Quelques problèmes non résolus

Quelques problèmes non résolus
Par : Ayoub Ennassiri
http://www.genisoft.info
Du Site http://www.diophante.fr
http://genisoft.ift.fr
Genisoft, Ayoub Ennassiri
Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le
théorème de Fermat. Celui-ci avait affirmé il y a trois siècles (sans le
d ém on trer) q u e p ou r tou t en tier n su p érieu r à 2 , il n ’existe au cu n triplet
d ’en tiers n atu rels a,b et c tels q u e
. Il a fallu attendre 1994 pour
q u e A n d rew J. W iles d e l’u n iversité d e Prin ceton en fasse la démonstration.
En 1900, David Hilbert, con sid éré com m e l’u n d es plu s g ran d s
mathématiciens du 20ème siècle, a présenté lors du Congrès international de
m ath ém atiq u es u n e liste d e 2 3 p rob lèm es q u i ten aien t ju sq u ’alors en éch ec
les mathématiciens. Comme leu r form u lation s’ad resse à u n pu blic très averti
et d ép asse l’ob jet de ce site, n ou s n e les rep ren d ron s p as. Le lecteu r cu rieu x
pourra consulter utilement :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_de_Hilbert
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html
http://membres.lycos.fr/villemingerard/Histoire/Hilbert.htm
Dans cette rubrique, nous recensons quelques problèmes qui sont non
en core résolu s (et le resteron t p rob ab lem en t p en d an t d e lon g u es an n ées… )
et dont la formulation se fait en termes simples. La plupart de ces problèmes
relèven t d e l’arith m étiq u e et d e la th éorie d es n om b res.
1. Les conjectures
2. Les nombres premiers
3. Les nombres remarquables
4. Les équations diophantiennes
5. Pavages, graphes et circuits...
1. Les conjectures
1-1 La conjecture de Goldbach
Tout nombre N pair est la somme de deux nombres premiers.
Exemples : 4 = 2 + 2
14 = 3 + 11
96 = 7 + 89
188 = 47 + 141
La conjecture est vraie pour tous les entiers pairs inférieurs à 20 000 000.
Est-elle toujours vraie quel que soit N ? La plupart des mathématiciens
pensent que oui.
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1-2 La conjecture de Collatz
O n p art d ’u n n om b re en tier p ositif qu elcon q u e N . S ’il est p air, on le divise
par 2, soit N/2. Sinon, on le multiplie par 3 et on ajoute 1, soit 3N+1. Le
processus est répété ad infinitum si nécessaire.
Exemple : 13
40
20
10
5
16
8
4
2
1
On constate que quelque soit N, le processus se termine toujours par 1.
Existe-t-il un contre-exemple ?
1-3 La conjecture de Gilbreath
On écrit la suite des nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
79, 83, 89, 97, 101, … .
Puis on calcule les différences en valeur absolue des termes consécutifs pris
2 à 2 et on p ou rsu it le p rocessu s au tan t d e fois q u e d ésiré et l’on ob tien t le
tableau suivant :
Comme le montre ce tableau, les séquences successives (étapes n°1 à n°22)
commencent toujours par 1 . G ilb reath a con jectu ré qu ’il en était tou jou rs
ainsi. La conjecture a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs
à
1-4 La conjecture de Kimberling
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On part de la séquence
des nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, … et l’on con stru it su ccessivem en t les séq u en ces
avec l’alg orith m e su ivan t qui définit la séquence
de la séquence

pour k
de

à partir
:
, on écrit le (i+k)-ème terme puis le (i-k)-ème terme
,
on écrit ensuite les termes restants de
.
On obtient le tableau suivant :
On passe, par exemple, de
de la manière suivante : on a i = 3. Pour
k=1,2 et 3,on écrit le (i+k)-ème terme et le (i-k)-ème terme de
, soit
successivement le 4 ème terme, le 2 ème terme, le 5 ème terme, le 1 er
terme et enfin le 6 ème terme , ce qui donne 6, 2, 7, 4 et 8. Ces cinq
n om b res étan t écrits, on écrit les n om b res restan ts 9 ,1 0 , 1 1 , 1 2 ,… .
Les éléments diagonaux du tableau figurant dans les cases coloriées en
jaune constituent la séquence de Kimberling : 1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9,
1 8 , 2 4 , 3 1 , 1 4 ,… .. La con jectu re est la su ivan te : tout entier N quelconque
figure-t-il dans cette séquence ?
2. Les nombres premiers
2-1 Les nombres premiers jumeaux
Deux nombres impairs consécutifs tous deux premiers sont appelés
« jumeaux ». Par exemple 3 et 5, 41 et 43, 1000 000 000 061 et 1000 000
000 063.
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Existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux ?
La plus grande paire connue à ce jour est égale à
comporte 24098 chiffres (Carmody – 2000)!
qui
E n ju in 2 0 0 5 , D an iel G old ston u n m ath ém aticien d e l’u n iversité d e S an Jose
a mis en ligne sur Internet la dernière version de ses travaux qui visaient à
p rou ver l’existen ce d ’u n e in fin ité d e n om b res p rem iers ju m e aux. Cette
m ou tu re revu e et corrig ée g râce à l’aid e d e trois collèg u es tu rc, jap on ais et
hongrois est la dernière normalement et elle a été bien accueillie par la
communauté mathématique (source : France-science du 8 juin 2005)
2-2 Les nombres premiers de la forme n2+1
La liste des nombres premiers de la forme n 2+1 commence par 2, 5, 17, 37,
1 0 1 , 1 9 7 , 2 5 7 , 4 0 1 ,.. q u i corresp on d à n = 1 , 2 , 4 , 6 , 1 0 , 1 4 , 1 6 , 2 0 ,…
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de cette forme ?
2-3 Les n o m b res p rem iers d an s l’in tervalle [nk, (n+1)k]
. k=2
Le mathématicien français A. Legendre (1752-1833) a conjecturé que quel
q u e soit l’en tier n , il existe tou jou rs au m oin s u n n om b re p rem ier com p ris
entre n2 et (n+1)2. Est-ce vrai ?
. k>2
Jean Moreau de Saint Martin fait remarquer : "avec l'exposant 3 au lieu de 2,
Ingham a démontré en 1932 que pour n assez grand, il existe toujours au
moins un nombre premier compris entre n 3 et (n+1)3. Par ailleurs les
connaissances actuelles sur les nombres premiers valident la conjecture pour
des exposants supérieurs au nombre rationnel 2,16."
2-4 Les nombres de la forme nn+1 sont-ils premiers ?
Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nn+1 donne des nombres premiers. En
effet 1 + 1 = 2, 22+1 = 5 et 44+1 = 257 sont bien des nombres premiers.
En existe-t-il d ’au tres ?
2-5 Les nombres de Fibonacci premiers
Les nombres de Fibonacci sont définis dans la séquence bien connue 1, 1, 2,
3 , 5 , 8 ,1 3 , 2 1 , 3 4 , 5 5 , 8 9 , 1 4 4 ,… d an s laq u elle ch aq u e term e (h orm is les
deux premiers) est égal à la somme des deux termes précédents. Parmi eux,
2,3,5,13,89,..sont des nombres premiers et les nombres dont le rang
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supérieur à 4 n'est pas premier (6, 8, 10, 12, 14, 15, etc.) ne peuvent pas
être premiers.
Existe-t-il une infinité de nombres de la séquence de Fibonacci qui sont en
même temps premiers ?
3. Les nombres remarquables
3-1 Les nombres parfaits
Un nombre parfait est égal à la somme de ses propres diviseurs, le nombre
lui-même étant évidemment exclu. Par exemple 6 = 1+2+3 et 28 =
1+2+4+7+14 sont des nombres parfaits.
Les nombres parfaits pairs sont de la forme
et le nombre de Mersenne
avec la condition que p
sont des nombres premiers.
42 nombres parfaits pairs sont connus à ce jour. En existe-t-il une infinité ?
M oin s d ’u n e année après la découverte du 42ème nombre de Mersenne,
l’éq u ipe d u p rojet G IM PS (G reat In tern et M ersen n e Prim e S earch ) a
découvert en décembre dernier le 43 ème nombre de Mersenne qui est égal à
2 30,402,457 - 1 = 31541647561884608093...11134297411652943871
avec 9 152 052 chiffres ! C ’est n on seu lem en t le plu s g ran d n om b re d e
Mersenne mais aussi le plus grand nombre premier connus à ce jour. Il
fournit du même coup le 43ème nombre parfait pair.
Pour plus de détails se reporter à :
http://www.mersenne.org/
http://mathworld.wolfram.com/news/2005-12-25/mersenne-43/
A u cu n n om b re p arfait im p air n ’est con n u à ce jou r. E n existe -t-il ? S ’il existe,
on a vérifié q u ’il a plu s d e 1 5 0 ch iffres !
3-2 Les carrés composés de deux chiffres
Existe-t-il u n e in fin ité d e carrés p arfaits q u i s’exp rim en t avec seu lem en t
deux chiffres comme
?
3-3 L’alg o rith m e à p alin d ro m e et 1 9 6
On considère un nombre entier quelconque à deux chiffres ou plus et on
ajou te à ce n om b re le n om b re ob ten u en in versan t l’ord re d es ch iffres. O n
rép ète l’op ération avec la som m e ain si ob ten u e ju sq u ’à ce q u ’on ob tien n e u n
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n om b re p alin d rom e d on t l’écritu re d e g au ch e à d roite e st la même que de
droite à gauche.
Exemple : 167 donne 88555588 en 10 itérations :
167 + 761 = 928
928 + 829 = 1757
1757 + 7571 = 9328
9328 +
8239 = 17567
17567 + 76571 = 94138
94138 + 83149 = 177287
177287 + 782771 = 960058
960058 + 850069 = 1810127
1810127 +
7210181 = 9020308
9020308 + 8030209 = 17050517
17050517 +
71505071 = 88555588 qui est bien un nombre palindrome.
Après 9 480 000 itérations, 196 est toujours réfractaire pour donner un
nombre palindrome. Est-ce vrai p ou r u n e in fin ité d ’itérations ?
3-4
+ e est-il irrationnel ?
Il est bien connu que et e son t l’u n et l’au tre d eu x n om b re tran scen d an ts et
de ce fait sont irrationnels, c.a d . q u ’ils n e s’exp rim en t p as sou s la form e d u
rapport de deux nombres entiers. Que peut-on dire de leur somme +e ?
Est-elle rationnelle ou irrationnelle ? On penche évidemment pour une
som m e irration n elle m ais la d ém on stration reste à faire… .
3-5 Les nombres aimables
Les m em b res d ’u n cou ple d e n om b res en tiers (a,b ) son t q u alifiés d e n om b res
« aimables » si la somme des diviseurs de a (a exclu mais 1 compris) est
égale à b et si la somme des diviseurs de b (b exclu mais 1 compris) est
ég ale à a. L’exem ple d es valeu rs les plu s p etites est con stitu é p ar le cou ple
(220,284) qui a été signalé il y a fort longtemps par Platon. On connaît un
très grand nombre de tels couples numériques. Une formule générale avec
laq u elle ces n om b res son t su scep tibles d ’être calcu lés, a été d écou verte au x
environs des années 850 par Thabit ibn Qurra (826-901).
Si p =
,q=
et r =
où n >1 est entier, p,q et r sont des
nombres premiers, alors
.pq et
.r constituent une paire de nombres
« aimables ». Grâce à cette formule, on obtient la paire (220,284) déjà
mentionnée, puis (17296,18416) et (9363584, 9437056) mais la paire
(6 2 3 2 , 6 3 6 8 ) n ’est p as d on n ée p ar cette form u le…
Existe-t-il une infinité de nombres aimables ?
3-6 La série
Il est bien connu que :
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
la série harmonique
p ou r n varian t d e 1 à l’in fin i est diverg en te,

la série dite d ’E u ler
vaut

la série
vaut
/6
/90
Il n ’existe p as d e form u le éq u ivalen te don n an t
trouver ?
. Pouvez-vous la
4. Les équations diophantiennes
4-1 La b riq u e p arfaite d ’E u ler.
La b riqu e p arfaite d ’E u ler est u n p arallélép ip èd e rectan gle d on t les côtés a, b
et c, les diagonales des faces
et la diagonale
principale qui joint deux sommets opposés
sont tous des nombres
en tiers. A u cu n exem ple d e cette b riq u e p arfaite n ’existe à ce jou r.
4-2 Les d istan ces d ’u n p o in t au x so m m ets d ’u n carré.
On considère dans le plan un carré de côté unité. Existe-t-il un point du plan
dont les distances aux quatre sommets d u carré s’exp rim en t sou s la form e
de nombres rationnels ? E n d ’au tres term es existe-t-il un carré de côté n
en tier tel q u ’il existe u n p oin t du plan situ é à d es distan ces en tières d es
quatre sommets du carré ? A u cu n e solu tion n ’existe à ce jou r.
On peut rapprocher cet énoncé d'un problème analogue sur la sphère, non
résolu à notre connaissance : peut-on tracer quatre cercles de rayons
rationnels sur une sphère de rayon unité tels qu'ils soient tangents deux à
deux ?
4-3 Côtés et segments remarquables du triangle
On sait résoudre un joli problème (cf. problème D131) dans lequel 17 longueurs
dans un triangle sont toutes mesurées par des nombres entiers : les trois
côtés, les trois hauteurs, les trois bissectrices intérieures et les trois
bissectrices extérieures, les deux rayons du cercle circonscrit et du cercle
inscrit et les trois rayons des cercles exinscrits (cité par Jean Moreau de
Saint Martin).
Un autre problème d'énoncé plus simple n'a toujours pas de solution à ce
jour : existe-t-il un triangle dont les côtés, les médianes et l'aire s'expriment
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avec des nombres entiers ?
4-4 L’éq u atio n
Il existe de solutions en a, b,c,d des équations diophantiennes :
avec
avec
,
,
avec
.
On ne connaît pas de relation similaire pour
.
4-5 Les fractions égyptiennes
Un entier n > 1 étant donné, existe-t-il des entiers x, y et z tels que 4/n =
1/x + 1/y + 1/z ?
Les fractions 1/x, 1/y et 1/z dont le numérateur est égal à 1 et le
dénominateur est un entier naturel positif, sont appelées fractions
égyptiennes. 4/n doit donc être la somme de trois fractions égyptiennes.
On connaît des solutions chaque fois que n est différent de 24k+1
Par exemple, pour n=7, on a : 4/7 = 1/3 + 1/6 + 1/14.
Mais on ne sait pas montrer que le problème est possible pour tout n.
4-6 Factorielle et carré
Existe-t-il u n cou ple d ’en tiers p > 7 et q tels q u e p ! =
Il est connu que 4 ! +1 = 25 = , 5 !+1 = 121 =
O n n e con n aît p as d ’au tre solu tion .
-1?
et 7 !+1 = 5041 =
5 . P avag es, g ra p h es et circu its…
5-1 Pavage du carré (1 x 1) avec les rectangles de côtés 1/k et
1/(k+1).
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.
On considère les rectangles dont les côtés sont égaux à 1/k et 1/(k+1) pour
k= 1 ,2 ,3 ,… .
L’aire d e ces rectan gles est ég ale à 1 /[k(k+ 1 )] = 1 /k – 1/(k+1). Il en résulte
que la somme des aires de tous les rectangles est égale à 1 – 1/2 +1/2 –
1/3 + 1/3 – 1/4 … = 1 .
Dans ces conditions, peut-on paver le carré (1 x 1) avec tous ces
rectangles ? A u cu n p avag e n ’est con n u à ce jou r.
5-2 P avag e d ’u n rectan g le avec les carrés h arm o n iq u es.
Un carré harmonique a pour côté 1/n et pour surface 1/
. S i l’on ju xtap ose
tou s ces carrés p ou r n = 1 ,2 ,3 ,… . san s q u ’ils se ch evau ch en t , ils occupent
u n e aire ég ale à la série d ’E u ler p récéd em m en t évoq u ée (voir § 3 -6)
=
/6. Dans ces conditions, peut-on paver un rectangle de côtés 1 et
/6
avec tous ces carrés ? A ce jour, seules des solutions approchées sont
connues.
5-3 Les 13 villes
Comment localiser 13 villes sur la Terre (considérée comme sphérique) de
telle sorte q u e la distan ce m in im ale sép aran t d eu x q u elcon q u es d ’en tre elles
soit la plus grande possible ?
Il y a une solution approchée qui a été trouvée en 1989 par Lubotzky, Philips
et Sarnak pour un nombre de points quelconques mais existe-t-il vraiment
une solution générale ?
5-4 Le pliage de la nappe carrée
On considère une nappe carrée de côté 1 mètre, d on t on su p p ose l’ép aisseu r
infiniment petite et qui est étendue à plat sur le plan horizontal xOy. Quand
on plie cette nappe une première fois (pas nécessairement en deux parties
identiques), le périmètre de la nouvelle forme est inférieur à 4 mètres (cela
p eu t se d ém on trer avec u n p eu d e trig on om étrie… ). O n con tin u e d e plier la
n ap p e au tan t d e fois q u ’on le d ésire. Le p érim ètre d es form es in term édiaires
peut croître ou décroître selon les plis qui ont été successivement choisis.
Peut-on obtenir une forme dont le périmètre est supérieur à 4 mètres ?
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