K1MA4025 : Modèles et méthodes d`optimisation

Licence Ingénierie Mathématiques - 2ème Année
K1MA4025 : Modèles et méthodes d'optimisation
Séance 3 - Modélisation en Programme Linéaire en Nombres Entiers
Exercice 1 : Gestion de portefeuille
Un riche client est intéressé par 7 investissments {1 . . . , 7}. Modéliser les contraintes suivantes par des
variables binaires :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Le client ne peut pas choisir tous les investissements à la fois.
Il doit choisir au moins l'un des investissements.
L'investissement 1 ne peut pas être choisi si l'investissement 3 est choisi.
L'investissement 4 ne peut être choisi que si l'investissement 2 est également choisi.
Il doit investir à la fois dans 1 et 5 ou n'investir dans aucun des deux.
Il doit choisir au moins l'un des trois investissements 1, 2 et 3 ou au moins deux des investissements
2, 4, 5 et 6.
7. S'il choisi l'investissement 1, alors il doit aussi choisir les investissements 3, 5 et 7.
Exercice 2 : Problème de localisation de dépôts (Facility Location Problem)
Une compagnie veut construire des entrepôts an d'approvisionner un ensemble de magasins dénoté J =
{1, . . . , m}. Après prospection, la compagnie a retenu un ensemble de sites potentiels dénoté I = {1, . . . , n}.
Construire un entrepôt sur le site i ∈ I engage un coût ci tandis qu'approvisionner un magasin j ∈ J à
partir d'un entrepôt situé en i ∈ I entraîne un coût xe di,j .
1. Modéliser le problème qui consiste à déterminer les entrepôts à construire et à aecter chaque magasin
à un entrepôt de ravitaillement de manière à minimiser le coût total (construction plus approvisionnement).
2. Supposons maintenant que la compagnie ne distribue qu'un seul produit, mais que celui-ci est en
quantité limité Ci dans chaque entrepôt i ∈ I . Chaque magasin j ∈ J a une demande Dj , à satisfaire
et peut être approvisionné par plusieurs dépôts. Modéliser le problème en considérant dans un premier
temps que le coût d'approvisionnement du magasin j ∈ J par le dépôt i ∈ I est proportionnel à la
quantité de produit allant de i vers j .
Que faut-il changer si on suppose que le coût di,j , i ∈ I et j ∈ J , est un coût xe ?
3. Considérons maintenant le cas où la compagnie distribue plusieurs produits P ∈ {1, . . . , p}. Chaque
entrepôt i ∈ I ayant une capacité Ci,k de produit k ∈ P et chaque magasin j ∈ J ayant une demande
Dj,k pour le produit k ∈ P , modéliser le problème minimisant le coût total et respectant les contraintes
de capacité.
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Exercice 3 : Problème du sac-à-dos
Un randonneur souhaitant partir dans une longue randonnée désire préparer sont sac-à-dos de manière
utile. Pour cela, il dispose d'un ensemble d'objets I = {1, . . . , n} pour chacun desquels il a déterminé son
utilité ui et son poids pi . Cependant, son sac-à-dos ne peut dépasser un certain poids B .
1. Modéliser ce problème sous la forme d'un programme linéaire en nombres entiers.
On suppose maintenant que lorsque deux objets i, j ∈ I sont combinés, ils apportent une utilité supplémentaire notée ui,j .
2. Modéliser ce problème sous la forme d'un programme quadratique en nombres entiers en utilisant
uniquement les variables dénies à la question précédente.
3. Linéariser cette formulation sous la forme d'un programme linéaire en nombres entiers en utilisant un
ensemble supplémentaire de variables indiquant si oui ou non deux objets sont pris simultanément.
Exercice 4 : Problème du plus court chemin
Le randonneur de l'exercice précédent désire maintenant se rendre le plus rapidement au point de départ
de sa randonnée. Pour cela il dispose d'une carte routière qui lui précise la distance entre les diérentes
villes et carrefours.
1. Modéliser le problème qui consiste à trouver le plus court chemin entre l'endroit où se trouve le
randonneur et le point de départ de sa randonnée.
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