Électrostatique et magnétostatique
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Colles semaine 17, sujet A Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Quelles sont les conséquences sur le champ magnétique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma. 2 - Donner l’expression du champ électrostatique créé par un ensemble de sources ponctuelles. Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une boule [♦] Une boule de rayon R est chargée avec la densité volumique de charge ( 2 ρ0 1 − Rr 2 si r ≤ R ρ(r) = 0 sinon où r est la distance au centre O de la boule. 1 - Déterminer la charge contenue dans une boule de rayon r quelconque. 2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Er (r) #” ur 3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace. 4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs. 5 - En faisant tendre R vers 0, retrouver le cas de la charge ponctuelle. Solution de l’exercice 1 : Voir le site de Matthieu Rigaut, exercice 4 du TD Électromagnétisme 1 et exercice 3 du TD Électromagnétisme 2 de la rubrique PCSI programme 2002. . http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg01.pdf . http://www.matthieurigaut.net/public/sup/elmg/cotdelmg02.pdf 1/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet A : Électrostatique et magnétostatique Langevin Wallon, PT 2015-2016 2/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet B Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Question de cours 1 - Énoncer le théorème d’Ampère. 2 - Quelles sont les conséquences sur le champ électrique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma. Exercice 1 : Ligne coaxiale [♦] Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des deux conducteurs. Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace. Solution de l’exercice 1 : Voir Tec&Doc PT p. 374, disponible au CDI. Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une couche chargée [♦] z On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2 et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume avec une densité volumique de charge ρ0 . a/2 x −a/2 1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Ez (z) #” ez . 2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy. 3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z). 4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z). 5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0. 5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a. 5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ? 5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours. Solution de l’exercice 2 : Voir Tec&Doc PT pp. 346 à 348, disponible au CDI. 3/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet B : Électrostatique et magnétostatique Langevin Wallon, PT 2015-2016 4/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet C Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Énoncer le théorème de Gauss. 2 - Définir avec précision les densités volumiques, surfaciques et linéiques de courant. Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP, ♦] On considère un faisceau homocinétiques de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #” v par rapport à un référentiel galiléen. La densité volumique de particules est notée n. 1 - On s’intéresse pour commencer au champ électrique. 1.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau. 1.b - Déterminer le champ électrique à l’extérieur du faisceau. 1.c - Déterminer le champ à l’intérieur du faisceau. 2 - On étudie ensuite le champ magnétique. 2.a - Définir la densité de courant dans le faisceau. 2.b - Exprimer le champ magnétique en tout point, à l’intérieur comme à l’extérieur du faisceau. #” #” √ 2.c - Proposer une relation vectorielle liant #” v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 . 3 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter. Solution de l’exercice 1 : Voir Tec&Doc PT p. 372, disponible au CDI. Le corrigé proposé « oublie » d’analyser les symétries, ce qui est un vrai manque ... Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères densité volumique de charge 0 ρ(r) = Ar 0 [♦] de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour si r < a si a ≤ r ≤ b si r > b 1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive. 2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Er (r) #” ur 3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace. 4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs. 5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface. Solution de l’exercice 2 : Voir le site de François-Xavier Coq. . http://www.lycee-pothier.com/LYCEE/psi/file/physique/exercices/Electrom_electrostatique/1516_Electrom_ Electrostat.pdf 5/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet C : Électrostatique et magnétostatique Langevin Wallon, PT 2015-2016 6/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet D Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Définir avec précision les densités volumiques, surfaciques et linéiques de charge. 2 - Définir le potentiel électrostatique, et exprimer son lien avec le champ électrique. Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une couche chargée [♦] z On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2 et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume avec une densité volumique de charge ρ0 . a/2 x −a/2 1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Ez (z) #” ez . 2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy. 3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z). 4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z). 5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0. 5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a. 5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ? 5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours. Solution de l’exercice 1 : Voir Tec&Doc PT pp. 346 à 348, disponible au CDI. Exercice 2 : Ligne coaxiale [♦] Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des deux conducteurs. Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace. Solution de l’exercice 2 : Voir Tec&Doc PT p. 374, disponible au CDI. 7/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet : Électrostatique et magnétostatique 8/15 Langevin Wallon, PT 2015-2016 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet A Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Quelles sont les conséquences sur le champ magnétique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma. 2 - Donner l’expression du champ électrostatique créé par un ensemble de sources ponctuelles. Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une boule [♦] Une boule de rayon R est chargée avec la densité volumique de charge ( 2 ρ0 1 − Rr 2 si r ≤ R ρ(r) = 0 sinon où r est la distance au centre O de la boule. 1 - Déterminer la charge contenue dans une boule de rayon r quelconque. 2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Er (r) #” ur 3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace. 4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs. 5 - En faisant tendre R vers 0, retrouver le cas de la charge ponctuelle. 9/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet A : Électrostatique et magnétostatique 10/15 Langevin Wallon, PT 2015-2016 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet B Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Question de cours 1 - Énoncer le théorème d’Ampère. 2 - Quelles sont les conséquences sur le champ électrique de l’existence d’un plan de symétrie des sources ? d’un plan d’anti-symétrie ? L’illustrer par un schéma. Exercice 1 : Ligne coaxiale [♦] Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des deux conducteurs. Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace. Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une couche chargée [♦] z On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2 et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume avec une densité volumique de charge ρ0 . a/2 x −a/2 1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Ez (z) #” ez . 2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy. 3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z). 4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z). 5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0. 5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a. 5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ? 5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours. 11/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet B : Électrostatique et magnétostatique 12/15 Langevin Wallon, PT 2015-2016 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet C Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Énoncer le théorème de Gauss. 2 - Définir avec précision les densités volumiques, surfaciques et linéiques de courant. Exercice 1 : Champ électromagnétique d’un faisceau de particules [oral CCP, ♦] On considère un faisceau homocinétiques de particules chargées, de rayon R et infini le long d’un axe (Oz). Les particules portent une charge q et se déplacent toutes à la même vitesse #” v par rapport à un référentiel galiléen. La densité volumique de particules est notée n. 1 - On s’intéresse pour commencer au champ électrique. 1.a - Préciser l’expression de la densité volumique de charge ρ au sein du faisceau. 1.b - Déterminer le champ électrique à l’extérieur du faisceau. 1.c - Déterminer le champ à l’intérieur du faisceau. 2 - On étudie ensuite le champ magnétique. 2.a - Définir la densité de courant dans le faisceau. 2.b - Exprimer le champ magnétique en tout point, à l’intérieur comme à l’extérieur du faisceau. #” #” √ 2.c - Proposer une relation vectorielle liant #” v , E, B qui soit valable en tout point. On utilisera c = 1/ ε0 µ0 . 3 - Reprendre ces questions dans le référentiel lié aux particules. Commenter. Exercice 2 : Champ électrostatique créé par une coquille sphérique Une coquille sphérique, comprise entre deux sphères densité volumique de charge 0 ρ(r) = Ar 0 [♦] de même centre O et de rayons respectifs a et b a pour si r < a si a ≤ r ≤ b si r > b 1 - Déterminer l’unité de la constante A, que l’on suppose par ailleurs positive. 2 - Montrer par une analyse rigoureuse des symétries et invariances de la distribution que le champ prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Er (r) #” ur 3 - Calculer explicitement le champ et le potentiel électrostatique dans les trois régions de l’espace. 4 - Représenter graphiquement ces deux grandeurs. 5 - En faisant tendre a vers b, retrouver le cas de la sphère uniformément chargée en surface. 13/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet C : Électrostatique et magnétostatique 14/15 Langevin Wallon, PT 2015-2016 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr Colles semaine 17, sujet D Langevin Wallon, PT 2015-2016 Électrostatique et magnétostatique Questions de cours 1 - Définir avec précision les densités volumiques, surfaciques et linéiques de charge. 2 - Définir le potentiel électrostatique, et exprimer son lien avec le champ électrique. Exercice 1 : Champ électrostatique créé par une couche chargée [♦] z On considère une couche épaisse, comprise entre les deux plans d’équation z = −a/2 et z = +a/2 et infinie dans les directions x et y, chargée uniformément en volume avec une densité volumique de charge ρ0 . a/2 x −a/2 1 - Par une analyse rigoureuse des invariances et symétries de la distribution, en déduire que le champ électrique prend en tout point de l’espace la forme #” E(M ) = Ez (z) #” ez . 2 - Montrer par des arguments de symétrie que le champ est nul sur le plan xOy. 3 - Utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ en un point M de cote z, en pensant à distinguer les cas z < −a/2, −a/2 < z < a/2 et z > a/2. Tracer le graphe représentant Ez (z). 4 - En déduire le potentiel électrostatique V (z). 5 - Considérons maintenant que la couche est d’épaisseur très fine, à la limite a → 0. 5.a - Déterminer la densité surfacique de charge σ0 en fonction de ρ0 et a. 5.b - Que devient le champ électrique dans chaque demi-espace ? 5.c - Que devient le graphe représentant Ez (z) ? Vérifier la conformité aux résultats que vous avez établi en cours. Exercice 2 : Ligne coaxiale [♦] Une ligne est constituée de deux conducteurs cylindriques de même axe (Oz) parcourus longitudinalement par la même intensité I, répartie uniformément à la surface des conducteurs. Le sens du courant est dirigé var les z croissants sur le conducteur intérieur, mais il est inversé pour le conducteur extérieur. On note a < b les rayons des deux conducteurs. Déterminer le champ magnétique en tout point de l’espace. 15/15 Étienne Thibierge, 19 février 2016, www.etienne-thibierge.fr
