PDF_MT10_ChapI1 Fichier - UTC

Chapitre I - D’o`u l’on parle
1Arithm´etique ´el´ementaire
2Calculer en (grands) nombres entiers
3Description des structures : mono¨ıde, groupe, anneau, corps
4Des fl`eches et des morphismes
5`a partir de P´eano-Dedekind
6comme extension de

1. Arithm´etique ´el´ementaire
1Division euclidienne
2ppcm, pgcd
3B´ezout et l’algorithme d’Euclide ´etendu
4Lemme de Gauss, et quelques autres cons´equences de B´ezout
5Nombres premiers et th´eor`eme fondamental de l’arithm´etique (TFA)
Euclide (environ -300, ´epoque de Ptol´em´ee I)
Claude-Gaspard Bachet, sieur de M´eziriac (1581-1638) : traduit en latin
l’Arithmetica de Diophante (150-350 ? ? ?) . . .
Etienne B´ezout (1730-1783)
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) : Disquisitiones arithmeticæ (1801)

1. Division euclidienne
Th´eor`eme (division euclidienne)
Soient a, b ∈tel que b6= 0. Il existe un unique couple (q, r)∈ × tel
que
a=bq +ret 0≤r < b
D´emonstration : exercice. 
D´efinition (multiple, diviseur)
Soient a, b ∈. S’il existe q∈tel que a=bq, on dit, selon l’humeur,
que :
aest multiple de b,
best un diviseur de a,
bdivise a, et on note : b|a.

2. ppcm, . . .
Soient des entiers x1, . . . , xn∈.
D´efinition (ppcm)
m∈est un plus petit commun multiple des x1, . . . , xnsi
1mest multiple commun aux x1, . . . , xn,i.e.
(∀j∈[[1, n]]) xj|m
2si m0est un autre multiple commun aux x1, . . . , xn, alors m|m0.
On note : m= ppcm(x1, . . . , xn).
Exercices :
1Le seul multiple de 0est 0.0est multiple de tout entier n∈.
2ppcm(x1, . . . , xn) = 0 ⇐⇒ (∃j∈[[1, n]]) xj= 0.
3existence et unicit´e du ppcm ?
4ppcm(ppcm(a, b), c) = ppcm(a, b, c)

. . . et pgcd
Soient des entiers x1, . . . , xn∈.
D´efinition (pgcd)
d∈est un plus grand commun diviseur des x1, . . . , xnsi
1dest un diviseur commun aux x1, . . . , xn,i.e.
(∀j∈[[1, n]]) d|xj
2si d0est un autre diviseur commun aux x1, . . . , xn, alors d0|d.
On note : d= pgcd(x1, . . . , xn).
Exercice : pgcd(pgcd(a, b), c) = pgcd(a, b, c)
D´efinition (entiers premiers entre eux)
Les entiers x1, . . . , xnsont dits premiers entre eux, ou ´etrangers, si
pgcd(x1, . . . , xn)=1.