Rappel : Probabilité conditionnelle : Loi des probabilités totales

Probabilité
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Rappel :
(E,p(E),p) est un espace probabilisé fini.
On a:
p(E)  1, p()  0, p(A)  1  p(A),
p(A  B)  p(A)  p(B)  p(A  B)
Probabilité conditionnelle :
A et B sont deux évènements tels que p(B)  0.
p(A  B)
p(A / B) 
et donc p(A  B)  p(B)  p(A / B).
p(B)
Loi des probabilités totales :
Si B1 ,B 2 ,...,Bk est une partition de E c.a.d.
i Bi  E et Bi  Bj   pour i  j
et si A est un evenement de E alors
p(A)  p(A  B1 )  p(A  B2 )  ...  p(A  Bk )
 p(B1 )  p(A / B1 )  p(B2 )  p(A / B 2 )  ...  p(Bk )  p(A / Bk ).
Variable aléatoire :
(E,p(E),p) est un espace probabilisé fini. On appelle variable
aléatoire ou aléa numérique toute application X de  dans
.
X()  x1 ,x 2 ,...,x n  est l'ensemble des valeurs prises par X.
L'application pX :x i p(X  x i ) est appelée la loi
de probabilité de X.
On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur
par F(x)  p(X  x).
Vu l'aspect imprivisible de X, on l'appelle variable aléatoire.
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Application :
On considère une pièce de monnaie truquée de telle façon que la probabilité d’avoir le côté
« pile » soit le double de celle d’avoir le coté « face ».
1°/Calculer la probabilité d’apparition de chaque coté.
2°/On considère deux sacs S1et S2.Le premier contient trois boules rouges et quatre boules
jaunes, La deuxième contient deux boules rouges et deux boules jaunes. On lance la pièce de
monnaie ;si le coté visible est « pile »,on tire trois boules simultanément de S1 et si le coté
visible est « face »,on tire deux boules simultanément de S2.
Soit X l’aléa numérique correspondant au nombre de boules jaunes tirées.
Déterminer la loi de probabilité de X .
Solution :
1/ Notons F l’évènement : "avoir le coté face" et P : : "avoir le coté pile".
On a p(F)+p(P)=1 donc a p(F)+2p(F)=1 donc p(F)=1/3 et par suite p(P)=2/3
2 /p(X  0)  p(P  (X  0))  p(F  (X  0))
 p(P)  p((X  0) / P)  p(F)  p((X  0) / F)
2 C33 1 C 22 47
 . 3 . 2
.
3 C7 3 C 4 630
p(X  1)  p(P  (X  1))  p(F  (X  1))
 p(P)  p((X  1) / P)  p(F)  p((X  1) / F)
2 C32C14 1 C12C12 284
 . 3  . 2 
.
3 C7 3 C 4
630
p(X  2)  p(P  (X  2))  p(F  (X  2))
 p(P)  p((X  2) / P)  p(F)  p((X  2) / F)
2 C13C 42 1 C 22 251
 . 3  . 2
.
3 C7 3 C 4 630
p(X  3)  p(P  (X  3))  p(F  (X  3))
 p(P)  p((X  3) / P)  p(F)  p((X  3) / F)
2 C34 1
48
 . 3  0 
.
3 C7 3
630
Loi binomiale :
Si on a une succession de n épreuves identiques et indépendantes.
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Si chaque épreuve donne exclusivement issue à un succès S avec la probabilité p
et à un échec E avec la probabilité 1-p. Si X est l’aléa numérique qui prend pour valeurs le
nombre d’apparition du succès S. On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et
p.
La loi de probabilité de X est :
p(X  k)  Cknpk (1  p)nk ; 0  k  n
L’espérance mathématique de X est E(X)=n.p et sa variance est
V(X)= n.p.(1-p)
Application :
On jette une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d’avoir le côté pile est
2/5, cinq fois de suite. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
d’apparition du côté pile. les valeurs prises par X sont 0,1,2,3,4et5. La loi de probabilité de X
est
p(X  k)  Cknpk (1  p)nk ; 0  k  n
n=5, p=2/5 et par suite
2 3
2
p(X  k)  Ck5 ( )5k ; 0  k  5 et E(X)  np  5   2
5 5
5
3 6
V(X)  np(1  p)  2  
5 5
Rappelons que dans le cas d’une variable aléatoire X en général on a :
n
n
i1
i1
E(X)   x ipi et V(X)   x i2pi  E(X)2
L'écart type est (X)  V(X).
E(X) désigne la moyenne de X.
V(X) nous donne une idée sur la dispersion de la variable par rapport à sa moyenne.
Exemples de lois continues :
1-La loi uniforme :
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Soit un intervalle a,b. La fonction définie sur a,b par
1
s'appelle la densité de la loi de probabilité uniforme
ba
sur a,b.
f(x) 
On appelle probabilité uniforme sur a,b  , l'application qui à tout intervalle
c,d inclu dans a,b associe le réel p c,d   
d
c
On a p(c  X  d) 

dc
ba
f(x)dx
et p(X  c)  0.

On a aussi p c,d  1 p c,d .
Définition :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité uniforme p sur l’intervalle a,b
On appelle fonction de répartition de X, l'application F:
1
0
x
a
  0,1
.
si x  a
0

F(x)  p  a  X  x  si x a,b 
1
si x  b

b
2-La loi exponentielle :
Soit  un réel strictement positif. X est une variable aléatoire modélisée par la loi
exponentielle de paramètre  . La fonction définie par f(x)= ex s’appelle
la densité de la loi de probabilité exponentielle de X sur
p(X  c)

.On a :
 ec
p(a  X  b)  ea  eb
p(0  X  b)  1  eb
Définition :
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité exponentielle p de parametre .
On appelle fonction de répartition de X, l'application F:
x
1
Application 1 :
 0,1
.
si x  0
0
F(x)  
p  0  X  x  si x 0, 
0
Un appareil de mesure évalue l'épaisseur en cm de pièces mécaniques. L'expérience prouve
que l'épaisseur de pièces peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi
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uniforme dans l'intervalle [2,2,8].
1- Calculer p(X≤2,6) et p(2,3≤X≤2,5) .
2- Les pièces sont acceptées si leur épaisseur est supérieure à 2,4cm. Quelle est la
probabilité pour qu'une pièce soit acceptée?
3- Une pièce a une épaisseur supérieure à 2,2cm.
Quelle est la probabilité pour qu'elle soit acceptée?
Application 2 :
Ci-contre la représentation graphique de la densité de probabilité f d’une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1/ Expliciter f(x) , la densité de la loi exponentielle de X..
2/ Calculer p(20≤X≤35) et p(X  10).
0,4
Solution :
1/ f(x)= ex et f(0)=0,4 donc λ =0,4 et par suite f(x)= 0, 4e0 ,4 x
0
2/  p(20≤X≤35) = e0,420  e0,435 = 0,00034 .
0 ,410
= 0,01831.
 p(X  10)= e
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