Rappel : Probabilité conditionnelle : Loi des probabilités totales

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Rappel :
1 0 1
(E,p(E),p) est un espace probabilisé fini.
On a:
p(E) , p( ) , p(A) p(A),
p(A B) p(A) p(B) p(A B)
Probabilité conditionnelle :
0
p(A B)
p(A /
A et B sont deux évèn
B) p(A B) p(B) p(A /B
p
ements tels que p(B) .
et donc ).
(B)
Loi des probabilités totales :
12
12
1 1 2 2
k
ii
k
kk
Si B ,B ,...,B est une partition de E c.a.d.
B E et Bi Bj pour i j
et si A est un evenement de E alors
p(A) p(A B ) p(A B ) ... p(A B )
p(B ) p(A /B ) p(B ) p(A /B ) ... p(B ) p(A /B ).
Variable aléatoire :
12 n
X i i
(E,p(E),p) est un espace probabilisé fini. On appelle variable
aléatoire ou aléa numérique toute application X de dans .
X( ) x ,x ,...,x est l'ensemble des valeurs prises par X.
L'application p :x p(X x ) est appelée la loi
de pr obabilité de X.
On appelle fonction de répartition de X la fonction F définie sur
par F(x) p(X x).
Vu l'aspect imprivisible de X, on l'appelle variable aléatoire.

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Application :
On considère une pièce de monnaie truquée de telle façon que la probabilité d’avoir le côté
« pile » soit le double de celle d’avoir le coté « face ».
1°/Calculer la probabilité d’apparition de chaque coté.
2°/On considère deux sacs S1et S2.Le premier contient trois boules rouges et quatre boules
jaunes, La deuxième contient deux boules rouges et deux boules jaunes. On lance la pièce de
monnaie ;si le coté visible est « pile »,on tire trois boules simultanément de S1 et si le coté
visible est « face »,on tire deux boules simultanément de S2.
Soit X l’aléa numérique correspondant au nombre de boules jaunes tirées.
Déterminer la loi de probabilité de X .
Solution :
1/ Notons F l’évènement : "avoir le coté face" et P : : "avoir le coté pile".
On a p(F)+p(P)=1 donc a p(F)+2p(F)=1 donc p(F)=1/3 et par suite p(P)=2/3
32
32
32
74
21 11
34 22
32
74
2 0 0 0
00
2 1 47
3 3 630
1 1 1
11
2 1 284
3 3 630
22
/p(X ) p(P (X )) p(F (X ))
p(P) p((X ) / P) p(F) p((X ) / F)
CC
. . .
CC
p(X ) p(P (X )) p(F (X ))
p(P) p((X ) /P) p(F) p((X ) / F)
CC CC
. . .
CC
p(X ) p(P (X ))
12 2
34 2
32
74
3
4
3
7
2
22
2 1 251
3 3 630
3 3 3
33
2 1 48
0
3 3 630
p(F (X ))
p(P) p((X ) / P) p(F) p((X ) / F)
CC C
. . .
CC
p(X ) p(P (X )) p(F (X ))
p(P) p((X ) /P) p(F) p((X ) / F)
C
..
C
Loi binomiale :
Si on a une succession de n épreuves identiques et indépendantes.

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Si chaque épreuve donne exclusivement issue à un succès S avec la probabilité p
et à un échec E avec la probabilité 1-p. Si X est l’aléa numérique qui prend pour valeurs le
nombre d’apparition du succès S. On dit alors que X suit la loi binomiale de paramètres n et
p.
La loi de probabilité de X est :
10
k k n k
n
p(X k) C p ( p) ; k n
L’espérance mathématique de X est E(X)=n.p et sa variance est
V(X)= n.p.(1-p)
Application :
On jette une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d’avoir le côté pile est
2/5, cinq fois de suite. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre
d’apparition du côté pile. les valeurs prises par X sont 0,1,2,3,4et5. La loi de probabilité de X
est
10
k k n k
n
p(X k) C p ( p) ; k n
n=5, p=2/5 et par suite
5
5
2 3 2
0 5 5 2
5 5 5
36
12
55
kk
p(X k) C ( ) ; k et E(X) np
V(X) np( p)
Rappelons que dans le cas d’une variable aléatoire X en général on a :
22
11
nn
i i i i
ii
E(X) x p et V(X) x p E(X)
L'écart type est (X) V(X).
E(X) désigne la moyenne de X.
V(X) nous donne une idée sur la dispersion de la variable par rapport à sa moyenne.
Exemples de lois continues :
1-La loi uniforme :

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1
Soit un intervalle a,b . La fonction définie sur a,b par
f(x) s'appelle la densité de la loi de probabilité uniforme
ba
sur a,b .
On appelle probabilité uniforme sur a,b , l'application qui à tout intervalle
c,d inclu dans a,b associe le r
0
1
d
c
éel p c,d f(x)dx
dc
On a p(c X d) et p(X c) .
ba
On a aussi p c,d p c,d .
Définition :
01
0
1
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité uniforme p sur l’intervalle a,b
On appelle fonction de répartition de X, l'application F: ,
si x a
x F(x) p a X x si x a,b
si x b
.
2-La loi exponentielle :
Soit
un réel strictement positif. X est une variable aléatoire modélisée par la loi
exponentielle de paramètre
. La fonction définie par f(x)=
x
e
s’appelle
la densité de la loi de probabilité exponentielle de X sur
.On a :
01
c
ab
b
p(X c) e
p(a X b) e e
p( X b) e
Définition :
01
00
00
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité exponentielle p de parametre .
On appelle fonction de répartition de X, l'application F: ,
si x
x F(x) p X x si x ,
.
Application 1 :
Un appareil de mesure évalue l'épaisseur en cm de pièces mécaniques. L'expérience prouve
que l'épaisseur de pièces peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit la loi
1
0
0
a
b
1

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uniforme dans l'intervalle [2,2,8].
1- Calculer p(X≤2,6) et p(2,3≤X≤2,5) .
2- Les pièces sont acceptées si leur épaisseur est supérieure à 2,4cm. Quelle est la
probabilité pour qu'une pièce soit acceptée?
3- Une pièce a une épaisseur supérieure à 2,2cm.
Quelle est la probabilité pour qu'elle soit acceptée?
Application 2 :
Ci-contre la représentation graphique de la densité de probabilité f d’une variable aléatoire X
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ.
1/ Expliciter f(x) , la densité de la loi exponentielle de X..
2/ Calculer p(20≤X≤35) et p(X
10).
Solution :
1/ f(x)=
x
e
et f(0)=0,4 donc λ =0,4 et par suite f(x)=
04
04 ,x ,e
2/
p(20≤X≤35) =
0 4 20 0 4 35,,
ee
= 0,00034 .
p(X
10)=
0 4 10,
e
= 0,01831.
0,4
0