Quelques problèmes non résolus

http://genisoft.ift.fr Genisoft, Ayoub Ennassiri
Quelques problèmes non résolus
Par : Ayoub Ennassiri
http://www.genisoft.info
Du Site http://www.diophante.fr

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Le problème non résolu le plus fameux a été pendant des siècles le
théorème de Fermat. Celui-ci avait affirmé il y a trois siècles (sans le
dém ontrer) qu e pou r tou t en tier n supérieu r à 2 , il n ’existe aucu n triplet
d’en tiers n aturels a,b et c tels qu e . Il a fallu attendre 1994 pour
qu e A n d rew J. W iles de l’université de Prin ceton en fasse la démonstration.
En 1900, David Hilbert, considéré com m e l’un des plus gran ds
mathématiciens du 20ème siècle, a présenté lors du Congrès international de
m ath ém atiques u n e liste d e 23 problèm es qui ten aient jusq u ’alors en échec
les mathématiciens. Comme leu r form ulation s’adresse à u n public très averti
et d épasse l’objet de ce site, n ou s n e les repren d ron s pas. Le lecteur cu rieu x
pourra consulter utilement :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Probl%C3%A8mes_de_Hilbert
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/toc.html
http://membres.lycos.fr/villemingerard/Histoire/Hilbert.htm
Dans cette rubrique, nous recensons quelques problèmes qui sont non
en core résolu s (et le resteront p robablem en t pendant de lon gues an nées… )
et dont la formulation se fait en termes simples. La plupart de ces problèmes
relèvent de l’arith m étique et d e la th éorie des n om bres.
1. Les conjectures
2. Les nombres premiers
3. Les nombres remarquables
4. Les équations diophantiennes
5. Pavages, graphes et circuits...
1. Les conjectures
1-1 La conjecture de Goldbach
Tout nombre N pair est la somme de deux nombres premiers.
Exemples : 4 = 2 + 2
14 = 3 + 11
96 = 7 + 89
188 = 47 + 141
La conjecture est vraie pour tous les entiers pairs inférieurs à 20 000 000.
Est-elle toujours vraie quel que soit N ? La plupart des mathématiciens
pensent que oui.

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1-2 La conjecture de Collatz
O n part d’u n n om b re entier positif qu elcon que N . S ’il est pair, on le divise
par 2, soit N/2. Sinon, on le multiplie par 3 et on ajoute 1, soit 3N+1. Le
processus est répété ad infinitum si nécessaire.
Exemple : 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1
On constate que quelque soit N, le processus se termine toujours par 1.
Existe-t-il un contre-exemple ?
1-3 La conjecture de Gilbreath
On écrit la suite des nombres premiers :
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
7 9 , 8 3, 8 9 , 9 7, 1 01 , … .
Puis on calcule les différences en valeur absolue des termes consécutifs pris
2 à 2 et on pou rsuit le p rocessu s autant d e fois que désiré et l’on obtien t le
tableau suivant :
Comme le montre ce tableau, les séquences successives (étapes n°1 à n°22)
commencent toujours par 1 . G ilbreath a conjectu ré qu’il en était toujours
ainsi. La conjecture a été vérifiée pour tous les nombres premiers inférieurs
à
1-4 La conjecture de Kimberling

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On part de la séquence des nombres entiers naturels 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12, … et l’on construit su ccessivem en t les séqu en ces
avec l’algorithm e suivan t qui définit la séquence à partir
de la séquence :
 pour k , on écrit le (i+k)-ème terme puis le (i-k)-ème terme
de ,
 on écrit ensuite les termes restants de .
On obtient le tableau suivant :
On passe, par exemple, de de la manière suivante : on a i = 3. Pour
k=1,2 et 3,on écrit le (i+k)-ème terme et le (i-k)-ème terme de , soit
successivement le 4 ème terme, le 2 ème terme, le 5 ème terme, le 1 er
terme et enfin le 6 ème terme , ce qui donne 6, 2, 7, 4 et 8. Ces cinq
n om b res étant écrits, on écrit les n om bres restants 9 ,1 0 , 1 1, 12 ,… .
Les éléments diagonaux du tableau figurant dans les cases coloriées en
jaune constituent la séquence de Kimberling : 1, 3, 5, 4, 10, 7, 15, 8, 20, 9,
1 8 , 2 4, 3 1 , 1 4,… .. La con jectu re est la suivante : tout entier N quelconque
figure-t-il dans cette séquence ?
2. Les nombres premiers
2-1 Les nombres premiers jumeaux
Deux nombres impairs consécutifs tous deux premiers sont appelés
« jumeaux ». Par exemple 3 et 5, 41 et 43, 1000 000 000 061 et 1000 000
000 063.

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Existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux ?
La plus grande paire connue à ce jour est égale à qui
comporte 24098 chiffres (Carmody – 2000)!
E n juin 2 00 5, D aniel G oldston u n m athém aticien de l’u niversité de S an Jose
a mis en ligne sur Internet la dernière version de ses travaux qui visaient à
prou ver l’existence d’un e in finité de n om bres prem iers ju m eaux. Cette
m ou tu re revue et corrigée grâce à l’aid e d e trois collègues tu rc, jap on ais et
hongrois est la dernière normalement et elle a été bien accueillie par la
communauté mathématique (source : France-science du 8 juin 2005)
2-2 Les nombres premiers de la forme n2+1
La liste des nombres premiers de la forme n2+1 commence par 2, 5, 17, 37,
1 0 1 , 1 97, 2 57 , 4 01 ,.. qui correspond à n = 1 , 2 , 4 , 6 , 10 , 1 4 , 1 6, 20 ,…
Existe-t-il une infinité de nombres premiers de cette forme ?
2-3 Les n om b res p rem iers d an s l’in tervalle [nk, (n+1)k]
. k=2
Le mathématicien français A. Legendre (1752-1833) a conjecturé que quel
qu e soit l’entier n , il existe tou jou rs au m oin s un n om bre p rem ier com pris
entre n2 et (n+1)2. Est-ce vrai ?
. k>2
Jean Moreau de Saint Martin fait remarquer : "avec l'exposant 3 au lieu de 2,
Ingham a démontré en 1932 que pour n assez grand, il existe toujours au
moins un nombre premier compris entre n3 et (n+1)3. Par ailleurs les
connaissances actuelles sur les nombres premiers valident la conjecture pour
des exposants supérieurs au nombre rationnel 2,16."
2-4 Les nombres de la forme nn+1 sont-ils premiers ?
Pour n = 1, 2 et 4, on observe que nn+1 donne des nombres premiers. En
effet 1 + 1 = 2, 22+1 = 5 et 44+1 = 257 sont bien des nombres premiers.
En existe-t-il d ’autres ?
2-5 Les nombres de Fibonacci premiers
Les nombres de Fibonacci sont définis dans la séquence bien connue 1, 1, 2,
3 , 5 , 8 ,1 3, 2 1, 3 4 , 5 5, 89 , 1 44 ,… dan s laq u elle ch aqu e term e (h orm is les
deux premiers) est égal à la somme des deux termes précédents. Parmi eux,
2,3,5,13,89,..sont des nombres premiers et les nombres dont le rang