
HauteEcoledelaCommunautéfrançaiseenHainaut(Belgique).
Lescaractéristiquesessentiellesducoursproposépeuventserésumerenquelquesmotspar
cohérence,continuité,régularité,structurationetprogressivité.
Cohérence:ausensoùlesélèvessontplongésdanslemêmecadrethéoriquede5à15ans
(forceestdereconnaîtrequecen’estmalheureusementpastoujourslecas,faute
d’informationssuffisantesàtouslesniveauxdel’enseignement).
Continuité:ausensoùiln’yapasdetrou,d’oublidematière.Selonleniveaude
connaissancevisé,touslesconceptsindispensablesàunevéritablecompréhensionsont
rencontrés.
Régularité:ausensoù,semaineaprèssemaineetannéeaprèsannée,lesmatièressont
travaillées.
Structuration:ausensoùl’ordredesuccessiondesthèmesabordésesttelquelesnotions
nécessairesàlacompréhensionetàlamaîtrisedesconceptsrencontrésdanscesthèmes
ontétéanalyséesantérieurement.
Progressivité:ausensoùlecoursproposéàétéélaboréenrespectantlesprincipesetrègles
del’enseignementenspiraleetgénétiqueproposésrespectivementparl’AméricainJ.
BRUNERetl’AllemandE.WITTMANN.
Enrésumé,lecoursproposésecomposede4spirale‐génétiques:
‐ unepourlesfiguresetsolidesgéométriques;
‐ unepourlestransformations;
‐ unepourlespremiersélémentsetpremièresrèglesdelogique;
‐ unepourladémarchescientifiquejusqu'à,etycompris,lanotiondepreuve.
Desinformationscomplémentairesaucoursproposésetrouventsurlessitessuivants:
www.hecfh.be/cellulegeometrieetwww.uvgt.net.

LaGéométriedesTransformations
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT–UVGT
3
ImportancedelaGéométriedeTransformations
Ilexisteactuellement,dansnotresociété,unparadoxeentre,d’unepart,
"lesouhaitdeformerlecitoyenlanda,pourqu’ilcomprennelesréalités
scientifiquesettechnologiquesquil’entourent"
et,d’autrepart,
"lerefusdecettemêmesociétéàincluredansl’enseignementobligatoire,lesoutils
géométriquesnécessairesàlacompréhensiondecesréalitésscientifiquesettechnologiques"
Cen’estpourtantpasfautesd’appelsdescientifiquesdetouthautniveaupourqu’une
véritableformationgéométriqueefficaceetutile,enconcordanceaveclesévolutions
scientifiquesettechnologiquesactuelles,soitdonnéeauxélèvesdel’enseignement
obligatoire.
CitonsGeorgesCHARPAK,RolandOMNESetFrancisBUEKENHOUTainsiquequelques
situationsscientifiquesetmathématiques:
"Sanslascience,onnepeutriencomprendreaujourd'huiaumondemoderne.
Rienn'estplusimportantquededonnerauxjeunesl'éducation(scientifique)dontilsont
besoin,quiferad'euxdeshommesetdesfemmeslibres,capablesdecomprendrel'Univers
quilesentoureetsasignification.
Illefaut,d'urgence,avantquedesgourous,desmarchands,desadorateursdelégendesou
desilluminésaientletempsdes'emparerd'eux.
Qu'ilsaientdessavantslevraisavoir…"
Extraitde"Soyezsavants,devenezprophètes"‐éd.OdileJacob.
GeorgesCHARPAKestprixNOBEL(1992)dephysiqueetphysicienauCERN.
RolandOMNESestphysicienthéoricienetprofesseurémériteàlaFacultédes
SciencesdeParisXI‐ORSAY.
"Uneautregéométrieélémentaireconnaîtuneexplosiondanslesdomaineslesplusdivers
commelachimie,lacristallographie,labiologie,latechnologie,l’architecture,larobotique.
Lalisten’estpasexhaustive,touteslessciences,ausenslepluslarge,sontconcernées;de
mêmequelesartsetlacultureengénéral.
Ilesturgentquelagéométriecessedeserepliersurunréduitminusculeetsansambition,sur
unstatutdesciencemorte.Ilfautquelagéométrieparticipeaudéveloppementdela
science,delatechnologieetdelaculture."
F.BUEKENHOUTestmembredel’académiedessciencesdeBelgique
Cette"autregéométrie"s’appelle"LaGéométriedesTransformations".
Danslagéométriedestransformations,lestransformationssontperçuescommedesoutils
quipermettent,grâceàleurspropriétés,de:
‐ découvriret/oudémontrerlespropriétésdesobjetsgéométriquesduplanetde
l'espace;
‐ créerdesfiguresayantdesrégularités"répétitives"(frises–rosaces–tapisseries);

LaGéométriedesTransformations
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT–UVGT
4
‐ classerdesobjetsduplanetdel'espace(cristallographie);
‐ percevoirsiunobjetestorientéounonorienté(pairesd'objetsénantiomères‐
formes"gauche"ou"droite"d'unobjet‐moléculeschirales);
‐ créerdesobjets(snub‐cube;snub‐dodécaèdre);
‐ …
Cettegéométriesebasedèslorssurles3axessuivants:
1. lesfiguresetlessolidesgéométriques;
2. lestransformationsduplanetdel’espace(essentiellementlessimilitudesen
mathématiquesélémentaires);
3. leconceptqui"relie"lespropriétésdestransformationsauxpropriétésdes
objets,c’est‐à‐diresurlanotionde"symétrieausenslarge"ou
d’"automorphisme".
Parautomorphisme,ilfautcomprendrelanotionsimplede"transformationqui
superposeunobjetàlui‐mêmetoutenconservantsastructure".
Pourcedernierpoint,plusieursautrespersonnalitésdumondescientifiqueattirentaussi
l’attentionsurl’importancefondamentaleduconceptde"symétrieausenslarge ou
d’automorphisme"ensciencesetenmathématiques.
Acesujet,ilsprécisent:
"Lasymétrieestunaspectfascinantdelanature,maisc’estaussiunconceptscientifique
fondamentalquiaenvahilesmathématiques,laphysique,lachimieetjusqu’àlabiologie.
Peut‐êtrePaulVALERYysongeait‐ilquandilécrivait:"Iln’yapasdechosessimples,maisily
aunemanièresimpledevoirleschoses."
JeanSIVARDIERE
"Lasymétrie(scientifique)estunoutildenotreperceptioncarellepermetderéduirede
manièreimportantelesinformationsnécessairesàlaconnaissanceglobaled’unobjet,d’une
figure,d’unévénement.Pourtantellen’estpasenferméedansunespécialitémaisapparaît
plutôtcommeunconcepttransversalrelevantaussibiendessciencesexactesquedes
sciencesduvivant,voiredesdisciplinesartistiques."
GillesCOHEN–TANNOUDJI(prixNobeldephysique1997)etYvesSECQUIN
"Lesmodèlesdesymétriesontintrinsèquesàtouslesaspectsdelaperceptionetsemblent
jouerunrôleessentieldanslesprocessuscréatifsàlafoisensciencesetenarts.
Sansuneconsciencedel'importancedetelsconceptsabstraitspourlesréponses
cathartiquesquiétayentl'efforthumain,ilestdouteuxquelesprésentestentatives
désespéréesfaitesenvued'améliorerlaquantitéetlaqualitédesrelations(enrecherche
scientifiqueetdéveloppementouenarts)neconduisentàriend'autrequel'échec."
 HarryW.KROTO(PrixNobeldechimie1996)

LaGéométriedesTransformations
CelluledegéométrieduCentredeRecherchedelaHAUTEECOLE
delaCommunautéfrançaiseenHAINAUT–UVGT
5
GéométriedesTransformations
Plandesactivitéspourla"CLASSEMATERNELLE"
Thème1–Transformationsduplan
1. Initiationauxfiguressuperposables
Découvertedephotosetde:
 figuresnondéforméesetfiguresdéformées.
 figuressemblablesouproportionnelles
 figuresisométriques
Parl’intermédiairedetransparents,découvertedes:
 figuresisométriquessuperposables:
‐ pardéplacement
‐ parretournement
‐ pardéplacementetaussiparretournement
2. Transformationsdepaysages
 Compléter,aveclesélémentscorrespondants,despaysagesdéplacés
?
AvantAprès