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2009 septembre Métropole :
DE LA TERRE A LA LUNE (5,5 points)
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z
P
1.2. (0,5) Dans le référentiel terrestre galiléen, la fusée est soumise à :
- son poids : , force verticale orientée vers le bas
- la force de poussée : force verticale
orientée vers le haut
- frottements de l’air sur la fusée : , force verticale orientée vers le bas
opposée au sens du mouvement
de la fusée.
- la poussée d’Archimède : Π , force verticale orientée vers le haut, sa
valeur est sans doute négligeable face à celles des autres forces.
F
1. Ascension de la fusée Saturne V
1.1. (0,25) L’étude de la phase du début du lancement se fait dans le
référentiel terrestre supposé galiléen.
F
f
f
Π
1.3. (0,25) La seconde loi de Newton est applicable « … à un solide de
masse m constante … » d’après l’énoncé.
Or, au cours du mouvement, la fusée consomme du carburant donc sa
masse diminue. Ainsi, on ne peut pas appliquer la seconde loi de Newton
durant toute la durée de l’ascension.
P
(0,25) En effectuant l’étude sur une durée suffisamment courte, on peut
considérer que la masse de la fusée ne varie quasiment pas, la seconde
loi de Newton est applicable.
a
F
P
1.4. En négligeant les actions de l’air sur la fusée, la seconde loi de Newton impose :
(0,25)
+ = M.
en projection selon un axe (Oz) vertical orienté vers le haut : Pz + Fz = M.az
– P + F = M.a
– M.g + F = M.a
O
7
0
1
F M3
,
3
g
a
=− +
donc:
8
,
9
×
×
6
0
1
9
,
2
(0,25) A.N: a = −
+
= 1,6 m.s-2
avec M = 2,9×103 t = 2,9×106 kg.
2. Mise en orbite autour de la Terre du système {S-IVB + Apollo XI}
Th
M
.
m RT
.
G
u
.
2
F
FT
2.1. (0,5) Force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le système {fusée} :
→ = −
( + )
2.2. Seconde loi de Newton appliquée au système {fusée}
dans le référentiel géocentrique galiléen :
→
=
→
−
= m.
( + )
(0,25) = −
Le vecteur accélération de la fusée, dont le mouvement est
( + )
supposé circulaire, est orienté en permanence vers le centre de la Terre car
est de sens
opposé au vecteur .
(0,25) Le vecteur accélération est donc centripète.
F
FT
a
h
T
M
T
R
u
.
.
2
G
Th
a
.
M
.
a
m m
T
R
.
G
F
FT
a
u
.
2
a
u
a
a
=
)
v2 =
4
2
0
1
8
9
,
5
×
×
×
3
0
1
5
8
1
×
+
6
0
1
7
3
,
6
(
−
×
1
1
0
1
7
6
,
6
A.N : v =
(
)
+
+
)
(2).
v
(
(1)
finalement :
=
(
h
T
M
.
G RT
+
)
+
h
(
(
)
2
En identifiant les relations (1) et (2) :
il vient : a =
+
T
)
+
h
h
T
T
M
TM
.
R G
T
R
G
(
2
h
T
M
T
R
G
h
u
2
.
v
T
2
R
h
T
M
T
R
G
a
=−
(
R
=
circulaire) donc le mouvement est uniforme de vitesse v telle que :
2.3. (0,5) De la relation :
2
v
est centripète et de valeur constante (car mouvement supposé
a
Le vecteur accélération
+
)
= 7,80 × 103 m.s-1 en convertissant RT et h en mètres.
)
3. Quelques expériences associées à la mission Apollo
3.1. (0,25) En supposant que l’âge de la Lune est du même ordre de grandeur que l’âge de la
Terre (quelques milliards d’années), le radioélément adapté à la mesure de l’âge de la Lune est
le potassium 40. En effet la demi-vie du potassium 40 est de 1 milliard d’années : elle est bien
du même ordre de grandeur que l’âge supposé de la Lune.
Les deux autres radioéléments ont des demi-vies beaucoup trop courtes pour être adaptés à
cette mesure.
01
+
e
→
r
A
08
41
K
09
41
3.2. (0,25)
(désintégration β+).
−λ
t
.
e
3.3. (0,25) Loi de décroissance radioactive : NK(t) = NK(0).
désintégration radioactive
où λ est la constante de
0
2
Nk
2
/
)= ln2 ainsi
t1
.
e
λ
2
/
⇔ ln(
=2
t1
.
0
2 e
Nk
2
2
/
t1
.
e
λ
⇔
9
2
2
0
/
n t1
l
2 1
n 6
l
2
,
1
=
1 2
2
/
t1
.
e
−λ
⇔
/
t1
NK
3.4. (0,25) temps de demi-vie t1 /2 d’un échantillon radioactif : durée au bout de laquelle la
moitié d’une population de noyaux radioactifs a été désintégrée.
()
()
D’après la définition précédente : ( ) =
⇔ NK(0). −λ =
λ.t1/2 = ln2
(0,5)finalement : λ =
(0,25) A.N : λ =
×
K
()
⇔
()
r
r
t t
N AN
1
n
l
.
1
t
() 

 + () 


K

9
 = 4,3 ×10 ans = 4,3 milliards d’années.

6
×
×
7

 +

()
()
( ) + ( ) 

 ⇔t=
()
λ


K
λ
1 1
0
0
1 1
4
3 ,
,
2
2
1
n
l
×
0
1
0
1
1
0
5
,
5
×
−
=
( ) 
( ) 


(0,25) Or NK(0) = NK(t) + NAr(t) donc t =
(0,25) A.N : t =
λ
N At
( ) 
( )  ⇔ t =
λ


=
0 t
K
N KN
−λ
t
.
t N
e
NK
n
l
.
t 0
1
N KN K t
0
K
N KN
t
.
n
l
.
1
e
donc :
0 t
)=
N KN
n
l
t
.
e
λ
−λ
t
.
e
3.5. NK(t) = NK(0).
ln(
= 5,50×10–10 an–1.